圆柱坐标系下的分离变量法
5．圆柱坐标系下的分离变量法
5．1极坐标系下的拉普拉斯方程
考虑半径为a 的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布(,)u x t 随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布(,)u x y 。上述定解问题可表述为
20
u x y x y D ?=∈(,)(,) （5.1.1a ）
222
x y a u x y g x y x y +==∈∑(,)
(,)
(,) (5.1.1b)
其中，∑表示圆盘的边界，即222x y a +=，D 表示∑围成的内域。
对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与z 无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如
0x =，x a =，0y =，y b =
但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为
2
2
22
11()r r x x r ?
????=+??? （5.1.2） 从而（5.1.1）定解问题可改写成
222
110u u
r r D r x x r ??
???+=∈???()(,) (5.1.3a)
r a
u r g r ???==∈∑(,)
()
(,) (5.1.3b)
注意到定解问题（5.1.3）中的边界条件属于第Ⅰ类，通常称之为狄里克莱
()Dirichlet 问题，也称第I 边值问题。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅱ类的，则
称相应的定解问题为牛曼()Newman 问题，也称第Ⅱ边值条件。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅲ类的，则称相应的定解问题为罗宾()Robin 问题。此外，本题研究内域
D 中的温度，通常称为内问题。实际应用中，可能遇到求圆形孔洞外围的温度场或电势场分布问题，通常称为外问题。
现在回到求解形如（5.1.3）的定解问题上来。我们沿用在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题的思想，设
(,)()()u r R r ??=Φ （5.1.4） 代入（5.1.3a ）得
222
110()d dR d r R r dr dr r ?
Φ
Φ+=? 两边同除以
2
R r Φ
（u R =Φ为非零解）得 22
1()r d dR d r R dr dr ?
Φ
-=Φ? 由于等式左边是关于r 的函数，右边是关于?的函数，从而只能有 左边=右边=常数 设这个常数为λ-，则得到两个常微分方程
0()()?λ?''Φ+Φ= （5.1.5） 和
0(())()r rR r R r λ''-= （5.1.6a ）
或者
20()()()r R r rR r R r λ'''+-= （5.1.6b ）
如同在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题一样，我们将首先构造与定解问题相应的特征值问题，通过求解特征值问题得到平方可积函数空间2L 中的一组完备正交函数系，再将解按完备正交函数系展开，最终得到级数形式的解表达式。 为此，首先考虑方程（5.1.6b ）附加特定边界条件构成特征值问题的可能性。方程（5.1.6b ）为2阶欧拉方程，定解条件需要2个，但(5.1.3)中仅提供1个。考虑到温度在D 内0r =处应为有限值，补充定解条件如下
0(,)u ?<+∞ (5.1.7)
从而可分离出
0()R <+∞ (5.1.8)
但从r a =处的边界条件中无法分离出关于()R r 的边界条件。从而无法由方程（5.1.6b ）构造特征值问题。现在转而考虑由方程（5.1.5）构造特征值问题。方程（5.1.5）是2阶常微分方程，其定解问题也需要2个，但（5.1.3）中并没有提供关于()?Φ的任何信息，但深入考虑本问题的特点后，应该有
2(,)(,)u r u r ??π=+ （5.1.9a ） 2(,)(,)u r u r ????π=+ （5.1.9b ） 因为(,)r ?和2(,)r ?π+表示同一点。形如（5.1.9）的条件称为周期性条件。有界性条件（5.1.7）和周期性条件（5.1.9）在原定解问题（5.1.3）中都没有被明确提出。但原定解问题（5.1.3）是关于r 和?的2阶偏微分方程定解问题，其定解条件应该有4个。除r a =处的边界条件外，还应该有3个定解条件。有界性条件（5.1.7）和周期性条件（5.1.9）正好是在原定解问题中没有被明确提出的3个定解条件，他们或者由问题的物理性质决定，或者由区域D 的几何性质决定。像这样由问题的物理性质决定，或者由区域D 的几何性质决定，而无需在定解问题中明确提出的边界条件，通常称为自然边界条件。自然边界条件是隐含在定解问题本身之中的边界条件。
由周期性条件（5.1.9）可进一步分离出
2()()??πΦ=Φ+ (5.1.10a) 2()()??π''Φ=Φ+ (5.1.10b) 它们与方程(5.1.5)一起构成特征值问题。方程(5.1.5)的通解为
()sin C D ?Φ=+ (5.1.11) 注意到(5.1.10)中()?Φ的周期为2π，故
012,,,=±±???
