线性代数讲义1

线性代数与解析几何讲义（部分）

引言（Introduction ）

1. 数学数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等．

2. 代数代数(algebra)分为古典代数和近世代数．

古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如：一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1-=；

一元二次方程 )0(02

≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(2

2,1a ac b b x -±

-=；

一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；

但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．

近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：

例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问

雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”

解法1 设雉、兔分别为x ，y ，则由??

?=+=+94

4235y x y x 解得??

?==12

23y x .

解法2 ????

??9435足头?

? ????→????? ????→????? ????→?122312354735兔雉兔头半足头再作差

作差半其足 . 解法 3 请兔子全“起立”后，雉兔总“足”数为70235＝?，从而得兔“手”数为

94－70＝24，于是兔子数为24÷2＝12，雉数为35－12＝23 .

注：后两种解法心算即可．

例2 某厂用四种原料生产五种产品，各产品的原料成份及各原料的用量为表1所示，求每种产品的产量（千克）．

表1 各产品的原料成份（％）及各原料的用量（千克）

解设A,B,C,D,E 五种产品的产量分别为X i （i ＝1，2，3，4，5），

则问题归结为求解方程组 ??

??=++++=++++=++++=++++600

1.06.01.0

2.01.07807.01.0

3.01.02.0250

1.02.02.06.04.0100

1.01.04.01.03.054321543215432154321X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

这是一个含五个未知量、四个方程的方程组．

例3 某商店经营四类商品，四个季度的销售额及利润额如表2所示．求每类商品的年

平均利润率（％）．表2 各类商品四个季度的销售额及利润额（单位：元）

解设四类商品A,B,C,D 的利润率分别为X i （i ＝1，2，3，4），则问题归结为解下面含四个未知量、四个方程的方程组 ???

?=+++=+++=+++=+++95

500500250300907504003001608580050010020080600300200250432143214

3214

321X

X X X X X X X X X X X X X X X .

现实中的很多问题，往往归结为求解含多个未知量（数）的一次方程组，称为线性方程组，其一般形式为 ??

???

??=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221

22221211

1212111 .

此类线性方程组可能有解，也可能无解；有解时可能只有一组解，也可能有多组甚至无穷多组解，如

⑴???=-=+226132121x x x x 有唯一解 ???==03

/12

1x x ;

⑵???=-=-226132121x x x x 有无穷多解 ???-==1321c x c

x （其中c 为任意常数） ;

⑶???=-=-4

261

32121x x x x 无解 .

那么，如何判定一个给定的线性方程组有没有解？如果有解，究竟有多少组解（一组、

多组、无穷多组）？这些解又怎样求（表示）出来？如果无解，又怎么办？因为无解的方程组如果是某一有解的实际问题的数学抽象，此时又如何（用这一线性方程组来）描述它所表示的实际问题的解（“广义解”）？这就要求我们研究解决线性方程组有解的判定条件、解法、解的结构与解的表示以及“广义解”等问题，这些都是线性代数所要解决的问题．

线性代数( Linear algebra )是从线性方程组、行列式和矩阵等理论中产生出来的，是代数各分支中应用最广泛的分支．在历史上首先应归功于英国的J.J.Sylvester 、A.Cayley 、美国的Peirce 父子和L.E.Dickson 等人的工作．

主要内容：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、相似矩阵及二次型等；

主要方法：初等变换法、降阶法、分块法、标准形法、特征值法等．下面我们将分别介绍．当然我们这里所介绍的只是线性代数中最基本的内容，还有很多内容(如矩阵论或矩阵分析等)要等到我们进一步深造时再学；而且线性代数本身也是在不断发展的．

参考书

[1] 线性代数(第三版、第四版)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社． [2] 线性代数（居余马等编）、线性代数与解析几何（俞正光等编）、线性代数辅导（胡金徳等编），清华大学出版社． [3] 线性代数（陈龙玄等编）、线性代数（李炯生等编），中国科技大学出版社． [4] 线性代数解题方法技巧归纳，毛纲源编，华中理工大学出版社． [5] 线性代数方法导引，屠伯埙编，复旦大学出版社． [6] Linear Algebra(UTM)，By L.Smith ，Springer-V erlag ．

．．．

第一讲行列式 ( Determinant )

教学目的与要求：了解n 阶行列式的概念，掌握行列式的性质和二、三阶行列式的计算方法，会应用行列式的性质简化n 阶行列式的计算，会用Cramer 法则解线性方程组．

重点：n 阶行列式的概念、性质与计算

§1 二、三阶行列式（复习与总结）

一、2阶行列

例1 求下列二元一次方程组的解：(1) ???=+=+②①

9442352121x x x x ；

（2）???=+=+②

① 22221211212111b x a x a b x a x a ……(1)（其中)021122211≠-=a a a a D ．

解 (1) )1(4-?+?②①得,2346211=?=x x

1)2(?+-?②①得1224222=?=x x ．

(2) )(1222a a -?+?②①得121222111)(x b a a b D Dx ?-===D 1/D ， 1121)(a a ?+-?②①得=?-==221121122)(x a b b a D Dx D 2/D ．

