对数值分析的认识
《数值分析》课程体会
一对数值分析的认识
数值分析的定义：数值分析(numerical analysis)是研究分
析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方
法为研究对象。为计算数学的主体部分。
运用数值分析解决问题的过程：实际问题→数学模型→数值
计算方法→程序设计→上机计算求出结果
数值分析这门学科有如下特点：1·面向计算机2·有可
靠的理论分析3·要有好的计算复杂性4·要有数值
实验 5.要对算法进行误差分析
本书主要内容：插值法，函数逼近与快速傅里叶变换，数
值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组
的迭代法，非线性方程与方程组的数值解法，矩阵特征值计算，常微分方程初值问题的数值解法。
接下来我将就网上查的一些资料以及这学期从课堂上学到
的谈一下自己对着门课程的认识。
大学的时候也上过数值分析，上完这门课之后，具体的公式记
不清楚了，但留下很深印象的是一些计算数学的思想。比如说
迭代（iteration），再比如局部近似里的以直代曲其实就是数
值积分的思想，而不断的局部以直代曲，就是非线性方程牛顿
法的思想。还有其他一些思想，比如外推法等。因此，对这门
课的总体印象就是技巧性和实用性很强
科学研究方法可以分为理论分析、科学实验、科学计算。理
论分析和科学实验大家比较熟知，那什么是科学计算呢？许多
复杂的问题需要借助计算机快速准确的数据处理能力，用计算
机处理数值问题的方法就是所谓的科学计算。数值分析这门课
的主旨就是将分析问题代数化，培养计算思维，研究如何借助
计算工具求得数值问题(问题本身反映了初始数据和要求的数值
型数据之间的某种确定性关系）的数值解。其实有数学以来就
有数值计算，数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、
会计，以及许多领域之上，最早的数学大约是西元前1800年巴
比伦人泥板（Babylonian tablet ）上的计算式子。例如所谓
的勾股数（毕氏三元数），（3, 4, 5），是直角三角形的三边
长比，在巴比伦泥板上已经发现了开根号的近似值。当今，随
着计算机的出现和发展，数值计算迅速发展并形成数学科学的
一个独立的分支—计算数学。
那么数值分析在现实中有哪些应用？首先整理下用数学解决
实际问题的步骤，一般有以下几步：
1.根据实际问题建立数学模型——应用数学
2.数学模型分析(比如模型解的存在、唯一、适定性）——基础
数学
3.针对相应的数值问题设计可靠高效的算法
4.计算结果可视化
5.计算结果分析
我觉得后面三步其实都可以划分到数值分析里，而这门课的核
心即是设计高效可靠的算法。举一些数值分析在实际中的应用。
凡是涉及到计算的地方几乎都需要数值分析，比如天气预报，比如工程设计，比如流体固体计算，比如核武器的研制，比如
导弹和火箭的发射等等。因为这些问题大都会涉及方程组(线性，非线性，微分)的求解，而多数情况下是无法给出解析解的。所
以需要考虑近似解析法（级数解法，逐次逼近法）和数值解法（给出一些离散点处解的近似值），这正是数值分析研究的内容。
具体介绍一下数值计算在天气预报中的应用：天气会受各种
因素的影响，稍微一些因素发生改变就会产生很大的变化，所
以天气预报其实是一件比较困难的工作（因为这是一个非线性
的问题）古代人们用占卜或者经验总结等方式来预计天气状况，这倒更像是统计学。而有了计算机，我们就可以通过数值模拟
来预报天气。具体过程就是：首先根据大气运动列出数学物理
方程（偏微分），其次对空间进行网格划分，然后通过观测数
据给出初值条件，最后通过数值方法求解这些偏微分方程得到
网格点处的数值解。这也是为什么主持人总是说大概在...地区，大致在...时段，可能有...量级的降水...因为时空是连续的，
而网格划分不可能无限密，所得的数值解也存在误差。
二 对插值法的体会与认识
1提出的背景：
（1）在工程实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示。
（2）有些函数虽然有表达式，但是比较复杂，计算f(x)不经济，且不利于在实际中在计算机上计算。
由此也可以看出数值分析是一门有技术带动的科学。
2自主学习时的体会：这一章是我负责介绍给大家的，因此在准备的过程中也查了许多资料，总的体会是这一章还是比较基础与简单的。重要的思想是构造基函数的思想，难点是误差分析的证明及对于高次插值病态性质的理解。
3插值函数定义：已知由实验（测量）得到的某一函数 y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处的值yi=f(xi) (i=0,1,...,n),需要构造一个简单易算的函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式：
y=f(x)≈P(x) ,
使得
P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
这类问题就称为插值问题，P(x)称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。
4拉格朗日插值：考虑最简单、最基本的插值问题。求n 次插值多项式 li(x) (i=0,1, …,n),使其满足插值条件：
拉格朗日插值多项式的基函数：
0,()(0,1,,)1,
i j j i l x j n j i ≠⎧==⎨=⎩
可知, 除 xi 点外, 其余都是li(x)的零点。符合基函数的性质。 5牛顿插值多项式：牛顿插值是一种逐次生成插值多项式的方法，它克服了拉格朗日插值的缺点—当插值节点增减时，全部基函数随之改变，整个公式也将发生变化，实际计算中很不方便。
6埃尔米特插值：无论是拉格朗日插值还是牛顿插值，它们只要求逼近函数与实际函数在给定节点的函数值相等。而埃尔米特插值不但要求它们函数值重合，而且要去若干阶导数值也重合。其中要去在一个节点X1处有直到n 阶导数都重合的插值多项式就是泰勒多项式了。
H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式要求满足的条件。埃尔米特插值的模型：
7分段低次插值：设Ln （x ）为逼近函数，并非逼近函数次数越高逼近f(x)的精度越好，因为对任意的插值节点，当n 趋于无穷时，Ln （x ）不一定收敛到f(x)。本质上Ln （x ）是振荡的，用切比雪夫多项式可以克服这一问题。
33()(0,1)()i i i i H x y i H x m =⎧=⎨'=⎩300110011()()()()()
H x y x y x m x m x ααββ=+++2200110110010110
220100110110