即特征值 2
012(,,,)n n λ==??? (5.1.12)
相应的非平凡解为 ()cos sin n n n C n D n ???Φ=+ (5.1.13) 由于cos n ?和sin n ?是线性无关的，所以特征值是2重简并的（除0λ=外），即每一个特征值(1)n n λ≥对应有2个线性无关的特征函数123n n ?=???cos (,,,)和
123n n ?=???sin (,,,)。所有正交函数组成函数空间202(,)L π完备正交函数系。
{}{}1123n n n n ???Φ==???(),cos ,sin ,
(,,,)
现在将2n n λ=代入（5.1.6b ），求解欧拉()Euler 方程 2200r R r rR r n R r r a '''+-=<<()()()() （5.1.15）
（1） 当0n =时，
1
()()R r R r r
''=-' ln ()ln R r r c '=-+ 1()R r Dr -'=
00()ln R r A B r =+ （5.1.16） （2）当0n ≠时， 令t r e = 则
1
()()()dt R r R t R t dr r '''== 211
()(())(())[()()]d d R r R r R t R t R t dr dr r r '''''''===-
原欧拉方程（5.1.15）化成 20()()R t n R t ''-= 从而
()nt nt n n n n n n R t A e B e A r B r --=+=+ （5.1.17） 综合式（5.1.16）和（5.1.17）得欧拉方程（5.1.15）通解
()00ln 01
n n
n
n n A B r
n R r A r B r
n -+=?=?+≥? （5.1.18）
将()n ?Φ和()n R r 代入（5.1.4）得
()()(),n n n u r R r ??=Φ （5.1.19）
由于给定方程（5.1.3a ）是线性齐次方程，满足叠加原理，故定解问题的解可表示为
()()0
(,)(,)n n n n n u r u r R r ???∞
∞
====Φ∑∑
()()()''''
001ln 1cos sin n n n n n n n A B r A r B r C n D n ??∞
-==+?+++∑
()()()001
ln cos sin n n n n n n n n n A B r A r B r n C r D r n ??∞
--==+++++∑ （5.1.20）
其中，待定系数0A ,0B ,n A ，n B ，n C ，n D 由边界条件确定。
由0r =处的有界性条件知 0n B = ()0,1,2,n = （5.1.21） 0n D = ()1,2,n = （5.1.22）
再由r a =处的边界条件知
()01
1
cos sin n
n n n n n A A a n C a n g ???∞
∞
==++=∑∑ （5.1.23）
上式可看成是()g ?关于完备正交函数系(){}n ?Φ()0,1,2,n =的广义傅立叶展
开式从而
()20012A g d π
??π=
? ()201cos n n A g n d a π
???π=?
()201sin n n C g n d a π
???π=?
对于温度场分布的狄里克莱外问题
()2,0u r ??=
,02)a r ?π<<+∞≤≤（ （5.1.24a ） ()(),r a u r g ??== ()02?π≤≤ (5.1.24b) 其求解过程与狄里克莱内问题类似。首先补充自然边界条件
1）同期性条件
()(),2,u r u r ?π?+= (5.1.25a) ()(),2,u r u r ???π?+= (5.1.25b) 2） 有界性条件，对于外问题，除r a =边界外，另一边界是r =+∞。一般应根据具体物理问题，对物理量u 在r =+∞处提出适当的边界条件，对于恒定温度分布问题。由于温度不可能无限升高，故可提有界性条件如下，
()lim ,r u r ?→∞
<+∞ （5.1.26）
其次求解特征值问题
()()()()()()''022???λ???π??π?Φ+Φ=?
Φ=Φ+??
