电磁学与电动力学(下)

第五章 电磁波的辐射

5.1 对时谐场(t

i e

ω-~),证明电场的计算公式?ω?-=A E i 和ωμ/j B E )(02-??=ic 等

效.

【证】 由A B ??=得

ωμωμ/j A A /j A E ])([])([02202-?-???=-????=ic ic

?ω?ω?-=??-??-?=A A

i t

c t c ic ]1)1([22222

, 利用delta = ik ，a/at = -iw 证毕.

5.2 从三维波动方程

),(412222

t f t

c r πψ

ψ-=??-?

的推迟势解

c

t t V d t f t |

r r |r r ,r r '--='''-''=

?|,|)(),(ψ 出发,计算脉冲式点激发源)()()()(),(t z y x t f ''''=''δδδδr 、无穷长直线脉冲式激发源)()()(),(t y x t f '''=''δδδr 和无限大平面脉冲式激发源)()(),(t x t f ''=''δδr 的推迟势解.你会发现,三维推迟势解的扰动仅限于半径为ct 的球面,而二维和一维解则在波前下游长期

维持扰动状态.试对此作出物理解释. 【解】 对脉冲式点激发源有

)(1|)

()()()(),(c

r

t r z d y d x d t z y x t -=''''-''''=?

δδδδδψ|r r r ,

迟势解的扰动仅限于半径为ct 的球面.

对长直线脉冲式激发源有

V d t y x t ''-'''=?

|

r r r |)

()()(),(δδδψ

?

∞

∞

-''-++'-++-=

z d z z y x c z z y x t 2

/122

2

222])([(}

/])([{δ.

利用δ函数的如下性质

∑-=-=i

i x

x x x dx df x f i

)()/())((1

δδ,

可将上述积分化为

∑?

∞∞--'=''-++'

'-''

'=i i i z z z z y x z d z z z d z df t y x i 2

/122

2

1

]

)([()()

(),,(δψ,

式中

c z z y x t z f /])([)(2/1222'-++-=', 0/])([)(2/1222='-++-='c z z y x t z f i i ,

t

c y x t c z z y x c z z z

d df i i z z i 22

/122222/1222][])([||--=

'-++'-=''='. 注意,)(z f '存在两个零点,对积分的贡献相同,总贡献为

2

/122

22/1222222][)

(2][)(2),,(ρρΘΘψ--=--+-=t c ct c y x t c y x ct c t y x , 式中Θ为单位阶跃函数,2

/122)(y x +=ρ.

无限面源可由上述线源结果叠加求得:

??∞

∞

-∞∞---+-==dy y x t c y x ct c dy t y x t x 2

/1222222][)

(2),,(),(Θψψ |)|(2][|)

|(22

222

222/12222x ct c y x t c dy

x ct c x t c x t c -=---=?---

ΘπΘ. 由线源和面源的结果可见,线源的波前为以源为轴、半径为ct 的圆柱面,面源的波前为与源

面平行、距离为ct 的平面.对于这两种情况,波前下游长期维持扰动状态.理由在于,源的尺寸无限,在任意时刻t ,总会有扰动信号抵达波前下游的任意位置.

5.3 半径为R 的理想导电球壳,为过球心的平面切成两半,分别加上交变电势t V ωcos ±.在长波近似(c R <<ω)下,求辐射功率角分布和总辐射功率. 【解】 在长波近似下,只需给出系统最低阶矩对辐射场的贡献.由2.9题之结果,系统的最低阶非零矩为偶极矩,且

z t V a e p ωπεcos 620=,

式中z e 为垂直于切割面的单位矢量.经写成复数形式有

z t i Ve a e p ωπε-=206.

将上述偶极矩代入偶极子辐射功率角分布和总辐射功率公式得

θωεθπμΩ22

p sin 89sin 32||32440220c

V a c d dP == , 3

2440302312||c

V a c P ωπεπε==p

. 5.4 对纯偶极矩电荷系统,其电偶极矩为)(t p ,电四极矩和更高阶矩,以及各阶磁矩均为零,

其矢势为

t

c r t c r t r c r t t ?-?≡--=

)

/()/(,4)/(),(0p p p r A πμ.

