三种语言解读充分、必要、充要条件

【专题二】我是河北人，我是中国人？

——三种语言解读充分、必要、充要条件

【探究一】充分、必要、充要条件深度解读：

①定义：p

是q 的充分条件，q 是p 的必要条件：

②（自然语言）“q 若p ，则”为真命题 ③（符号语言）p q ?

④（集合语言）A B ?(已知{}}{

,A x x p B x x ==满足条件满足条件q )

【探究二】三种语言转化：

1. 出现（真）命题怎么办？②?①?

?

?

?????条件是条件；结论也是条件；口诀条件是结论的充分条件；结论是条件的必要条件；

【解读】 “q 若p ，则”为真命题，其中p 为条件，q 为结论，那么

p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件

2. 出现“是”字怎么办？①?③??????

充分条件左推右；

口诀必要条件右推左；

充要条件两边推； 【解读】p 是q 的充分条件:p 在是的左边，q 在是的右边，那么p q ?；

p 是q 的必要条件，p 在是的左边，q 在是的右边，那么q p ?; p 是q 的充要条件，那么p q ?，q p ?即p q ?。

3.出现“箭头”（?）怎么办？③?①?口诀??

???

充分条件箭头左必要条件箭头右充要条件双箭头

【解读】p q ?：p 在箭头左边，q 在箭头右边，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；p q ?：出现双箭头，那么p 与q 互为充要条件。

4.出现“范围”怎么办？④?①??

????

充分条件范围小；口诀必要条件范围大；充要条件范围等；

【解读】A B ?：A 的范围小，B 的范围大，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件：

A=B ：范围相等，那么p 与q 互为充要条件。

例如：我是河北人是我是中国人的充分条件；我是中国人是我是河北人的必要条件；

【探究三】六种条件详解：

p 是q 充分条件

p 是q 充分不必要条件 p 是q 必要条件 p 是q 必要不充分条件 P 是q 的 充要条件

p 是q 既不充分也不必要条件 “若p,则q ” 为真命题

“若p,则q ”

为真命题；“若q 则p ”为假命题

“若q,则p ” 为真 命题

若q,则p ” 为真 命题; “若p,则q ” 为假命题

“若p,则q ”

为真命题；“若q,则p ” 为真命题

“若p,则q ”

为假命题； “若q 则p ”为假命题

p q ?

p q ?

且q p ≠> q p ?

q p ?

且p q ≠>

p q ?

p q ≠>

且q p ≠>

A B

?

（子集）

A B

? （真子集）

A B ?

（子集）

A B

?

（真子集）

A=B （相等）

A B ?

且B A ?

【备注】解题原则：

①先化简，后运算 ②用符号语言解题 ③注意三种语言的等价转

化

【针对训练】1.下列各题中p 是q 的什么条件：

⑴p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形

⑵p:x=1或x=2,q: 11x x -=- ⑶p:在△ABC 中，0A 60≠，q: 3

sinA 2

≠

⑷p:m>0, q: 20x x m +-=有实根

2.已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是 。

①s 是q 的充分条件 ②p 是q 充分不必要条件 ③r 是q 的必要不充分条件 ④77p s 是的必要不充分条件 ⑤r 是s 的充分不必要条件

3.b=0是函数f(x)= 2x bx c ++a 为偶函数的 条件。

4.a <0是方程2

2=0x x ++a 至少有一个负数根的 条件。

5.已知a ,b 都是实数，那么“2

2

b >a ”是a>b 的 条件。

6.若a ∈R,则“a=2”是”“(a-1）(a-2)=0”的 条件。