Φ=Φ+? （5.1.27）
得特征值和特征函数
2n n λ= ()0,1,2,
n =
()cos sin n n n C n D n ???Φ=+ ()0,1,2,n =
再次，求解欧拉方程
()()()22'''0r R r rR r n R r +-= （5.1.28） 得
()00ln 01,2,
n n n
n n A B r
n R r A r B r
n -+=?=?+=
?
然后，利用线性叠加原理得到定解问题的级数形式解 ()()0(,)n n n u r R r ??∞
==Φ∑
()()001
1
ln cos sin n
n
n
n n n n
n n n A B r A r B r
n C r
D r n ??∞
∞
--===+++++∑∑
最后，利用边界条件确定待定系数0A ,0B ,n A ，n B ，n C ，n D 。由r =+∞处的边界条件（5.1.26）知 00
B =
0n A = ()1,2,n = 0n C = ()1,2,n =
由r a =处的边界条件知
()200
1
2A g d π
??π=
?
()20
cos n
n a B g n d π
???π
=
?
()0,1,2,n = ()20
sin n
n a D g n d π
???π
=
?
()0,1,2,
n =
对于狄里克莱问题，不论是内问题还是外问题，在有界性条件，即
()0,u ?<+∞或(),u ?∞<+∞限制下，定解问题的解总是存在的，且是唯一的。但对于牛曼问题，解不一定存在，即使存在也不唯一。下面不加证明地给出牛曼问题的存在唯一性定理 定理5.1.1 对于牛曼问题，设 ()r a
u g n
?=?=?
则有
1）解存在的充分必要条件是 ()200g d π
??=?
2）解在相差一个任意常数条件下可认为是唯一的。
对于稳态温度场问题，解存在的充分必要条件表示：只有当从边界r a =流入的净热量为零时，所研究的区域内才能存在稳定的温度场。这个条件是显然的，试想如果有热量不断从边界流入或流出，则所研究的区域内的温度场不可能是恒定的。此外，当从边界r a =流入的净热量为零时，温度场演化终了的温度还与演化初始条件有关，因而温度场可以相差一个任意常熟。
5.2 柱坐标系下的亥姆霍斯方程
在圆柱坐标系下
22
2
22
211d d r r r dr r d dz
??????=++ ???? (5.2.1) 从而亥姆霍斯方程
()()2,,,,0u r z u r z ?λ??+= (5.2.2) 可表示成
2222
2110du d u u
r u r r dr r d dz
λ?????+++= ???? (5.2.3) 下面讨论亥姆霍斯方程的求解，为此，设
()()()(),,u r z R r r Z z ?=Φ (5.2.4) 代入（5.2.3）得
222
22110d dR d d Z
r Z RZ R R Z r dr dr r d dz
λ?Φ??Φ++Φ+Φ= ??? (5.2.5) 由于所求解为非平凡解，故可在方程两边同除以R Z Φ得
22222
1110d dR d d Z
r rR dr dr r d Z dz
λ?Φ??+++= ?Φ?? (5.2..6) 等式左边第1项和第2项为关于r 和? 的函数，第3项为关于z 的函数，它们之和要等于常数，第三项必为常数。因此，可设
22
1d Z
Z dz μ=- (5.2.7) 即
()()''0Z z Z z μ+= (5.2.8) 将（5.2.7）代入（5.2.6）得
222
11()0d dR d r rR dr dr r d λμ?
Φ
??++-= ?Φ?? （5.2.9） 两边同乘以2r 得
222
1()0r d dR d r r R dr dr d λμ?
Φ
??++-= ?Φ?? （5.2.10） 上式第一项与第三项之和为关于r 的函数，第二项为关于?的函数，它们之和为常数，第二项必为常数。从而可设
222
1d m d ?
Φ
=-Φ （5.2.11） 即
''2()()0m ??Φ+Φ= （5.2.12）
将（5.2.11）代入（5.2.10）得
222
()0r d dR r k r m R dr dr ??+-= ???
