整环和域

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§3.7 整环和域

3.7.1 定义 零因子 R 是环，a , b ∈R 。

(1) 如果a ≠0, b ≠0且ab = 0，则称a 是b 的左零因子，b 是a 的右零因子。

(2) 如果a 是某个元素的左零因子，即a ≠0且存在b ≠0，使得ab = 0，则称a 是一个左零因子。

(3) 如果b 是某个元素的右零因子，即b ≠0且存在a ≠0，使得ab = 0，则称b 是一个右零因子。

如果a 不是左零因子，则任给b ∈R ，都能从ab = 0得到b = 0。同样，如果a 不是右零因子，则任给b ∈R ，都能从ba = 0得到 b = 0。

左零因子和右零因子都称为零因子。由定义3.7.1可知，如果R 有左零因子，则R 一定有右零因子，同样，如果R 有右零因子，则R 一定有左零因子。所以只说R 有没有零因子就行了。

3.7.2 例 Z 没有零因子，但M 2(Z )有零因子，取A =1000↘→

← ，B =0001↘→

← ，则A ≠0, B ≠0且AB = 0。一般的，如果R 不是零环，则R 的n(n ≥2)阶矩阵环M n (R )有零因子。

3.7.3 例 在环中，任给B ∈P(A )，如果B ≠A 且B ≠?，则B 就是零因子，因为B ?B = ?。

3.7.4 例 如果R 是至少有两个元素的环，则单位元1不是零因子。

3.7.5 定义 消去律 R 是环。称R 有消去律，如果R 满足：

(1) 任给a , b , c ∈R ，如果a ≠0且ab = ac ，则b = c 。

(2) 任给a , b , c ∈R ，任给a ≠0且ba = ca ，则b = c 。

R有没有零因子和R有没有消去律有密切关系。

3.7.6 定理R是环，则R没有零因子当且仅当R有消去律。

证设R有零因子，证明R没有消去律。

取R的左零因子a，则a≠0且存在b≠0，使得ab = 0，所以ab = 0 = a0，但b≠0，因此R没有消去律。

设R没有零因子，证明R有消去律。

(1) 任给a, b, c∈R，如果a≠0且ab = ac，则a(b-c) = 0，由R 没有零因子得b-c = 0，所以b = c。

(2) 任给a, b, c∈R，如果a≠0且ba = ca，则(b-c)a = 0，由R 没有零因子得b-c = 0，所以b = c。■

无零因子的交换环是一种很重要的环。

3.7.7 定义整环R是至少有两个元素的交换环，如果R没有零因子，则称R是整环。

由定理3.2.6可知，对于至少有两个元素的交换环来说，R是整环当且仅当R有消去律。

3.7.8 例Z, Q, R, C都是整环。Z / n是整环当且仅当n是素数。

3.7.9 例如果R不是零环，则R的n(n≥2)阶矩阵环M n(R)不是整环。如果A中至少有两个元素，则环中不是整环。

3.7.10 例整环的子环也是整环。所以任给n是非平方元，Z[n]和Q[n]都是整环，任给n>0，Z[n-]和Q[n-]都是整环。

3.7.11 例R不是整环，但R的子环可能是整环。取A是至少有两个元素的集合，则(见例3.2.9)不是整环。取Γ = {A, ?}，则<Γ, △, ?, ?, A>是< P(A), △, ?, ?, A>的子环，且<Γ, △, ?, ?, A>是整环。

3.7.12 定义逆元R是环，a, b∈R。

(1) 如果ab = 1，则称a是b的左逆，b是a的右逆。

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(2) 如果b既是a的左逆又是a的右逆，即ab = 1且ba = 1，则称b是a的逆元。