[12]()[12]()()()()()x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x x x ----=+++------+-+---11()()i i x x x x -+--00()()()()()(0,1,,)n i i i n x x x x l x x x x x i n --=--=11()()
i i i i x x x x -+--
8三次样条插值：在实际问题中，如高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即二阶连续导数。
给定区间[a,b]的一个划分 a=x0 （1）S(xi )=yi (i=0,1,…,n); （2）在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超过3的多项式; (3) 在每个内节点xi (i=1,2,...,n-1)上具有二阶连续导数,则称 S(x) 为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。 总结 拉格朗日插值是利用基函数的方法构造插值多项式，在理论上较为方便但计算不太方便。基函数的方法将插值问题归结为特定条件下容易实现的插值问题。牛顿插值多项式计算上较为方便，是求函数近似值常用的方法。本质上是广义坐标系的方法。牛顿插值多项式计算上较为方便，是求函数近似值常用的方法。由于高次插值存在龙格现象，它没有实用价值，通常都是使用分段低次插值，特别是三次样条插值，它具有良好的收敛性和稳定性，又有二阶光滑度，理论和应用上都具有重要的意义。 像许多技术领域一样，在过去的四分之一世纪中，土力学最大的变化也许与数字计算机的发展和应用密切相关。Terzaghi 在许多场合曾说过，如果理论不够简单，那么它在土力学中就几乎没有用。有两个理由支持这个观点：首先，实际的土及土体堆积物的特性是如此复杂以至于数值计算的误差会遮蔽因理论缺陷而引入的误差；其次，除了最简单的问题外，所有的数学计算是如此的复杂，要想得到结果，就需花费过量的时间和精力。在很大程度上，计算机已经排除了第二条理由的有效性。费力的计算——诸如那些在变化的边界条件下，水流穿过土的渗流问题、具有不规则边界的非均匀土体的边坡稳定性问题、以及许多土－结构相互作用相关的问题，可以通过不知疲倦的计算机快速而准确的工作得以实现。 早在1938 年，我们就将一维波动分析纵向响应理论用于打桩过程的分析，25 年来我们对其并不感到好奇。当计算能够通过计算机实现的时候，通过计算来研究桩、桩锤、垫块以及土的相关物理特性就变得是很有实际价值了，于是，动力打桩分析就成了设计者和承包者的日常工具。 松弛法的能力因那些应用Hardy Cross1932 年发表的力矩分配法的结构工程师的积极性而充分地显现出来。此后不久，松弛法被英国的Southwell 推广使用，它被认为是求解许多可以表示为一组联立方程的问题的一个强有力的工具。到十九世纪50 年代早期，计算机辅助的有限差分技术开始得到应用，它对求解土力学中的大量问题也是很有用的。然而在目前，它们都得让位于有限单元法的发展和应用了，这些计算技术在土力学中的应用就同理论和应用土力学领域自身一样的宽广。对于下列这些问题，我们可比较轻松地得到其数值解，即具有复杂的几何特征和土的力学特性的问题、需要考虑多种类型的非线性特性的问题，以及很容易将现场监测结果插入数值求解过程中的特性，使这种方法得到了广泛的应用。对土动力学问题，包括那些需输入各种动载入如地震波的计算，几乎已成为按部就班的计算。在我们中间，被恰当地称为专心于数值计算的亚文化群已经兴起。 毫无疑问，有限单元法已经极大地扩展了可以得到理论解的问题的范围，并且我们对许多实际问题的理解和洞察力提高了，以前那种为粗略地得到理论近而不恰当地给出问题的边界条件或其它约束条件的作法，已不复存在了。 然而，有限元求解时需要输入土的特性的量值，与严格限制条件的理论解相比，有限元法需要一组更为全面的土的特性值，这样一组特性值及本构关系都涉及到应力、应变及时间，并且由于土体的非线性、应变软化、粘性行为及反向或重复荷载而变得十分复杂。此外，还需假设初始的原位应力条件。 在本篇讨论的初始部分我们回顾了哈佛大会后的25 年时间里对粘性土抗剪强度的一个小方面的努力及理解。然而，那个努力并没有结束，因为许多影响粘性土抗剪强度的因素还不知道。而且，本构关系十分复杂而目前仅给出了一个很粗略的定义。因此，在有限元解中，经常要采取假设以量化本构关系，并且结算结果对假设经常是敏感的。既然众所周知土体的应力－应变－时间特征受扰动取样的影响大于受最终强度的影响，同时又由于本构关系中包含着应力－应变－时间的关系，所以取样和试验不可避免地会使结果具有不确定性。这样，计算的能力就超过了计算所需的土体物理特性的知识。为了减小结果的不确定性，近年来注意力已经愈加集中到现场试验以及估计本构关系的多种间接方法上来。 从事数值计算的一群研究者，沉浸在早期许多成功所带来的热情之中，产生了这样的观念，即认为观测法或经验法现在已经过时了。持有这种见解的人觉得即使是最复杂的问题的预测也能被可靠地完成，并且其设计可以很有把握地建立在这些预测结果的基础上。若不是本构关系的不确定性及由于未被发现的“次要地质细节”对实际本构关系产生的影响，这种观点可能是站得住脚的。然而，尽管比起以前，如今许多较好的预测经常能够被完成，但运用有限元方法求解问题的复杂性却增加了偏离实际状况的可能性。为了检验所采取的假设的合理性，在施工过程中及工后在现场量测出重要的数据，并利用它进行预测，这种必要性在今天一点也不比过去少。 当有限元法以这种方式被使用以及被用来作为比较理论与实践的基础时，这类计算方法极大地提高了我们对复杂问题的理解。著名的例子包括土体刚度影响、墙体刚度影响、支撑压杆或锚拉杆的间距对开挖支护系统挠曲变形的影响以及对在填石坝中土心墙的孔隙水压力的发展及浸润面位置等。对于后一类问题，若结合孔隙水压力的观测，就能了解坝内土墙体实际的渗透特征。 计算数学(数值分析)的基本概念 计算数学是数学的一个分支. 在工程实际工作和科学研究中，寻求问题的解非常重要，这些问题经常转化为数学问题，建立数学模型，然后求解。 尽管许多问题的数学模型具有非常明确、简单明了的解，比如半径为r 的圆的面积s ，长方形的面积等等，但是更多的问题，求得解析解并非易事，而且实践中也不必要。为此，一般利用计算机、采用一定的计算方法（算法）、求得满足一定精度的数值解（近似解），就足够了。 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成了的一个小型论软件包). 1. 数值代数:求解线性和非线性方程的解法，分直接方法和间接方法. 2.插值和数值逼近。 3.数值微分和数值积分。 4.常微分方程和偏微分方程数值解法。 算法中常用的技术有：迭代技术、离散化技术、连续化技术等。 