用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程
作变量代换cos x =1)(2)!
k +
35
)(21)!
x x k +
+21(00l n n a =+=是或正整数）时()y x 止到21
n x
+，从而
拉普拉斯方程数值解
二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如下： 在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于h ，图13-10表示其中的一部分，设0点的电位为V 0，0点周围方格顶点的电位分别为V 1、V 2、V 3和V 4。现在来推导一个用V 1、V 2、V 3和V 4表示V 0的公式： 图13-10 已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程： 0222 2=??+??y V x V 其中 h x V x V x V x x V c a ??- ??≈??? ??????= ??0 22 但是 h V V x V h V V x V c a 30 01 ,-≈??-≈ ?? 所以 2 30013 0010 2 2h V V V V h h V V h V V x V +--≈-- -≈?? 同理 2 4 0020 2 2h V V V V y V +--≈ ?? 将上面两个方程相加一起得： 042 43212222=-+++≈??+??h V V V V V y V x V 由上面方程推出：)(4 1 43210V V V V V +++≈ (13.47) 该式说明0点的电位近似等于相互垂直的方向上和0点等距离的四个点上的电位平均值，距离h 愈小则结果愈精确，方程（13.47）是用近似法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。 然而，V 0和V 1、V 2、V 3、V 4都是未知值，这种情况下需要按照方程（13.47）写出每一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。 求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。 图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程，又名调和方程，是一砍。因为由法 国数学家首先提出而得名。求解拉普 拉斯方程栯、和等领域经常遇到的 一类重要的数学问領，因为这种方程以的形式描写了、和等物理对象（一般统称为“保守场”栖“有势场”）的性质。三维情况下＠拉普拉斯方程可由下面的形式描 述，闠题归结为求解对实自变量x、y、z二阶的实函数 φ ：: + + = 0. 上面的方程常常简写作：: \nabla^2 \varphi = 0 或: \operatorname\,\operatorname\,\varphi = 0, 其中div表示的（结果是一个），grad 表示标量场的（结果是一个矢量场），或者简写作 : \Delta \varphi = 0 其中Δ称为 . 拉普拉斯方 程的解称为。如果等号右边是一个给定的函数f( , y, z)，即：: \Delta \varphi = f 则该方程称为。拉 普拉斯方程和泊松方程是最简单?? 。偏微 分算子\nabla^2或\Delta（可以在任意维空间中定义这样的算 堐）称为，英文是Laplace operator 或简称作 Laplacian。拉普拉斯方程的可归结为求解在区 域D内定义的函数φ，使得\varphi在D的边界上等于某给定 的函数。为方便堙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其?一个例
子——作为背景进行介绍：固定区域边界上砄温度（是边界上各点位置坐标的函数 ，直到区域内部热传导使温度 分布达堰稳定，这个温度分布场就是相应的狄頌克雷问题的解。拉普拉斯方程的不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ ??D的边界法向的。从物理 的角度看，这种边界条件给堺的是矢量场的势分布在区域边界处的堲知效果（对热传导问题而言，这种效栜便是边界热流密度）。拉普拉斯方稠的解称为，此函数在方程成立的区域内是。任意两个函数，如果它们都满足拉栮拉斯方程（或任意线性微分方程），蠙两个函数之和（或任意形式的线性组堈）同样满足前述方程。这种非常有用砄性质称为。可以根据该原理将复杂问题的已知砀单组合起来，构造适用面更广的。 二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以丠形式：:\varphi_ + \varphi_ = 0.\, 解析函数 的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。栢言之，若z = x + iy，并且:f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\, 那么f(z)是解析函数的是它满足下列柯西-黎曼方程：:u_x = v_y, \quad v_x = -u_y.\, 上述方程继续求导就得到:u_ = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\, 所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推堗v 同样满足拉普拉斯方程。反之，给定一个由解析函数（或至尠在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的堞部确定的调
