第八章 平面坐标下的分离变量
第八章 平面坐标下的分离变量
本征值问题（一）
分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从而达到求解之目的一个数学过程。
§8.1 齐次方程的分离变数法
一、分离变数法简介
以两端固定的均匀弦的自由振动为例。
其定解问题为
2000000(0)()()tt xx x x l t t t u a u u u x l u x u x ?ψ====?-=??==<
设 (,)()()u x t X x T t = (8.1.2)
在(8.1.2)中，自变数x 只能出现于X 之中，自变数t 只出现于T 之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。
那么，在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢？把驻波的一般表示式(8.1.2)代入弦振动方程(8.1.1)和相应的边界条件，得：
20(0)()0
()()0XT a X T X T t X l T t ''''?-=?=??=? (8.1.3)
条件(8.1.3)表示，在时刻t ，)()0(t T X 和)()(t T l X 总是零。 这样只能是 0)0(=X 和 0)(=l X (8.1.4)
只有边界条件是齐次的,才得出(8.1.4)这样简单的结论。现用
2a XT 遍除(8.1.3)第一式各项，并整理得 2T X a T
X ''''= (8.1.5) 左边是时间t 的函数,跟坐标x 无关,右边则是坐标x 的函数,跟时间t 无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作“ λ-”。 2T X a T X λ''''==- (8.1.6)
(8.1.6)可以分离为关于X 的常数微分方程和关于T 的常微分方程,前者还附带有边界条件
X +X=0(0)0()0X X l λ''??==? (8.1.7)
02"=+T a T λ (8.1.8) 现对(8.1.7)在0,0,0>=<λλλ三种可能的情况分别加以讨论。
1、当0λ<，方程(8.1.7)的解是
λλ---+=x x e C e C x X 21)(
积分常数1C 和2C 由边界条件确定,即
121
200C C C e C e -+=???+=?? 解出120,0C C ==, 从而0)(≡x X ,解(,)0u x t ≡没有意义的。因而排除了0λ
<的可能。 2、0λ=.方程(8.1.7)的解是
21)(C x C x X +=
21
200C C l C =??+=? 仍然解出120,0C C ==， 从而 ()()()0u xt X x T t =≡仍没有意义,应予排除。现只剩下一种可能性，即0λ
> 3、0λ>的情况
方程(8.1.7)的解是 x C x C x X λλsin cos )(21+= 其积分常数由下式确定
120sin 0C C =???=?
? 若 20C = 问题仍无解。只能0sin =l λ唯一的可能是πλn l =（n 为整数）
亦即
22
2l n πλ= (8.1.10) 当 λ取这些数值时， l x
n C x X πsin )(2= (8.1.11)
2C 为任意常数。 (8.1.11)正是傅里叶正弦级数的基本函数族。 这样,分离变数过程中所引入的常数不能为负数或零,甚至也不能是任意的正数,它必须取(8.1.10)所给出的特定数值。常数的这种特定数值叫作本征值,相应的解(8.1.11)叫作本征函数。方程(8.1.7)和边界条件则构成所谓本征值问题。
再看关于T 的方程(8.1.9),按照(8.1.10),这应改写为
02222"=+T l n a T π 这个方程的解是
l at n B l at n A t T ππsin cos )(+= (8.1.12) 其中A 和B 是积分常数
把(8.1.11)和(8.1.12)代入(8.1.2),得到分离变数的形式解
(,)(cos sin )sin (0,1,2,3)
n n n n at n at n x u x t A B n l l l πππ=+= (8.1.13)
n 为正整数。这就是两端固定弦上的可能的驻波。每一个n 对应于一种驻波,这些驻波也叫作两端固定弦的本征振动。 在n kl x =(0,1,2,3,,)k n =共计1+n 个点上，sin sin 0n x k l ππ==从而(,)0n
u x t =。这些点就是驻波的节点，相邻节点间隔n l 应为半波长,所以波长2l n =。
本征振动(8.1.13)的角频率(又叫圆频率)是
n a l πω=,从而频率22na
f l ωπ==。其线性叠加便得到物理问题的一般解
()1
(,)(cos sin )sin 8.1.14n n n n at n at n x u x t A B l l l πππ∞==+∑ 其中n A 和n B 为任意常数，这里尚未考虑初始条件。
为了确定叠加系数n A 和n B ，（8.1.14）满足初始条件。
()11sin ()8.1.15sin ()(0)n n n n n at A x l n a n at B x x l l l π?ππψ∞
=∞=?=????=<
(8.1.15)的左边是傅里叶正弦级数,这就启示我们应把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较两边的系数就可确定n A 和n B 。
()002()sin 8.1.162()sin l n l n n A d l l n B d n a l πζ?ζζπζψζζπ?=????=????