(1由洛伦斯规范条件0/2

=??+??t c ?A ,求对应的标势?;

(2)计算对应的磁场和电场（不作任何近似）;

(3)求时谐偶极子t i e t ω-=0)(p p 的矢势、磁场和电场表达式. 【解】 (1) 由洛伦斯规范条件求标势

???

??

???? ??-??+??? ??-??-=??-=??c r t r c r t r c c t p p A 1)1(4202

π

μ? ????????? ??-+??? ??-?=c r t cr c r t r r p

p e 1141

20πε. 将上式对时间积分得

???

?????? ??-+??? ??-?=

c r t cr c r t r r p

p e 1141

20πε?. (2)由电磁势求电场和磁场

??

?

?????+??+??+??=

?22330)()()()(41cr cr r r r p p r r p p r πε? ??

?

????-??-+??-=r r r r r r cr cr r e p e e p e p e p e p )(1)(3)(3412230 πε, p

p A r c r t 20041

4πεπμ==??,

t

??-

-?=A E ? ??

??????+-????? ????+=)(1

)(3141230p e e p e p e r r

r r cr r t c r πε, r cr r

r r e p p

p p

A B ???????+=????????+??=??= 2004114πμπμ. 上述诸式中,)/(c r t -p 被略写为p .

(3) 求时谐偶极子t i e t ω-=0)(p p 的矢势、磁场和电场表达式

对时谐偶极子,前面求得的电磁势和电磁场表达式中的p 应代之以

)](exp[)]/(exp[00t kr i c r t i ωω-=--p p ,或ikr e t )(p ,对时间的导数替换成乘子ωi -从

而写出相关表达式如下:

p r A r

e i t ikr

πωμ4),(0-=,

??

? ??-?=ikr r e ck r ikr 11)(420p e B πμ,

??

??????--?-=)()(3)1(42

3

0p e e p e p e E r r r r ikr r k r ikr e πε. 5.5 利用5.4题结果,证明时谐偶极子电磁角动量L 的平均辐射率为

)Im(12*0

3

p p L ?=πεk dt d , 式中c k /ω=,Im 表示虚部,*号表示共轭.(提示:利用恒等式

I nn

34sin 0

20πθθφπ

π=??d d , 式中r r /r e n ==,I

为单位张量.)

【证】 电磁角动量平均辐射率由下式表示

??????-=?-?=)]([)(r T n r T σL

d σd dt

d , 式中r T ?-

为平均电磁角动量流密度,

)/Re(0021μεB B E E I T **--=

w ,

w 为电磁能量密度.被积式可化为

B n B n E n E n n T n r T n ??+??=??=??**)()(021021r r r με .

对时谐电偶极子场来说(见5.4题),成立0=?*

B n ,上式右边第二项为零.由时谐偶极子的

电场表达式

??

??????--?-=

)()(3)1(423

p n n p n p n E r k r ikr e ikr

πε, 得 203042)(24)1(r ike r e ikr ikr ikr *-*-?≈

?+=?p n p n E n *

πεπε, p n p n p n E n ?≈???????+?--=

?r

e k r k r ikr e ikr ikr

022

3

4)1(4πεπε. 代入平均辐射率公式,过半径r 的大球面积分,得

????=*

φθθεπd d ik dt d sin )(16Re 0

23n p p n L ????

????????? ???=*??p nn p ππθθφεπ020023sin 16Re d d ik )Im(120

23p p ?=*

επk , 证毕.

5.6 绕z 轴作匀速圆周运动电荷的电偶极矩可表为如下复数形式:

t i y x e i qa ω-+=)(0e e p

式中q 为粒子电量,0a 为轨道半径,ω为转动角频率.由5.5题的结果,计算电磁角动量的平均辐射率,证明它的数值与平均辐射功率之比为ω/1. 【解】 对由5.5题结果得

)()Im(12)Im(1202023*

03y x y x i i a q k k dt d e e e e p p L +?-=?=πεπεz z c

a q a q k e e πωμπε662

023002023==, 其数值与与平均辐射功率(见5.4节例2)

c

a q P πωμ62

240=

之比为ω/1.

