用计算器解方程(牛顿法)

【教程】用计算器解方程（牛顿法）（转自土木论坛）

一、前言

很多计算器都自带利用标准式解方程的功能，解方程式，需要手动输入abc的值。但这样往往需要化简出abc到底是多少，这样容易计算错误，还加大了计算量，往往在注册考试中不实用。下面我介绍一个直接的方法，无需化简公式，就可以解出结果的方法。

二、利用此方法的好处

可解决所有公式变形问题，利用牛顿法解方程，一元方程可直接出结果，一元多次方程无需化简成标准形式，直接求解，大大节省化简、变形公式时间。提高做题效率，解决重复简单计算的厌恶感。提高做题准确率。

三、牛顿法解方程具体步骤

1、你的计算器是否有此功能

大多数科学计算器都长的差不多，但是考友们手里的计算器是否有该功能那就不一定了。无论是手算解方程还是计算器自动解方程，只要是方程，就有两个必不可少的元素：“等号=”，“未知数x”。以卡西欧fx-991es plus型号计算器举例，此型号计算器如图所示。只要带“等号=”、“未知数x”的科学计算器，就有解方程功能。需要注意的是，这里说的“等号=”并不是如图所示右下角的“=”，而是左上角那个红色的“=”。

细心的同学会发现，黄色的1号上档键SHIFT，对应的都是标志有黄色字体的功能；红色的2号上档键ALPHA，对应的都是标志有红色字体的功能。

2、输入方程

以解5x-9=3为例，这是一个简单的一元一次方程。而我们只需要把方程输入到计算器中，即可解出x。具体输入方法如下：

（1）按数字“5”

（2）按“2号上档键”，再按“方程中的未知数x键”。即：红色的ALPHA和白色的右半边括号。这样我们就输入了未知数x

（3）按“-”，再按“9”

（4）按“2号上档键”，再按“方程中的等号键”。即：红色的ALPHA和白色的CALC。这样我们就输入了“=”

（5）按数字“3”

3、解方程

做到这里，我们的方程就已经输入好了。接下来我们解方程。

（1）按“1号上档键”，再按“方程中的等号键”。即：黄色的SHIFT和白色的CALC。

（2）此时，屏幕上显示为“x=？”此处计算器让我们输入一个大概的x值，我们随便输入一个2或者3或者5甚至是50都可以。但是不能太离谱，如果我们输入了10000，那么计算器会计算很长时间才能出结果。这里，我们输入5后按右下角“常规等号键”。

（3）稍等片刻，计算器显示L-R=0，X=2.4。做到这步其实我们已经解出来X了，在此我解释一下L-R=0，意思是真实值与计算值没有偏差。也就是计算完成了。如果此处L-R不等于0，那么我们也不用着急，按“常规等号键”继续让计算器计算即可。

4、一元多次方程

解一元多次方程，与一元一次方程的解法基本一致，先输入方程再解方程。但这里需要说明的是，多次方程的解不唯一，而牛顿法只能解出这些解其中的一个，计算器给我们的结果是哪个解呢？是随机的么？

楼主告诉你，解不是随机的，而是一个我们解方程之前输入的那个与大概值的差最小的解。而这

牛顿迭代法

牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学；九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。插值函数插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include void main() { float x[11],y[11][11],xx,temp,newton; int i,j,n; printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x="); scanf("%f",&xx); printf("请输入插值的次数(n<11):n="); scanf("%d",&n); printf("请输入%d组值:\n",n+1); for(i=0;i

用牛顿迭代法求近似根

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第四题题目：用Newton 法求方程在 74 28140x x -+= （0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）. 解：此题是用牛顿迭代法求解近似根的问题 1. Newton 迭代法的算法公式及应用条件：设函数在有限区间[a,b]上二阶导数存在，且满足条件 ⅰ. ()()0f a f b <; ⅱ. ()''f x 在区间[a,b]上不变号； ⅲ. ()'0f x ≠; ⅳ. ()()'f c f c b a ≤-，其中c 是a,b 中使()()''min(,)f a f b 达到的一个. 则对任意初始近似值0[,]x a b ∈，由Newton 迭代过程 ()()() 1'k k k k k f x x x x f x +=Φ=-，k=0，1，2… 所生成的迭代序列{ k x }平方收敛于方程()0f x =在区间[a,b]上的唯一解а. 对本题： )9.1()9.1(0 )8(4233642)(0 )16(71127)(0 )9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f Θ 故以1.9为起点 ?? ???='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 2. 程序编写 #include #include void main() { double x0,x=1.9； do