解(8.1.14)正好是傅里叶正弦级数,这正是第一类齐次边界条件所决定的。
回顾整个求解过程,可以作出图解如下:
偏微分方程????→分离变量
→?→?→?常微分方程（关于X ）+边界条件本征(值)函数常微分方程（关于T ）+初始条件叠加系数
∞=
∑本征值通解本征函数
一方面，把分离变数形式的试探解代入偏微分方程,从而把它分解为几个常微分方程,问题转化为求解常微分方程；另一方面,代入齐次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件,这些条件与相应的常微分方程构成本征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索,其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的联系，从数学上讲，完全可以推广应用于线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题。这个方法，按照它的特点，叫作分离变数法。
用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数,不过,在具体问题中,级数里常常只有前若干项较为重要,后面的项则迅速减小,从而可以一概略去。
现将上述弦振动的解与实验结果比较：（图仅示意）
结果与实验情况完全一致。
§8.4 本征值问题（一）
我们知道，常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数（如λ）的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能去某些特定值才会使方程有非零解。这些参数称为本征值，其对应的方程解称为本征函数。
通过上述讨论，我们发现本征值有如此的规律性。
（1）()()0(0)0()0X x X x X X l λ''+=??==?
本征值和本征函数分别为：
22
2()sin (1,2,)n n n l n X x C x n l πλπ?=????==??
（2） ()()0(0)0()0X x X x X X l λ''+=??''==?
本征值和本征函数分别为
22
2()cos (0,1,2,)n n n l n X x C x n l πλπ?=????==??
（3） ()()0(0)0()0X x X x X X l λ''+=??'==?
本征值和本征函数分别为
222
1()212()sin (0,1,2,)n n n l n X x C x n l πλπ?+?=????+?==??
（4） ()()0(0)0()0X x X x X X l λ''+=??'==?
本征值和本征函数分别为
222
1()212()s (0,1,2,)n n n l n X x C co x n l πλπ?+?=????+?==??
（5）
()()0(2)()?μ??π?''Φ+Φ=??Φ+=Φ? 本征值和本征函数 2
()cos sin (0,1,2,)m m m m x A m B m m μ??
?=?Φ=+??=?
圆柱坐标系下的分离变量法
5．圆柱坐标系下的分离变量法 5．1极坐标系下的拉普拉斯方程 考虑半径为a 的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布(,)u x t 随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布(,)u x y 。上述定解问题可表述为 20 u x y x y D ?=∈(,)(,) （5.1.1a ） 222 x y a u x y g x y x y +==∈∑(,) (,) (,) (5.1.1b) 其中，∑表示圆盘的边界，即222x y a +=，D 表示∑围成的内域。 对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与z 无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如 0x =，x a =，0y =，y b = 但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为 2 2 22 11()r r x x r ? ????=+??? （5.1.2） 从而（5.1.1）定解问题可改写成 222 110u u r r D r x x r ?? ???+=∈???()(,) (5.1.3a) r a u r g r ???==∈∑(,) () (,) (5.1.3b) 注意到定解问题（5.1.3）中的边界条件属于第Ⅰ类，通常称之为狄里克莱 ()Dirichlet 问题，也称第I 边值问题。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅱ类的，则 称相应的定解问题为牛曼()Newman 问题，也称第Ⅱ边值条件。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅲ类的，则称相应的定解问题为罗宾()Robin 问题。此外，本题研究内域
第24讲分离变量法第4章介质中的电动力学4§4拉普拉斯方程分离变量法
第24讲 分离变量法 第4章 介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程 分离变量法 以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V 的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace ）方程 20??= （4.4---1） 产生这电场的电荷都分布于区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。 （4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用（R ，θ，φ）表示，R 为半径，θ为极角，φ为方位角。拉氏方程在球坐标系中的通解为 1 .(,,)()(cos )cos n m nm nm n n n m b R a R P m R ?θφθφ+=+ ∑ 1 ,()(cos )sin n m nm nm n n n m d c R P m R θφ+++ ∑ （4.4---2） 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。 P m n （cos θ） 为缔和勒让德（Legendre ）函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为