5.7 载有恒定电流的圆线圈绕其直径匀速旋转,半径为a ,电流强度为I ,角速度为ω,满足c a <<ω,求辐射场和辐射功率.

【解】 设0=t 时圆线圈的磁矩指向x e 方向,则圆线圈的磁矩为

])(Re[)sin (cos 22t i y x y x e i Ia t t Ia ωπωωπ-+=+=e e e e m .

代入磁偶极子辐射场和辐射功率公式求得如下结果:

r r y x t kr i r r ikr i e r

c Ia r c e e e e e e e m B ??+=??=-])[(4)(4)

(2202

0ωμπμ , r y x t kr i ikr r i e

cr

e Ia c e e e e B E ?+-

=?=-)(4)

(20ωμ,

r r y x r r i r

c a I r c e e e e e e m S 2

2

5042422320|)(|32||32?+=?=εωπμ . 由 φφ

θφφθθe e e e e i i r i y x ie e e i ++=+cos sin

得 )cos ()(θφφ

θe e e e e i e i i r y x +-=?+,

)(cos ])[(φθφθe e e e e e i e i i r r y x +-=??+,

代回上述公式,最终求得

)(cos 4)(22

20φθφωθωμe e B i e r

c Ia t kr i +=

+-,

)cos (4)

(3022φθφωθεωe e E -=+-i e r

c Ia t kr i ,

r r

c a I e S )cos 1(322

2

50424θεω+=.

5

04

246c

a I d P επω=?=??σS . 5.8 给定半波天线电流强度分布t i e z k I I ωλ--=)]25.0(sin[0,计算它的电偶极矩及电偶极

辐射总功率.将得到的结果与半波天线的总辐射功率)8/(44.22

00πμcI P =比较并做出解释.

【解】 电偶极矩和辐射总功率分别为

z t i //z t i e icI dz e z k I i

e e p ωλλωωλω---?=

-=

2

4

4

02)]25.0(sin[,

πμπμπε867.2312||2002003

02cI cI c P ≈

==p

. 电偶极矩辐射功率略大于半波天线的辐射功率,这是因为半波天线的四极矩和更高阶矩被忽

略,它们的辐射场与电偶极辐射场之间存在复杂的相位关系,叠加之后反而导致实际辐射功率小于单考虑电偶极矩成分得到的辐射功率.

第六章 运动电荷的辐射

6.1 从运动电荷的辐射场公式出发,证明: (1)n B E ?=c ,式中*

*

=R /R n ;

(2)在非相对论近似下,运动电荷的辐射场可表为

n B E n a B ?=?=

*

*

c cR

e ,40πμ. 【证】 (1)运动电荷的辐射场为

??

???????? ??-?=*****

*a v R R E R c c S e 14230πε, E R B ?=**cR .

注意,0=?E n ,于是有

E n E n E n E n n B =?-=??=?)()(c ,

(2)在非相对论近似下有

)(4)(40230**

*

***??=??=

a n n a R R E R

e c R e πμπε, n a a n n n E n B ?=???=?=***

*c

R e c R e c πμπε4)]([41030,

n B E ?=c .

证毕.

6.2 电荷q 、质量m 的非相对论粒子,在有心排斥势场)(r V 中做径向运动,自无穷远出发,运动至min r (该处粒子速度为零)发生反射,再返回至无穷远处. (1)证明在上述过程中,粒子发出的总辐射能为

?∞-??

?

??=

min )

()(23min 2

3

202

r r V r V dr

dr dV m c m q W πε.

(提示:利用势场中粒子运动方程和能量守恒关系计算粒子的加速度和速度.)

(2)设有心排斥势场为库仑场,即)4/()(0r qQ r V πε=,证明总辐射能为

)45

/(835

0Qc qmv W =,式中0v 为无穷远处粒子速度(提示:用到不定积分公式: ?

-++-=-x x x x

dx x 1)348(152

122

计算定积分.)