评价算法的最明显的标准是：速度和精度。 1. 计算速度——涉及计算量，表现出来是计算时间。 例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则要进行20107.9?次运算，如用每秒3千亿次乘法运算的计算机要100年.而目前IBM 生产的“蓝色基因”是世界上运算最快的计算机，每秒运算速度达136.8万亿次。 2.精度——涉及计算结果的准确性，表现为误差。 3.存储量.大型问题必须考虑的. 4.数值稳定性.在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制，这与算法有关. 例: 一元二次方程x 2-(109+1)x+109=0其精确解为X 1=109，X 2=1. 如用求根公式:a ac b b x ，2422 1-±-= 和字长为8位的计算器求解，有 91891821010104104=≈?-=-ac b ，又9910110≈+，从而 9 99110210)10(=+--≈x ，02 10)10(992=---≈x . 我们看到2x 与其精确解有着巨大差异. 为了防止这种情况的发生，我们采用恒等变形求解可得： () 110101024224999 222=+--?≈-+-=---=ac b b c a ac b b x 计算2x 的两个式子从数学上是完全一样的，但拿到计算机上去计算时，由于计算机采用 数值分析与计算方法的基本原理 数值分析与计算方法是一门涉及数学、计算机科学和工程学的学科，主要研究如何利用数值计算的方法解决实际问题。本文将从数值分析和计算方法的基本原理两个方面进行论述。 一、数值分析的基本原理 数值分析的基本原理是通过数学方法对实际问题进行近似计算，以获得问题的数值解。它主要涉及数值逼近、数值积分、数值微分和数值代数等方面。 1. 数值逼近 数值逼近是指通过一系列已知的数值来近似表示一个函数或者数值。其中最常用的方法是插值和拟合。插值是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数值相等；拟合是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数的差别最小。插值和拟合可以用于曲线拟合、数据预测等问题。 2. 数值积分 数值积分是指通过数值计算的方法对函数的积分进行近似计算。常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。这些方法通过将积分区间划分成若干小区间，在每个小区间上用简单的数值计算方法来估计积分值，然后将这些估计值相加得到近似的积分值。 3. 数值微分 数值微分是指通过数值计算的方法对函数的导数进行近似计算。常用的数值微分方法有有限差分法和微分拟合法。有限差分法通过计算函数在某一点的前后差值来估计导数的值；微分拟合法通过在某一点附近构造一个拟合函数，然后计算该函数的导数来估计原函数的导数。 4. 数值代数 数值代数是指通过数值计算的方法解决线性代数方程组、非线性方程和矩阵特 征值等问题。常用的数值代数方法有高斯消元法、迭代法和特征值分解等。这些方法通过将复杂的代数问题转化为简单的数值计算问题来求解。 二、计算方法的基本原理 计算方法是指利用计算机进行数值计算的方法，它主要涉及数值计算软件、算 法设计和计算机编程等方面。 1. 数值计算软件 数值计算软件是指专门用于进行数值计算的软件工具，如MATLAB、Python 的NumPy库和SciPy库等。这些软件提供了丰富的数学函数和数值计算工具，方 便用户进行各种数值计算操作。 2. 算法设计 算法设计是指根据具体的数值计算问题，设计出一种高效、准确的计算方法。 算法的设计需要考虑问题的特点和数值计算的要求，以便获得尽可能好的计算结果。常用的算法设计方法有迭代法、分治法和动态规划等。 3. 计算机编程 计算机编程是指将数值计算方法转化为计算机可执行的程序代码，并通过计算 机进行实际的数值计算。编程语言如C、C++、Python等提供了丰富的编程工具和 库函数，方便用户实现各种数值计算方法。 综上所述，数值分析与计算方法是一门重要的学科，它通过数学方法和计算机 技术解决实际问题。数值分析的基本原理包括数值逼近、数值积分、数值微分和数值代数等方面；计算方法的基本原理包括数值计算软件、算法设计和计算机编程等 数值分析在数学建模中的应用数值分析，顾名思义，就是以数值计算为基础的分析方法。它 是一种极为重要的数学工具，被广泛应用于解决科技领域、经济 领域、物理领域等各种问题。在数学建模中，数值分析也起到了 至关重要的作用。 一、数值分析概述 数值分析的主要任务是采用适当的数值算法，对制定的数学问 题进行数值计算和分析。这种方法的主要优点是：不需要过多的 理论假设，可以直接解决实际问题，是一种比较可行的实践方法。 数值方法的代表性运算包括插值法、数值积分、数值微分、线 性方程组的直接解法和迭代解法、非线性方程的求根法、最优化 方法等，这些运算形式广泛应用于计算机和其他数字设备上。 二、数值分析的应用实例 在数学建模中，数值分析可以通过计算机模拟为问题提供解决 方案。以下是数值分析在不同领域的应用实例。 1、激光波导器的电场模拟 在激光波导器的设计中，需要进行电场模拟，以寻求最优的设计方案。通过利用有限元方法，激光波导器的电场模拟可以得到精确的电场分布，方便设计者进行模拟和优化。 2、医学图像数据处理 医学图像数据处理是现代医学领域中的一个重要分支。数值分析通过电子计算机对医学影像数据进行处理，可以提供更加准确和可靠的医学诊断信息，为医学领域的发展提供了技术支持。 3、金融界的风险评估 在金融界风险评估中，数值分析可用于评估各种金融风险的大小，并为投资者提供信心。例如，使用数值方法为证券的价格进行建模，可以根据计算得到的统计数据，为投资者提供风险控制建议。 4、大气环境模拟 大气环境模拟可以预测天气变化，为气象学提供重要支持。数值方法可以在短时间内预测未来的天气变化，并为防灾减灾工作提供依据。 5、工程应用 数值分析还应用于各种工程应用中。例如，可以利用数值方法对建筑物和桥梁进行结构分析，以评估产品、工艺和系统的可靠性，并优化产品设计。 三、数值分析的局限 尽管数值分析在数学建模中具有广泛的应用，但它也存在一些局限。 1、精度问题 《数值分析》课程体会 一对数值分析的认识 数值分析的定义：数值分析(numerical analysis)是研究分 析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方 法为研究对象。为计算数学的主体部分。 运用数值分析解决问题的过程：实际问题→数学模型→数值 计算方法→程序设计→上机计算求出结果 数值分析这门学科有如下特点：1·面向计算机2·有可 靠的理论分析3·要有好的计算复杂性4·要有数值 实验 5.