2()k λμ=- 即
22
()0d dR m r k r R dr dr r
??+-
= ??? 2()k λμ=- （5.2.13） 综合上述分离变量的结果得到三个分别关于z ，?和r 的常微分方程
''()()0Z z Z z μ+= （5.2.14a ）
''2()()0m ??Φ+Φ= （5.2.14b ）
22
()0d dR m r k r R dr dr r
??+-
= ??? （5.2.14c ） （5.2.14a ）和（5.2.14b ）是我们比较熟悉的亥姆霍斯方程。方程（5.2.14c ）称为m 阶贝塞尔（Bessel ）方程，它是一个二阶变系数常微分方程。作变量代换
x kr = （5.2.15a ）
()()()x
y x R r R k == （5.2.15b ）
则贝塞尔方程可改写成如下几种常用形式
2
()0d dy m x x y dx dx x
??+-= ??? （5.2.16a ）
2
''
'
()()()()0m xy x y x x y x x
++-= （5.2.16b ）
2
''
'21()()(1)()0m y x y x y x x x
++-= （5.2.16c ）
2'''22()()()()0x y x xy x x m y x ++-= （5.2.16d ）
类似上述关于亥姆霍斯方程的变量分离过程，我们可以对拉普拉斯方程
2(,,)0u r z ??= （5.2.17）
进行变量分离，即设(,,)()()()u r z R r Z z ??=Φ，分离变量后得到
''()()0Z z Z z μ+= （5.2.18a ）
''2()()0m ??Φ+Φ= （5.2.18b ）
221()0d dR m r u R r dr dr r
??+--= ??? （5.2.18c ） 注意到在本题中（5.2.14c ）中的2k λμμ=-=-（因为对于拉普拉斯方程0λ=）。称（5.2.18c ）为虚变量的贝塞尔方程。作变量代换
x ikr = （5.2.19a ）
()()()x
y x R r R i k ==- （5.2.19b ）
则虚变量的贝塞尔方程可改写成
2
''
'21()()(1)()0m y x y x y x x x
++--= （5.2.20）
5.3贝塞尔方程的求解 考虑如下形式的贝塞尔方程
2
''
'21()()(1)()0v y x y x y x x x
++-= （5.3.1）
方程（5.3.1）是变系数的二阶常微分方程，一般应考虑用级数解法。由于0
x =分别是1
()p x x
=的一阶极点，是22()1v q x x =-的二阶极点。故解()y x 在0x =的邻
域内应为关于x 的罗朗级数，即
00
()(0)k k k
k
k k y x x
c x c x
c ρ
ρ
∞∞
+====≠∑∑ （5.3.2）
将（5.3.2）代入（5.3.1）得
2
2
1
2
20
()(1)()()0k k k k k k k k k x
c k k x
x c k x
x v c x ρρρρρρ∞
∞
∞
+-+-+===++-+++-=∑∑∑
化简后得
2220
()0k
k k
k k k c
k v x
c x ρρρ∞
∞
+++==??+-+=??∑∑ （5.3.3）
比较上式两边对应项的系数 1）0k =，x ρ的系数为
220()0c v ρ-=
因为00c ≠，故只能
22()0v ρ-= （5.3.4）
从而可解的
1,2v ρ=± （5.3.5） 称（5.3.4）为指标方程。一般地，由（5.3.2）可得到两个线性无关解
110()k k k y x c x ρ∞
+==∑
和
220()k k k y x c x ρ∞
+==∑
从而得方程的通解
1122()()()y x c y x c y x =+ （5.3.6）
一般地，对2阶变系数微分方程，若从指标方程可得2个解，就称奇点0x =是方程的正则奇点。对于贝塞尔方程，显见0x =是正则奇点。 2) 1k =，1x ρ+的系数为
22
1(1)0c v ρ??+-=?? （5.3.7）
因为22(1)0v ρ+-≠，所以，只能
10c =
3）2k ≥，k x ρ+的系数为
222()0k k c k v c ρ-??+-+=??
由此，可得系数k c 的递推关系式
222
1
()k k c c k v ρ--=
??+-??