第2章 定解问题
第2章定解问题 1、何谓数理方程？按其描绘的物理过程，它可分为哪几类？ 2、何谓定解问题？它分为哪几类？试写出一维波动方程的Cauchy问题的数学表示。 3、何谓定解条件？它包括哪些内容？ 4、何谓边界条件？它分为哪几类？一个边界需用几个边界条件来描述？ 5、用数理方程来研究物理问题需要经历哪几个步骤？ 6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界面S 处的 衔接条件有几个？应如何表示？ 7、如何导出物理模型的数理方程？在推导弦的横振动方程时采用了哪些近似？由小角度近似我们得到什么结论？ 8、热传导方程的扩散方程有何共同和不同之处？ 9、在杆的纵振动问题中，若端自由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？ 10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从一物理定律出 发证明吗？ 11、在热传导问题中，若热源密度不随时间而变化，则热传导方程会 发生怎样的变化？ 12、在弦的横振动问题中，若弦受到了一与速度成正比的阻力，该阻力对于弦的振动问题
是否起到了源的作用？若受到了一与位移成正比的回复力呢？ 第3章行波法 1、行波法的解题要领是什么？它适合用来求解哪一类定解问题？为什么？ 2、一维波动方程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？ 3、公式是用行波法求解弦的横振动问题时推得的，能否用公式求解如下定解问题？请说明原因？ 4、能否用公式求解如下定解问题？ 5、能否用行波法求解如下定解问题？ 6、你能否根据直角坐标系中的
导出球坐标中球对称情况下的的表达式 请记住这个结论： 7、何谓平均值法？你能通过引入球面的平均值，将三维的波动方程 化为关于平均值的一维方程吗？ 8、在Poisson 公式中，?若已知 9、对于定解问题 除了可用Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？ 10、在弦的横振动方程单位质量的弦所受的外 力，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？ 11、冲量原理的精神是什么？ 12、你能否用纯强迫振动的解来求解定解问题
第14讲 图形与坐标
第五章拓展与提高 第15讲图形与坐标 一、学习目标 1.在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 2.在直角坐标系中，能将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化. 3.在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴（或以原点为对称中心），能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 4.在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 二、基础知识·轻松学 1．用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）或（x-a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位，?可以得到对应点（x，?y+b）或（x，y-b）． 【精讲】点沿着x轴正方向或y轴正方向平移，相应的坐标增加；而点沿着负方向平移，则相应的坐标就减少． 2.由坐标的变化规律判断图形平移方向与平移距离 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向左（或向右）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，?相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．【精讲】图形是由无数个点组成的，所以图形的变化实质是由点和点的坐标变化引起的，我们知道：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可看出这个图形进行了怎样的平移。故着重理解：从点的坐标变化来分析点的平移方向和平移距离．关键是看相应对应点的坐标是增加还是减少，如果横
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柱坐标及球坐标下导热微分方程的 推导及分析 哈尔滨工业大学市政学院 摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题 关键词：柱坐标 球坐标 导热微分方程 1.柱坐标系下导热微分方程 假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c 和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3)表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体，如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在d τ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即 导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能 的增加（Ⅲ） 下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三项： 在 dτ时间内，沿 r 轴方向： τ?λτ?λdzd rd r t d dzd rd q r r t r ??-=Φ∴-=?? τ?dzd rd q r r =Φ
