关于自然数平方和公式的十种证明方法

潮阳区谷饶中学张泽锋

摘要：在《数列》的教学过程中，大家都能够熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：

22221

123=(1)(21)6

n S n n n n =+++

+++，

但涉及到如何进行推导证明，很多学生却无从下手。为了让学生在理解的基础上掌握数学公式，特收集整理了如下关于自然数平方和公式的十种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面以期学生能够举一反三，并有所创新。

关键词：自然数，平方和公式，十种证法，组合数性质，数学归纳法方法一：观察、猜想、数学归纳法证明

对于自然数平方和公式的证明，通过观察、分析，得出猜想：2

222321n S n ++++= 应该是一个与n 有关的一个多项式，不妨设D n C n B n A S n +?+?+?=2

3，分别取

4,3,2,1=n 时，得到：??????

???====????????=+++=+++=+++=+++0

2131304166414392752481D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A

)12)(1(6

61213123++=++=∴n n n n n n S n

下面利用数学归纳法进行证明：

证明：（1）当1n =时，左边=2

11=，右边=1

1(11)(211)16

??+??+=，左边=右边

∴当1n =时，原式成立.

（2）假设当)(+∈=N k k n 时，2

123(1)(21)6

k k k k +++

+=++成立，

则当1n k =+时，

22222

222

123(1)1

(1)(21)(1)6

(1)(1)

1(1)(276)61

(1)(2)(23)61

(1)[(1)1][2(1)1]6

k k k k k k k k k k k k k k k k k k =+++

+++=

++++=+++=+++=+++=+++++左边左边=右边 ∴当1n k =+时，原式也成立.

∴由（1）、（2）可知，222221

1234(1)(21)6

n S n n n n =++++

+=++对任意

n N +∈ 都成立。

方法二：观察规律法记22222212()12345,()12345S n n S n n =+++++

+=+++++

发现规律

21()()3326

S n S n ∴=

=?=

接着用数学归纳法很容易证明等式的正确性（同方法一），这样就轻而易举地推出了前n 个

自然数的平方和公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。方法三：恒等式法

这种方法借助于这个恒等式：

133)12

33++≡-+k k k k （，分别将1，2，3，…n-1，n 代入这个恒等式中的k ，就得到一系列式子：

331(1

)1(3)1(3)1(1

33333412323231131312233

233233233233++=-++-+-=--+?+?=-+?+?=-+?+?=-n n n n n n n n ）

将所得到的n 个等式的左右两边分别相加，可得到

n n n n ++++++++++=-+)321(3)321(31)1(222233

即n n n n n n n ++?+++++=++2

)

1(3)321(3332

加以整理，易得)12)(1(6

3212

++=++++n n n n 方法四：巧用“1”法

(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33n n n n n n n n n n n n n n +=?+=+--?+=++--+

122334(1)

n A n n ∴=?+?+?+

111

[123012][234123][345234]333=??-??+??-??+??-??+1

[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n +++--+1

[1230122341233452343

=??-??+??-??+??-??+(1)(2)(1)(1)]n n n n n n +++--+11

[(1)(2)012](1)(2)33n n n n n n =++-??=++

2222123122334(1)(123)n n n n ∴+++

+=?+?+?+

?+-+++

1(1)1

(1)(2)(1)(21)326

n n n n n n n n +=++-=++ 方法五：组合数性质法（利用组合数公式m

n m n m n C C C 11+-=+） 1

2122)1(n n C C n n n n -=-+=+

)12)(1(6

2)1(123)1)(2(22)

()(2)()(2)()(2)2()2()2()2(32121

32113232124341131222212423331131211212423221211324122311222

222++=

?+-

??++?=-==++-++=+++-+++=+++-+++=-+-+-+-=++++∴++++++n n n n

n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n

此种证法是一次公开课中，由李爱廷老师提出的一种证法。此种证法很简洁，关键在于对2

n 进行了适当的分解，从而应用组合数性质，对公式进行了证明。方法六：面积法

图中有n 个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。 (n n +

2 22 22 2

(

(1)][123(1)]

)[123(1)]

(1)

)

n n

n n n

n n

++-+++++-

++-+

++-

++=

方法七：三角数阵法

此三角数阵中各项和为：22222

1234n

+++++

再逆时针旋转120°：

此三角数阵中各项和为：22222

1234n

+++++再逆时针旋转120°：

此三角数阵中各项和为：2222

21234n ++++

将这3个三角数阵对应相加，得：

21n + 21n + 21n + 21n + 21n + 21n + 21n + 21n + 21n + 21n +

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 21n + ．

．．．．．．．．．．．．．．．．．21n +

n ++=

方法八：正方形数阵法

上述正方形数阵中的直线上面的数字之和等于2

321n ++++ ，

[]{})

321(2

)321(21222332222112)1()1(321)321()21(1)321(32122222322222222n n n n n n n n n n n n n ++++++++-+=????