为使⑴的解表示简单，Leibniz 于18世纪初引入2阶行列式的定义如下：

定义设有4个元素（数）排成的两行（row ）、两列（column ）的

1211a a a a ，称为

一个2阶行列式，其值为a 11a 22－a 12a 21，即

2112221122

1211a a a a a a a a -=．

如例1（2）中的D=

1211a a a a 称为方程组⑴的系数行列式，而22

1211a b a b D =

，

1112b a b a D =

；（1）中的2494

2351,464

135,24

1121==

====

D D D ．

例２计算2

15－=

D ．

解 1331252

15＝）（－＝－?-?=

D ．

例３设1

λλ

D ，问λ为何值时，（1）D = 0，（2）D ≠0？

解因D =λ2－3λ＝λ（λ－3），故（1）当λ＝0或3时，D = 0；

（2）当λ≠0，3时，D ≠0．

例4 设1

21--=

k k D ，则D ≠0的充要条件是（）

答：k ≠－1，3．

(因D =(k －1)2－4＝（k ＋1）（k －3），故D ≠0的充要条件是k ≠－1，3) 例5 如果12221

12110==

a a a a D ，则下列（）是???=+-=+-00

22221211212111b x a x a b x a x a 的解．

(A)2

111222

1211b a b a x a b a b x ==

，; (B)2

111222

1211b a b a x a b a b x =

=，;

111222

1211b a b a x a b a b x ----=

----=

，； (D)2

111222

1211b a b a x a b a b x ---

=-----

=，．

答：（）

(因原方程组即???-=-+-=-+22221

211

212111)()(b x a x a b x a x a 的系数行列式1022

211211-=-=--=

D a a a a D ，

12122

1211a b a b a b a b D =

----=

，2

1112

1112b a b a b a b a D -

=--=

)

二、3阶行列式

例６求解下列三元一次方程组：（１） ?

??=++=++=++③

②①

333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (2)

（其中)0322311332112312213322113312312332211≠---++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ；

（２） ?

??-=++-=++=-③②①

232131232132131

x x x x x x x x . 解（1）记3332

232211a a a a A =

，33

232112a a a a A -

=，3231222113a a a a A =

, 33

131221a a a a A -

=，

131122a a a a A =

,32

121123a a a a A -

=,23

131231a a a a A =

,23

131132a a a a A -=,22

121133a a a a A =

，

则： ①×A 11＋②×A 21＋③×A 31得D X 1=D 1（=b 1A 11+b 2A 21+b 3A 31）, X 1=D 1/D ， ①×A 12＋②×A 22＋③×A 32得D X 2=D 2（=b 1A 12+b 2A 22+b 3A 32）, X 2=D 2 /D ， ①×A 13＋②×A 23＋③×A 33得D X 3=D 3（=b 1A 13+b 2A 23+b 3A 33）, x 3=D 3/D ；

(2) D=1+0-6-4+0-9=-18，

231

20A 61320A 81

31A 312111＝－＝

，＝－＝，＝－＝--

，＝－－＝，＝－－－＝

，＝－－＝53

21A 31

21A 71

31A 322212-

01A 33

01A 53

11A 332313＝＝

，＝－－＝，＝－＝

①×A 11＋②×A 21＋③×A 31得－18x 1＝－18 ?x 1＝1，

①×A 12＋②×A 22＋③×A 32得－18x 2＝0 ?x 2＝0， ①×A 13＋②×A 23＋③×A 33得－18x 3＝0 ?x 3＝0．

定义设有9个元素（数）排成的3行、3列的33

232221

1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式，其值为322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++．

如例6中的D 即称为方程组的系数行列式．

2、3阶行列式的值（代数和）可用沙路法（或对角线法则）来记忆： 2112221121

1211a a a a a a a a a a a a -=+

2312

3322

232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +

++++=

=322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++α;

或在图 33

23222113

12113332

232221

131211

a a a a a a a a a a a a a a a a a a 上操作．例7 计算 6

504321

D ．解

051642)1(03043)1(5260105

601-=??-??--??-??+-??+??=-

+-+

+-+=

例8 （1）01

=-=a b

b a D 的充要条件是（）

答：02

=+b a ．（因为2

b a D +=）

（2）01

1>=a a D 的充要条件是（），其中R a ∈．

答：10

>>-a a 或．

（因为12-=a D ）（3）01

2=-=k

D 的充要条件是（）

（A ）k ＝2；（B ）k ＝－2；（C ）k ＝0；（D ）k ＝3．

答：（B ）或（D ）．（因为)3)(2(64222-+=--=---=k k k k k k D ）

例９计算下列行列式的值（1）7

651

=D ；（2）7

452913'=D 解（1）201721436032108105749651

-=---++==D ；（2）2011472360108321057

452

'-=---++==D ．三、3阶行列式的性质 (由定义易验证，对2阶也成立且验证更易)

性质1 D T =D . 其中D T 为将D 的行与列互换后所得的行列式，即如果

232221

1211

a a a a a a a a a D =，则33

322212

312111a a a a a a a a a D T

=； D T 有时也记为D ˊ，称为行列式D 的转置行列式．此性质说明在（二、三阶）行列

式中行、列等位．因此凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立．

性质2 交换两行(或列)使行列式仅变号，即有33

232221

121133

131211

232221

a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=等．对换第i 行（列）与第j 行（列）记为（r i ，r j ）（（c i ，c j ））．

推论两行（或列）相同的行列式值为0，即有023

131211

1211=a a a a a a a a a 等．性质3 行列式中某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，即有 33

232221

121133

232221131211a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a =等．推论1 用数k 乘以某行列式相当于用k 乘以该行列的某一行（或列）．以k 数乘以第i 行（列）记为)(i i

c k r k ??．

推论2 某一行（或列）全为0的行列式的值为0．

推论3 有两行（或列）成比例的行列式的值为0．

如033

131211

121133

131211

==a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 性质4 若行列式的某一行（或列）的每个元素都是两个元素之和，则此行列式可按此

