1.3 函数三要素、四性质的综合考查

§1.3 函数三要素、四性质的综合考查

★ 考纲要求

★ 基础自测

1.（1）函数y x =+的值域为 . （2）函数y =的值域 . （3）函数2

1x

y x

=+的值域 . 2. 设2

3,2,0,3

4α??∈-

--????，则使偶函数y x α=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞的所有α

值的集合是

3.定义在R 上的偶函数)(x f 在]0,(-∞上是减函数，若)2()1(a f a f ->-，则a 的取值范围是 .

4．已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，若(1)a f =-，0.51

(log )4

b f =，(lg 0.5)

c f =，则,,a b c 之间的大小关系是_________________.

5.设函数()f x x x a =-，若对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式

0)

()(2

121>--x x x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

6．已知函数f (x )＝log 3(a －3x )＋x －2，若f (x )存在零点，则实数a 的取值范围是________．

★ 考点预测

例1．（1）设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k 0>，使()2010

k

f x ≤

x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“诚毅”函数. 给出下列函数：①()2f x x =；②()f x sin x cos x =+；③()2

1

x f x x x =

++；④()31x f x =+；其中()f x 是“诚毅”函数的序号为 .

（2）.设函数()22f x x x bx c =-++，则下列命题中正确命题的序号是 . ①当0b <时，()f x 在R 上有最大值； ②函数()f x 的图象关于点()0c ，对称； ③方程()f x =0可能有4个实根； ④当0b >时，()f x 在R 上无最大值； ⑤一定存在实数a ，使()f x 在[)a +∞，上单调递减.

训练1. 对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-?+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”. (1)判断函数()4x

f x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；

(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当

[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.

例2．设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（1）设t =t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )， （2）求g (a )

训练2．设函数f (x )＝ka x －a －

x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．

(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；

(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －

2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．

例3. 已知函数()||f x x m =-和函数2

()||7g x x x m m m =-+-. (1) 若方程()||f x m =在[4,)+∞上有两个不同的解,求实数m 的取值范围;

(2) 若对任意1(,4]x ∈-∞,均存在2[3,)x ∈+∞,使得12()()f x g x >成立,求实数m 的取值

范围.

训练3. 已知,a R ∈函数2().f x x x a =-

（1）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （2）求函数y ＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.

学案1.3答案

★ 基础自测1.（1）函数y x =+的值域为 .（答：(,2]-∞）

（2）函数y =的值域 .（答：[10,)+∞）； （3）函数21x y x =

+的值域 . （答：11,22??

-????

）； 2. 设2

3,2,0,3

4α??∈-

--????，则使偶函数y x α=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞的所有α

值的集合是 2,2,03??

-

-????

3.定义在R 上的偶函数)(x f 在]0,(-∞上是减函数，若)2()1(a f a f ->-，则a 的取值范围是_______________ （答：2

3

>

a ） 4. 已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，若(1)a f =-，0.51(log )4

b f =，(lg 0.5)

c f =，则,,a b c 之间的大小关系是_________________.b a c <<

5．设函数()f x x x a =-，若对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式

0)

()(2

121>--x x x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．3a ≤

6. 已知函数f (x )＝log 3(a －3x )＋x －2，若f (x )存在零点，则实数a 的取值范围是_[6，＋∞)_ ． 例1．解：（1）③； （2）①③⑤

训练1、(1)函数()4x

f x =是“(b a ,)型函数”……………………………………2分 因为由b x a f x a f =-?+)()(,得16a

b =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==

(2)由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4

()(2)

g x g x =

-,2[0,1]x -∈,

而[0,1]x ∈时,22

()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2

m x =,

① 当

12

m

>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13

4

11

m m +≤??

?≥?+?,此时无解………………………11分

②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2

m

g g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]41

14

m m m m m m +-

+++-

,则由题意得2431413m m m ?≤??+-??+≤??且2

114411m m m ?+-≥????≥?+?,解得12m ≤≤……………………13分 ③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2

m

g g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]

上的值域为2

24

[1,2][2,

]4

14m m m m +-+-=224

[1,]414

m m m m +-+-

, 则2

2

11

44

3

14

m m m m ?+-≥??

?≤??+-?,

解得213m -≤≤. 综上所述,所求m

的取值范围是22

3

m -≤≤…………………………16分

例2. 解：（1）t

=要使有t 意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1,

∴22[2,4],t

=+t ≥0 ①

t 的取值范围是2].

2

112

t =

- ∴m(t)=a(

2112t -)+t=21

,2

at t a t +-∈

（2）由题意知g(a)

即为函数2

1(),2]2

m t at t a t =

+-∈的最大值。 注意到直线1t a =-是抛物线2

1()2

m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论。

当a>0时，函数y=m(t),

2]t ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由1

t a

=-

<0知m(t)

在2].上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2 (2)当a=0时，m(t)=t,

2]t ∈,∴g(a)=2.

(3)当a<0时,函数y=m(t),

2]t ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，

若1

t a

=-

∈

，即2a ≤-

则()g a m ==

若1t a =-∈

，即122a -<≤-则11()()2g a m a a a

=-=-- 若1(2,)t a =-

∈+∞，即1

02

a -<<则()(2)2g a m a ==+

综上有2,

1(),2a g a a a ?+?

?

=--?

1

2

1,222

a a a >-

-

<<-≤-

训练2、∵f (x )是定义域为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，即k ＝1.

(1)∵f (1)>0，∴a －1

a >0.又a >0且a ≠1，∴a >1，f (x )＝a x －a －x .

∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，∴f (x )在R 上为增函数， 原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )．∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0. ∴x >1或x <－4.∴不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．

(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0.∴a ＝2或a ＝－1

2

(舍去)．

∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.

令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝3

2，

∴原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2. ∴当t ＝2时，w (t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 例3、

训练3、（1）当a=2时,()22f x x x =-，则方程f(x)=x 即为22x x x -=

解方程得：1230,1,1x x x ==

（2）（I ）当a>0时,()322

23

,,x ax x a f x x x a ax x x a

?-≥?=-=?-

a

x x ==借助于图像可知,当01a <≤时，函数f (x)在区间[1,2]上为增

函数，此时()()min 11f x f a ==-

当12a <≤时,显然此时函数的最小值为()0f a = 当23a <<时，

42233a <<，此时f （x ）在区间21,3a ??????为增函数，在区间2,23a ??????

上为减函数，

∴(){}min min (1),(2)f x f f =，又可得()()11,248f a f a =-=- ∴()()2137f f a -=-

则当

7

33

a ≤<时，()()210f f -≥，此时()min (1)1f x f a ==- 当7

23a <<时，()()210f f -<，此时()min (2)48f x f a ==-

当3a ≥时，223

a

≥,此时f （x ）在区间[1,2]为增函数，故()min (1)1f x f a ==-

(II)当0a =时，()2f x x x =，此时f （x ）在区间[1,2]也为增函数，故()min (1)1f x f == （III ）当0a <时，显然函数f （x ）在区间[1,2]为增函数，故()min (1)1f x f a ==-