有理数的概念讲义

有理数的概念

一．正数、负数和0

像8848.3、100、357、78这样的数是正数；像-154、-38.87、-117.3、-0.102%这样的数是负数. 0既不是正数，也不是负数.

用正负数可以表示具有相反意义的量. 例题：

1.下列各数3，﹣5，0，?3

，+11

，﹣0.03，6.75中，正数有

2.如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45?0.04+0.03．其中，Φ45表示直径是45mm ，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm ，﹣0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm ，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm ），其中不合格的是（）

A. 45.02

B. 45.01

C.44.98

D. 44.93所有

练习：

1．一种面粉的质量标识为“25±0.20千克”，下列面粉中合格的是（） A ．25.30千克 B ．24.70千克

C ．25.51千克

D ．24.82千克

2．下列各式结果是负数的是（） A ．﹣（﹣3） B ．﹣|﹣3| C ．3﹣2 D ．（﹣3）2

二．有理数的分类有理数的分类：

（1）（2）

非负数是指正数和零的总称，即正数和零. 非正数是指负数和零的总称，即负数和零.

非正整数指不是正整数的其它整数，它包括负整数和0. 非负整数指不是负整数的其它整数，它包括正整数和0. 例题：

1.把下列各数填在相应的横线上：

+5，﹣1

2，﹣20，0，3.14，﹣1，﹣9.8，100

分数：________________________________________；非负整数：____________________________________. 练习：

1．在0，2.1，﹣4，﹣3.2这四个数中，是负分数的是（） A ．0 B ．2.1

C ．﹣4

D ．﹣3.2

2．在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

()???????????

???

????

正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数

正分数

分数负分数()()????

??????

正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数

3．在下列各数：﹣，+1，6.7，﹣（﹣3），0，，﹣5，25% 中，属于整数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个

三．数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上任意一点都表示一个有理数或无理数. 数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

例题：

1.如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（）

A.在点A，B之间

B. 在点B，C之间

C. 在点C，D之间

D. 在点D，E之间

练习：

1．已知a、b在数轴上的位置如图所示，那么下面结论正确的是（）

A．a﹣b＜0 B．a+b＞0 C．ab＜0 D．2．如图，在数轴上，被叶子盖住的点表示的数可能是（）

A．﹣1.3 B．1.3 C．2.3 D．π

3．一个点从数轴上表示﹣2的点开始，向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度．则此时这个点表示的数是（）

A．0 B．2 C．1 D．﹣1

4．同一条数轴上三个点A、B、C所表的数分别是﹣1、2、5，则下列结论正确的是（）

A．A、B两点到原点的距离相等B．B、C两点到原点的距离相等

C．A、B两点到点C的距离相等D．A、C两点到点B的距离相等

5．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B 村，然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．

（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；

（2）C村离A村有多远？

（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？

四．相反数

如果两个数只有符号不同，那么其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.

0的相反数是0.

互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.

例题：

1.对于﹣a表示的数理解不正确的是（）

A. 一定是负数

B. 可以表示a的相反数

C. 有可能是正数

D. 有可能是0

2.如图，数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，则a，﹣a，b，﹣b，1比较大小正确的是（）

A. a＜﹣a＜b＜﹣b＜1

B. a＜﹣b＜b＜1＜﹣a

C. a＜b＜﹣a＜﹣b＜1

D. a＜﹣b＜1＜b＜﹣a

练习：

1．如图，数轴上的点A表示的数为a，则a的相反数等于（）

A．﹣2 B．2 C．D．

2．下列各数中，其相反数等于本身的是（）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2018

3．在左右一条直线共种有100棵树，从左数第35棵树，从最右边数这棵树是第a棵树，则a的相反数是（）

A．﹣65 B．﹣66 C．﹣64 D．66

4．一个数a的相反数是2018，则的值是（）

A．2018 B．﹣2018 C．﹣1009 D．1009

五．绝对值

绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

1.化简：

（1）﹣|+2.5|；

（2）|+5|；（3）|﹣（﹣3）|；（4）﹣[﹣（+5）]．

练习：

1．下列各式不正确的是（）

A．|﹣2|=2 B．﹣2=﹣|﹣2| C．﹣（﹣2）=|﹣2| D．﹣|2|=|﹣2| 2．下列数中，使|x﹣2|=x﹣2成立的是（）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

3．若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣c|﹣|b+c|可化简为．

4.已知有理数a在数轴上的位置如图，则a+|a﹣1|= ．

综合练习：

1.?3

2的相反数是__________,绝对值是____________.

2.每袋大米以50kg 为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是______ kg ．

3.纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：

当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是_____________________________________.

4.下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期________水位最低.