??-++-+-+--+?=-++++++++++-++++=++++ 即

)32(4

12)1(212)3212323232

222n n n n n n n n ++=+?++=++++∴ （

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下：一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+... +n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1)

自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法” ※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即 1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示： ① ② 由①+②，得

由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。 2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： = = = = 这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一） 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。一、设：S=12+22+32+…+n2 =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S 1 的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1 (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 =2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) S 1 =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S 1 =12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： S 1 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 ) 由(2)+ (3)得： =8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) S 1 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1] = n(2n2+3n+1)

求连续自然数平方和的公式

求连续自然数平方和的公式前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式： 12＋22＋32…＋n 2＝6 ) 12)(1(++n n n 这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… 1＋2＋3＋…＋n 1 3 6 10 15 21 …… 12＋22＋32＋…＋n 2 1 5 14 30 55 91 …… 然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数 A n ＝n n ++++++++ 3213212 222，再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… A n 1 35 37 3 311 313 …… 观察发现，A n 的通项公式是3 1 2+n 。既然A n ＝n n ++++++++ 3213212222，而它的通项公式是3 1 2+n ，于是大胆猜想 n n ++++++++ 3213212222＝3 1 2+n 。因为分母1＋2＋3＋…＋n ＝2 ) 1(+n n ，所以 2)1(3212222+++++n n n ＝31 2+n 。由此得到 12＋22＋32…＋n 2＝ 2)1(+n n ×312+n ＝6 ) 12)(1(++n n n 。即 12＋22＋32…＋n 2＝ 6 ) 12)(1(++n n n 。

用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。

连续自然数的立方和

连续自然数立方和的公式 “图形法“ 早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非常简单的方法推导过这个公式。奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证：请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端：第1个等式左端，结束于第1个奇数；第2个等式左端，结束于第3个奇数；第3个等式左端，结束于第6个奇数；第4个等式左端，结束于第10个奇数；第5个等式左端，结束于第15个奇数； …… 结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5 项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n ＋1)/2个奇数。然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和：右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。这样就得到求连续自然数立方和的公式：这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。

“列表法” 这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。显然，所有乘积的和等于这5块依次是：

自然数平方和

这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。 1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字）一、推导 1、直接推导： 1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2 + + 2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2 + + 3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2 + + . . . . (i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1) || || S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4 两边求一下得所求S 此法较为直观正规 2、用其他的公式推导：容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是 1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导： 2^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=2^3+3*2^2+3*2+1 4^3=3^3+3*3^2+3*3+1 ....... (n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1 sum up both sides substract common terms: (n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b b=1^2+2^2+...+n^2 此法需要较强的基本功，属奥妙之作 4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）

