实变函数复习要点

2011实变函数复习要点

第一章 集合

（一）考核知识点

1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。

2. 对等和基数及其性质。

3. 可数集合的概念及其性质。

4. 不可数集合的概念及例子。 ~

（二）考核要求 1. 集合概念

识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。 2. 集合的运算

（1）识记：集合的并、交、补概念。 De Morgan 公式

Γ

ααΓ

αα∈

∈=

c c A A )( Γ

ααΓαα∈

∈=

c c

A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。

?

例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。

例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{1

1设

]0,1[1

-=?∞=n n A ，)1,2(1

-=?∞

=n n A

3. 对等与基数

（1）识记：集合的对等与基数的概念。

（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。

4. 可数集合 -

（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。

（2）综合应用：可数集合的性质。 5. 不可数集合

识记：不可数集合的概念、例子。 第二章 点集 （一）考核知识点

1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。

2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。 |

3. 开集、闭集及其性质。

4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。 （二）考核要求

1. 度量空间，n 维欧氏空间

识记：邻域的概念、有界点集概念。 2. 聚点、内点和界点

识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。 如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系

?

如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0

lim P P n n =∞

→

如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞

→

3. 开集，闭集

（1）识记：开集、闭集的概念。

（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质。 例如何证明一个集合为开集 例如何证明一个集合为闭集

如A 为闭集当且仅当A 中的任意收敛点列收敛于A 中的点 （即闭集为对极限运算封闭的点集） 【

4. 直线上的开集的构造

（1）识记：直线上的开集的构造及构成区间的概念。

例设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2?=G 21G G G ?=,求G 的构成区间.

解：G 的构成区间为(0,2)、(3,4)

（2）简单应用：康托集

Cantor 集的基数为C

第三章 测度论

（一）考核知识点 -

1. 外测度的定义以及简单性质。

2. 可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）和可测集的性质。

3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ型集、F σ型集；可测集的构成。 （二）考核要求

1. 外测度

（1）综合应用：外测度的定义。

如设B 是有理数集，则0=*B m Cantor 集的外测度为0

】

例 两个集合的基数和它们的外测度的关系 （2）综合应用：外测度的性质。

非负性： 0≥*

A m 单调性：

B m A m B A **≤?

，则若

次可数可加性：n n n n A m A m *1

1

*

)(∑

∞

=∞=≤?

2. 可测集

（1）识记：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）。 （2）分析：可测集的性质。

~

可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭

3. 可测集类

（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ

型

集、F σ型集。

零集、区间、开集、闭集、G δ型集（可数个开集的交）、F σ 型集（可数个闭集的并）、Borel 型集（从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。

例 零测度集：单点集、有理数集、康托集 例 零测度集与可数集的关系

例“开集类”，“波雷尔集类”，“可测集类”，“δG 型集类” 之间的关系。

;

（2）综合应用：可测集的构成。

可测集与开集、闭集只相差一小测度集

εε<-??>?)(,0)1E G m G E G E 且，使得开集可测，则若

反之也成立，即证明设0,,G E ε>??开集使*

()m G E ε-<，则E 是可测集。

εε<-??>?)(,0)2F E m E F F E 且，使得闭集可测，则若

反之也成立，即证明设0>ε，存在闭集E F ?，使得ε<-)(*

F E m ，则E 是

可测集

可测集可由G δ型集去掉一零集，或F σ型集添上一零集得到。 1)若E 可测，则存在G δ型集 G , 使0)(=-?E G m G E 且

》

即设E 是L 可测的，G 是δG 集，则存在零测集N ，使 E = G- N. 2)若E 可测，则存在F σ型集F , 使0)(=-?F E m E F 且

即设E 是L 可测的，F 是σF 集，则存在零测集N ，使E = F + N.

第四章 可测函数 （一）考核知识点

1. 可测函数的定义及其等价定义、可测函数的性质和可测函数与简单函数的关系。

2. 叶果洛夫定理及逆定理。

3. 鲁津定理及逆定理。

)

4. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理。 （二）考核要求 1. 可测函数及其性质

（1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义。 （3）综合应用：可测函数的性质。 零集上的任何函数都是可测函数 简单函数是可测函数

可测集E 上的连续函数f (x )必为可测函数

/

在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性

即： 设f (x )=g (x ) .于E ， f (x )在E 上可测，则g (x )在E 上也可测。 可测函数关于子集、并集的性质 可测函数类关于四则运算封闭

可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。

2. 叶果洛夫定理及逆定理

识记：叶果洛夫定理。可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛 证明叶果洛夫定理的逆定理：设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一

致收敛于()f x ，则()..n f x a e 收敛于()f x 。 ！

3. 可测函数的构造

可测函数和连续函数的关系

识记：鲁津定理

可测函数“基本上”是连续函数（鲁津定理）。

证明鲁津定理的逆定理：设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ?，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，则()f x 是E 上的可测函数。 4. 依测度收敛

（1）识记：依测度收敛的定义、性质。 （2）综合应用：Riesz 定理、勒贝格定理。

%

处处收敛和依测度收敛的关系 一致收敛和依测度收敛的关系

E

f f n 于?E

u a f f n 于..→E

e a

f f n 于..→叶果洛夫定理mE<+∞

Lebesgue 定理

mE<+∞

叶果洛夫逆定理

子列Riesz 定理

子列

第五章 积分论 （一）考核知识点

1. 勒贝格积分的定义、勒贝格积分与黎曼积分的关系。

2. 勒贝格积分的性质。

3. 勒贝格控制收敛定理 :

（二）考核要求

1.勒贝格积分的定义

（1）简单应用：勒贝格可积的充要条件。

设f (x )是可测集)(∞

上的有界函数，则 f (x )在E 上可积的充要条件是

f (x )在E 上可测。

（2）分析：L 积分与R 积分的关系。

若有界函数()x f 在闭区间[]b a ,上黎曼可积，则()x f 在[]b a ,上也是勒贝格可积的，且二者积分值相等。

()x f 在[]b a ,上黎曼可积的充要条件是()x f 在[]b a ,上的不连续点所成之集测度为零。

3. 勒贝格积分性质

,

评价：勒贝格积分性质 利用积分的性质计算L 积分

例 ()[][]??

?∈?∈=Q

x Q x x D \1,01,0,

0,

1,

()()[]001]1,0[]1,0[1,0=+=???-?Q

Q dx x D L

5. 积分的极限定理

分析：勒贝格控制收敛定理。

利用勒贝格（Lebesgue)控制收敛定理计算R 积分

关于考核目标说明

识记（了解）：指能够对有关名词、概念、知识、术语作出正确解释，并能记住和正确 表述出来。

简单应用（会）：在识记的基础上，能够进一步深入全面地把握基本概念、基本原理，使所学知识融汇贯通，能够正确运用。

综合应用（掌握）：能够正确熟练地简单应用所学知识，处理相关一般性问题。 分析（熟练掌握）：在理解掌握所学知识的基础上用所学知识分析解决实际问题。 评价（融会贯通）：在熟练掌握所学知识，对实际问题分析解决的基础上，并进一步做出评价。