初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题

一、学习目标：

1. 会求自变量x 在某个范围内取值时二次函数的最值。

2. 了解二次函数最值问题在实际生活中的简单应用，能建立二次函数模型，从而解决实际问题。

二、学习重点：

会求二次函数在给定区间上的最值问题

三、新课讲解： ［旧知复习］

对于二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠

当0a >时，函数在2b

x a =-

处取得最小值244ac b a -，无最大值； 当0a <时，函数在

2b

x a =-

处取得最大值244ac b a -，无最小值． ［新知探秘］

二次函数的图象和性质

二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）具有下列性质：

（1）当a ＞0时，函数2

(0)y ax bx c a =++≠图象开口向上；顶点坐标为

24(,)

24b ac b a a --，对称轴为直线

2b x a =-；当x ＜2b

a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2

b a -时，y 随着x 的增大而增大；当

2b

x a =-

时，函数取最小值y=244ac b a -． （2）当a ＜0时，函数2

(0)y ax bx c a =++≠图象开口向下；顶点坐标为

24(,)

24b ac b a a --，对称轴为直线

2b x a =-；当x ＜2b

a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2

b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x=2b

a -时，函数取最大值y=

244ac b a -．

【典型例题】

例1. 求二次函数y =－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象。 思路导航：借助二次函数的图象，能够很好地得出函数的性质

解：∵y =－3x 2－6x ＋1=－3（x ＋1）2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x =－1； 顶点坐标为（－1，4）；

当x =－1时，函数y 取最大值y =4； 当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大； 当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小。

点津：函数的图象，能够直观地刻画出变量间的对应关系，使得函数的有关性质明显地从图形上反映出来，因此，很多问题的解决，如果能借助于函数的图象，往往起到事半功倍的效果。

【直击高中】

（一）求一元二次函数的最值

例2. 求一元二次函数2

325y x x =--的最值

思路导航：在求一元二次函数的最值时，如果函数的表达式不宜配方，我们可以先判断函数图象的开口方向，再把二次函数顶点的横坐标值代入表达式，得到相应的最值

解：因为函数2

325y x x =--的图象开口向下，所以函数有最大值，无最小值 又该函数顶点的横坐标为034x =

，代入表达式，得函数的最大值为318-

点津：二次函数求最值，除配方法、顶点法外，还可直接用公式法，即先判断二次项系数的正负，再把对应的系数代入

244ac b a -求出最值。

例3. 当22x -≤≤时，求函数2

23y x x =--的最大值和最小值．

思路导航：作出函数在所给范围及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．

仿练：当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当1x =时，max 1y =-，当2x =时，min 5y =-．

点津：由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线

上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围内的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

为方便叙述，用符号[m ，n]表示m x n ≤≤的实数x 的取值范围，通常称为 区间

例4. 当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

思路导航：画出(2)y x x =--的图象，通过观察图象得出结果

解：作出函数2

(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 思考：你能不通过作图，仅利用二次函数的开口方向及顶点横坐标是否在已知范围内，

来直接求最值吗？

（二）一元二次函数最值的应用

例5. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m （件）

与每件的销售价x （元）满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式； （2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

思路导航：在实际问题中努力寻找数量关系，建立相应的数学表达式，这个过程就是数学建模的过程。

解：（1）由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元， 那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．

2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤

（2）由（1）知对称轴为42x =，位于x 的范围内，且抛物线开口向下

∴当42x =时，2

max 342252424860432y =-?+?-=

∴当每件商品的售价定为42元时商场每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

点津：解决实际问题时，要从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要培养自己的

阅读理解、分析和解决问题的能力。

【拓展篇】

二次函数是最简单的非线性函数之一，其自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的延续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为数学高考中的热点。 1. 动二次函数在定区间上的最值

例6. 已知二次函数f x ax ax a ()=++-22

41在区间[]

-41，上的最大值为5，求实数a

的值。

思路导航：由函数的表达式知，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a 变化的，所以需要讨论a 的符号

解：将二次函数配方得

f x a x a a ()()=++--24122

，其对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412

，a a ，图象开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间

[]-41，上。

若a <0时，函数图象开口向下，如图1所示，当x =-2时，函数取得最大值为5

即

f a a ()-=--=24152

解得a =±210

故a a =-=+210210()舍去

图1

若a >0时，函数图象开口向上，如图2所示，当x =1时，函数取得最大值为5 即f a a ()15152

=+-=

解得a a ==-16或 故a a ==-16()舍去

图2

综上讨论，函数f x ()在区间[]