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程 一、概念：一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 二、在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
三、方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 四、二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： Δu =δ2u/δu2+δ2u/δy2=0 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程
圆柱坐标系下的分离变量法
5．圆柱坐标系下的分离变量法 5．1极坐标系下的拉普拉斯方程 考虑半径为a 的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布(,)u x t 随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布(,)u x y 。上述定解问题可表述为 20 u x y x y D ?=∈(,)(,) （5.1.1a ） 222 x y a u x y g x y x y +==∈∑(,) (,) (,) (5.1.1b) 其中，∑表示圆盘的边界，即222x y a +=，D 表示∑围成的内域。 对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与z 无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如 0x =，x a =，0y =，y b = 但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为 2 2 22 11()r r x x r ? ????=+??? （5.1.2） 从而（5.1.1）定解问题可改写成 222 110u u r r D r x x r ?? ???+=∈???()(,) (5.1.3a) r a u r g r ???==∈∑(,) () (,) (5.1.3b) 注意到定解问题（5.1.3）中的边界条件属于第Ⅰ类，通常称之为狄里克莱 ()Dirichlet 问题，也称第I 边值问题。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅱ类的，则 称相应的定解问题为牛曼()Newman 问题，也称第Ⅱ边值条件。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅲ类的，则称相应的定解问题为罗宾()Robin 问题。此外，本题研究内域
第二章 分离变量法(§2.1)
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
正方形环域Laplace方程的简明数值解法
收稿日期:2005212210 基金项目:辽宁省教育厅科研基金资助项目(05L415)? 作者简介:刘大卫(1964-),男,贵州贵阳人,贵州工业大学副教授? 第24卷 第2期 2006年4月 沈阳师范大学学报(自然科学版) Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science ) V ol 124,N o.2Apr.2006 文章编号:1673-5862(2006)02-0166-04 正方形环域Laplace 方程的简明数值解法 刘大卫1,高 明2,3 (1.贵州工业大学基础部,贵州贵阳 550003; 2.沈阳师范大学物理科学与技术学院,辽宁沈阳 110034; 3.沈阳师范大学实验中心,辽宁沈阳 110034) 摘 要:通过正方形环域的Laplace 方程的数值求解过程,详细介绍了使用MA TLAB 求解微 分方程的方法?用MA TLAB 的M 文件,生成正方形环域,用函数numgrid 作网格划分,用函数delsq 建立五点差分格式建立并求解拉普拉斯方程第一边值问题?关 键 词:Laplace 方程;差分法;MA TLAB 中图分类号:O 175 文献标识码:A 0 引 言 Laplace 方程是解决电磁场问题中最常见的方程,在一些具有较复杂边界形状的区域中求出方程的 解析解是非常困难的[122]?因此寻求一种有效的、简明的数值解法对于解决实际问题中复杂边界区域中 的电磁场分布问题具有非常重要的实际价值?通过一个特殊的方形区域的电场分布问题介绍一种应用MA TLAB 数值求解Laplace 方程的方法? 考虑图1所示正方形环域,设区域内满足Laplace 方程Δu =0,内边界处电势u =100,外边界处电势u =0,求区域内的电势分布,易见,这是一个Laplace 方程的第一边值问题? 现用差分法求解这个问题,首先把研究区域划分为图2所示的网格,在这个划分中,除去边界点,区域被分为240个网格节点 ? 图1 正方形环域 图2 网格的划分 差分法求解的基本思想是,在网格节点上用差商代替微商,结合边界条件,把定解问题转化为以未知函数u (x ,y )在节点上的数值为未知量的线性方程组: Ax =b 其中,x 为解向量,代表函数u (x ,y )在节点上的数值?A 为系数矩阵,与网格节点的划分和编号方式有关,通常是一个大型的稀疏矩阵?b 为常数向量,由边界条件确定?对上述问题,A 为240×240阶稀疏矩阵,b 为240×1阶稀疏常数向量?下面用MA TLAB 提供的网格划分函数numgrid 和差分格式建立函数delsq 来构造系数矩阵A ?