【证】 (1)由能量守恒,粒子的初始动能应等于min r 处的势能,即

)(2

1min 2

0r V mv =. 设粒子抵达r 处的速度为v ,同样由能量守恒得

)(21)(min 2

r V mv r V =+

, 或 )()(/2min r V r V m v -=. 粒子的加速度为dr dV m a /1

--=,据此求得粒子的总辐射能量为

??

∞∞

-==min

min

)

()(2362min 2

3

202

3

022r r r V r V dr

dr dV m c m q v c dr a q W πεπε.

(2)对库仑场,有

2

004,4)(r

qQ

dr dV r qQ

r V πεπε-==

, 代入上述辐射能量公式得

,458151661616/144233

503

5010

2

3501

1

4

350min min

02

203202

min Qc

qmv

Qc qmv x dx x Qc

qmv R R

dR

Qc

qmv r

r dr qQ

r r qQ m c m q W r ==-=

-=-???

?

??=

?

??∞-∞

πεπεπε

证毕.

6.3 两带电粒子电荷同号,电量和质量分别为1e 、2e 和1m 、2m ,从较远的距离相互靠近,至某个最近距离相对速度为零,然后在斥力的作用下远离.设初始相对速度为0v (c <<),沿粒子的连线方向.证明在上述过程中,两粒子发出的总辐射能为

2

22112135

0458???? ??-=m e m e e e c v m W , 式中2

121m m m m m +=. (提示:解题思路与 6.2题类似,需利用经典力学有心力场中两体问题的分析结果,在质心参

考系中进行计算比较方便.)

【证】 在质心参考系中,两粒子的位置矢量分别设为1r 和2r ,成立

r r r 30214r

e

e r dr dV m πε=-

= , 式中

2

1212112212121,,,m m m

m m m m m m m m +=+-=+=

-= r r r r r r r .

系统的电偶极矩为

???? ??-=++=

-=221

12112212211m e m e m m m m e m e e e r

r r r p . 按电偶极子辐射功率公式,求得系统的辐射功率为

22

2211302302||66||r p ???

? ??-==m e m e c m c P πεπε, 2

2

22113061

dr dV m e m e c ???

? ??-=πε, 式中)4/(021r e e V πε=.总辐射能量为

??∞-???? ??-==min

)

()(231

min 2

2

221

130r r V r V dr

dr dV

m m e m e c Pdt W πε.

遵循与6.2题几乎完全类似的步骤,可获得最终结果2

22112135

458???

? ??-=m e m e e e c v m W ,证毕. 6.4 质量为m 、电量为q 的粒子,受到简谐力r 2

0ωm -和均匀外磁场的磁力B v ?q .取z 轴与B 平行,在低速(c v <<)和粒子回旋频率远小于粒子固有频率0ω的近似下,给出粒子的运

动规律,确定沿磁场方向和垂直磁场方向上的辐射场的频率和偏振特性.(提示:求粒子运动方程的形如(z y x ,,)=(c b a ,,)t i e

ω-的解,由非零解条件确定ω和振幅比.)

【解】 粒子的运动方程为z z x m

qB y y y m qB x x 2

0202

0,,ωωω-=--=+-=

. 求t

i e

ω-~时谐运动解,上述方程化为

0)(,0)(2

022

02=+-=-

-x m

qB i y y m qB i x ωωωωωω , 0)(2

02=-z ωω.

上述代数方程组存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零,即 0000/0/det 2022022

02=????

? ??----ωωωωωωωωm qB i m qB i , 据此求得关于ω满足的代数方程0]))[((222

202202=---c ωωωωωω,

式中m qB c /=ω为粒子在磁场中作圆周运动的回旋频率.由上式可解得(限于取正根)

)4(,2

20210c c ωωωωω±+= .

当0ωω<

t i e C z y x 0

1,0:0ωω-==== ;

0,:)(22

1021===-=+-z e

C iy x t i c c

ωωωωω; 0,:)(31021==-=+=-

-z e C iy x t

i c

c

ωωωωω.

将上述三个特解叠加,求得粒子运动方程的通解:

t

i y x t i y x t i c c e i C e i C e C )(2)(212102100)()(ωωωωω--+--++-+=e e e e r .