-41

，上取得最大值为5时，a a =-=2101或

点津：在今后的学习中，经常会碰到含字母参数的二次函数问题，如二次函数的表达式中含有字母，或自变量所在区间是可变区间 （端点含有字母），这需要灵活运用以上分析问题、解决问题的方法，结合图象得出具体结论

2. 定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t 的变化而变化的，我们称这种情况为“定函数在动区间上的最值”。

例7. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]

t t ，+1上，求f x ()的最小值。

思路导航：与前面的问题相比，这里二次函数的表达式已给定，且区间随着t 的变化而变化，若判断函数的最小值，需要讨论区间与二次函数对称轴的相对位置。

解：函数f x x ()()=-+112

，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口

向上。

如下图所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1左侧时，有1

最小值

f x f t t ()()()m i n ==-+112

。

如下图所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t 。当x =1

时，函数取得最小值

f x f ()()m i n ==11。

如下图所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0。当x t =+1

时，函数取得最小值

f x f t t ()()m i n =+=+112

综上讨论，

f x t t t t t ()(),,min

=-+>≤≤+

?111

1011022 点津：对于解决二次函数在给定区间上的最值问题，主要取决于区间与对称轴的相对位置，这是我们解决该类问题的关键所在。

例8. 已知函数y =x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值。

思路导航：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．

解：（1）当a =－2时，函数y =x 2的图象仅对应着一个点（－2，4），所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x =－2；

（2）当－2＜a ＜0时，由图①可知， 当x =－2时，函数取最大值y =4； 当x =a 时，函数取最小值y =a 2；

（3）当0≤a ＜2时，由图②可知， 当x =－2时，函数取最大值y =4； 当x =0时，函数取最小值y =0； （4）当a ≥2时，由图③可知， 当x =a 时，函数取最大值y =a 2；

当x =0时，函数取最小值y =0．

点津：在本题中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论。在解决这类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题。

四、知识提炼

二次函数在闭区间上的最大值或最小值只能在区间的端点处及包含在区间内的顶点处

取得，解题时，通常先确定2b

x a =-

是否属于该区间，然后分别求出区间断点处的函数值

进行比较，确定最值。

五、目标期望

通过本节课的学习，能熟练的求在给定范围内的二次函数的最值问题，进一步体会用分类讨论的思想处理含参数的问题。

六、下节预告

在初中，我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组。高中学习圆锥曲线时，有时需要用到二元二次方程组的解法，所以我们有必要学习这方面的知识。

【同步练习】（答题时间：35分钟） 一、选择题

1. 抛物线

3)2(2

+-=x y 的顶点坐标是（ ） A. （2，3）

B. （－2，3） C . （2，－3） D . （－2，－3）

2. 二次函数2

(1)2y x =++的最小值是（ ）. A. 2

B. 1

C. －3

D. 2

3

3. 二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）

A. a ＜0

B. c ＞0

C. ac b 42-＞0

D. c b a ++＞0

4. 向上发射一枚炮弹，经x 秒后炮弹的高度为y 公尺，且时间与高度的关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则其在下列哪一个时间的高度是最高的（ ） A. 第8秒

B. 第10秒

C. 第12秒

D. 第15秒

5. 函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）

二、填空题

1. 抛物线2

(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点。

2. 用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ______。

3. 二次函数2245y x x =-+的最小值是__________，(1)(2)y x x =-+的最大值是_____。

4. 函数2

243y x x =+-，当0x ≤时，则y 的取值范围是_____________。

三、解答题

1. 求函数y x x =-+-242在区间[]

03

，上的最大值和最小值。 2. 已知232

x x ≤，求函数f x x x ()=++2

1的最值。

【试题答案】

一、选择题 1. A

2. A

3. D

4. B

5. C

二、填空题

1. 4，14或2，3

2 2. 2216l m 3. 3，94 4. 5y ≥-

三、解答题

1. 解：函数

y x x x =-+-=--+22

4222()是定义在区间[]

03，上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图所示。函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。

2. 解：由已知232x x ≤，可得

032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，??????上的二次函数。将二次函数配方得

f x x ()=+?? ???+12342

，其对称轴方程为x =-

12，顶点坐标-?? ???

1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，??????内，如图所示。函数

f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 3219

4?? ???=

。