一元二次方程知识点总结与题型归纳非常全面
重难点突破 一元二次方程题型汇编
知识梳理
一、
一元二次方程的概念
1．一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式
()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项． （1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且
b ≠0时，方程是一元一次方程．
（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 二、
一元二次方程的解法
1．一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程． （2）配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化为1； ②常数项右移；
③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成()x m n 2+=的形式．
⑤若≥n 0，直接开平方得出方程的解．
（3）公式法：将()ax bx c a 2
++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 2
22
-4?
?+= ?24??
．
当≥b ac 2
-40时，两个根为,x 12=，其中b ac 2-4=0时，两根相等为
b
x x a
12-==
2；当b ac 2-4<0时，没有实数根． 可以用△表示b ac 2-4，△称为根的判别式． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③计算b ac 2-4的值；
④若≥b ac 2-40，则代入公式求方程的根； ⑤若b ac 2-4<0，则方程无实数根．
（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 因式分解法的一般步骤：
①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解． 2．一元二次方程解法的灵活运用
直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．
（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式ax bx c 2++=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）转化为它的简单形式()A x B C 2-=，这种转化方
法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．
（2）公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算b ac 2-4的值．
（3）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．
在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时，通常有两种转化方法．
1．因式分解法：
如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可以用因式分解法．
2．整体换元法：
在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的．
四、可化为一元二次方程的分式方程
在遇到这类可转化为一元二次方程的分式方程时，通常有两种转化方法．
1．去分母法：
在遇到分式方程时，往往先去分母，即通分然后求解．
2．整体换元法：
在一个分式方程中，如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的时候可以考虑整体换元法，实现化简的目的．
注意：在分式方程中，不管用什么方法解出来，最后一定要验根，因为要使得分式方程有意义，分母不为0，在这个过程中可能产生增根．
五、可化为一元二次方程的绝对值方程
在遇到这种可转化为一元二次方程的绝对值方程时，通常有两种转化方法．
1．分类讨论法：遇到绝对值方程时，可以先去绝对值，而去绝对值，就意味着要分类讨论．第一步，找出分段点，考虑当绝对值符号内的式子等于0时，x取值，由此划分x取值．
第二步，根据x取值讨论去绝对值，得到相应转化的一元二次方程．
第三步，用合适的方法求解，但是解得的解应该在讨论的x取值内．
第四步，依次写出满足绝对值方程的所有根．
2．整体换元法：在遇到一个特定的方程时，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐，可以考虑用整体换元法．
【总结】在绝对值方程中，要记着考虑绝对值的非负性．
在遇到这类可转化为一元二次方程的根式方程时，通常有两种转化方法． 1．两边平方法：等式的两边同时平方，然后化简得到相应的一元二次方程．
2．整体换元法：在含根式方程的一个方程中，如果几个式子存在特殊的关系，可以考虑整体换元法．
【总结】在根式中解的时候，解一定要使得根号下非负；在整体换元的时候要考虑到换的元的取值范围内，在取值范围内的解才有意义，最后也要像分式方程那样进行验根． 七、
模块一 一元二次方程的判别式
1．定义：
在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△． 2．判别式与根的关系：
在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则
①△>0?方程()ax bx c a 2
++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．
②△=0?方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a
12==-2． ③△<0?方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：
（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；
（2）若△为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 八、
模块二 一元二次方程的根与系数关系
1．韦达定理：
如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-，c
x x a
12=．（使用前提：△≥0）
特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=．
2．韦达定理的逆定理：
如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，c
x x a
12=，那么x 1，x 2必定是()
ax bx c a 2++=0≠0的两个根．
特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论： （1）当
c
a
<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若b
a