《完全平方公式》

课题：§1·6 完全平方公式（第1课时）【北师大版七年级下学期】内容分析 1．课标要求数学课标要求在数学课程中，应该当注重发展学生的符号意识、运算能力、推理能力和模型思想．而学生已经学习并掌握了有理数的运算，合并同类项，多项式与多项式相乘等知识，通过学习本节课的学习，能够进一步发展学生的符号意识，运算能力和归纳能力等，同时利用完全平方公式进行运算过程中，有助于学生理解运算的算理，为下一节课解决有些类型的简便运算的问题打下坚实的基础． 2．教材分析（1）知识技能：学生在已经学习了有理数的运算，整式及其加减，幂的有关运算，整式的乘法等知识之后，自然过渡到多项式与多项式的乘法的特殊情况即两个相同的多项式相乘，本节课所学知识对今后学习因式分解，分式的计算以及解一元二次议程也奠定了坚实的基础．（2）数学能力：学生已经具备了合并同类项法则，幂的有关计算法则，多项式乘以多项式的法则等有关整式计算的能力，也从以往的学习过程中累积了一定的归纳与推理能力．本节课是继“平方差公式”之后学习的另一个公式．对于这个公式的学习，本质上还是归纳与推理的一个过程，通过例子总结归纳出完全平方公式的含义，继而运用完全平方公式进行准确计算．（3）数学思想：本节课的学习让学生经历从特殊到一般的推理过程，掌握推理过程中的归纳思想．并让学生用几何图形理解完全平方公式中，渗透数形结合的思想，体会模型的作用．3．学情分析学习本节课知识应该具备的知识和能力有：有关有理数的运算，整式的加减，整式的乘法等计算能力．而学生对于本节课要学习的知识已经具备的有：学生已经具备了多项式乘以多项式的能力，能够整理出公式的右边形式，主要是让学生在学习学习过程中归纳出从特殊到一般的规律，从而总结出完全平方公式，并能正确的使用公式．教学目标 1．知识技能：经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算．

推导自然数立方和公式两种方法

推导213)1(21??????+=∑=n n k n k 的两种方法通化市第一中学校刘天云邮编 134001 方法一：拆项累加相消求和已知：)12)(1(6 112++= ∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4 1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1 )3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n k n k n k n k k k k k k k 1 1121323)]2)(1([ )1(2 12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21?? ????+=n n 另外：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4 1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n )(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4 1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / …… 我们用两种方法研究前n 群的所有数的和. 1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2 1+n n 项，而且该项为 11)1(2 122)1(21 -+=-+?=+n n n n a n n

那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2 1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21 +-=-?? ????+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2 1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n k k 13. 2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2 )1(21??????+n n 因此：2 13)1(21??????+=∑=n n k n k

前n个自然数的平方和及证明

帕斯卡与前n 个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1，移项可得（n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1，此式对于任何自然数n 都成立。依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1，（n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1，把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 － 1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到（n ＋1）3 －1＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ，现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1），即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。

完全平方公式(一)

1.6完全平方公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求 1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣. 2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力. ●教学重点 1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. ●教学难点 1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. ●教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用. ●教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.6.1 B) 第三张：例题，记作(§1.6.1 C) 第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种. 同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？ (同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径) ［生］我能帮这位爷爷. ［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

自然数平方和公式推导

我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，

最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法

自然数的和,平方和,立方和

For personal use only in study and research; not for commercial use 求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321 ②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++ ③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++ 求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算 ① ∵12)1(22++=+n n n ∴ 1121222+?+= …… 将以上等式两边相加得： ∴ n ++++ 3212 )1(+= n n ② ∵3)1(+n = 13323+++n n n ∴ 1131312233+?+?+= …… 3)1(+n = 13323+++n n n 将以上等式两边相加得： )321(32222n ++++? = 3)1(+n —?? ????++?+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ = 6 )12)(1(++n n n ③ 用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(?? ? ??+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ )321()321()21(1n +++++++++++ ∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2 1212+

∴ 12 112112?+?= …… n ++++ 321 = n n 2 1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得： )321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2 12222n ++++ = ?? ? ??++++2)1(6)12)(1(21n n n n n = 6 )2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++?+?+?n n = 3 )2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++??+??+??n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n

完全平方公式解

完全平方公式讲解第一部分概念导入 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生计算 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】得到公式，分析公式（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．（3）公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．（4）几何解释图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．【学习方法指导】［例1］计算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2 点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2