要对算法进行误差分析 本书主要内容：插值法，函数逼近与快速傅里叶变换，数 值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组 的迭代法，非线性方程与方程组的数值解法，矩阵特征值计算，常微分方程初值问题的数值解法。 接下来我将就网上查的一些资料以及这学期从课堂上学到 的谈一下自己对着门课程的认识。 大学的时候也上过数值分析，上完这门课之后，具体的公式记 不清楚了，但留下很深印象的是一些计算数学的思想。比如说 迭代（iteration），再比如局部近似里的以直代曲其实就是数 值积分的思想，而不断的局部以直代曲，就是非线性方程牛顿 法的思想。还有其他一些思想，比如外推法等。因此，对这门 课的总体印象就是技巧性和实用性很强 科学研究方法可以分为理论分析、科学实验、科学计算。理 论分析和科学实验大家比较熟知，那什么是科学计算呢？许多 复杂的问题需要借助计算机快速准确的数据处理能力，用计算 机处理数值问题的方法就是所谓的科学计算。数值分析这门课 的主旨就是将分析问题代数化，培养计算思维，研究如何借助 计算工具求得数值问题(问题本身反映了初始数据和要求的数值 型数据之间的某种确定性关系）的数值解。其实有数学以来就 有数值计算，数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、 数值分析在金融工程中的应用数值分析是一门应用数学的学科，通过使用数学和计算方法分析和解决实际问题。在金融工程中，数值分析被广泛应用于各种金融模型的建立、风险管理和投资决策等方面。本文将探讨数值分析在金融工程中的应用，并分析其在各个领域中的具体案例。 一、金融模型的建立 数值分析在金融模型的建立中发挥着重要作用。金融模型是指通过数学描述金融市场和金融产品的行为。常见的金融模型包括期权定价模型、风险评估模型和投资组合优化模型等。数值分析可以通过建立数学模型，利用各种数值计算方法对模型进行求解，从而得到模型的输出结果，进而对金融市场和金融产品进行评估和决策。 例如，在期权定价模型中，数值分析可以使用偏微分方程或蒙特卡洛方法对期权价格进行估算。偏微分方程方法通过将期权价格的变化看作是空间和时间上的变化，将期权定价问题转化为求解偏微分方程的问题。而蒙特卡洛方法则通过随机模拟方法，模拟出期权价格的多个可能路径，通过对这些路径的统计分析得到期权价格的估计值。 二、风险管理 风险管理是金融工程中至关重要的领域，数值分析在风险管理中发挥着重要作用。风险管理旨在评估和控制金融交易中的风险，以保护投资者的利益。常见的风险管理方法包括价值-at-风险（VaR）、条件VaR和蒙特卡洛仿真等。 数值分析可以通过计算金融产品的VaR来评估其风险水平。VaR是指在给定的置信水平下，在一定的时间内，金融产品的最大可能损失。数值分析可以通过使用历史数据和模拟方法，对金融产品的收益率进 行估计和模拟，得到VaR的近似值。这可以帮助投资者更好地了解其 投资组合的风险暴露，并做出相应的风险调整和决策。 三、投资决策 数值分析在投资决策中也起到至关重要的作用。投资决策涉及到选 择哪些金融产品进行投资以及分配资金的问题。数值分析可以通过对 不同投资策略的评估和比较，帮助投资者做出更为合理的投资决策。 一种常见的数值分析方法是资本资产定价模型（CAPM）。CAPM 是一个用于计算股票或证券的期望回报的模型，通过分析资本市场的 风险和回报关系，以及个股与市场回报的相关性，来估计某个股票的 期望回报。投资者可以利用CAPM模型来评估股票的投资魅力，并根 据其期望回报来进行投资决策。 综上所述，数值分析在金融工程中的应用广泛且重要。从金融模型 的建立到风险管理和投资决策等方面，数值分析都起到了不可或缺的 作用。借助数值分析的方法和工具，金融工程师能够更准确地评估金 融市场和金融产品的行为，并做出相应的决策和管理。随着数值分析 技术的不断发展，相信其在金融工程中的应用将发挥越来越重要的作用。 数学中的数值计算与数值分析数值计算是数学的一个重要分支，它研究如何利用计算机来处理数 学问题，特别是那些无法通过精确解析方法求解的问题。数值计算广 泛应用于各个领域，如物理学、经济学、计算机科学等。而数值分析 是数值计算的基础，它研究如何有效地计算和分析数值结果的稳定性 和准确性。 一、数值计算的基本方法 数值计算的基本方法主要有插值法、逼近法、求根法、数值积分和 数值微分等。插值法用于通过已知的离散数据来估计在两个数据之间 的未知数据，其中常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。逼 近法是用一个简单的函数或多个简单函数的线性组合来逼近复杂函数，常见的逼近方法有最小二乘逼近和插值逼近等。求根法则是寻找方程 的根，其中包括二分法、牛顿法和割线法等。数值积分和数值微分则 用于求解函数的积分和导数。 二、数值计算的误差与稳定性 数值计算中的误差分为截断误差和舍入误差。截断误差是由于计算 过程中对于无法精确表示的数值进行了近似处理所引入的误差，而舍 入误差则是由计算机对于浮点数的舍入运算引起的误差。当进行复杂 的数值计算时，误差会不断累积，因此数值分析需要考虑误差的稳定性。通过分析误差的来源和传播规律，可以选择合适的算法和参数， 以提高计算结果的准确性。 三、数值计算的应用领域 数值计算在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。在物理学中，数值计算可以用于求解微分方程和薛定谔方程，从而研究物质的性质和行为。在经济学中，数值计算可以应用于金融衍生品的定价和投资组合的优化。在计算机科学中，数值计算可以用于图像处理、机器学习和人工智能等领域。 四、数值分析的发展与挑战 数值计算和数值分析作为一个不断发展的学科，面临着许多挑战。首先是算法设计的挑战，如何设计高效、准确和稳定的算法是数值分析研究的重要课题。其次是计算机性能的挑战，随着计算机技术的不断发展，人们期望通过提高计算机性能来解决更加复杂和大规模的数值计算问题。最后是数值计算的可信度和可验证性问题，如何确保计算结果的准确性和可靠性是数值分析研究的一个重要方向。 总结起来，数值计算和数值分析是数学中重要的研究方向，它们为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。通过深入研究数值计算和数值分析，我们可以更好地理解和应用数学知识，推动科学技术的发展。 数值分析在计算机模拟中的应用数值分析是一门应用数学科学，广泛用于计算机模拟中，通过数学 方法和算法对实际问题进行数值计算和模拟。在计算机模拟中，数值 分析发挥着重要的作用，可以帮助我们更好地理解和解决复杂的现实 问题。本文将介绍数值分析在计算机模拟中的应用。 一、数值解法的基本思想 在进行计算机模拟时，我们常常遇到需要求解一些数学方程或者进 行复杂运算的问题。而准确求解这些问题往往是非常困难甚至不可能的。