（5.3.8） 当k 为奇数时，由于10c =，可得0
(1,3,5)k c k ==
当k 为偶数时，所有的k c 都依赖于0c 。为使k c 的表达式尽量简单，通常取
01
2(1)
v c v =
Γ+ （5.3.9）
当ρ分别取1v ρ=和2v ρ=-时，得到方程的两个解
110()()
k k v k y x c x J x ρ∞
+===∑
2020
(1)(1)
2(1)(1)
v
k
k
k
k v x
c x k k v ∞
=Γ+=-Γ+Γ++∑ ()20
1(1)0(1)(1)2k v
k k x v k k v +∞
=??
=-≥ ?
Γ+Γ++??∑ （5.3.10）
220()()k k v k y x c x J x ρ∞
+-===∑
()20
1(1)0(1)(1)2k v
k k x v k k v -∞
=??=-≥ ?
Γ+Γ+-??∑ （5.3.11）
称()v J x 为v 阶第一类贝塞尔函数；()v J x -为v -阶的第一类贝塞尔函数。 当v n ≠（整数）时，()v J x 和()v J x -是线性无关的。因为如果()v J x 和()v J x -线性相关，则对任一点x ，它们应该有相似的渐进性质，但当0x +→时，从级数的第一项看
1()
0(1)2v
v x J x v ??
→ ?Γ+??
1()
(1)2v
v x J x v --??
→∞ ?Γ-??
因此，()v J x 和()v J x -不是线性相关的。 当v n =（整数）时，
20
1()(1)(1)(1)2k n
k n k x J x k k n +∞
=??
=- ?
Γ+Γ++??∑ （5.3.12）
20
1()(1)(1)(1)2k n
k
n k x J x k k n -∞
-=??
=- ?
Γ+Γ+-??∑
''
'2'''01(1)()(1)(1)2k n
k n
k x k k n k n k +∞
+=??
=-=- ?
Γ++Γ+??
∑
()1()n
n J x =- （5.3.13）
可见()n J x 和()n J x -是线性相关的。上式令'k k n =-是考虑到，当10k n +-≤时，
1
0(1)
k n =Γ+- （5.3.14）
由于当v n ≠（整数）时，()v J x 和()v J x -是线性无关的，所以贝塞尔方程的通解可一般表示为
12()()()v v y x c J x c J x -=+ （5.3.15）
但当v n =（整数）时，由于()n J x 和()n J x -是线性相关的，我们还必须寻找一个与()n J x 线性无关的特解。可以证明，按如下形式定义的函数
cos()()()()()sin()()cos()()()()lim ()sin()v v v
v v v n
v n v J x J x Y x v n v Y x v J x J x Y x v n v ππππ--→-?
=≠??
=?
-?==??
（5.3.16） 不论v 是否为整数，都是与()v J x 线性无关的，且是满足贝塞尔方程的特解。通常称这个特解为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数。利用第二类贝塞尔函数可以将贝塞方程的通解表示为
()()()12v v y x c J x c Y x -=+ ()0v ≥ (5.3.17)
这里v 可以是整数，也可以不是整数。
如果将第Ⅰ类和第Ⅱ类贝塞尔函数按下列进行组合，即
()()()()1
v v v H x J x iY x =+ (5.3.18a)
()()()()2v v v H x J x iY x =- (5.3.18b) 则可得贝塞方程的复数形式特解，通常称为第Ⅲ类贝塞尔函数。又称汉克尔（Hamkel ）函数。由于汉克尔函数和第Ⅰ类以及第Ⅱ类贝塞尔函数都是线性无关的，()()1v H x 和()()2v H x 也是线性无关的，所以贝塞方程的通解可以写成
()()()()1
12v v y x c J x c H x =+ (5.3.19a)
或
()()()()212v v y x c J x c H x =+ (5.3.19b) ()()()()()1212v v y x c H x c H x =+ (5.3.19c)
第Ⅲ类贝塞尔函数具有明确的物理意义，这可以从远场渐进表达式进行分析 ()
(
)31242n i x n
H x O x ππ
??---
?????=
+ ???