一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件

一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件在上面第1楼的帖子中，证明了这样一个定理：第1楼帖子中定理正整数 M 能表示成两个整数平方和的充分必要条件是：M 的素因子分解式中，所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。注意，这个定理中说的是“整数平方和”，不是“正整数平方和”，所以，像 22039+=， 2 2 0749+= ，2 2 021441+= 这样的两整数平方和，都算是符合定理要求的。如果我们希望把上面这种带 0 的整数平方和的例子排除在外，把定理中的“整数平方和”改为“正整数平方和”，那么，定理又会是怎么样的呢？为了证明这样的定理，下面先证明一个引理。引理若有 222z y x =+ ，其中 z y x ,, 都是正整数，1),(=y x ，则必有正整数 q p , ，1),(=q p ，而且 q p , 一奇一偶，使得 2 2 q p z += 。证 y x , 不会都是奇数，否则 22y x + 是形为 24+n 的数，不可能等于 2z 。又因为 1),(=y x ，y x , 也不会都是偶数，所以 y x , 必定一奇一偶，不妨设 x 是奇数，y 是偶数，这时 z 显然也是奇数，而且 x z > ，1),(=z x 。因为 x z , 都是奇数，x z > ，所以 2 x z + ， 2 x z - 显然都是正整数。这时有 2 2 22 2 2 )2 (2 2 )2 )( 2 (y y x z x z x z == -= -+ 。因为 y 是偶数，所以 2 y 是整数。又因为 1),(=z x ，所以 1)2,2( =-+x z x z ，所以2)2(y 中的任何一个素因子，或者全部在 2x z + 中，或者全部在 2x z - 中。由于 2 )2 (y 中的素因子的幂次都是偶数，所以 2 x z + ， 2 x z - 中的素因子的幂次也都是偶数，可见 2 x z + ， 2 x z - 都是完全平方数。设 2 x z p += ，2 x z q -= ，因为 2 x z + ， 2 x z - 都是完全平方数，所以 q p ,都是正整数，而且有 z x z x z q p =-+ += +2 2 2 2 ，x x z x z q p =-- += -2 2 2 2 。

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下：一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1

完全平方公式

年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能 1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力． 2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程方法进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．情感态度了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力．教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用．教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．二、探究新知 1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳教师让学生利用多项式的乘法法则进行推理. 教师让学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．这里是对前边进行的运算的复习，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学

前n个数的平方和

前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前n 个连续自然数的平方和： )12)(1(61 ......2222321++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算： 321222++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表①： 1 2 2 ① 3 3 3 把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表②： 3 3 2 ② 3 2 1 再把数表②顺时针旋转120度得到数表③： 3 2 3 ③ 1 2 3

观察①、②、③三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？不难发现：最顶层的三个数字是：1、3、3；第二行左侧三个数字是：2、3、2；第二行右侧三个数字是：2、2、3；第三行最左侧三个数字是：3、3、1；第三行中间三个数字是：3、2、2；第三行最右侧三个数字是：3、1、3. 通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是7. 每个数表都是6个位置，所以三个数表数字之和：共6个7，而这三个数表的数字都是一样的（因为都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变），所以每个数表数字之和为：6×7÷3. 而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排1个数，第二行排2个数；第三行排3个数，所以共排了：1+2+3=6个数字。所以，32 1222++=（1+3+3）×（1+2+3）÷3 =（1+2×3）×3×（3+1）÷6；同理，n ++++......321222也可以采用上面的方法推导出来： 1 2 2 3 3 3 ………… ④ n n n n …………n n n n n n

2021年前n个自然数的平方和及证明

帕斯卡与前n个自然数的平方和欧阳光明（2021.03.07）十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n个自然数的平方和。这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（n＋1）3＝n3＋3n2＋3n＋1，移项可得（n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1，此式对于任何自然数n都成立。依次把n＝1,2，3，…，n－1，n代入上式可得 23－13＝3?12＋3?1＋1， 33－23＝3?22＋3?2＋1， 43－33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n3－（n－1）3＝3（n－1）2＋3（n－1）＋1，（n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1，把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n＋1）3－1；而n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n个1。因而我们得到

（n ＋1）3 －1＝3S n ＋2) 1(3+n n ＋n ，现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋2) 1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝61 n （n ＋1）（2n ＋1），即 12＋22＋32＋…＋n 2＝61 n （n ＋1）（2n ＋1）。这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前 n 个连续自然数的平方和：)12)(1(6 13212222++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算：