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程 拉普拉斯方程又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。 通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中
拉普拉斯方程拉普拉斯方程为：Δ u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 [1] 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 中文名 拉普拉斯方程 外文名 Laplace's equation 别称 调和方程、位势方程 提出者 拉普拉斯 关键词 微分方程、拉普拉斯定理 涉及领域 电磁学、天体物理学、力学、数学 目录 .1基本概述 .?在数理方程中 .?方程的解 .2二维方程 .3人物介绍
基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为： ，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 [2] 二维方程
4. 偏微分方程的数值解法
§4 偏微分方程的数值解法 一、 差分法 差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值. 1. 网格与差商 在平面 (x ,y )上的一以S 为边界的有界区域D 上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x 轴和y 轴的直线族. ?? ?====jh y y ih x x i i (i ,j =0,±1,±2,…,±n ) 作成一个正方形网格，这里h 为事先指定的正数，称为步 长；网格的交点称为节点，简记为(i ,j ).取一些与边界S 接近的网格节点，用它们连成折线S h ，S h 所围成的区域记作D h .称D h 内的节点为内节点，位于S h 上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格D h + S h 上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数： ()()[]()()[]()()()[]()()()[]()()()[]y x u h y x u y h x u h y x u h y x u h y x u y x u h y x u h y u y h x u y x u y h x u h x u y x u h y x u h y u y x u y h x u h x u ,),(,,1 ,,2,1 ,,2,1 ,,1 ,,1 222 22222++-+-+≈???-+-+≈ ??-+-+≈ ??-+≈??-+≈?? 注意， 1? 式中的差商()()[]y x u y h x u h ,,1 -+称为向后差商，而()()[]y h x u y x u h ,,1--称为向 前差商，()()[]y h x u y h x u h ,,21 --+称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数. 2? x 轴与y 轴也可分别采用不同的步长h ,l ，即用直线族 ?? ?====jh y y ih x x j i (i,j =0, ±1, ±2 , ) 作一个矩形网格. 2. 椭圆型方程的差分方法 [五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题 图14.7
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程应该和泊松方程是同胞兄弟了，都是扩散方程，用来描述散度场的。只不过拉普拉斯方程是无源场，泊松方程是有源场。预备内容：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子在曲线坐标下的表达式： 如果在某个曲线坐标系内位移微元（其中是坐标），那么便有： 梯度：散度：旋度：拉普拉斯算符： 对于直角坐标系、球坐标系和柱坐标系来说，的值为： 于是，我们便可以轻松地默写球坐标下拉普拉斯算符的表达式\^o^/ 下面进入正题 1.直角坐标系 当出现金属平板之类的边界条件时，使用直角坐标系较为方便。 在直角坐标系下，拉普拉斯方程的表达式为： i）二维问题 假设沿z轴平移V保持不变，于是方程便简化为二维形式： 我们假设V可以写成两个函数相乘的形式： （乍看之下这不是一个很合理的假设。但是我们很快可以看到为什么可以这样做）
代入原方程并在两边除以V: 因为两部分之和为0，因此我们可以假设一个是正数另一部分是负数：（这里以含x的部分为正含y的部分为负为例） 很显然，这两个方程的解就是： 注记：这里决定哪一部分是正数哪一部分是负数要由边界条件来确定。比如说，沿x方向到达无限远时电势为零，x就应该含有指数衰减项，因此令含x的部分为正数。 于是，方程的一个解是 对所有可能的k求和，可以得到通解： 常数A,B,C,D的值需要由边界条件来确定。通常情况下，通过边界条件可以把k化成含有正整数的式子。将求和号改成对n求和，可以看到，第二个括号里的项便是傅里叶级数。狄利克雷定理保证了这个级数可以拟合任何边界条件。傅里叶系数可以由积分来确定。 ii)三维问题 三维问题的处理方法与二维的情形类似。 同样，假设是这种形式： 同样，代入方程并在两边同除以V:
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普
拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。 人物介绍
(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程 求助编辑百科名片 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace'sequation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 目录 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用 拉普拉斯人物介绍 展开 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用