-<0，则此方程的正根小于负
根的绝对值． （2）当
c
a
>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若b
a
-<0，则此方程的两根均为负根．
注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根． （2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根． 九、
模块一 一元二次方程的公共根
1．一元二次方程公共根问题的一般解法：
（1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个参数的一个方程，解得参数．
（2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的值和所有方程的根． 十、
模块二 一元二次方程的整数根
1．判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路：
判断整系数一元二次方程ax bx c 2++=0是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、判别式与根系关系起十分重要的作用．
2．解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法
（1）直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质讨论当根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑）．
（2）利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式△必须是完全平方式，且△≥0，利用这条性质可以确定整参数的值，但需要验证这些值是否使方程的根为整数． （3）利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母得出不定方程来求解，或利用“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解．但后者必须进行检验所求的参数值要满足判别式△≥0．（一般用于实参数） 十一、 利用根的定义构造方程
如果m 、n 分别是一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根，那么有am bm c 2++=0，an bn c 2++=0，相反的，如果已知m 、n 分别满足am bm c 2++=0，an bn c 2++=0，且a ≠0，那就可以构造一个一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0使得m 、n 是它的解． 十二、 利用根系关系构造方程
如果m 、n 分别是一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根，由韦达定理，b m n a +=-，
c mn a =
，相反的，如果已知m 、n 分别满足b m n a +=-，c
mn a
=，且a ≠0，那就可以构造一个一元二次方程使得m 、n 是它的两根．这里主要提到的是同形构造及和积构造．
例题分析
题型一 一元二次方程的概念
例题1 下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223-9-+1=1；③x x
21
+
+5=0；④x x 23-2+5-6=0；⑤||x x 2-3-3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________．
（2）若一元二次方程()()m x m x m 222-2+3+15+-4=0的常数项为零，则m 的值为_________．
（3）若a b a b x x 2+--3+1=0是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 【解析】（1）②⑥．
（2）由题意可知，m 2-4=0，m -2≠0，故m =-2 （3）分以下几种情况考虑： ①a b 2+=2，a b -=2，此时a 4=
3
，b 2
=-3；
②a b 2+=2，a b -=1，此时a =1，b =0； ③a b 2+=1，a b -=2，此时a =1，b =-1；
【总结】这三道题主要考察学生们对一元二次方程的基本概念的理解，比较简单，但是第三 个小题容易犯错误。主要是考虑不全，或者误以为a b 2+=0，a b -=0的情况可以成立．实
际上，x 0
有一个隐含的限制条件，即x ≠0，x 0
是一个分式，表示的意义是n
n x x
，如果本题
中a b 2+=0或者是a b -=0成立，原方程就不是一个整式方程，而是一个分式方程，既然不是整式方程，就更谈不上是一元二次方程了．
巩固1： （1）已知关于x 的一元二次方程()m x x m 22-1+2+-1=0有一个根是x =0，则m 的值为_______．
（2）已知a 是一元二次方程x x 2-2-1=0的根，求下列各式的值：①a a 1-
；②a a
221+；③a a a 22
-3
-3++52
．
（3）关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =，（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方程2(2)0a x m b +++=的解是__________．
【答案】（1）一元二次方程，∴m -1≠0，而x =0代回方程得到：m 2-1=0．综上可知m =-1． （2）①由a a 2
-2-1=0知，a ≠0，故a a 1-2-=0，即a a
1-=2；②a a a a 2
2211??+=-+2=6 ???；
③由于a a 2=2+1，代入所求得，原式a a a 2+1-3
=2+1-3++5=52
． （3）14x =-，21x =-．
题型二 一元二次方程的解法
例题2 解方程：（1）()x x x 22-6+9=5-2 （2）()()x x 224-2-3-1=0
【答案】（1）()()x x 22-3=5-2，()x x -3=±5-2，x 1=2，x 28=3．
（2）()()x x 224-2=3-1，()()x x 2-2=±3-1，x 1=-3，x 2=1 【考点】利用开平方法解一元二次方程．
例题3 解方程：（1）x x 2-4-1=0 （2）x x 22-8-3=0 （3）x x 24-6-4=0
【答案】（1）x x 2-4-1=0，()x 2-2=5，x =2x 1=2，x 2=2
（2）x x 22-8-3=0，()x 22-2=11，x =2x 1=2，x 2=2； （3）x x 2
4-6-4=0，x 2
325?
?-= ?416?
?，x 1=2，x 11=-2．
【考点】利用配方法解一元二次方程
例题4 解方程：（1）()x x 2-5=2+1
（2）()x x x x 1?
?6+1+4-3=22+ ?2?
?
【答案】（1）()x x x x 22-5=2+1?-2-7=0，()2=2-4?1?-7=32△，
∴原方程的解为：x 1=1+，x 2=1-；
（2）()x x x x x x 21?
?6+1+4-3=22+?6+-4=0 ?2?