τ?λdzd drd r t r r d d r dr d d dr r r r r dr r )(????=Φ-Φ∴?Φ?=Φ-Φ++ ○1 在 dτ时间内，沿 ?轴方向： τ? λ? λτ ????drdzd t r t r q drdzd q ??-=Φ∴??-==Φ11 τ??λ?? ????????dzd drd t r d d d )1(????=Φ-Φ∴?Φ?=Φ-Φ++ ○ 2 在 dτ时间内，沿 z 轴方向： τ?λλτ ?drd rd z t z t q drd rd q z z z z ??-=Φ∴??-==Φ τ?λdzd drd z t r z z dz dz z z z z dz z )(????=ΦΦ∴?Φ?=Φ-Φ+-+ ○3 将 r 、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 : I=○1+○2+○3 在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为 Ⅱ=dzdr rdrd q v ? 在 dτ时间内，微元体中热力学能的增量为 Ⅲ=τ?τ ρdzd rdrd t c ?? 联立I ，III ，II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式： )()(1)(12z t z t r r t r r r r q t c v ????+????+????+=??λ?λ?λτρ
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《流体力学》连续方程推导的巧方法 施春华,高庆九,李忠贤 (南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044) 摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。 关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系 在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。目前,很多参考书[123] 对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。 1 连续方程的一般算子形式 流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。 由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质” (流体)中的应用。一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。其算子形式的通用表达式[1] (1) 一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之 则增大。其算子形式的通用表达式[1] (2) 两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。 在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体(图略,很多教科书都详细给出,且易于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式
数学物理方法(刘连寿第二版)第07章习题
第七章 习题答案 7.1-1将Helmholtz 方程0=+?u u λ在柱坐标系中分离变量。 解：0112 2 22 2=+??+??+???? ??????=+?u z u u u u u λ?ρρρρρλ 设)()()(),,(z Z R z u ?φρ?ρ=代入上面的方程有: 0d d d d d d d d 2 2 22 2=Φ+Φ+Φ+???? ??ΦZ R z Z R RZ R Z λ?ρρρρρ 两边同时除以Z R Φ，并移项得： λ?ρρρρρ--=ΦΦ+???? ??2 2 22 2d d 1d d 1d d d d 1 z Z Z R R 上式左边与z 无关，右边与?ρ,无关，令左右两边都等于μ-,即： 右边为：0)(d d d d 12 2 22 =-+? -=-- Z u z Z z Z z λμλ ① 而左边有：μ? ρρρρρ-=ΦΦ+???? ??2 2 2d d 1d d d d 1 R R 两边同时除以2ρ，并移项得: 2 2 2 2 d d 1d d d d m R R =ΦΦ- =+??? ? ?? ? μρρρρρ 0d d d d 12 2 2 2 2 2 =Φ+Φ? =ΦΦ- m m ? ? ② 和： 2 2 d d d d m R R =+??? ? ?? μρρ ρρρ 2 2 2 2 d d d d m R R R =+??? ? ??+ μρρρρρ 0d d 1d d 2 2 22 =??? ? ??-++R m R R ρ μρρρ ③ Helmholtz 方程在柱坐标系下可分解为①②③三个常微分方程。 7.1-2 将三维热传导方程 02 =?-??u a t u 在球坐标系中分离变量。
分离变量法：球坐标系下的分离变量法
4.5 分离变量法的原理与应用 1.分离变量法的原理和步骤 2.直角坐标系中的分离变量法 3.圆柱坐标系中的分离变量法 4.球坐标系中的分离变量法
4. 球坐标系中的分离变量法2 222222111()(sin )0sin sin R R R R R R φφφθθθθθ? ?????++=?????(,,)()Θ()Φ() R R φθ?θ?=R 22 22 sin d d sin d d Θ1d Φ()(sin )0d d Θd d Φd R R R θθθθθ? ++=R R 球坐标系中的拉普拉斯方程： （1）变量分离： 可得：
2 2 2 1d d m ? Φ=-Φ21d d ()(1)d d R n n R R =+R R 2 21d d (sin )(1)0 sin d d sin m n n θθθθθ Θ++-=Θ该方程只讨论电位与方位角无关的情况 该方程称为欧拉方程 该方程的解有两种情况 （2）分离出常微分方程： 22 22sin d d sin d d Θ1d Φ()(sin )0d d Θd d Φd R R R θθθθθ? ++=R R 根据：
0,φ? ?=?2 m =Φ()A ?=2 0n =1 00()R A B R -=+R (1)时，2 0n >(1) ()n n n n R A R B R -+=+R (2)时，当电位与方位角无关时即：2 2 2 1d ΦΦd m ? =-■ 的解■ 的解21d d ()(1)d d R n n R R =+R R 2 0n <的情况不存在。 (3) （3）常微分方程的求解：