牛顿法求非线性方程的根

学科前沿讲座论文班级：工程力学13-1班姓名：陆树飞

学号：02130827

牛顿法求非线性方程的根一实验目的（1）用牛顿迭代法求解方程的根（2）了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有关题目：用Newton 法计算下列方程（1） 013=--x x ，初值分别为10=x ，7.00=x ，5.00=x ；（2） 32943892940x x x +-+= 其三个根分别为1,3,98-。当选择初值02x =时给出结果并分析现象,当6510ε-=?，迭代停止。二数学原理对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。设已知方程f(x)=0有近似根x k (假定k f'(x )0≠) ，将函数f(x)在点x k 进行泰勒展开，有 k k k f(x)f(x )+f'(x )(x-x )+≈??? 于是方程f(x)=0可近似的表示为 k k k f(x )+f'(x )(x-x )=0 这是个线性方程，记其根为x k+1，则x k+1的计算公式为 k+1k ()x =x -'() k k f x f x ，k=0,1,2,… 这就是牛顿迭代法。

三程序设计（1）对于310x x --=，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newton implicit none real :: x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x ，函数f(x)和一阶导数f1(x) integer :: k write(*,*) "x(0)=" read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0) open(10,file='1.txt') do k=1,50,1 fx(k)=x(k-1)**3-x(k-1)-1 f1x(k)=3*x(k-1)**2-1 x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法 write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !输出变量：迭代次数k 及x 的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) if(abs(x(k)-x(k-1))<1e-6) exit !终止迭代条件 end do stop end （2）对于32943892940x x x +-+=，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newton implicit none

探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解

牛顿法 ——用导数方法求方程的近似解一、思考问题问题1：求方程x 3-1=0的解. 问题2：求方程x 3 +2x 2 +10x -20=0的解. 问题3：求方程x 3 +2x 2 +10x -20=0的近似解，精确度为0.001. 二、形成方法 1. 点A 横坐标为x 0，函数f (x )在点A 处的切线方程为： . （写成点斜式方程，结果用f (x 0)、f’(x 0)表示）问题4：可以求出x 1的值吗？如果可以，请写出关于x 1的解析式，结果用f (x 0)、f’(x 0)表示. 问题5：是否可以把x 1作为零点r 的近似解？ 2. 写出求x 2的解析式： . 3. 问题6：x n 与x n -1之间是否有关系？ 4. 这种用的方法求方程近似解即为，牛顿法公式： . 5. 问题7：x n 满足什么要求才可以作为近似解？精确度公式： . 例1. 用牛顿法求方程x 3 +2x 2 +10x -20=0的近似解. 精确度z 0=0.001. 解：令f (x )= x 3+2x 2+10x -20，则f ’(x )=3x 2+4x +10x . 取x 0= ， x n =x n -1-)(')(11--n n x f x f = x n -1-10 4)(32010)(2)(12112131++-++-----n n n n n x x x x x 所以：第一步: x 1= ，0 011=x x x z - ； A

第二步: 问题8：不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？三、化繁为简 1. 算法步骤第一步：给定初始值x 0和精确度z 0；第二步：第三步： 2. 程序框图四、感悟方法五、课堂小结 1. 通过这节课的学习，你有哪些收获？ 2. 牛顿法步骤？六、课后作业 1. 用牛顿法求方程x 3-3x -1=0在x =2附近的近似解，精确度z 0=0.01. 2. 求 25的近似值，精确度z 0=0.01. 七、课外延伸