?，()△2=1-4?6?-4=97
故,x 12，∴原方程的解为：x 1，x 2=． 【考点】利用公式法解一元二次方程
例题5 解方程：（1）22320x x --=（2）2(21)36x x -=-（3）26x -=
【答案】（1）22320x x --=，(21)(2)0x x +-=，11
2
x =-，22x =；
（2）2(21)36x x -=-，2(21)3(12)x x -=-，2(21)(1)0x x -+=，11
2
x =，21x =-．
（3）1x =
23
x =． 【考点】利用因式分解法解一元二次方程
例题6 解关于x 的方程：（1）x mx m mn n 222-3+2--=0（m 、n 为常数） （2）()mx m x m 22-3+2+6=0 （3）()()k k x k k x k 2222-6+8+2-6-4+=4
【答案】（1）()()x mx m n m n 2-3+2+-=0，()()x m n x m n -2--+=0，x m n 1=2+，x m n 2=-． （2）若m =0，则x -2=0，x =0；
若m ≠0，则()mx m x m 22-3+2+6=0，()()mx x m -2-3=0，故x m
12
=
，x m 2=3 （3）①当k k 2-6+8=0时，方程二次项系数为0，此时k =2，或k =4．
当k =2时，方程化为x -8=0，解为x =0；当k =4时，方程化为x 4=-12，解为x =-3． ②当k k 2-6+8≠0时，方程可以因式分解为[][]()()k x k k x k -2++2-4+-2=0， 解为k x k 1+2=
2-，k x k
2-2
=4-． 【考点】含参数的一元二次方程的分类讨论，同时讨论判别式△的正负性．
巩固2： 解关于x 的方程：（1）x mx m n 222-2+-=0；（2）x a ax a 22+3=4-2+1 （3）()()a b c x ax a b c 2-++2++-=0
【答案】（1）原式可以因式分解为：()()x m n x m n ---+=0，解为x m n 1=+，x m n 2=-． （2）x a 1=3-1，x a 2=+1．
（3）二次项系数中含有字母，所以要加以讨论， ①若a b c -+=0，则原方程成为()ax a b c 2++-=0
若a =0，则c b -=0，原方程为x 0+0=0，x 可为一切实数． 若a ≠0，则a b c a
x a a
--+-2=
==-122． ②若a b c -+≠0，则原方程成为[]()()()x a b c x a b c +1-+++-=0，得x 1=-1，c a b
x a b c
2--=-+．
巩固3： 解方程：()()x x x x 2222+-22+=3．
【答案】设x x m 22+=，则原方程化为m m 2-2-3=0，即()()m m -3+1=0， 代回可得：()()x x x x 222+-32++1=0， 即x x 22+-3=0或x x 22++1=0．
x x 22+-3=0，可化为()()x x 2+3-1=0，解得x 1=1，x 23=-2
；
x x 22++1=0，用公式法解决，△2=1-4?2?1=-7<0，故此方程无实数根．
综上方程解为：x 1=1，x 23
=-2．
题型三 可化为一元二次方程的高次方程
例题7 解方程：（1）x x x x 4326-35+62-35+6=0；（2）22+229+x x x x x 54326-9+77-6=0 【答案】（1）显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x
2216
6-35+62-35+=0，
即：x x x x 2211???
?6+-35++62=0 ? ?????（1），
令y x x
1=+
，则y x x 2221
=++2，
所以方程（1）可化为：()y y 26-2-35+62=0， 即：y y 26-35+50=0． 解得：y 15=
2，y 210=3
，即x x 15+=2，x x 110
+=3． 解得：x 1=2，x 21=
2
，x 3=3，x 41
=3．
（2）观察知x =-1为原方程的一个解，于是x +1必为左边代数式的一个因式． 于是有()()x x x x x 432+16-35+62-35+6=0． 得-x =1或x x x x 4326-35+62-35+6=0，
下面来解x x x x 4326-35+62-35+6=0，显然x ≠0，两边同除以x 2，
得：x x x x 22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211???
?6+-35++62=0 ? ?????，
令y x x 1=+
，则y x x
2221
=++2， 所以方程可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0． 解得：y 15=
2，y 210=3，即x x 15+=2
或x x 110
+=3． 解得：x 1=2，x 21=
2，x 3=3，x 41
=3
． 于是原方程的解为x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41
=3
，-x 5=1．
巩固4： 解方程：（1）x x x 53+5+6=0；（2）()x x x x 222-2-3=2-4-7 （3）()()=x x 331999-+-19981
【答案】（1）由题意得()x x x 42+5+6=0，所以x =0或x x 42+5+6=0，
当x x 42+5+6=0时，得()()x x 22+2+3=0，此时方程无解．综上所述，原方程得解为x =0． （2）令t x x 2=-2-3，则x x t 2-2=+3，代入原方程得：()t t 2=2+3-7， 即得到t t 2-2+1=0，()t 2-1=0，t =1，将t 的表达式代入得x x 2-2-3=1，
即x x 2-2-4=0，解得x x x 12=1+
（3）令t x =1999-，则x t -1998=1-，则()=t t 33+1-1，所以t t 23-3+1=1， 得t 1=0，t 2=1，将t 的代数式代入得到x 1=1999，x 2=1998．
题型四 可化为一元二次方程的分式方程 例题8
（1）x x x x 2
????