(3) 如果a有逆元，则称a是可逆元。

3.7.13 定理R是环。

(1) 如果b是a的左逆，c是a的右逆，则b = c。

(2) 逆元的唯一性如果b和c都是a的逆元，则b = c。

证(1) 由b是a的左逆得ba = 1，由c是a的右逆得ac = 1，所以b = b1 = b(ac) = (ba)c = c。

(2) 因为b和c都是a的逆元，所以b是a的左逆且c是a的右逆，由(1)得b = c。■

由定理3.2.13(2)，如果a是可逆元，则a就有唯一的逆元，记为a-1。

3.7.14 定理R是环，a, b是R的可逆元。

(1) 1是可逆元，且有1-1 = 1。

(2) a-1是可逆元，且有(a-1)-1 = a。

(3) ab是可逆元，且有(ab)-1 = b-1a-1。

证(1) 因为1?1 = 1，所以1是可逆元且1是1的逆元，因此1-1 = 1。

(2) 因为aa-1 = 1且a-1a = 1，所以a-1是可逆元且a是a-1的逆元，因此(a-1)-1 = a。

(3) 因为(ab)(b-1a-1) = a(bb-1)a-1 = aa-1 = 1，

(b-1a-1)(ab) = b-1(a-1a)b = b-1b = 1，

所以ab是可逆元且b-1a-1是ab的逆元，因此(ab)-1 = b-1a-1。■R是环，令U(R) = {x | x是R是可逆元}，则由定理3.2.14可得是一个群，称为R的乘法群，当不必说明乘法和单位元时，直接说U(R)是一个群。

3.7.15 定理R是环。

(1) 如果a有左逆，则a没有右零因子，即a不是左零因子。

(2) 如果a有右逆，则a没有左零因子，即a不是右零因子。

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(3) 如果a是可逆元，则a不是零因子。

证(1) 取a的左逆c，则ca = 1。任给b∈R，如果ab = 0，则

b = 1b = (ca)b = c(ab) = c0 = 0，所以a没有右零因子。

(2) 类似于(1)。

(3) 由(1)(2)直接可得。■

由定理3.2.15(1)只是说a有左逆时a就没有右零因子，有可能a既有左逆又有左零因子。同样的，有可能a既有右逆又有右零因子。

如果R是至少有两个元素的环，则零元0不是可逆元。除零元外，所有元素都是可逆元的环又是一类重要的环。

3.7.16 定义域R是至少有两个元素的交换环，如果除零元外，R的所有元素都是可逆元，则称R是域。

一般用F来表示域。

3.7.17 例Q, R, C都是域。

3.7.18 例任给n是非平方元，Q[n]是域，证明如下：

如果a+b n≠0，则n b2-a2≠0，令

，c = -sa，d = sb，

s = 1

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n2b a

就有

(a+b n)(c+d n) = (ac+n bd)+(ad+bc)n

=(-sa2+n sb2)+(-sab+sab)n= s(n b2-a2) = 1

类似地可证，任给n>0，Q[n

-]是域。

但域的子环不一定是域(但一定是整环)，如Z是域Q的子环，但Z不是域。实际上，在Z中除1和-1外，所有元素都不是可逆元。

如果域F的子环S是域，则称S是F的子域。

3.7.19 定义特征F是一个域。如果F的单位元在加法群F+中的阶是无限的，则称F的特征是0。如果F的单位元在加法群F+中的阶是有限的，阶为n，则称F的特征是n。

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域F的特征记为χ(F)。为了简单起见，将1的n倍n1记为n。

首先讨论特征为0的域。设F是特征为0的域，任给n∈Z，如果n≠0，则n1≠0，即n≠1，所以n有逆元n-1。所有形如m?n-1的元素构成F的一个子域。

3.7.20 定理F是特征为0的域。令

S = {m?n-1 | m, n∈Z且n≠0}，

则

(1) S是F的子域。

(2) 如果Q是F的子域，则S?Q。

(3) S≌Q。

证(1) 0 = 0?1-1∈S，1 = 1?1-1∈S。

任给m?n-1∈S，都有

-m?n-1 = (-m)?n-1∈S和(m?n-1)-1 = n?m-1∈S。

任给m?n-1, s?t-1∈S，都有

m?n-1+s?t-1 = (m?t+s?n)(n?t)-1∈S

和

m?n-1?st-1 = (m?s)?(n?t)-1∈S。

(2) 显然。

，则σ是S到Q的同构映射。

(3) 取σ：S→Qσ(m?n-1) =m

n

■

现在讨论特征不为0的域。

3.7.21 定理F是特征为n(n≠0)的域，则n是素数。

证反证法。

如果n不是素数，则存在m, k

3.7.22 定理F是特征为p(p为素数)的域，则S = {n | 0≤n

证类似于定理3.2.20。■

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因为n a = (a+…+a) = (1?a+…+1?a)