行（或列）分拆成两个行列式之和．如=+++=33

232322

2221

2113

1211

a a a c

c b c b a a a D D 1＋D 2，其中33

232221

1312111a a a b b b a a a D =，33

232221

1312112a a a c c c a a a D =．性质5 将某一行（或列）各元素的同一数倍加于另一行（或列）相应的元素上去，不

改变行列式的值，即有33

232221

121133

132312

2211

21131211

a a a a a a a a a a a a la a la a la a a a a =+++等．将第j 行（列）的l 倍加到第i 行（列）记为 r i ＋?l r j （ c i ＋?l c j ）．

注：性质2、3和5中的变换：对换两行（或列）、以非零常数乘某行（或列）和把某行（或列）的常数倍加到另一行（或列）上去，分别称为第一、第二和第三类初等行（或列）变换（详见第二讲§5）．

性质6（按行（或列）展开定理）（1）∑====3

232221

131211

)3,2,1(j ij ij

i A a

a a a a a a a a a D ，即

333332323131232322222121131312121111A a A a A a A a A a A a A a A a A a D ++=++=++=；

（2）∑==

i ij ij

A a

D （j=1,2,3）, 即313121211111A a A a A a D ++=

333323231313323222221212A a A a A a A a A a A a ++=++=

（其中A ij 如例6所示：ij j

i ij M A +-=)

1(，M ij 是将Ｄ中a ij 所在的第i 行和第j 列全划掉余

下的二阶行列式，称为a ij 在D 中的余子式，而A ij 称为a ij 在D 中的代数余子式．）

例10 计算下列行列式的值（1）1

5140

---=k

k D ；（2）1

1210-=k

k k D ．解（1）)3)(1(1

4301140043

5140

2321++=-+-=-+++---=k k k

k k k r r r r k

k D ；；

（2）)2(22

02101

01312k k k k k k

r r r r k

k k

D --=--=-----=；．

性质7（代数余子式的性质）（1）D A a ik j kj ij δ=∑=3

（其中???≠=k

i 0k

i 1，＝，δ

为Kronecker 记号．当i ＝k 时即为性质6（1）；当i ≠k ，如i ＝1，k ＝2时，0A 231322122111=+A a A a a ＋等）．

（2）D A a jl i il ij δ=∑=3

（当j ＝l 时即为性质6（2）；当j ≠l , 如j ＝1，l ＝2时，

0A 323122211211=+A a A a a ＋等）．

例11 求1

311

01--=D 的值，并验证性质7．解 D 的231

20A 61

20A 81

31A 312111＝－＝

，＝－＝，＝－＝

，＝－－＝，＝－－－＝

，＝－－＝53

21A 31

21A 71

31A 322212-

01A 33

01A 532

11A 332313＝＝

，＝－－＝，＝－＝

(1) 按第1列展开得=?-?+?=312111211A A A D 1×(-8)+1×(-6)-2×2=-18；

(2) 023)6(1)8(0310312111=?+-?+-?=?+?+?A A A ；其余类似．

四、Cramer 法则

1．一般情形由例1和例6即得

定理（Cramer 法则）（1）二元一次线性方程组 ???=+=+②

①

22221211212111b x a x a b x a x a …（1）当

其系数行列式D=

1211a a a a ≠0时有唯一解

D D x j j =（j ＝1，2）；

（2）三元一次线性方程组?

??=++=++=++③

②①

333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a …（2）当其系数行列式

D=33

232221

1211a a a a a a a a a ≠0时有唯一解 D D x j j =（j ＝1，2，3）．

例12(例6(2)的解法2 ) 181

311

＝－--=D ，D 1＝D ＝－18， 01

311211

2=---=

D ，???

???--0x 0

x 1x 023

111

D 3322113＝＝＝＝＝＝＝＝D D D D D D ．

注：两种解法本质是一样的，只不过解法2是直接用Cramer 法则的结果（公式），而原

解法是把消元（或Cramer 法则的证明）过程再写一遍．

2．齐次情形

推论奇次线性方程组 ???

??=++=++=++0

3332321

31323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2ˊ）当其系数行列式D ≠0

时只有零解（ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝0）．

以后将证明此推论的逆也成立，于是有

命题（1）奇次线性方程组（2ˊ）只有零解?D ≠0；

（2）奇次线性方程组（2ˊ）有非零解?D ＝0．

例13 λ取何值时，奇次线性方程组??

??==-+=++00023321321x x x x x x x λλλ，有非零解？

解因为)1(0

1121

-=-=λλλ

D ，故当λ＝0或±1时，该方程组有非零解．

例14 如果方程组??

??=--=+=-+0540

3z y kx o z y z ky x 有非零解，则（

）．

（A ） k ＝0；（B ）k ＝1：（C ）k ＝－1；（D ）k ＝－3．

答：（C ，D ）．(由例10（1）)3)(1(1

140

++=---=k k k

k D 即得) ．例15 当（

）时，奇次线性方程组??