+5+6=0 ? ?+1+1????
（2）
()()x x x x x x 22228+23-1+=11-1+2 （3）x x x x 2
318?
?2-+12=-5 ??
?
【答案】（1）x 12=-3，x 23
=-4
；
（2）设x x y x 22+2=-1，得y 13=8，y 2=1，由y 13=8，得x 11=-5
，x 2=-3，由y 2=1，得x 1
=-2．
（3）先别忙着把x x 2
3?
?2- ??
?展开．把等号右边各式都移到等号左边，得
x x x x 2
318??2-+12-+5=0 ???．可变形为x x x x 2
33???
?2-+62-+5=0 ? ????
?，设x y x 32-=，
原方程可化为y y +6+5=0．所以y 1=-1，y 2=-5． 由x x 32-=-1，得x x 22+-3=0，得x 13
=-2，x 2=1． 由x x 32-
=-5，得x x 22+5-3=0．得x 3=-3，x 41=2
． 经检验，这四个根都适合．所以原分式方程的解是x 13=-2，x 2=1，x 3=-3，x 41
=2．
巩固5： 解分式方程：（1）x x x x
2142
++=1+2-42-
（2）()()x x x x 222+16+1+=7+1+1
【答案】（1）把第三个分式的分母x 2-变形为x -2，得
()()x x x x x 142+-=1+2+2-2-2
． 方程两边都乘以()()x x +2-2， 得()()()x x x x x -2+4-2+2=+2-2， 即x x 2-3+2=0，解得x 1=1，x 2=2．
检验：把x =1化入最简公分母，它不等于0，所以x =1是原方程的根；
把x =2代入最简公分母，它等于0，所以x =2是增根．因此原方程的根是x =1．
（2）设x y x 2+1=+1
，那么x x y 2
+11=+1，于是原方程变形为y y 6
2+=7． 方程的两边都乘以y ，约去分母，得y y 22-7+6=0． 解这个方程，得y 1=2，y 23
=
2
．
当y =2时，x x 2+1=2+1，去分母，整理得x x 2-2-1=0．所以x =
当y 3
=2
时，x x 2+13=+12，去分母，整理得x x 22-3-1=0．所以x ．
检验：把x x =分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根．
综上：原方程的根是x 1x 2x 3，x 4． 【总结】（1）这个分式方程如果用去分母法解，方程两边要同乘以()()x x 2+1+1，所得到的
将是一个难题的四次方程．所以，要考虑别的解法．
（2）观察方程的特点，可见含未知数的两部分式子x x 2+1
+1
与x x 2+1+1互为倒数．
（3）由于具有倒数关系，如果设x y x 2+1=+1
，则x x y 2
+11=+1，原方程就可变形为y y 62+=7①，此方程去分母可化为一元二次方程x y 22-7+6=0．从中解出y ，再解出x ．因此，原分式方程可用换元法来解．
巩固6： （1）x x x x x
2212-6+
+2+=0
；（2）x x x x 432
2+3-16+3+2=0 （3）x x x x x 54326-41+97-97+41-6=0
【答案】（1）换元的方法x 1=1，x 2=-2x 3=-2-． （2）显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x
2232
2+3-16++=0，
即x x x x 2211?
???2++3+-16=0 ? ??
???，令t x x 1=+，则x t x 2221+=-2，
所以方程可化为：()t t 22-2+3-16=0，即：t t 22+3-20=0，解得t 1=-4，t 25
=2
，
解得x x 1+
=-4，或x x 15+=2
，∴x 1=-2x 2=-2，x 31
=2，x 4=2． （3）观察知x =1为原方程的一个解，于是x -1必为左边代数式的一个因式． 于是有()()x x x x x 432-16-35+62-35+6=0．得x =1或x x x x 4326-35+62-35+6=0， 下面来解x x x x 4326-35+62-35+6=0，
显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 2216
6-35+62-35+=0，
即：x x x x 2211???
?6+-35++62=0 ? ????