自然数的平方和公式的推导方法总结

自然数的平方和公式的推导方法总结自然数的平方和就是2222123n ++++ ()n N *∈，它的结果是1(1)(21)6 n n n ++。对于这一结论的推导，方法多种多样，现将我所知道的方法一一总结如下，与大家共享。方法一：设数列{}n a ，其中22212n a n =+++ ，则 {}n a 的一阶差数列记为1 {}n a ，其中121(1)n n n a a a n +=-=+，首项为114a =； {}n a 的二阶差数列记为2{}n a ，其中 21 1221(2)(1)n n n a a a n n +=-=+-+，首项为215a =； {}n a 的三阶差数列记为3{}n a ，其中 3221(25)(23)2n n n a a a n n +=-=+-+=，首项为312a =；于是我们可知数列{}n a 为三阶等差数列。于是我们应用下面方法求可求出数列{}n a 的通项。 22222222121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =5+333121n a a a -+++ =5+2+2+……+2=1125n C -+(2)n ≥ 亦知当1n =时亦有21125n n a C -=+，故有21*125,n n a C n N -=+∈ 1 1111111121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =4+222121n a a a -+++ =111110122142()5n n C C C C C --++++++ =2111254n n C C --++(2)n ≥ 亦知当1n =时亦有12111254n n n a C C --=++。故有1 2111254,*n n n a C C n N --=++∈ 121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =1+111121n a a a -+++

自然数平方之间的一些规律

自然数平方之间的一些规律自然数平方之间的一些规律内容摘要： 1、两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。 2、我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么它的平方分解的代数式为：（10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2 关键词:自然数平方规律数学与我们的日常生活息息相关。我对数字（特别是自然数）有着特殊的爱好。我经常留意数字世界，发现它们原来有些有趣的内在规律，下面我就自然数平方之间的一些规律为大家作如下陈述：一、相邻自然数平方之间的关系两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。如：两个相邻自然数3和4，它们的平方数：32＝9、42＝16，16与9的差是7，7正好是3与4之和。用代数式表示如下： a2－b2＝a＋b（a、b为相邻自然数，a-b=1）知道了这个规律，我们就可以利用它快速计算出和整十整百数相邻自然数的平方了。如：要计算99的平方。想一想：99与100相邻。所以只需用100的平方10000减去99与100之和199，即可得出99的平方了。列式如

下： 992＝1002－（100＋99）＝10000－199＝9801；如果要计算101的平方，想想，101的平方比100的平方大，所以只需用100的平方10000加上100与101之和201，即得出了101的平方了。列式如下： 1012＝1002＋（100＋101）＝10000＋201＝10201。二、两位自然数平方之间的规律在我们已经熟记了10以内甚至20以内自然数的平方后，我们试图把我们对平方的认识再向上拓展拓展。今天我就两位自然数平方之间的规律作如下列举说明： 1、十几的平方 112＝10×12＋12 122＝10×14＋22 132＝10×16＋32 142＝10×18＋42 152＝10×20＋52 162＝10×22＋62 172＝10×24＋72

完全平方公式(教案)

完全平方公式（一）教案武冈三中姚立云教学目标： 1、知识目标：理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，能正确应用公式进行简单的计算。 2、能力目标：渗透化归及数形结合的思想方法，培养学生的发现能力，灵活运用公式的能力和解决实际问题的能力。 3、情感目标：培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。教学难点：理解公式中字母的含义，公式的正确运用。教具：拼图版、电脑教学设计：一、创设情境，导入新课小组活动：做拼图游戏材料：边长为a 的正方形1个，边长为b 的正方形1个，长为a 、宽为b 的长方形4个。要求：使用上述材料部分或全部拼出一个大正方形。二、探索与发现 1、学生展示所拼图形，利用面积相等得到公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2、引导学生利用多项式乘以多项式推导2222)(b ab a b a ++=+ 3、引入课题：完全平方公式

4、师生互动师：公式的左边结构特征是什么？生：两个数的和的平方。师：公式的右边结构特征是什么？生：是一个三项式，其中两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。师生共同归纳：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍（简记：首平方尾平方积的2倍中间放）师：你能运用公式2222)(b ab a b a ++=+计算2)(b a -吗？生：可以，把2)(b a -看成2)]([b a -+即可。师：非常棒，你能把过程写出来吗？生：能。2222222)()(2)]([)(b ab a b b a a b a b a +-=-+-?+=-+=- 5、例题分析利用电子白板放映例：运用完全平方公式计算（1）2)2(y x + （2）2)2(y x - 解：（1）2222244)2()2(2)2(y xy x y y x x y x ++=+??+=+ 2222)(b ab a b a ++=+ （2）22222244)2()2(2)]2([)2(y xy x y y x x y x y x +-=-+-??+=-+=- 2222)(b ab a b a ++=+ 6、基础练习利用电子白板放映（1）判断正误，并改正 ①222)(y x y x +=+ ②222)(y x y x -=-