??=+-=++=+02020

z y kx z ky x z kx 仅有零解；

（A ） k ＝0；（B ）k ＝－1；（C ）k ＝2；（D ）k ＝－2．

答：（A ，B ，D ）．(由例10（2）)2(21

0k k

k k

D --=-=即得) ．

§2 全排列及其逆序列

问题：行列式可否归纳定义 212

112221

11122

12112)

1()

1(a a a a a a a a D ?-?+?-?==++，

当n ≥2时，n n n

n ij

n A a A a A a a D 1112121111+++==? ，其中j j

j M A 111)1(+-=，M 1j 为

a 1j 在D n 中的余子式（n －1阶行列式）？

一、全排列

例1 用1、2、3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？请写出．

解共6个，分别为123，132，213，231，312，321．

把n 个不同的元素（不妨设为1，2，…，n ）排成一列，叫做这n 个元素的一个（n 级）

全排列，n 个不同元素的全排列的种数为P n ＝n!，如P 3＝3!＝6，P 4＝4!＝24，P 5＝5!=120等．

记S n 为1，2，…，n 的所有n 级排列所组成的集合，即S n ＝{（j 1j 2…j n ）| (j 1j 2…j n )为n 级排列}，则|S n |= n!．

二、逆序与逆序数

1. 标准排列：对n 个不同的元素，先规定一个标准次序（如对1，2，…，n ，规定从小到大的次序为标准次序），从而得到一个标准排列．对1，2，…，n ，今后规定其标准排列为自然排列1 2 … (n －1) n ．

2.逆序与逆序数在一个n 级排列中，当两个元素a 和b 的先后次序与标准顺序不同时，则说a 和b 形成一个逆序；一个排列中所有逆序的总数叫该排列的逆序数．排列p 1p 2…p n 的逆序数记为 t （p 1p 2…p n ）．逆序数为奇（或偶）数的排列称为奇（或偶）排列．例2 （1）2个2级排列12和21，一个为奇排列（21），一个为偶排列（12）．

（2）3级排列的逆序数表（6个3级排列中奇、偶排列各3个）

三、逆序数的求法

不妨设n 个元素为1，2，…，n ，其标准排列为自然排列1 2 … n ，设p 1p 2…p n 为1，2，…，n 的一个排列，记t i =t(p i )为排列p 1p 2…p n 中p i 左（前）面的比p i 大的元素的个数，s i ＝s （p i ）为排列p 1p 2…p n 中p i 右（后）面的比p i 小的元素的个数，简记t(p 1p 2…p n )为t ，则

(1) t(1)t(2) t(n)t(n) t(2)t(1)t t t t n 21+++=+++=+++= ； (2)s(1)s(2) s(n)s(n) s(2)s(1)s s s n 21+++=+++=+++= t ．注：显然0(1)t(n)t 1====s s n ， t(1 2 … n)=0．

例３求（1）t=t(32514)；（2）t(7632451)；（3）t(2 3 … n 1)；（4）t(n (n-1) … 2 1) ．解（1）因t 1=t(3)=0，t 2=t(2)=1，t 3=t(5)=0，t 4=t(1)=3，t 5=t(4)=1? t =5（奇），或因s 1=s(3)=2，s 2=s(2)=1，s 3=s(5)=2，s 4=s(1)=0，s 5=s(4)=0? t =5．（2）t(7632451)=0+1+2+3+2+2+6=16，或=6+5+2+1+1+1+0=16（偶）．（3）t(2 3 … n 1)=0+0+…+0+(n-1)= n-1，或=1+1+…+1+0= n-1．

（4）t(n … 2 1)=0+1+…+(n-2)+(n-1)=2)1(-n n ，或=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n ．如62341) 2 3 t(4=?=，102451) 2 3 4 t(5=?=，152561) 2 3 4 5 t(6=?=，…

再看6个3级排列的逆序数：t(123)=0，t(132)=0+0+1=1，或=0+1+0=1；

t(213)=0+1+0=1，或=1+0+0=1；t(231)=0+0+2=2，或=1+1+0=2；t(312)=0+1+1=2，或=2+0+0=2；t(321)=0+1+2=3，或=2+1+0=3．

四、对换及其性质

１．对换：在一个排列中，互换某两个元素（如i ，j ）的位置，而其余的元素不动，叫做对该排列的一次对换，记为（i ，j ）；互换相邻两个元素的对换叫做相邻对换．

例４（321）0)123(,3)321(),123(3,1(==??→?t t ）；

（7632451）??→?)

1,6(（7132456）

，t(7632451)=16（偶）， t(7132456)=0+1+1+2+1+1+1=7（奇）．

２．

性质

性质1 一次对换改变排列的奇偶性．

证明（1）相邻对换改变排列的奇偶性：设（…a b …）??→?)

,(b a （…b a …）因对换（a ，

b ）只改变了a 和b 之间的逆序：当ab 时，经对换后逆序数减少1．而a 或b 与其他元素，以及其他元素之间的逆序数经对换后都没有改变，故相邻对换改变排列的奇偶性．

（2）任一对换可由奇数次相邻对换而得到，从而改变奇偶性：（…ac 1c 2…c s b …）??→?)

,(1

c a

(…c 1ac 2…c s b …) ??→???→?),(),(2

c a c a （…c 1c 2…c s ab …）??→?),(b a （…c 1c 2…c s ba …）

??→?),(b c s (…c 1c 2…bc s a …)??→??→?),(2b c ( …c 1bc 2…c s a …)??→?)

,(1b c (bc 1c 2…c s a …)，

共2s+1次．

例４

（1）对换（7632451）??→?)