实验五用Newton法计算方程的根.doc

五. 讨论分析当初始值选取离零点较远时将导致算法无法使用，例如第三题，将初始值改为2就无法计算出结果了，显示如下例如求020sin 35=-+-x x e x 的根，其中控制精度1010-=eps ，最大迭代次数40=M ,在steffensen 加速迭代方法的程序中，我们只需改动：it_max=40; ep=1e-10，其余不变。利用以上程序，我们只需输入： phi=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)^3-20'); [x_star,index,it]=steffensen(phi,0.5)可得： x_star = 0.637246094753909 index = 0 it = 41 观察上述结果，index = 0，it = 41表明迭代失败，所以使用以上方法估计的时候，应该尽量估计出解的范围，偏离不应过大，距离增加迭代次数增加，也有可能迭代失败六. 改进实验建议根据上述分析，我认为，应该先对函数作一个简图，方便知道解的大概位置，然后我们才将这个大概值代入Newton 法或者Steffensen 中进行求解。当然，我们可以用其他数学软件实现Newton 迭代法，我们可以用z-z 超级画

板，其操作流程为：牛顿迭代法的公式是：x n+1=x n-f(x n)/f'(x n)。下面我们就用牛顿迭代法设计程序求方程f(x)=ln(x)+2*x-6的近似解。（一）观察方程f(x)=0的零点位置（1）显示坐标系的坐标刻度。（2）作出函数y=ln(x)+2*x-6的图像，如下图所示：可以观察到方程的根在区间[2，3]上，我们可以设定近似解的初始值为2。（二）设计求方程近似解的程序（1）在程序工作区中输入： f(x){ln(x)+2*x-6;} 执行后，返回结果为： >> f(x) # 这表示在计算机已经完成了函数f(x)的定义。（2）定义f(x)的导函数g(x)，在程序工作区中输入： Diff(f(x),x); 执行后，返回结果为： >> 2+1/x # 得到了f(x)的导函数。继续输入： g(x){2+1/x;} 这表示在计算机已经完成了函数g(x)的定义。（3）在下面输入： NewtonMethod(x0,h) { x=x0-f(x0)/g(x0); if(abs(x-x0)<=h){return x;} else{NewtonMethod(x,h);} } } 执行后，返回结果为： >> NewtonMethod(x0,h) #

C语言编程_牛顿迭代法求方程2

牛顿迭代公式设r 是f(x) = 0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（x0,f(x0)） f(x)的切线L ，L 的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L 与x 轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r 的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x 轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r 的二次近似值。重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r 的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程 f(x)=0似方法。把f(x)在 x0 f(x) = f(x0)+(x －x0)f'(x0)+(x －x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x －x0)-f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。牛顿迭代法又称牛顿切线法，它采用以下方法求根：先任意设定一个与真实的根接近的值x 0作为第一个近似根，由x 0求出f(x 0)，过(x 0,f(x 0))点做f(x)的切线，交x 轴于x 1，把它作为第二次近似根，再由x 1求出f(x 1)，再过(x 1,f(x 1))点做f(x)的切线，交x 轴于x 2，再求出f(x 2)，再作切线……如此继续下去，直到足够接近真正的x *为止。 ) ()()()(0' 0010 100' x f x f x x x x x f x f - =-= 因此，就是牛顿迭代公式。例1 用牛顿迭代法求方程2x 3-4x 2 +3x-6=0在1.5附近的根。本题中，f(x)= 2x 3-4x 2+3x-6=((2x-4)x+3)x-6 f ’(x)= 6x 2-8x+3=(6x-8)x+3 #include "stdio.h"

牛顿插值法的分析与应用

牛顿插值法的分析与应用学生：班级：学号：：指导教师：成绩：

一．定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠，称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。三.算法步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ；步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。（2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。步骤4：若i

Newton迭代法求解非线性方程

一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即： )x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1) 于是我们得到如下近似方程： 0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2) 设0)('≠k x f ，则方程的解为： x ?=x k +f (x k ) f (x k )? (1-3) 取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,… (1-4) 上式称为牛顿迭代格式。用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。牛顿法具有明显的几何意义。方程： )x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5) 是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。正因为如此，牛顿法也称为切线法。牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。若