拉普拉斯人物介绍 展开 编辑本段拉普拉斯方程（Laplace equation） 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。 拉普拉斯方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 编辑本段二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数+ h(x,y)对y的二阶偏导数= 0 解析函数 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z= x+ iy，并且 那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z）= u(x,y) + iv(x ,y) u 对x的偏导数= v 对y 的偏导数，u 对y 的偏导数= - （v 对x 的偏导数）上述方程继续求导就得到 所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程数值解
二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如 下： 在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于 h ,图13-10表示 其中的一部分，设 0点的电位为V o ，0点周围方格顶点的电位分别为 V 1、V 2、V 3和V 4。现 在来推导一个用 V" V 2、V 3和V 4表示V o 的公式： 图 13-10 已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程: c 2V eV c —— + r =0 其中 0点等距离的四个点上的电位平均值， 距 离h 愈小则结果愈精确，方程（13.47）是用近似 法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。 然而，V 0和V 1、V 2、V 3、V 4都是未知值，这种情况下需要按照方程（ 13.47）写出每 一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。 求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。 图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为 ex 2 但是 所以 同理 eV g 2V ex 2 ex ex 2 c 2V & I 泳丿0 V 1 -V o az --------------- - h V 1 -V 0 a ： SV s ： h 2 将上面两个方程相加一起得： c 2V + ex 2 "■2 eV h V o-V 3 ft ----- V o -V 3 a ： h 2 .c z — h 2 由上面方程推出： V 0俺一（V 1 a +V 4） 4 该式说明0点的电位近似等于相互垂直的方向上和 (13.47)
V 0,侧面与底面的电位都等于零。为了求出槽中各点的电位，将槽分成十六个相同的方格， 这些方格在槽中 共有九个顶点。用 V 1、V 2,…，V 9表示各顶点的电位。求解步骤如下: 图 13-11 第一步，假设某点的电位为某值， 称为某点的原始电位， 原始电位等于多少并不影响最 后的结果。如果原始电位选择得当，则计算步骤会得到简化。 第二步，根据原始电位，利用式（ 13.47）求出每点周围四个点电位的平均值，电位平 均值一般不等于电位的原始值，将平均值代替原始值就得到每点电位的第一次选代值。 根据第一次选代值求出每点周围四个点电位的平均值， 如果平均值不等于第一次选代值， 将平均值代替第一次选代值，得到每点电位的第二次选代值。 第三步，利用式（13.47）对每点电位进行选代，一直到每点的电位与它的周围四个点 的电位平均值相差在允许范围内为止。 【例13.1】在图13-12中，设V=100，试用选代法求方格顶点上的电位。 图 13-12 解：设九个顶点的电位分别用 V 1、V 2、…、V 来表示。 第一步：设每点的原始电位都等于零。 第二步：根据原始电位利用公式， V 0 丸一M +V 2 +V 3 +V 4），求出各点的周围电位的 4 平均值为：y =V 2 =V 3丄一（100 +0 +0 +0） =25。其余各点周围电位的平均值都等于零。 4 然后将所得的平均值代替原始值，得到第一次选代值。第三步，根据第一次选代值，求 出各点周围电位的平均值为： 2 0 忙=0 萨=0 矿=0 V =0 然后 就
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程 势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为 ，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： ，
式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系， ， 式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。 边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
拉普拉斯方程 水平集方法等
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 上面的方程常常简写作： 或 其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作： Δφ = 0 其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D 的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个
例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。 拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。 拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 二维拉普拉斯方程 狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 解析函数 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x+ iy，并且 那么f(z)是解析函数的充要条件是u(x,y)，v(x,y)可微，且满足下列柯西-黎曼方程：