= (1+…+1)?a = (n1)?a = n?a，

所以有：

3.7.23 定理域F的非零元素和单位元1有相同的加法阶。

证设a≠0。

如果χ(F) = 0，则任给n≠0，都有n≠0，所以n a = n?a≠0，因此a的阶是无限的。

如果χ(F) = p(p为素数)，则p = 0，所以p a = p?a = 0，因此a 的阶整除p，从而a的阶就是p。■

最后讨论整环和域的关系。域一定是整环，但整环不一定是域，如Z是整环但不是域。

然而，对于有限环来说，这两个概念就是一样的。

3.7.23 定理有限整环是域。

证R是有限整环，设R = {a1,…, a n}。

任给a∈R，如果a≠0，则由R有消去律得aa1,…, aa n两两不相等，所以存在i，使得aa i = 1，因此a是可逆元。

这就证明了R是域。■

3.7.24 定义商域R是一个环，F是一个域。如果F满足以下条件：

(1) R同构于F的子环S。

(2) 任给x∈F，存在a, b∈S，使得x = ab-1。

则称F是R的商域。

3.7.25 定理每个整环都有商域。

证设R是整环，令R* = R \ {0}，T = R×R*。在T上定义二元关系如下：

~ 当且仅当ad = bc。

则~ 是等价关系。记的等价类为a

令F = T / ~。如果 ~ 且 ~ ，则

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a '

b = ab '且

c '

d = cd '，

所以

(a 'd '+b 'c ')bd = (ad +bc )b 'd '且a 'c 'bd = acb 'd '，

因此

~ 且 ~ 。 这样就可以定义F 上的加法+和乘法?和如下：

a +c =ad bc ，a +c =ac bd

， 则F 是一个域。F 中，0 =01，1 =11

，-a = a b ，a b -1 =b a 。 取S = {a 1| a ∈R }，取σ：R →S σ(a ) =a 1

，则σ是R 到S 的同构映射。又任给a b ∈F ，存在∈S ，使得a b =a 1?b 1

-1。■ 设σ是R 到S 的同构，则R 的商域是F = {σ(a )σ(b )-1 | a , b ∈R }。

3.7.26 定理 整环R 的任何两个商域都同构。

证 设F 和F '都是R 的商域，则F = {σ(a )σ(b )-1 | a , b ∈R }且F ' = {τ(a )τ(b )-1 | a , b ∈R }。

如果σ(a )σ(b )-1 = σ(c )σ(d )-1，则

σ(ad ) = σ(a )σ(d ) = σ(b )σ(c ) = σ(bc )，

所以ad = bc ，因此

τ(a )τ(d ) = τ(ad ) = τ(bc ) = σ(b )σ(c )，

从而τ(a )τ(b )-1 = τ(c )τ(d )-1。这样就可以定义F 到F '的映射?如下：

?：F →F ' ?(σ(a )σ(b )-1) = τ(a )τ(b )-1

则σ是F 到F '的同构映射。■

习题3.7

3.7.1 R 是一个环，a ≠0。证明：如果存在b ≠0，使得

bab = 0，则a 是左零因子或右零因子。

3.7.2 C [0, 1]是闭区间[0, 1]上全体连续函数形成的环(见例

3.1.7)，f∈ C[0, 1]，令A = {x | f(x) = 0}。证明：f是零因子当且仅当A包含一个开区间。

3.7.3 R是一个环，a∈R。证明：如果存在n>0，使得a n = 0，则1-a是可逆元。

3.7.4 R是一个环，a, b∈R。证明：如果1-ab是可逆元，则1-ba也是可逆元。

3.7.5 R是一个环，a, b∈R。证明：如果a, b, ab-1是可逆元，则a-b-1和(a-b-1)-1-a-1也是可逆元，且有((a-b-1)-1-a-1)-1 = aba-a。

3.7.6 R是一个环，a有右逆元。证明以下三个条件等价：

(1) a有多于一个的右逆元。

(2) a没有左逆元。

(3) a是左零因子。

3.7.7 R是一个环，a有右逆元但不是可逆元。证明：a有无限多个右逆元。

3.7.8 证明：Z / n是整环当且仅当n是素数。

3.7.9 确定Z / 12的乘法群。

3.7.10 证明定理3.7.22。

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