5._____的绝对值是它本身，绝对值最小的数是___，最小的正整数是___，最大的负整数是____，最小的自然数是___．

6.把下列各数分别填人对应的集合里．

﹣5，|﹣3

4|，0，﹣3.14，22

7，﹣12，+1.99，﹣（﹣6）

（1）正整数数集合：{ …} （2）负分数集合：{ …}

（3）非正整数集合：{ …}

（4）分数集合：{ …}．

7.化简：

（1）﹣|+2.5|；（2）﹣（﹣3.4）；（3）+|﹣4|；（4）|﹣（﹣3）|．

8.（1）画一条数轴，在数轴上表示下列数：﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5．

（2）求出（1）中各数的相反数；

（3）求出（1）中各数的绝对值．

9.邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B 村，然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．

（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；

（2）C村离A村有多远？

（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？

培优数学七年级上第一讲有理数讲义及答案

第一讲有理数知识导引本讲的主要内容是从自然数到分数和有理数的概念，小学数学主要学习了自然数、分数（小数）及数的运算，并且这种“数”的概念是建立在一种意义上的，实际上，仅有自然数和分数是不够的，数还需作进一步的扩展，实际生活、生产中大量的量从其意义上来理解却具有相反的意义，为了准确地区分这些相反意义的量就有必要引入负数，用正数和负数来区分这些具有相反意义的量，这样就产生了有理数的概念，所以有理数其实是对数的进一步认识，是数的一次重要扩充。建立了有理数的概念之后，又不要对有理数进行分类，有理数通常按两种不同的标准进行分类：一是以有理数的正负性为主要标准，将有理数分为正数、零和负数三大类；二是以有理数的整数和非整数为主要标准，将有理数分为整数和分数两大类。这里要注意的是零既不是正数也不是负数，具体的数的概念应从其意义上理解，例如“负整数”应理解为“负数中的整数”等等。典例精析例1：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明高度的数（单位：米），如图所示，这些数通常称为海拔，它是相对于海平面来讲的，请说出图中所示的数8848和－155表示的实际意义，海平面的高度用什么数表示？例2：（1）如果把商店盈利100元记做＋100，那么亏损20元记做（2）如果把仪表的指针逆时针转3圈记做＋3，那么－2圈表示把仪表的指针（3）正常水位为0，水位高于正常水位0.2米时可记做＋0.2米，那么－0.5米表示什么意思？例2—1：（1）下列说法中，不具有相反意义的一对量是（） A、向东3.5米和向南2千米 B、上升5米和下降1.8米 C、收入5000元和亏损1500元 D、零上6℃和零下7℃ （2）若火箭发射点火前5秒记为－5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（） A、－10秒 B、－5秒 C、＋5秒 D、＋10秒

(完整版)讲义_有理数的基本概念及分类

第一讲有理数【1.1正数与负数】知识点对应训练知识点1：正数、负数的概念像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5，，，，…。正数前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫。如-6，，…。“-6”读作。【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -10，1，-0.5，0，36，52 -，15％，-60， 53 1 -，22.8 解： 1、下列各数 -11 ，0.2，81 -， 7 4 +，1， -1， -a， -30％中，（）一定是正数，（）一定是负数。知识点2：对“0”的理解。 0既不是数，也不是数，它是正数与负数的分水岭。它的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。【例2】对于“0”的说法正确的有（） ①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度； ③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。解： 2下列说法正确的有（）。 ①0是最小的自然数； ②0是整数也是偶数； ③0既非正数也非负数； ④一个数不是正数就是负数； ⑤负数也叫非正数。 ⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数．知识点3;用正数和负数表示具有相反意义的量。相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是它们都具有数量，而且一定是量。【例3】下面问题中：（1）将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变化记作-3m。（2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降 3kg，记作-3kg （3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500 元。（4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作-120m. （5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作-5m. 表述有错误的是（）。 3、用正数和负数表示同一问题中具有相反意义的量。 ①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局，记作+2；则三班输一局，记作。 ②如果浪费8度电，记作-8度；那么节约 15度电记作。 ③如果高于海平面100m记作+100m，那么低于海平面36m记作。 ④我校的入学检测中，以60分为标准，若王飞得了85分记作+25分，那么，张生得了45分记作。

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此文档下载后即可编辑初一数学培优专题讲义一有理数及其运算一、有理数的基本概念梳理与强化：（一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______；若|x |=|－4|，则x =____；若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算：（1） = ；（2） = ；（3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是；a+b 的相反数是；a-b 的相反数是；-a+b-c 的相反数是；变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）（a ＞0） |a| = （a ＝0 ）（a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a

（1）若|a|＝0，则a ；（2）若|a|＝a ，则a ；（3）若|a|＝—a ，则a ；（4），则______||=a a ；（5）0