数值分析的基本思想就是通过近似的数值解法来解决这些问题， 将复杂的计算转化为计算机可以处理的数值计算问题。在这个过程中，我们需要选择合适的数值方法，并进行相应的数值计算。 二、数值线性代数 数值线性代数是数值分析的重要组成部分，它主要研究如何在计算 机上高效地求解线性方程组和矩阵的特征值问题。线性方程组是很多 计算机模拟中的基本问题之一，通过数值线性代数的方法可以有效地 求解线性方程组，从而得到问题的数值解。在计算机模拟中，我们常 常需要求解大规模的线性方程组，数值线性代数的方法可以提供高效 的求解算法。 三、插值与拟合 在计算机模拟中，我们经常遇到需要根据一些离散的数据点来进行 插值和拟合的情况。插值和拟合是数值分析中的基本问题，它们的目 标是通过已知的数据点来推断其他位置的函数值。插值方法可以在给定的数据点上准确地插出一条曲线，而拟合方法则可以通过一条曲线来近似拟合数据点。这些方法可以帮助我们在计算机模拟中更好地分析和预测数据的变化趋势。 四、数值微积分 在计算机模拟中，我们需要对函数进行求导、求积分等运算。数值微积分就是研究如何通过数值方法来求解微积分问题。数值微积分的方法包括数值积分、数值微分等，可以帮助我们在计算机模拟中进行各种复杂的数学运算。 五、数值优化 数值优化在计算机模拟中也扮演着重要的角色。优化问题是指在一定的限制条件下，寻找函数的最大值或最小值。数值优化的方法可以通过计算机来进行搜索和优化，从而得到问题的最优解。在计算机模拟中，我们常常遇到需要通过优化来求解最优参数或者最优方案的问题，数值优化的方法可以帮助我们快速找到最优解。 六、误差分析 在进行计算机模拟时，我们需要意识到数值计算存在误差。误差分析是数值分析中一个非常重要的方面，它帮助我们评估数值计算的准确性和可靠性。通过误差分析，我们可以了解数值计算的误差来源，优化数值计算的精度，从而提高计算机模拟的准确性。 准确数与近似数之差，即。 绝对误差限即为绝对误差的上界，即 . 对于的近似值，若误差，则有位有效数字。 例如，的近似值有五位有效数字。 记为的相对误差，相对误差即为相对误差的上限，即 设近似值有位有效数字，则其相对误差限为： 设近似数与的误差限分别为与，则他们的四则运算后的误差限为： 对于，计算时的误差限为： 若误差在计算过程中越来越大，则算法不稳定，即初始误差在计算中传播导致误差增长很快。否则算法是稳定的。例如，要计算： 第一个算法是不稳定的，因为误差，误差随迭代次数而增加；第二个算法是稳定的，因为误差，误差会逐渐减小。 避免除数绝对值远小于被除数绝对值避免相近数相减避免大数吃小数 已知，由Lagrange插值法可得插值多项式： 其中， .显然， 称为插值基函数。 Lagrange插值的截断误差/插值余项为： 其中， k阶差商： 差商有以下性质： 1. k阶差商可表示为的线性组合，即： 2. 差商有对称性。即 3. 计算差商时，可以作差商表： 你乎表格里为什么不能插入公式 Newton插值多项式为： *注：实际上，用Newton插值法和用Lagrange插值法得到的同次插值多项式是完全相同的，因此截断误差也是完全一致的。这是因为插值多项式具有唯一性。下面简单说明一下。 对于Lagrange插值公式： 一点零次插值： 两点一次插值： 三点两次插值： 以此类推，可以得到， 其中， . 显然，有： 因此，二者的插值余项也完全相同，即： 给定的函数关系中含有导数的插值即称为Hermite插值。书上写的很乱，我个人认为有一种方法可以完美解决，因为对$n$次插值的多项式是完全一样的，无所谓用哪一种方法 --- 带重节点的差商表。 数学中的数值分析方法 数值分析方法是数学中的一个重要分支，其主要的研究对象是 各种数学计算方法的精确性、有效性和稳定性等问题。在数理科 学中，数值分析方法已经成为一种重要的分析工具，它不仅能够 帮助人们更加深入地理解数学理论，而且也能够应用于生产、科 学研究和工程实践等多个领域。本文将就数学中的数值分析方法 做深入探讨。 1. 插值法 插值法是数值分析中最常见的方法之一，其主要目的是在已知 散点数据的情况下，通过寻找一条光滑函数，来准确地预测未知 数据的结果。常见的插值方法有牛顿插值法、拉格朗日插值法以 及埃尔米特插值法等。这些方法都具有自己的特点和优缺点，需 要根据具体情况选择使用。例如在原始数据连续性较好的情况下，可以采用拉格朗日插值法，而在数据不连续或者呈现突变性质时，可以采用埃尔米特插值法。 2. 求解方程 求解方程问题在数值分析中也是非常重要的一种计算问题，通 常可以通过二分法、牛顿法以及迭代方法等常见的算法来解决。 这些方法在实际工程和科学研究中也广泛使用，例如在工程中解 决非线性压缩问题时，便可以采用迭代法进行求解。 3. 数值积分 数值积分是另一个常见的数值分析问题，其主要目标是在已知 函数的情况下，通过适当的积分方法来计算其积分值。常见的数 值积分方法有梯形法、辛普森法以及龙格-库塔法等，这些方法都 具有不同的精确性和计算效率。例如在贯穿科学研究的导论性理 论中，数值积分方法被广泛应用于求解产生复合误差的复杂积分 问题。 4. 微分方程 微分方程是数学中一个重要的概念，但是由于大多数微分方程 并没有精确的解析解，因此需要采用数值分析的方法来进行求解。常见的微分方程数值分析方法有欧拉方法、龙格-库塔方法等，这 些方法的精确性和稳定性也不尽相同。 数学专业的数值分析研究 数值分析是应用数学的一个重要分支，它研究在计算机上对各种数学问题进行数值计算的方法和技巧。数值分析在实际工程中有着广泛的应用，尤其在数学专业的学生中备受关注。本文将着重介绍数学专业中的数值分析研究方向，包括其发展背景、主要内容和方法等。 一、数值分析研究的背景和意义 在数学专业中，数值分析是一个重要的研究方向，它致力于寻找各种数学问题的近似解，为实际问题提供可行的数值计算方法。随着计算机技术的不断发展，数值分析已经成为各个学科领域必不可少的工具之一。在科学计算、工程设计、金融分析、数据处理等领域中，数值分析的应用几乎无所不在。 数值分析的研究对于数学专业的学生来说具有重要的意义。首先，数值分析提供了一种实际问题求解的数学方法，帮助学生更好地理解和应用数学知识。其次，数值分析的研究可以培养学生的计算思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学建模与计算能力。最后，数值分析的研究对于学生的职业发展具有积极的促进作用，能够为他们在科研、教学、工程技术等方面提供更多的就业机会。 二、数值分析研究的主要内容 数值分析研究的主要内容包括数值逼近、插值与外推、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等方面。下面将对其中几个重要的内容进行简要介绍。 1. 数值逼近 数值逼近是数值分析的基础，它研究如何用某种数值方法来求解一 个复杂的数学问题。常用的数值逼近方法包括泰勒级数展开、插值法、最小二乘逼近等。