1,6(（7132456）可由9次相邻对换得到，相应的

逆序

变化为：（16=）t(7632451)= t(7362451)+1= t(7326451)+2= t(7324651)+3= t(7324561)+４ = t(7324516)+5=( t(7324156)+6= t(7321456)+7= t(7312456)+8= ) t(7132456)+9 (=7+9)．（2）(7=) t(7132456)= t(1324567)+6= t(1234567)+7 (=0+7)．

（3）(16=) t(7632451)= t(6324517)+6= t(3245167)+11= t(3241567)+12= t(3214567)+13=t(2134567)+15=t(1234567)+16(=0+16)．

性质2 （1）任一排列（p 1p 2…p n ）总可经有限次（相邻）对换成标准排列，且所作对换的次数k 与该排列有相同的奇偶性，即k 与t (p 1p 2…p n )奇偶性相同；

（2）任一排列（p 1p 2…p n ）都可由标准排列1 2 … n 经有限次（相邻）对换而得到，且所作对换的次数k 与该排列有相同的奇偶性，即k 与t (p 1p 2…p n )奇偶性相同．

（3）S n 中的任意两个n 级排列均可经有限次（相邻）对换而互相得到；且若这两个排列的奇偶性相（或不）同，则所作对换的次数为偶（或奇）数．

证（1）对排列的阶n 归纳．当n=1时显然成立．假设结论对n －1已经成立，则对n ： ①若排列为p 1 … p n-1 n ，由归纳假设n －1级排列p 1 … p n-1可经有限次对换成为标准排列1 2 … （n －1），且所作对换的次数与t(p 1…p n-1)有相同的奇偶性，从而p 1…p n-1 n 经上述对换即成为标准排列1 2 …(n －1) n ，且所作对换的次数的次数与t(p 1…p n-1 n)＝t(p 1…p n-1)有相同的奇偶性．

②若排列为（p 1…p i-1 n p i+1…p n ），则可经n －i 次相邻对换成为（p 1…p i-1p i+1…p n n ），且t （p 1…p i-1 n p i+1…p n ）=t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）＋（n －i ），而由①得p 1…p i-1p i+1…p n n 可经有限次对换成为1 2 …(n －1) n ，且所作对换的次数m 与t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）有相同的奇偶性，于是p 1…p i-1 n p i+1…p n 可经m ＋n －i 次对换成为1 2 … n ，且所作对换的次数k =m+n-i 的奇偶性与t （p 1…p i-1 n p i+1…p n ）即t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）+n －i 的奇偶性相同．图示如下：（p 1…p i-1 n p i+1…p n ）??→?-次

i n （p 1…p i-1p i+1…p n n ）??→?次

m （1 2 …(n －1) n ）

； ③所作对换次数与原排列有相同的奇偶性还可如下证明：设排列p 1…p n 经k 次对换成为标准排列，则t(p 1…p n )经k 次改变奇偶性后成为0 (=t(1 2 … n))，从而k 与t(p 1…p n )奇偶性相同（对k 为奇、偶数分别说明）．

（2）将（1）中的变（对）换全倒过来便得．

（3）由（1）和（2）：?→?次k n p p p )(21 （1 2 … n ）)21h n q q q （次?→?即得．

性质3 n ！个n 级排列中奇偶排列各为）2(2!≥n n ．

证因映射?：{n 级奇排列}??→?），（21{n 级偶排列}为一一对应，即得．

如 {(21)}??→?），（21{(12)} ； {(132), (213), (321) }??→?），（21{(231), (123), (312)} .

§3 n 阶行列式的概念

一、二、三阶行列式的结构规律

１. 二、三阶行列式定义式的结构

（1）

2112221122

1211a a a a a a a a -=中的两项可统一表示为2

2121)

()

1(j j j j t a a -，其中（j 1j 2）

取遍所有（2个）2级排列（12），（21）．

（2）3

3?ij

a ＝322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++α中的6项可

统一表示为321321321)

()

1(j j j j j j t a a a -，（j 1j 2j 3）取遍所有（6个）3级排列（123），（231），（312），

（321），（213），（132）．

２. 二、三阶行列式的共同规律

设n ＝2或3，则：

(1) n 阶行列式为由n 2

个数得到一个数的函数；

(2) n 阶行列式为n ！项的代数和，每项为n 个元素的乘积，而这n 个元素是取自n 阶行列式中的不同的行、不同的列；

(3) n 阶行列式中每项正负号的确定：当项中各乘积因子的第一个（行）下标为标准排

列时，其第二个（列）下标为奇（偶）排列的项带负（正）号． 3. 二、三阶行列式的简单统一表达式

（1）

∑∈-=

21221)(21

(22211211)

1(s j j j j j j t a a a a a a ，其中)}1,2(),2,1{(2=S ；（2）∑∈-=3

32132321)(321

(33

232221

131211

)

1(s j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a ， S 3＝{（j 1j 2j 3）| (j 1j 2j 3)为3级排列}={（123），（231），（312），（321），（213），（132）}．

二、n 阶行列式的定义

1．定义设有n 2

个元素排成的n 行、n 列的

n n n n a a a a a a a a a

2222111211

称为一个n 阶行列

式，其值为

∑∈-n

n n n s j j j nj j j j j j t a a a )(21

(21221)

1( ．上述n 阶行列式可简记为n

n ij a ?或det n (ij a )．

注：⑴当n ＝2，3时，与前面定义一致；当n ＝1时，1111a a =（注意别与绝对值混淆）． ⑵当n ≥4时，“沙路法”不再成立（或不再那样简单），见例1(4)．

例１（1）

λλ

０

=（（主）对角线（形）行列式），

n a a a

＝?0

，

＝

， |0|n ×n = 0；（2）

nn nn

n n a a a a a a a a a

22112

222111

＝（下三角形行列式）；

（3）

nn nn n n a a a a a a a a a

2211222

112110=上三角形行列式）

(；

（4）

)

1(0

22111111

11212

)

1(1

121

21n n n

n n n n n n nn

nn n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a

------=

-=， n n n λλλλλλ

212

)

1(2

)1(0

--=ｎ

（次对角形行列式）；

如

,abcd 0

c b a 0

abcde 0

e d

c b a 0=

;

abcdef 0

e d

c b a 0-=

（5）

abcd abcd abcd d c b a t -=-=-=3

)

3142()1()

1(000000000000；

（6）

111111)

1(11

001001011010

)

4123(-=-=???-=３

）（t （因第3行和第1列均只有一个非零

元素，因此非零项必取含21a 32a 的，从而另两个乘积因子1

1j a 和4

4j a 只能分别取14a 和43a 才

能使该项不为0，于是得结果）；（7）

∑∑∈∈-?