沿平行于磁场即z 轴方向观测,仅x 和y 方向的粒子运动对辐射场有贡献,频率分别为

c ωω210+和c ωω21

0-,前者为右旋圆偏振波,后者为左旋圆偏振波.沿垂直于磁场方向观测,

三个方向的粒子运动均会产生贡献,但粒子的视运动均为直线运动,对应线偏振波,频率为

0ω、c ωω210+和c ωω21

0-. 6.5 对于运动电荷的加速度与速度平行的情况,证明最强辐射方向与粒子运动方向的夹角为

)]3/()1151[(cos 21max ββθ-+=-,

式中c v /=β,v 为粒子速度.进一步,对相对论粒子(1≈β),证明)2/(1max γθ≈,式中

2/12)1(--=βγ.

【证】 当粒子加速度与速度平行时,辐射功率的角分布为

5302222)

cos 1(16sin θβεπθΩ-=c a e d dP .

最强辐射方向满足0)cos 1(sin max

52=?

?????-=θθθβθ

θ

d d

, 据此求得05cos 2cos 3max max 2=-+βθθβ, 从中解得)1151(31cos 2max -+=ββ

θ,

上式即题目给出的答案.对相对论粒子,将上式改写为

???

?????-???? ??-+-=

111151)/11(31cos 2max γγθ, 2222281

1852111815421131γγγγγ-=-+≈???

? ??--???? ??+≈, 对比2

max 2

1max 1cos θθ-≈,得)2/(1max γθ≈,证毕. 6.6 静止质量质量为m 、电荷为q 、速度为v 的粒子在垂直于均匀磁场B 的平面中运动. (1)计算辐射功率,将其表为m 、q 、))/1((2/122--=c v γ和B 的函数.

(2)对相对论性粒子,如果粒子的初始能量为200mc E γ=,证明能量通过辐射损失衰减至

02E mc E <=γ所需要的时间为?

??? ?

?-≈02

4

3

30116γγπεB

q c

m t .

(3)对非相对论性粒子（c v <<）,零时刻粒子动能为0T ,计算粒子动量降至T 所花费的时间. (4)如果粒子被捕获在地磁场中,沿着某条磁力线旋转,并在南北两个磁镜点之间来回振荡,

试比较在磁镜点处（粒子在该处反射）和赤道处粒子的辐射功率的相对大小.(提示:利用在

随空间缓慢变化的磁场中粒子磁矩)2/(2

B mv ⊥守恒的条件.)

【解】 (1)粒子绕磁场作圆周运动,其回旋频率为)/(m qm γω=,加速度为

)/(m qmv v a γω==,与速度垂直,从而辐射功率为

???

? ??-===22024232022423024411666γπεγπεγπεγc m B q c m v B q c a q P .

(2)对相对论粒子,其能量为2

mc γ,因辐射损失而衰减,满足

???

? ??--=-=2202422116)(γπεγγc m B q P dt mc d , 即 3

30

24223302

426116c m B q c m B q dt d πεγγπεγγ-≈???? ??--=. 由上式积分,求得粒子能量衰减至2mc E γ=所需要的时间为

???? ??-=-≈?02433024233011660

γγπεγγπεγ

γB q c m B q d c m t . (3)对非相对论粒子,不作1>>γ近似,同样设γ的始、末值为0γ和γ,经历的时间为

?

?????+--+=--=?)1)(1()1)(1(ln 26)

1(600243302243300γγγγπεγγπεγ

γB q c m B q d c m t .

题目给的是始、末态粒子动能,成立

2002)1(,)1(mc T mc T -=-=γγ ,

以至粒子动能由0T 经辐射损失衰减至T 所需要的时间为

??? ??≈

??

????++=T T B q c m T T B q c m t 0243300024330ln 26)1()1(ln 26πεγγπε. (4)捕获粒子在沿地磁场磁力线振荡过程中,粒子的磁矩近似守恒,即≈⊥)2/(2

B mv 常数.通常捕获粒子为非相对论粒子,故辐射功率近似和2

2⊥v B 成正比,即和3

B 成正比.因此,在磁镜

点处和赤道处粒子的辐射功率之比近似等于两处磁场比的三次方.