数值逼近的目标是通过有限的计算精度来获得尽可 能精确的数值解。 2. 插值与外推 插值与外推是数值分析的重要内容，它研究如何通过已知数据点构 造一个函数，使得这个函数在给定区间内与已知数据点尽可能拟合。 插值方法可以用于数据处理、曲线拟合等方面，外推方法则可以用于 预测和估计等问题。 3. 数值积分 数值积分是数值分析中的一项重要任务，它研究如何用数值方法来 计算一个函数的定积分。常用的数值积分方法包括梯形法则、辛卜生 公式、龙贝格法等。数值积分在各种工程设计和科学计算中都有广泛 的应用。 4. 常微分方程数值解 常微分方程数值解是数值分析的一个重要研究方向，它研究如何通 过数值计算方法来求解常微分方程的近似解。常微分方程数值解的研 究对于探索物理、生物、工程等领域的数学模型具有重要的意义。 5. 偏微分方程数值解 数学中的数值分析与科学计算方法研究进展数值分析与科学计算方法是应用数学的一个重要分支，研究如何利 用数学模型和计算机算法解决实际问题。在过去的几十年中，这个领 域取得了长足的发展，不断推动着科学技术的进步和应用的广泛运用。本文将对数学中的数值分析与科学计算方法的研究进展进行综述。 一、数值分析 1. 插值与逼近 插值与逼近是数值分析中的基础内容，旨在通过已知数据点的函数 值来推导出函数的近似表达式。近年来，随着计算机计算能力的提高 和数值算法的优化，插值与逼近方法得到了广泛的应用和发展。其中，基于样条函数的插值方法成为了一种重要的手段，能够利用多项式构 造函数曲线，使得插值结果更加平滑。 2. 数值积分与微分方程 数值积分与微分方程求解是实际问题中常见的需求，例如工程计算、物理建模等。近年来，针对高维问题的积分与微分方程求解方法成为 了研究热点。通过引入更加高效的数值算法和快速计算技术，研究者 们不断提高积分与微分方程求解的精度和效率。 3. 矩阵计算与线性方程组 矩阵计算与线性方程组是数值分析中的经典问题，其在科学计算中 有着重要的地位。近年来，随着大规模矩阵计算和线性方程组求解需 求的增长，研究者们提出了许多高效的算法，如迭代法、预处理技术 和并行计算等，使得矩阵计算和线性方程组求解变得更加快速和稳定。 二、科学计算方法 1. 优化算法 优化算法是科学计算方法中的核心内容，主要研究如何在给定的约 束条件下找到函数的最优解。近年来，随着深度学习和机器学习等技 术的快速发展，研究者们提出了一系列新的优化算法，如梯度下降法、遗传算法和蚁群算法等，有效地解决了高维和非线性优化问题。 2. 数据挖掘与机器学习 数据挖掘与机器学习是科学计算方法的重要应用领域，其研究如何 从大规模的数据中挖掘出有价值的信息和模式。在过去的几十年中， 研究者们提出了许多高效的数据挖掘和机器学习算法，如支持向量机、神经网络和决策树等，使得数据分析和预测成为了可能。 3. 大规模计算与并行计算 随着计算机硬件性能的提升，大规模计算和并行计算成为了科学计 算方法的重要发展方向。研究者们通过设计高效的并行算法和利用分 布式计算平台，使得大规模计算和并行计算变得更加快速和可行。这 些算法和技术在气象模拟、地震模拟和基因组学等领域得到了广泛的 应用。 总结起来，数学中的数值分析与科学计算方法在近年来取得了长足 的发展，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。未来随着计算 数值分析和数值优化是数学中两个非常重要的分支，它们在现代科学和工程领 域中起着至关重要的作用。数值分析是一门研究利用计算机进行数学计算的学科，它主要关注如何有效地解决数学问题。而数值优化则是以数学规划为基础，寻找最佳解或最优解的过程。 数值分析的主要目标是通过构造算法和方法来近似和解决各种数学问题，例如 求解非线性方程、插值和逼近、微积分和微分方程等。在科学和工程领域中， 许多问题都可以转化为数学模型，并通过数值方法得到近似解。数值分析的发 展使得我们能够更好地理解和处理这些实际问题。 数值优化与数值分析有着密切的联系，它是数值分析中一个重要的分支。数值 优化的目标是在给定的约束条件下，寻找一个最佳解或最优解。这个过程通常 涉及到问题的建模、算法和迭代搜索等技术。数值优化在各种领域中都有广泛 的应用，例如金融学、运筹学和人工智能等。 在数值分析和数值优化中，算法设计是一个重要的环节。一个好的算法可以大 大提高计算效率，并保证结果的准确性和稳定性。算法的设计涉及到问题的特 性和数学模型的推导。在数值优化中，常用的算法包括梯度下降法、牛顿法和 遗传算法等。而在数值分析中，常用的算法包括高斯消元法、插值算法和数值 积分等。 数值分析和数值优化的研究不仅解决了许多数学问题，也为其他学科的发展提 供了有力的支持。例如，在物理学中，数值方法的应用使得我们能够更好地理 解和预测自然现象。在工程学中，数值优化的技术帮助我们设计和改进各种工 程系统。而在经济学和金融学中，数值分析和数值优化的方法可以用来优化投 资组合和风险管理等问题。 总之，数值分析和数值优化在现代科学和工程领域中起着重要的作用。它们通 过算法和方法的构造，使得我们能够更好地近似和解决各种数学问题，并寻找 最佳解或最优解。随着科学技术的发展，数值分析和数值优化的研究将继续深入，并给人类社会带来更多的发展和进步。 数学的数值分析 数学的数值分析是一门研究利用数值方法解决数学问题的学科。它 主要涉及计算数值结果、误差分析和算法设计等内容。数值分析在科 学研究和工程实践中起着重要的作用，能够帮助解决各种实际问题。 本文将介绍数学的数值分析的概念、方法和应用。 一、概念 数值分析是一种利用计算机和数值方法进行数学计算的方法。它通 过将数学问题转化为近似计算问题，并利用数值方法得到近似解。数 值分析主要关注以下几个方面： 1. 计算数值结果：数值分析能够通过计算机程序得到数学问题的数 值结果。对于复杂的数学问题，无法直接求解解析解，而数值分析可 以通过逼近、迭代等方法得到近似解。 2. 误差分析：数值分析考虑了数值计算中的误差问题。由于计算机 的存储和运算精度有限，数值计算中存在着舍入误差等问题。数值分 析能够通过误差分析来评估数值计算结果的准确性。 3. 算法设计：数值分析需要设计和选择合适的计算算法。不同的数 学问题需要使用不同的数值方法来求解。算法设计是数值分析的关键，它影响到数值计算的效率和准确性。 二、方法 数值分析中常用的方法包括插值、数值积分、解微分方程等。 1. 插值：插值是一种通过给定数据点，构造一个函数来逼近给定数 据的方法。常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。插值方法 被广泛应用于数据处理、图形绘制和函数逼近等问题。 2. 数值积分：数值积分是通过数值方法计算函数的积分值。数值积 分方法可以根据被积函数的性质和问题的要求选择，如复化求积公式、龙贝格法和数值微分等方法。 3. 解微分方程：解微分方程是数值分析中的一个重要问题。