=-=

4324

324324

432432432)(432)

(11S )j j (1j 43211)

1(44

443332312423222111)

1()

1(000S j j j j j j j j j t j j j j j j t a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a })243,324,432,423,342,234{}3234{(344

343332

342322

11）（）（）（）（）（）（＝级排列的=?=S a a a a a a a a a a ；

类似有

n n

n n n a a a a a a a a a a a a

222

112

2222111

00?=，特别地，00002

22221=nn

n n n a a a a a a

，

一般地，

nr n r r r rr

r r nn

r n nr

n n r r r r r r rr r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

1111

1110000++++++++++?=，

简记为

C A C

O A ?=;

（8）当n ≥2时，

n n n n n n

n n a a a a a a a a a a 12212

)

2)(1(1221)

1(0

000000000000

0000-------=

．

（9）当n ≥2时，02

1(1

1111111

)

()

(2121=-

∑

?n n n n j j j j j j t n

．

（10）n

n ij

j n nj j j j j j j j t n

n j

i j i a b

a b

a b b

a n

n n ?---?-=-=

≠∑)())(()

1()0(2

1212211)

( ．

2．等价定义

定理1 n i i i i i i i i i t n

n ij

n n n a a a a D 21)

()

(212121)

1(∑-=

=?（记为D 1）．

证 ???

?????????→??????)n 12)12()(2121i i j j 212121i j j i 21n nj j j n n i i i j j j a a a n i i i a a a n

n 列标（）行标（列标行标）＝，＝经若干次对换（

因n n n nj j j j j j j j j t n

n ij

a a a a 21212121)

()

1(D ∑-=

?＝

由对换的性质2知对D 中任一项n n nj j j j j j t a a a 212121)

()1(-总有且仅有D 1中的某一项

n i i i j j j t n n a a a 21)

(2121)

1(-与之对应并相等；反之，对D 1中任一项n i i i i i i t n n a a a 21)

(2121)1(-，

也总有且仅有D 中的某一项n n nj j j j j j t a a a 212121)

()

1(-与之对应并相等，如Ｄ4中

))1(()

1()

)1(()

1(423421133

34134221)

2413(423421133

42342113)

3142(a a a a a a a a a a a a a a a a t t -=-=-=-；

于是D 与D 1中的项可以一一对应并相等，从而D ＝D 1．定理2 n n j i j i j i J t I t n

n ij

a a a a 2211)

()()

1(∑+?-=

，其中t(I)=t(i 1i 2…i n )，t(J)=t(j 1j 2…j n )，

∑为对所有n 级排列(i 1i 2…i n )求和（此时(j 1j 2…j n )为某一固定的n 级排列），或为对所有n 级排列(j 1j 2…j n )求和（此时(i 1i 2…i n )为某一固定的n 级排列）．

证用对换的性质2（3），与定理1类似证明即可．

再看例1（3），a b c d a b c d a c b d a b c d b d a c d

c b a t t t -=-=-=-=-=++4

3412()1324()

413()

1()

1(,)

1(00

000000000又．

注：此例中i 1＝2，i 4＝4，i 3＝1，i 4＝3；j 1＝3，j 2＝1，j 3＝4，j 4＝2；j i1＝j 2＝1， j i2＝j 4＝2，j i3＝j 1＝3，j i4＝j 3＝4；i j1＝i 3＝1，i j2＝i 1＝2，i j3＝i 4＝3，i j4＝i 2＝4．

§4 行列式的性质

一、性质

设nn

n n n n a a a a a a a a a D

2222111211

，记D T

（或D ˊ）nn

n n a a a a a a a a a

212221212111

，

称为D 的转置（行列式），由§3定理1立即得：

性质1 D T

＝D , 即任一行列式与其转置的值相等．

此性质说明：行列的行与列具有同等的地位，凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立．

性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式仅变号．

证设k i a a a a D in i kn k

1=，欲证D 1＝－D ，只需证D 1和D 的定义式中的一般项互

为相反数即可．事实上，D 1中的一般项为n k i 1n k i 1nj ij k j j 1)

j j j j (t a a a a )

1( -

n i k

n i k 1nj k j j i j 1)

j j j j (t a a a a )

1( --=恰为D 中一般项的相反数；故得证．

推论两行（或列）完全相同得行列式值为零．

性质3 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，

kD a a ka ka a a nn

n in i n =

1111．证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可．

推论1 行列式的某一行（或列）中所有元素都乘同一数k ，等于用k 乘此行列式．推论2 某行（或列）全为零的行列式的值为零．推论3 两行（或列）成比例的行列式的值为零．