(5.3.20a) ()(
)32242n i x n H x O x ππ??
---- ??
???=+ ???
(5.3.20b)
两边同乘以时间简谐因子i t e ω-得，
()(
)()
124n i i x t i t
n H x e e ππωω??
-+
?
--?
?≈ (5.3.21a)
()24n i i kr t e
ππω??
-+ ?-??= (
)
(
)()224n i i x t i t
n H x e e ππωω??
+ ?-+-??≈
(
)
24n i i kr t e ππω??+ ?-+??= (5.3.21b) 可见()()1n H kr 表示由线源向外以速度w
c k
=扩散传播的行波；而()()2n H kr 表示以速度w
c k =
i t e ω-组合后表示具有固定“波节”的驻波。
对于圆柱坐标系下的贝塞方程
220d dR v r k r R dr dr r ????+-= ? ????? (5.3.22) 考虑到(5.3.1) 是通过变量代换x kr =由(5.2.14c)得到的，因而(5.3.22)的通解可以表示为
()()()12v v R r c J kr c Y kr =+ (5.3.23) 对于虚变量的贝塞方程
圆柱坐标系下的分离变量法
5．圆柱坐标系下的分离变量法 5．1极坐标系下的拉普拉斯方程 考虑半径为a 的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布(,)u x t 随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布(,)u x y 。上述定解问题可表述为 20 u x y x y D ?=∈(,)(,) （5.1.1a ） 222 x y a u x y g x y x y +==∈∑(,) (,) (,) (5.1.1b) 其中，∑表示圆盘的边界，即222x y a +=，D 表示∑围成的内域。 对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与z 无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如 0x =，x a =，0y =，y b = 但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为 2 2 22 11()r r x x r ? ????=+??? （5.1.2） 从而（5.1.1）定解问题可改写成 222 110u u r r D r x x r ?? ???+=∈???()(,) (5.1.3a) r a u r g r ???==∈∑(,) () (,) (5.1.3b) 注意到定解问题（5.1.3）中的边界条件属于第Ⅰ类，通常称之为狄里克莱 ()Dirichlet 问题，也称第I 边值问题。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅱ类的，则 称相应的定解问题为牛曼()Newman 问题，也称第Ⅱ边值条件。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅲ类的，则称相应的定解问题为罗宾()Robin 问题。此外，本题研究内域
第24讲分离变量法第4章介质中的电动力学4§4拉普拉斯方程分离变量法
第24讲 分离变量法 第4章 介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程 分离变量法 以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V 的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace ）方程 20??= （4.4---1） 产生这电场的电荷都分布于区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。 （4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用（R ，θ，φ）表示，R 为半径，θ为极角，φ为方位角。拉氏方程在球坐标系中的通解为 1 .(,,)()(cos )cos n m nm nm n n n m b R a R P m R ?θφθφ+=+ ∑ 1 ,()(cos )sin n m nm nm n n n m d c R P m R θφ+++ ∑ （4.4---2） 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。 P m n （cos θ） 为缔和勒让德（Legendre ）函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为
第2章 定解问题
第2章定解问题 1、何谓数理方程？按其描绘的物理过程，它可分为哪几类？ 2、何谓定解问题？它分为哪几类？试写出一维波动方程的Cauchy问题的数学表示。 3、何谓定解条件？它包括哪些内容？ 4、何谓边界条件？它分为哪几类？一个边界需用几个边界条件来描述？ 5、用数理方程来研究物理问题需要经历哪几个步骤？ 6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界面S 处的 衔接条件有几个？应如何表示？ 7、如何导出物理模型的数理方程？在推导弦的横振动方程时采用了哪些近似？由小角度近似我们得到什么结论？ 8、热传导方程的扩散方程有何共同和不同之处？ 9、在杆的纵振动问题中，若端自由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？ 10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从一物理定律出 发证明吗？ 11、在热传导问题中，若热源密度不随时间而变化，则热传导方程会 发生怎样的变化？ 12、在弦的横振动问题中，若弦受到了一与速度成正比的阻力，该阻力对于弦的振动问题
是否起到了源的作用？若受到了一与位移成正比的回复力呢？ 第3章行波法 1、行波法的解题要领是什么？它适合用来求解哪一类定解问题？为什么？ 2、一维波动方程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？ 3、公式是用行波法求解弦的横振动问题时推得的，能否用公式求解如下定解问题？请说明原因？ 4、能否用公式求解如下定解问题？ 5、能否用行波法求解如下定解问题？ 6、你能否根据直角坐标系中的