要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k λ -=+, ?=,2,1,0k (1-6) 上式中，10<λ<，称为下山因子。因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算)x (f k 之外，还要计算 )x ('f k 的值。如果)x (f 比较复杂，计算)x ('f k 的工作量就可能比较大。为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。通常用如下几种方法： 1. 割线法如果用 1 k k 1k k x x ) x (f )x (f ----代替)x ('f k ，则得到割线法的迭代格式为： )x (f ) x (f )x (f x x x x k 1k k 1 k k k 1k --+---= (1-7) 2. 拟牛顿法如果用 ) x (f )) x (f x (f )x (f k 1k k k ---代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： )) x (f x (f )x (f ) x (f x x 1k k k k 2k 1k -+--- = (1-8) 3. Steffenson 法如果用 ) x (f ) x (f ))x (f x (f k k k k -+代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： ) x (f ))x (f x (f ) x (f x x k k k k 2k 1 k -+- =+

用牛顿迭代法求方程的近似解教学设计

用牛顿迭代法求方程的近似解一．内容与内容解析本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代曲的思想，同时强化算法思想。本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。二、目标和目标解析 1．复习和巩固用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。 2．探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。本节课的核心就是通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿迭代法的迭代原理，并能够通过图形计算器进行实际应用，提高了学生解决实际问题的能力。 3．培养学生利用图形计算器进行复杂计算和图形功能探究解决问题的能力。

牛顿迭代法求方程的根

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标x1=x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f'(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 /* 用牛顿迭代法求下面方程 x*x*x-5*x*x+16*x-80=0的实根的过程是：

利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组

利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组一、问题描述在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。二、算法基本思想牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。下面我们具体讨论线性化过程：令： ()()()()?? ?? ????????=????? ???????=????????????=0000,,2121 n n x x x x x f x f x f x F （3-1）则非线性方程组（3-2） ()()()0 ,,,0 ,,,0,,,21212211===n n n n x x x f x x x f x x x f （3-2）可写为向量形式 ()0=x F （3-3）？ ()0=x F 成为向量函数。

设()()() ()k n k k x x x ,,,2 1 是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端在()()() ()k n k k x x x ,,,2 1 处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（3-2）得近似方程组 ()()() ( ) ()()() () ()()()() ( )()()() () ()()() () ( ) ()()() () ()0 ,,,,,,0 ,,,,,,0 ,,,,,,1 21211 2122121 211211=???+=???+=???+∑∑∑===k j n j k n k k n k n k k n k j n j k n k k k n k k k j n j k n k k k n k k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f （3-4）这是关于()()()n i x x x k i i k i ,,2,1 =-=?的线性方程组，如果它的系数矩阵 ????????? ???????????????????????????????n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f 2 1 2221 2121 11 （3-5）非奇异，则可解得 () ()()???? ?? ? ???????---?????????? ??????????????????????????????=?????????????????-n n n n n n n k n k k f f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x 21 1 2 1 2221 2121 11 21 （3-6）矩阵（3-5）称为向量函数()x F 的Jacobi 矩阵，记作()x F ' 。又记