性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两项之和，则该行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和，即

n in i n nn

n in in i i n a a c c a a a a b b a a a a c b c b a a

11111

1111

1111+=++．证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可．

性质5 将行列式某一（如第j ）行（或列）每个元素的常数l 倍加到另一（如第i ）行

（或列）相应的元素上去，其值不去，即n

n ij

n jn

in j i n a D a a la

a la

a a a ?==++(1

1111

)．

证由性质4，左边的行列式可分拆成两个行列式之和，一个为D ，而另一个为

11111=nn

n jn j jn

j n a a a a la la a a

（因其第i 行与第j 行成比例）；从而得证．

二、行列式的计算—化为三角形行列式

定理1 任何一个行列式均可利用性质2和5化为上（或下）三角形行列式，从而计算其值．

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第一学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2．设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性相关． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关，则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη，则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）

线性代数讲义

线性代数讲义线性代数攻略线性代数由两部分组成: 第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策 1. 计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题. 一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则: l 典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积) 例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式： . 解先算|B|=xn;再算|A|：故|C|= |A|(-1)(1+?+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1| =(-1)(1+2n)n(n+x)/x. 例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ]. 分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.) 例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a| =2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ]. 解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了: A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1. 故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵! 例2(上海交大2002) 计算行列式其中,. 本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B10,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn10. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK 例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|. 很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以, |2A2+3E|=3′5′35=525. 例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA￠=I,|A|<0,求|A+I|. 解首先, 1=|AA￠|=|A|2,所以|A|=-1. 其次, |A+I|=|A+AA￠|=|A||I+A￠|=|A||I+A|=-|I+A|, 故|A+I|=0. (涉及的知识点: |A|=|A￠|, (A+B)￠=A￠+B￠.) 例5(1999)设A是m′n矩阵,B是n′m矩阵,则

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

上海财经大学《线性代数》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。上海财经大学《线性代数》课程考试卷（B ）闭卷课程代码 105208 课程序号姓名学号班级一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装订线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。（A ）充分必要条件；（B ）充分条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

同济大学2010-11线性代数B期末考试试卷_A卷_

同济大学课程考核试卷(A 卷) 2010—2011学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷年级专业学号姓名任课教师题号一二三四五六七总分得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(均为单选题)(27分) 1、已知4阶方阵1234 567890 54 a b A c d ????? ? =?????? ，函数()||f x xE A =?,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________. 2、设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式 1231,,,m αααβ=，又 1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m ?_______________. 3、已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=?=?=，其伴随矩阵为* A ，则行列式 *A =_____36_________. 4、已知α是3维实列向量，且111111111T αα?????=????????? ，则α=5、设α是3 R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,T x x x ，则α在基 1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx ?________________. 6、下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________. 1(). ). (). ().n A A A A B C n cE c D ?若矩阵可逆，则与可交换 (可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换 7、设A B 、均为n 阶方阵，且()2 AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______. ()2 2 2 (). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E ==?== 8、设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____ (). 0 (). 0 (). 0 ().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======?=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解有唯一解 9、下列向量组中线性无关的是_______C__________. ()()()()()()()()()()()()()() (). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D ??,, ( 二、(10分) 已知n 阶行列式1 231 200 1 0301 00n n D n ="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和.

大一线性代数期末试卷试题卷及标准答案解析.doc

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案号位座注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚；线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。题号一二三四五总分业得分专评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。题封答1．设矩阵A为2 2矩阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是院不内【】学线封密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓

C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是【】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有【】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是【】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则【】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个【】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是【】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2

自考04184线性代数(经管类)讲义

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。 1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：解得0

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数英文讲义

Chapter 4 Linear Transformations In this chapter, we introduce the general concept of linear transformation from a vector space into a vector space. But, we mainly focus on linear transformations from n R to m R. §1 Definition and Examples New words and phrases Mapping 映射 Linear transformation 线性变换 Linear operator 线性算子 Dilation 扩张 Contraction 收缩 Projection 投影 Reflection 反射 Counterclockwise direction 反时针方向 Clockwise direction 顺时针方向 Image 像 Kernel 核 1.1 Definition ★Definition A mapping(映射) L: V W is a rule that produces a correspondence between two sets of elements such that to each element in the first set there corresponds one and only one element in the second set. ★Definition A mapping L from a vector space V into a vector space W is said to be a linear transformation（线性变换）if

大一线性代数期末考试试卷

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

渤海大学线性代数试题期末考试试卷及参考答案

渤海大学20 级专科 (机电一体化技术专业) 第二学期《线性代数》试卷题号一二三四五六总分得分一、填空：（每空2分，共20分）（1） _________3 412=。（2）_________40 00 03000020 00011 =????? ???? ???- （3） _________4 00 083005 720604 1= （4）_________11211120122431210133=???? ??????-+??????????- （5）若__________ 5032==??? ? ??=A A A T 则 (6)=+-==-=32132127) ,5, 2( ,)1 ,2 ,4( , )2 ,1 ,1(αααααα则有=_______ (7)1 2111-??? ? ??=____________。（8）若A=???? ??????333222321则A 的列向量组为____________若r(A)=2，则列向量组的秩为________。二、选择题：（每题2分，共10分）（1）设==≠==2 2 2 333 1 1113 3 3 222 111 222222222D ,0c b a c b a c b a k c b a c b a c b a D 则（） (a)-2k (b)2k (c)-8k (d)8k （2）n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系为（） ij ij A M a -=)( ij n ij A M b )1()(-= ij ij A M c =)( ij j i ij A M d +-=)1()( （3）E C B A 、、、为同阶矩阵，且E 为单位阵，若E ABC =，下式（）总是成立的。 E BCA a =)( E ACB b =)( E CBA c =)( E CAB d =)( （4）), (=κ下列方程组有唯一解。 ?? ?? ?? ?---=--=-=--=++)1)(3()1(32213332321k k x k k x k x x k x x x 2)(a 1)( 4)( 3)( -d c b （5）设A 是n m ?矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组B AX =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）有唯一解。仅有零解，则若B AX AX a ==0)( 有无穷多解。非零解，则若B AX AX b ==0)( 仅有零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX c 有非零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX d 三、简单计算（每题8分，共24分）（1）1 3 042 241 -- (2) ???? ? ??? ????????-021012 7011011 得分阅卷人得分阅卷人得分阅卷人