微分方 程描述了许多自然和工程现象的规律，但大部分情况下无法求得解析解。数值分析提供了求解微分方程的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔 法等。 三、应用 数学的数值分析在科学研究和工程实践中有广泛的应用。 1. 科学研究：数值分析在物理学、化学、生物学等科学研究中起着 重要的作用。科学家们可以利用数值分析方法对实验数据进行处理和 分析，从而推导出规律和趋势。 2. 工程实践：数值分析在工程计算和模拟中有广泛应用。例如在结 构设计中，可以利用有限元方法进行数值模拟分析，从而评估结构的 强度和稳定性。 3. 金融领域：数值分析在金融领域的风险管理和投资决策中发挥着 重要的作用。例如，利用数值分析方法可以对金融衍生品进行定价和 风险评估。 数值分析在模拟与仿真中的应用 数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，它在现代科学和工程领 域中扮演着重要的角色。在模拟与仿真领域，数值分析的应用更是不可或缺的。本文将探讨数值分析在模拟与仿真中的应用，并从不同角度阐述其重要性。 首先，数值分析在模拟与仿真中的应用可以帮助科学家和工程师更好地理解和 预测现象。通过建立数学模型，并利用数值方法进行计算，可以模拟出各种复杂的现象和系统。例如，在天气预报领域，科学家可以使用数值模拟方法来模拟大气运动和气象变化，从而准确地预测未来的天气情况。在工程领域，数值分析可以帮助工程师模拟各种物理过程，如流体力学、结构力学等，以评估设计的可行性和性能。通过数值模拟，科学家和工程师可以更好地理解和预测各种现象，从而为实际应用提供指导。 其次，数值分析在模拟与仿真中的应用可以提高效率和降低成本。传统的实验 方法通常需要大量的时间、人力和物力投入，而且往往受到各种限制，如实验条件的控制和观测误差的影响。相比之下，数值模拟可以通过计算机进行快速、准确和可控的计算，大大提高了工作效率。此外，数值模拟还可以减少实验过程中的试错成本和资源浪费。通过在计算机上进行模拟和仿真，科学家和工程师可以在实际实验之前对系统进行多次优化和改进，从而降低设计的风险和成本。 再次，数值分析在模拟与仿真中的应用可以推动科学和技术的进步。通过数值 模拟，科学家和工程师可以更深入地研究各种现象和系统，发现其中的规律和机制。例如，在生物医学领域，科学家可以使用数值模拟方法来研究人体的生理过程和疾病的发展机制，从而为疾病的诊断和治疗提供新的思路和方法。在材料科学领域，数值模拟可以帮助科学家设计和优化新材料的性能，从而推动材料科学的发展。通过数值分析的应用，科学和技术可以不断地取得新的突破和进步。 最后，数值分析在模拟与仿真中的应用也存在一些挑战和问题。首先，数值模 拟的结果往往受到模型的简化和假设的限制，可能与实际情况存在一定的差距。其 数值分析是一门涉及使用数值方法解决实际问题的学科，它不仅在科学研究中起着重要作用，而且在工程领域中也广泛应用。数值分析的基础是数学，而数学是一门思政知识的体现。本文将通过逐步思考的方式，介绍数值分析中涉及到的几个思政 知识点。 首先，我们来思考数值分析的基本原理。数值分析是从数值问题出发，通过数 学建模、求解和分析等方法，得到问题的近似解。在这个过程中，我们需要依靠数学的基本概念和原理进行推演和计算。这就要求我们在学习数值分析的同时，也要加强对数学原理的学习和理解。只有这样，我们才能更好地应用数值方法解决实际问题。 其次，我们思考数值分析的应用领域。数值分析广泛应用于自然科学、工程技 术和社会科学等领域。在自然科学中，数值分析可以用来模拟和预测天气、地震等自然现象的变化规律。在工程技术中，数值分析可以用来优化设计方案、评估工程结构的安全性。在社会科学中，数值分析可以用来分析经济数据、预测市场趋势等。通过思考数值分析的应用领域，我们可以认识到数值分析对于推动科技进步和社会发展的重要性。 第三，我们思考数值分析中的伦理道德问题。在进行数值分析的过程中，我们 需要处理大量的数据，并进行计算和模拟。这就要求我们要保护数据的隐私和安全。同时，我们也要遵守学术道德，不得篡改数据、伪造结果等行为。只有遵守伦理道德规范，才能保证数值分析的科学性和可信度。 最后，我们思考数值分析的发展趋势。随着计算机技术的不断发展，数值分析 也取得了巨大的进步。高性能计算机的出现，使得我们可以处理更加复杂和大规模的数值问题。同时，人工智能技术的应用也为数值分析提供了新的思路和方法。通过思考数值分析的发展趋势，我们可以认识到数值分析与科技的密切关系，以及人类对于科技发展的不断追求。 综上所述，数值分析是一门重要的学科，它不仅涉及到数学知识，还涉及到思 政知识。通过逐步思考数值分析的基本原理、应用领域、伦理道德问题和发展趋势，我们可以更好地理解和应用数值分析。因此，我们应该加强对数值分析的学习，不断提升自己的数学水平和思政素养，为推动科技进步和社会发展做出贡献。 数值分析的名词解释 数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。它通过将数学问题转 化为数值计算的形式，利用计算机进行求解。数值分析常被应用于物理学、工程学、经济学等领域，它在实际问题的建模与求解中发挥着重要的作用。 一、插值与外推 在数值分析中，插值与外推是重要的概念。插值是指通过已知数据点来估计未 知数据点之间的值。对于一些实际问题，我们无法直接得到连续函数的所有取值，而只能通过有限个数据点进行估计。通过插值方法，我们可以根据已知数据点推算出两个数据点之间的值。外推则是将已知数据点的估计结果延伸到未知数据点的估计。插值和外推可以帮助我们在有限数据条件下获得更完整的信息，进而做出准确的预测。 二、数值积分 数值积分是数值分析中常见的任务之一。积分是数学中一个重要的概念，用于 描述曲线和曲面的面积、曲线的长度等。在实际问题中，我们往往需要对复杂的函数进行积分，而解析求解往往困难重重。此时，数值积分的方法就可以派上用场了。数值积分使用离散的点来近似曲线下的面积，从而获得积分的近似值。不同的数值积分方法在精度和计算复杂度上有所不同，根据不同的问题需求选择合适的数值积分方法非常重要。 三、线性代数方程组求解 线性代数方程组是数值分析中的重要问题之一。在许多科学和工程领域中，我 们常常需要解决大规模的线性方程组。然而，直接求解线性方程组往往需要巨大的计算量和内存空间，因此，数值分析中研究如何高效地求解线性方程组就显得尤为重要。常用的方法包括直接法和迭代法。直接法包括高斯消元法、LU分解等，而 迭代法可以通过迭代逼近的方式不断优化解的精度，例如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。在实际求解中，我们常常需要根据问题的特点选择最适合的方法。 四、数值微分方程 微分方程是描述自然现象变化规律的重要数学工具。