用牛顿迭代法求方程的近似解课堂评价

教学点评《用牛顿迭代法求方程的近似解》背景介绍：卢老师执教的《用牛顿迭代法求方程近似解》一课，是人教A版高中数学选修2-2第一章第二节后的“探究与发现”栏目的内容，由于此部分内容高考不考且高中阶段学生理解有一定难度，所以普通高中的正常教学中很少涉及，卢翔老师则进行了大胆的尝试。他任教的耀华中学是天津市市属重点校，本节课的授课对象是其任教的实验班学生，这些学生基本素质较好。本节课卢老师借助学案中的问题串，引导学生利用图形计算器展开了系列探究活动，取得了很好的教学效果。本节课的亮点与特色如下： 1.教学设计内容全面，符合课程改革理念卢老师本节课的教学设计包括：内容与内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教法分析、教学支持条件分析、教学过程设计和目标检测设计，内容全面详细，符合“全国中学青年数学教师优秀课评价标准（修订版）”对教学设计的要求。 2.教学目标定位合理，学科德育渗透到位卢老师教学设计中的目标定位准确、清晰、具体、具有一定的可操作性。整节课不仅强调了知识的获得，更强调了学生研究问题思路的获得，更难能可贵的是，卢老师深入挖掘了本节课的教学内容，以知识为载体，渗透了数学文化，也让学生感受了深入钻研、不断探索的精神，充分发挥了数学教学的育人功能。 3. 教学过程清晰流畅，难点突破顺利有效卢老师本节课通过“激发兴趣，引出问题；复习巩固，启发引导；问题引导，分析方法；探究切线，体验迭代；建立方法，完善理论；归纳整理，算法思想；总结提高，学以致用；科学研究，精神培养”这八个环节来完成，这八个环节环环相扣，清晰流畅，符合学生的认知规律，也及时检测了学生对知识的认知和掌握情况。本节课的重点和难点是牛顿迭代法的得出，卢老师引导学生类比二分法求方程近似解的研究思路，利用问题串，借助于图形计算器逐步引导学生解决了“迭代初始值、迭代公式、迭代运算、迭代终止条件、算法框图”等几个问题，突出了“逼近”的思想和“以直代曲”的思想。特别是借助图形计算器让学生体验以直代曲的思想，从而得出用切线法求方程近似解的思路，有效突破了本节课的教学难点。 4.教学方法以生为本，凸显学生主体地位

牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究

牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究摘要：牛顿迭代法是求解非线性方程的根的常用方法。在实际计算中往往会遇到重根情况，针对这种情况，我们在牛顿迭代法的理论基础上，探讨了三种不同的迭代格式。为了对比这三种方法，本文进行了两个实验，分别是含有重根的非线性方程求解问题实例和牛顿迭代法在求解购房按揭利率的应用实例。在分析运算结果后，得出了三种算法优势和劣势。关键词：牛顿迭代法；MA TLAB；重根 Abstract：Newton iteration method is a common method to solve the roots of nonlinear equations. In order to solve this problem, we discuss three different iteration schemes based on Newton iteration method. In order to compare the three methods, two experiments are carried out in this paper, one is the solving of nonlinear equations with heavy roots, and the other is the application of Newton iteration method in solving house mortgage interest rate. The advantages and disadvantages of three algorithms are obtained after analyzing the results. Key words：Newton iterative method；MA TLAB；Root weight

用牛顿迭代法求解近似根

{ x0=x； x=x0-(x0*x0*x0*x0*x0*x0*x0-28*x0*x0*x0*x0+14)/(7*x0*x0*x0*x0*x0*x0-28*4*x0*x0 *x0); } while(fabs(x-x0)>1e-5)； printf("x=%f",x)； } 3.打印结果 4.讨论分析 A．要用误差范围来控制循环的次数，保证循环的次数和质量。 B．编写程序过程中要注意标点符号的使用，正确运用适当的标点符号。C．Newton迭代法是局部收敛的，在使用时应先确定初始值。

非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法

《数值计算方法》实验报告实验名称：实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen 迭代法实验题目：分别用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程 010423=-+x x 在 [1, 2] 内的一个实根. 实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen 迭代法基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法 1）.简单迭代法的原理：将一元非线性方程：0)(=x f 改写成等价方程：)(x x ρ= ，对此，从某个初始值x0开始，对应式)(x x ρ= 构成迭代公式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ ，这样就可以确定序列 {}k x （k=0，1，2…）。如果 {}k x 有极限 *lim x x k k =∞→ ，由式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ 两边取极限可得 )(**x x ρ= ，可知 * x 为方程0)(=x f 的近似解。 2）Steffensen 迭代法的原理：通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。

()???? ?????+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2) ()(21ρρ []x x x x x x x +---=)(2)(()()(2ρρρρψ 实验环境：操作系统：Windows 7；实验平台：Turbo C++ 实验过程：写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果 1）简单迭代法的算法： Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数N Output:近似解x 或失败信息 1. n ←1 2. While n ≤N do; 3. x ←f(x0); 4. if | x-x0|

matlab 牛顿插值法三次样条插值法

(){} 21 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)() ()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+ = 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和；、计算，；解释你所得到的结果。算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两种插值多项式的算法如下：一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：