线性代数讲义-01行列式

第一章行列式第一节行列式的定义. 一排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列. 按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列. 定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数. 在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n . 定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列). 例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列. 定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换. 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性. 证如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变. 考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性. 如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数. 例1.1 求排列32514的逆序数. 解按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++. 例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 证将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等. 二行列式定义以前学过二阶与三阶行列式: 2112221122 21 1211a a a a a a a a -=;

中山大学《线性代数》期中考试卷答案

珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷姓名：专业：学号：成绩：一，填空题（每题3分，共24分） 1.在5 阶行列式中，含有a13a34a51且带有负号的项是________________ 2.设A是3阶方阵，| A |= 1/3 ，则|（3A）-1 + 2A*| = 1 1 0 0 1 1 1 1 3. 5 2 0 0 = ： 4 . x c b a = ; 0 0 3 6 x2c2b2a2 0 0 1 4 x3c3b3a3 5 . 已知矩阵 A = 1 1 , B = 1 0 , 则AB – BA T = ; 0 -1 1 1 1 0 2 6. 已知矩阵 A = 1 k 0 的秩为 2 ,则k = ; 1 1 1 2 1 1 1 7. 1 2 1 1 = ; 8. 若A = diag( 1 ,2 ,3 ,4 ) , 则A-1= ; 1 1 2 1 1 1 1 2 二. 判断题（每题2分，共10分） 1. 任一n 阶对角阵必可与同阶的方阵交换。（） 2. n 阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…a1n总是带负号的（） 3. 若A为n 阶方阵，则（A*）T = ( A T )* （） 4. 设A , B 为n 阶方阵，则有（AB）3= A3B3（） 5. 设A与B 为同型矩阵，则 A ~ B的充要条件是R（A）=R ( B ) ( ) 三,计算下列行列式( 每题8 分,共16 分) -2 -1 1 -1 0 1 0 …0 0 D4 = -2 2 4 8 1 0 1 …0 0 -2 1 1 1 D n = 0 1 0 …0 0 -2 -2 4 8 . . . . . 0 0 0 …0 1 0 0 0 … 1 0 -1 -1 0 四. 已知 A = -1 0 1 且AB = A – 2B , 求 B . 2 2 1

中南大学线性代数试卷

考试试卷1 闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分） 1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。 2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。 3、设??? ? ? ??-----=2531312311 112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。 4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 011 1)(++++=-- 必有特征值。 5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为2 2214y y f +=，则=a 。二、选择题（本题15分，每题3分） 1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（）。（A ）A 中两行（列）元素对应成比例；（B ）A 中有一行元素全为零；（C ）任一行元素为其余行的线性组合；（D ）必有一行元素为其余行的线性组合。 2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（A ）BAB ；（B ）ABA ；（C ）ABAB ；（D ）BABA 。 3、设向量组()()()，，，，，，，，，T T T t 31321111321===ααα当=t （）时，向量组321ααα，，线性相关。（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 4、设A 为34?矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量， 21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（）。（A ） )(21213 2ηηηη-++k ；（B ） )(21213 2ηηηη-+-k ；（C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ；（D ）)()(2 1321213 2ηηηηηη-+-+-k k 。 5、设方阵??? ? ? ??=20001011k k A 是正定矩阵，则必有（）。

大连理工大学线性代数试卷

线性代数试题(仅供学习交流，勿用与商业) 一、填空题 (共30分, 每空2分) 1. 若A 为33?型的矩阵且C B A c r r ??→??? →??+5232 1 , 则???? ? ????? ????????? ? =A C . 2. 设321,,a a a 为一向量组, 且存在数k 使得133221,,a a ka a ka a ++-线性无关, 则k 的取值为 . 3. 已知??????????-=130140002A , 则???? ? ???? ? =-1A . 4. 设四阶方阵的列分块阵为],,,[ ],,,,[321321c a a a B b a a a A ==, 1|| ,2||-==B A , 则= +||B A . 5. 设向量组T T a a ]1,1,1[,]1,1,1[21-=-=是向量空间V 的一个基底, 向量 b 在该基底下的坐标向量为T ]1,2[, 则=b ; 又基底21,b b 到21,a a 的过渡矩阵为?? ????3211, 则= 1b ,= 2b , 向量b 在基底21,b b 下的坐标向量为 . 6. 设向量组I:s a a a ,,,21 线性相关, 秩是r , II:t b b b ,,,21 线性无关, 且II 可由I 线性表示, 则r 与t 的关系为 ; s 与t 的关系为 . 7. 设b Ax =是n m ?型的非齐次方程组, 1)(-=n A r , 21,u u 是该方程组的两个不同的已知解, 则其通解为 . 8. 若二次型2 322 21321)()(2),,(x x x x x x x f +++-=, 则其规范形=),,(321y y y g . 9. 若方阵A 满足O E A A =-+62 , 则A 的特征值可能的取值为 .

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