数值分析中的数值微分方程求解问题是研究如何使用计算机近似求解微分方程。这在许多科学和工程领域中具有重要应用。常见的数值微分方程求解方法包括欧拉方法、龙格-库塔方法等。这些方法通过将微分方程转化为差分方程，使用离散的时间间隔来逼近连续的时间变化，从而得到微分方程在离散时间点上的近似解。 五、误差分析 数值分析中的误差分析是对数值计算结果的精确度进行评估和控制的过程。在实际计算中，由于测量误差、截断误差以及舍入误差等原因，数值计算的结果往往与真实值有一定的偏差。误差分析的目的是为了评估这些误差，并找到合适的方法来减小误差。常用的误差估计方法包括绝对误差和相对误差的计算。误差分析在数值计算的准确性和可靠性方面起着关键作用。 综上所述，数值分析作为一门重要的学科，通过插值与外推、数值积分、线性代数方程组求解、数值微分方程以及误差分析等方法，帮助我们解决了许多实际问题。它在科学研究、工程设计以及决策分析等领域都具有重要的应用，为我们提供了强大的求解和优化工具。随着计算机技术和数值算法的不断发展，数值分析将继续为我们提供更加精确和高效的解决方案。 数学中的数值分析 数值分析是应用数学的一个分支领域，主要研究如何使用数值方法 来解决实际问题。它涉及到了数学模型的建立、算法的设计和数值计 算的实施等方面。在现代科学和工程领域，数值分析起着至关重要的 作用，因为很多现实问题往往很难通过解析方法获得准确的解决方案。本文将介绍数值分析的基本概念和一些常用的数值方法。 一、数值分析的基本概念 数值分析是一门研究如何应用计算机来处理数学问题的学科。它主 要研究以下几个方面： 1. 数学模型的建立：数值分析的第一步是要将实际问题抽象为数学 模型。这个模型可以是一个方程、一个函数或者一个算法等。通过数 学模型的建立，我们可以将实际问题转化为一个数学问题。 2. 数值方法的设计：数值分析的核心是设计数值方法来解决数学问题。数值方法是一种数学算法，它通过一系列数值计算来逼近解析解。常用的数值方法有插值法、数值积分法、数值微分法等。 3. 数值计算的实施：数值方法实施的关键是要进行数值计算。数值 计算需要使用计算机来进行，它通常涉及到矩阵运算、迭代计算、逼 近计算等。 二、常用的数值方法 1. 插值法：插值法是一种用于在已知数据点之间估算未知数据点的 方法。常用的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。插值法可 以在一定误差范围内逼近真实的数据变化情况。 2. 数值积分法：数值积分法是一种通过数值计算来近似计算定积分 的方法。常用的数值积分方法有梯形法、辛普森法、龙贝格积分法等。数值积分法可以在不求解原始函数的情况下，获得定积分的数值近似 结果。 3. 数值微分法：数值微分法是一种通过数值计算来近似计算导数的 方法。常用的数值微分方法有前向差分法、后向差分法、中心差分法等。数值微分法可以在较小的误差范围内计算函数在某个点的导数。 三、数值分析的应用领域 数值分析广泛应用于科学计算、工程分析等领域。下面将介绍数值 分析在几个具体领域中的应用。 1. 物理学：数值分析在物理学中有着广泛的应用，特别是在天体力学、量子力学以及流体力学等方面。通过数值模拟和数值计算，可以 模拟各种物理现象，预测天体的运动轨迹，求解量子力学的薛定谔方程，模拟流体的流动行为等。 2. 工程学：数值分析在工程学中有着重要的应用，特别是在结构力学、电磁学以及流体力学等方面。通过数值计算，可以模拟各种复杂 结构的受力情况，优化电磁场的分布，模拟流体的传热传质行为等。 Chebfun系统下对《数值分析》课程教学的新认识 1 引言 《数值分析》是计算数学方向的基础课程，是教授针对实际问题设计数值算法的一门课程。这门课程主要研究数值逼近问题、数值积分问题、微分方程数值解问题以及线性方程组数值解问题等，是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的专业基础课，也是统计学专业必修的专业课之一。《数值分析》课程具有集数学理论与程序设计于一身的特点。在实际教学中，教师既需要以严谨的科学性传递给学生基本数学知识，又要教授学生在计算机上实现算法的能力。 2 课程发展现状 我国电子计算机的应用始于上世纪50年代，为了满足其对高素质科学计算人才的需求，国内大学相继开设了数值计算方法、程序设计等课程。1977年10月的教材会议上，计算数学的专业基础课被划分为三个方向，即数值逼近、数值代数以及微分方程数值解。分别采用李岳生和黄友谦编写的《数值逼 近》[1]，黄志浩、张玉德和李瑞遐编写的《矩阵计算与方程求根》[2]以及李荣华和冯果忱编写的《微分方程数值解法》[3]作为教材。之后，计算数学专业经历了两次改名，分别是1987年更名为计算数学及其应用软件专业，1998年更名为目前的信息与计算科学专业。从这两次的更名可以看出计算数学的专家学者已经深刻意识到，计算数学既是一门数学科学又是一门语言科学。在更名为信息与计算数学专业后，计算方法课程在原先三门课的基础上更名为《数值分析》。其内容包括之前的数值逼近、数 值代数以及微分方程数值解三个部分。 当代学者一般认为，《数值分析》课程存在课程教学内容多、教学学时少，教学过程中重视理论、忽视应用，教学过程中缺少“可视化”过程，课程考核方式不合理等问题[4]。针对这些问题，现有文献给出了许多改革建议。例如，李小林认为本课程的实践教学环节可分为两方面的内容[5]。一方面让学生对典型的算法进行学习，另一方面在课程结束后，让学生分组完成一些综合性课题。针对地质工程数值法的教学问题，黄雨和刘铖玮提出目前教材的教学内容更新慢，且过于繁琐。在实际教学中，应该注重因材施教，灵活调整教学重点[6]。刘秀娟，李久会和徐美进指出本课程的考核方式应趋于科学化、合理化。总评成绩应包含平时成绩、上机成绩和期末成绩。其中平时成绩主要考核学生的学习态度，上机成绩主要考察学生上机解决问题的能力，而期末成绩主要考查学生对基础知识的理解[7]。下面，我们将以Chebfun系统为基础，探讨《数值分析》课程改革的新方向。 3 教学改革建议 Chebfun系统是牛津大学的Nick Trefethen教授在Matlab环境下开发出的可供计算数学科研人员与教学人员使用的工具箱。 3.1 课程内容多，教学课时少 由于本课程涵盖的内容广泛，包括微积分、线性代数、常微分方程、泛函分析等，学生必须在具有牢固的基?A上才能学好本课程。为了解决这一问题，授课教师可以根据学生的实际情况选择合适的教材，或者自行编写适合本学校的教材。这不仅可以提高教学效率，而且可以提高学生对本数值分析的意义-以土力学为例
计算数学(数值分析)的基本概念
数值分析与计算方法的基本原理
数值分析在数学建模中的应用
对数值分析的认识
数值分析在金融工程中的应用
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Chebfun系统下对《数值分析》课程教学的新认识5页