计算方法实验三解线性方程组的迭代法

山西大学计算机与信息技术学院实验报告姓名学号专业班级课程名称计算方法实验实验日期成绩指导老师批改日期实验名称实验三解线性方程组的迭代法一、实验目的：用雅可比和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组A x=b，式中A为非奇异实矩阵。在给定迭代初值的情况下，进行迭代，直到满足精度要求。二、实验方法 (1)雅可比迭代法设系数矩阵A为非奇异矩阵，且a ij0≠ ，（i=1,2,3，......，n），从第i个方程中解出 x i ，得其等价形式： ) ( 1 ,1 x a a x i n i j j ij ii i b∑ ≠ = - = ，取初始向量 ) ,...., , , ()0( )0( 3 )0( 2 )0( 1 )0(x x x x x n = ，可建立相应的迭代公式： ) ( 1)( ,1 )1 (b x a a x i k j n i j j ij ij k i + - =∑ ≠ = + (2)高斯—赛德尔迭代法每计算出一个新的分量便立即用它取代对应的旧分量进行迭代，可能收敛更快，据此思想课构造高斯 —赛德尔迭代法，其迭代公式为 ) ,...., 2,0 (), ( 11 11 ) ( )1 ( )1 (n i b x a x a a x j i j n i j k j ij k j ij ij k i = + - - =∑∑ - =+ = + + 三、实验内容求使|| x x k k) ( )1 (- + ||20001 .0 ≤的近视解及相应的迭代次数。初值选为向量b。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - - - - - - - - - - 6 2 5 2 5 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 6 5 4 3 2 1 x x x x x x 四、实验程序雅可比迭代法代码：#include"stdio.h" #include"math.h" #define n 6 #define Nmax 100

计算方法-实验一牛顿插值法

计算方法课程设计报告实验一牛顿K次插值多项式姓名：黄仁化学号：031010151551017 班级：计算机科学与技术2004班日期：二○○六年六月十日

一、实验目的： 1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。 2、培养编程与上机调试能力。二、牛顿插值法基本思路与计算步骤：给定插值点序列（))(,i i x f x ,,,1,0,n i 。构造牛顿插值多项式)(u N n 。输入要计算的函数点,x 并计算)(x N n 的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面)(x N n 的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。牛顿插值法计算步骤： 1．输入n 值及（ ))(,i i x f x ,,,1,0,n i ；要计算的函数点x 。 2．对给定的,x 由 00010101201101()()(),()(),,() ()(),,n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x L L L 计算 ()n N x 的值。 3．输出()n N x 。三：程序流程图：

四：程序清单： function[c, d]=newpoly(x, y) %牛顿插值的MA TLAB实现 %这里x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。 %c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。 n=length(x);%取x的个数。 d=zeros(n, n); d(: , 1)=y'; f or j=2 : n for k=j : n d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1)) / (x(k)-x(k-j+1)); end

用牛顿迭代法求方程f

用牛顿迭代法求方程f(x)=x^3+x^2-3x-3=0在1.5附近的根。#include #include #define N 100 #define eps le-6 #define eta le-8 Float Newton(float(*f)(float),float(*f1)(float),float x0) { Float x1,d; Int k=0; Do { x1=x0-(*f)(x0)/(*f1)(x0); If(k++>N||fabs((*f1)(x1))

While(fabs(d)>eps&&fabs((*f)(x1))>eta); Return x1; } Float f(float x) { Return x*x*x+x*x-3*x-3; } Float f1(float x) { Return 3.0*x*x+2*x-3; } Void main() { Float x0,yo; Printf(“请输入迭代初值x0\n”); Scanf(“%f”,&x0); Printf(“x(0)=%f\n”,x0); y0=newton(f,f1,x0); Printf(“方程的根为%f\n”,y0); }

Eps=5e-6; Delta=le-6; N=100; K=0; X0=1.0; While(1) X1=x0-fun2_2(x0)/fun2_2_1(x0); K=k+1; If(k>n|abs(x1)