复变函数实验课(二)

湖北民族学院理学院

2014年春季学期

数学与应用数学专业复变函数实验课

（二）画图部分

上课教师：汪海玲

复变函数的matlab做图

matlab表现复变函数（四维）的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与高山。

单值函数：单叶

多值函数：多叶

matlab使用下列函数进行复变函数的做图：

cplxgrid：构建一个极坐标的复数数据网格

z=cplxgrid(m); %产生（m+1）*（2*m+1）的极坐标下的复数数据网格。最大半径为1的圆面

cplxmap：对复变函数做图

cplxmap(z,f(z),[optional bound]) %画复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部

cplxroot：画复数的n次函数曲面

cplxroot(n) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面

cplxroot(n,m) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面,为（m+1）*

（2m+1）的方阵

例1：画复数z^3的图形

z=3*cplxgrid(30);

cplxmap(z,z.^3);

colorbar

其结果如图

可见，自变量z的取值在水平面的半径小于3的园内。

cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部

由于函数为单页的，所以函数是单值的

例2：画复数（z-0.5）^0.5的图形

仿照cplxroot函数的程序，编程如下

m=20;

n=2;

r=(0:m)'/m;

theta=pi*(-m:m)/m;

z=r*exp(i*theta)-0.5;

w1=z.^(1/n);

subplot(2,2,1),surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1));

colorbar

w2=w1.*exp(i*2*pi/n);

subplot(2,2,2),surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2)); colorbar

subplot(2,1,2)

surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1));

hold on

surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2));

colorbar

如果仅使用w1=z.^(1/n);，则所得结果为图（2，2，1）可见，对于多值函数，MATLAB仅仅是对其主值进行计算。例3：复变函数1/（1-z）的级数展开

复变函数1/（1-z）是级数展开中常用的一个函数。

当abs（z）<1时，它的泰勒展开式为

1/(1-z)=求和（k=0,+无穷）z^k

当abs（z）>1时，它的罗朗展开式为

1/(1-z)=求和（k=-无穷,-1）z^k

泰勒展开与罗朗展开的区别

在复变函数里面，一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数.

从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式

m=30;

r=2*(0:m)'/m;

theta=pi*(-m:m)/m;

z=r*exp(i*theta)-0.5;

z(find(z==1))=nan;

z1=z;

z1(abs(z1)>=1)=nan;

w1=1;u1=1;

for k=1:100

u1=u1.*z1;

w1=u1+w1;

end

subplot(2,2,1)

cplxmap(z1,w1)

colorbar

z2=z;

z2(abs(z2)<=1)=nan;

w2=1./z2;u2=1./z2;

for k=1:100

u2=u2./z2;

w2=u2+w2;

end

subplot(2,2,2)

cplxmap(z2,-w2)

colorbar

subplot(2,2,3)

cplxmap(z,1./(1-z))

colorbar

temp1=caxis;

subplot(2,2,4)

cplxmap(z1,w1)

hold on

cplxmap(z2,-w2)

caxis(temp1)

axis([min(min(real(z))),max(max(real(z))),min(min(imag(z))),max(max(imag(z))),min(mi n(real(1./(1-z)))),max(max(real(1./(1-z))))])

colorbar

图（2，2，3）为matlab计算结果，图（2，2，4）为泰勒展开和罗朗展开的综合结果