导出球坐标中球对称情况下的的表达式 请记住这个结论： 7、何谓平均值法？你能通过引入球面的平均值，将三维的波动方程 化为关于平均值的一维方程吗？ 8、在Poisson 公式中，?若已知 9、对于定解问题 除了可用Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？ 10、在弦的横振动方程单位质量的弦所受的外 力，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？ 11、冲量原理的精神是什么？ 12、你能否用纯强迫振动的解来求解定解问题
第14讲 图形与坐标
第五章拓展与提高 第15讲图形与坐标 一、学习目标 1.在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 2.在直角坐标系中，能将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化. 3.在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴（或以原点为对称中心），能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 4.在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 二、基础知识·轻松学 1．用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）或（x-a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位，?可以得到对应点（x，?y+b）或（x，y-b）． 【精讲】点沿着x轴正方向或y轴正方向平移，相应的坐标增加；而点沿着负方向平移，则相应的坐标就减少． 2.由坐标的变化规律判断图形平移方向与平移距离 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向左（或向右）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，?相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．【精讲】图形是由无数个点组成的，所以图形的变化实质是由点和点的坐标变化引起的，我们知道：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可看出这个图形进行了怎样的平移。故着重理解：从点的坐标变化来分析点的平移方向和平移距离．关键是看相应对应点的坐标是增加还是减少，如果横
工程力学第14讲答案详解
习题14-2图 习题14-3图 第14章 压杆的平衡稳定性分析与压杆设计 14－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答 案，试判断哪一种是正确的。 （A ）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B ）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C ）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D ）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。 正确答案是 C 。 14－2 图示a 、b 、c 、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力F Pmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （B ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F ===； （C ）)c ()b ()d ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （D ）)d ()c ()()a (max P max P max P max P F F b F F =<=。 正确答案是 A 。 14－3 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。关于四者分叉载荷大小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大）。 （A ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F <<<； （B ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>； （C ）)a ()d ()c ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>； （D ）)d ()c ()a ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>。 正确答案是 D 。 解：图（b ）上端有弹性支承，故其临界力比图(a)大； 图(c)下端不如图(a)刚性好，故图(c)临界力比图(a)小； 图(d)下端弹簧不如图(c)下端刚性好，故图(d)临界力比图(c)小。 14－4 一端固定、另一端弹簧侧向支承的压杆。若可采用欧拉公式2 2Pcr )/(πl EI F μ=，试确定其中长度系数的取值范围为
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的 推导及分析 哈尔滨工业大学市政学院 摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题 关键词：柱坐标 球坐标 导热微分方程 1.柱坐标系下导热微分方程 假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c 和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3)表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体，如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在d τ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即 导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能 的增加（Ⅲ） 下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三项： 在 dτ时间内，沿 r 轴方向： τ?λτ?λdzd rd r t d dzd rd q r r t r ??-=Φ∴-=?? τ?dzd rd q r r =Φ
τ?λdzd drd r t r r d d r dr d d dr r r r r dr r )(????=Φ-Φ∴?Φ?=Φ-Φ++ ○1 在 dτ时间内，沿 ?轴方向： τ? λ? λτ ????drdzd t r t r q drdzd q ??-=Φ∴??-==Φ11 τ??λ?? ????????dzd drd t r d d d )1(????=Φ-Φ∴?Φ?=Φ-Φ++ ○ 2 在 dτ时间内，沿 z 轴方向： τ?λλτ ?drd rd z t z t q drd rd q z z z z ??-=Φ∴??-==Φ τ?λdzd drd z t r z z dz dz z z z z dz z )(????=ΦΦ∴?Φ?=Φ-Φ+-+ ○3 将 r 、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 : I=○1+○2+○3 在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为 Ⅱ=dzdr rdrd q v ? 在 dτ时间内，微元体中热力学能的增量为 Ⅲ=τ?τ ρdzd rdrd t c ?? 联立I ，III ，II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式： )()(1)(12z t z t r r t r r r r q t c v ????+????+????+=??λ?λ?λτρ
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法 施春华,高庆九,李忠贤 (南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044) 摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。 关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系 在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。目前,很多参考书[123] 对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。 1 连续方程的一般算子形式 流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。 由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质” (流体)中的应用。一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。其算子形式的通用表达式[1] (1) 一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之 则增大。其算子形式的通用表达式[1] (2) 两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。 在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体(图略,很多教科书都详细给出,且易于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式
数学物理方法(刘连寿第二版)第07章习题
第七章 习题答案 7.1-1将Helmholtz 方程0=+?u u λ在柱坐标系中分离变量。 解：0112 2 22 2=+??+??+???? ??????=+?u z u u u u u λ?ρρρρρλ 设)()()(),,(z Z R z u ?φρ?ρ=代入上面的方程有: 0d d d d d d d d 2 2 22 2=Φ+Φ+Φ+???? ??ΦZ R z Z R RZ R Z λ?ρρρρρ 两边同时除以Z R Φ，并移项得： λ?ρρρρρ--=ΦΦ+???? ??2 2 22 2d d 1d d 1d d d d 1 z Z Z R R 上式左边与z 无关，右边与?ρ,无关，令左右两边都等于μ-,即： 右边为：0)(d d d d 12 2 22 =-+? -=-- Z u z Z z Z z λμλ ① 而左边有：μ? ρρρρρ-=ΦΦ+???? ??2 2 2d d 1d d d d 1 R R 两边同时除以2ρ，并移项得: 2 2 2 2 d d 1d d d d m R R =ΦΦ- =+??? ? ?? ? μρρρρρ 0d d d d 12 2 2 2 2 2 =Φ+Φ? =ΦΦ- m m ? ? ② 和： 2 2 d d d d m R R =+??? ? ?? μρρ ρρρ 2 2 2 2 d d d d m R R R =+??? ? ??+ μρρρρρ 0d d 1d d 2 2 22 =??? ? ??-++R m R R ρ μρρρ ③ Helmholtz 方程在柱坐标系下可分解为①②③三个常微分方程。 7.1-2 将三维热传导方程 02 =?-??u a t u 在球坐标系中分离变量。
分离变量法：球坐标系下的分离变量法
4.5 分离变量法的原理与应用 1.分离变量法的原理和步骤 2.直角坐标系中的分离变量法 3.圆柱坐标系中的分离变量法 4.球坐标系中的分离变量法
4. 球坐标系中的分离变量法2 222222111()(sin )0sin sin R R R R R R φφφθθθθθ? ?????++=?????(,,)()Θ()Φ() R R φθ?θ?=R 22 22 sin d d sin d d Θ1d Φ()(sin )0d d Θd d Φd R R R θθθθθ? ++=R R 球坐标系中的拉普拉斯方程： （1）变量分离： 可得：
2 2 2 1d d m ? Φ=-Φ21d d ()(1)d d R n n R R =+R R 2 21d d (sin )(1)0 sin d d sin m n n θθθθθ Θ++-=Θ该方程只讨论电位与方位角无关的情况 该方程称为欧拉方程 该方程的解有两种情况 （2）分离出常微分方程： 22 22sin d d sin d d Θ1d Φ()(sin )0d d Θd d Φd R R R θθθθθ? ++=R R 根据：
0,φ? ?=?2 m =Φ()A ?=2 0n =1 00()R A B R -=+R (1)时，2 0n >(1) ()n n n n R A R B R -+=+R (2)时，当电位与方位角无关时即：2 2 2 1d ΦΦd m ? =-■ 的解■ 的解21d d ()(1)d d R n n R R =+R R 2 0n <的情况不存在。 (3) （3）常微分方程的求解：