?，令y x x 1=+，则y x x 2221=++2，
所以方程可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0． 解得：y 15=
2，y 210=3，即x x 15+=2
，x x 110+=3． 解得：x 1=2，x 21=
2，x 3=3，x 41
=3
． 于是原方程的解为x 1=2，x 21=
2，x 3=3，x 41
=3
，x 5=1． 【总结】与中项距离相等的项的系数相等，这种方程称为倒数方程，倒数方程有以下性质： （1）如果m 是倒数方程的根，则
m
1
也是方程的根；（2）倒数方程没有x =0的根．
倒数方程的解法：当最高项次数是偶数时，方程可变成()()a x b x c x x
2
211+
+++=0的形式； 当高项次数是奇数时，由系数特征，则必有x =-1的根，用多项式()x +1去除方程的两边，即可变成最高项次数是偶数的情况．
题型五 可化为一元二次方程的绝对值方程 例题9 解方程：||||x x x -3+2=0
【答案】（1）当x <0时，原方程化为x x 2-3-2=0，解得x =
x =； （2）当≥x 0时，原方程化为x x 2-3+2=0，解得x =1或x =2；
所述，原方程有3个解：x 1，x 2=1，x 3=2．
巩固7： 解方程()||x x 22-1-32-1+2=0．
【答案】原方程可写为||||x x 22-1-32-1+2=0，令||t x =2-1，得t t 2-3+2=0， 即()()t t -1-2=0，解得t 1=1，t 2=2．由||x 2-1=1，得x 1=0，x 2=1．由||x 2-1=2， 得x 33=
2
，x 41=-2．∴原方程的根为x 1=0，x 2=1，x 33=2，x 41
=-2．
【总结】这道题也可以用分类讨论的方法，根据x 和1
2
大小的来去绝对讨论，熟悉将绝对值方程转化为一元二次方程的换元法
巩固8： 解方程：（1）||x x 2-2-1-4=0 （2）()()x x x -2+3=3+
【答案】（1）令,x 2-1=0得x 1=2，以1
2
为分界点把数轴划分为两个区间，分别求解．
①当x 1
<
2
时，则x 2-1<0，原方程化为x x 2+2-5=0．∴x =x =； ②当≥x 1
2
时，则≥x 2-10，原方程可以化为x x 2-2-3=0，所以x =3或x =-1（舍去）．
综上所述，原方程的解为x 1=，x 2=3．
（2）分情况讨论：令()()x x -2+3=0得x =2或x =-3，以-3和2把数轴划分为四个区间 ①当≥x 2时，方程化为()()x x x -2+3=3+，即x 2=9，解得：x 1=3，x 2=-3（舍去）； ②当≤x -3<2时，方程化为()()x x x --2+3=3+，即x x 2+2-3=0，解得：x 3=1，x 4=-3； ③当x <-3时，方程化为()()x x x -2+3=3+，即=9x 2，得x 5=3（舍去），x 6=-3（舍去）， 综上所述，原方程的解为x 1=3，x 2=1，x 3=-3．
题型六 可化为一元二次方程的根式方程
例题10 解方程：（13 （25=0 【答案】（1）先把一个根号移到右边，然后两平方，得x =1；（2）换元法，最后得到x 3
=5
．
巩固9： 解方程：（12（2（3
【答案】（12；两边平方，得x x +8=5+20+4，
x --4；两边平方整理，得x x 2+3-4=0，
解得x 1=-4，x 2=1；经检验，x 2=1是增根，舍去，x 1=-4是原方程的根．
（2）x x x 2+1+-3+4；x +2=
()x x x x 22+4+4=42-5-3；x x 27-24-16=0；()()x x 7+4-4=0， ∴x 14=-7，x 2=4；经检验，x 14
=-7
是增根，舍去；x 2=4是原方程的根．
（3y =y 1=，于是原方程可变形为y y 2-=1化为整式方程得
y y 2--2=0，解之得y 1=2，y 2=-1；当y =22，解得x =10，
当y =-1-1，无实数解；经检验x =10是原方程的解．
巩固10：
x 7
【答案】x 7，
两边同时平方得x x x x x 2227+9+13=49+7-5+13-14
整理得x x 249-14=14两边同时除以()x x 7≠0，得x 7-2=， 两边同时平方得x x x x 2249-28+4=28-20+52，整理得()()x x 3+47-12=0， 解得x 14=-3，x 212=7，经检验，x 4=-3是原方程的增根，则原方程的解为：x 12=7
．
题型七 一元二次方程的判别式
例题11 （1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21
-1+-
=04
有实根，
则k 的取值范围为_____
（2）关于x 的一元二次方程()k x 21-2--1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．
（3）当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？
（1）≥k 0且≠k 1；
（2）≤k -1<2且k 1≠2，由题意，得()()k k k k 4+1+41-2>0??+1≥0??1-2≠0
?
，解得≤k -1<2且k 1
≠2；
（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有
△≥0，即()()≥a a ab b 22241+-43+4+4+20，得()()a b a 22+2+-1≤0．
又因为()()a b a 22+2+-1≥0，所以()()a b a 22+2+-1=0，得a =1，b 1
=-2
．
【点评】这道题（1）（2）主要是结合一元二次方程的定义和判别式与根的关系的考察，（3） 把判别式和平方的非负性结合起来考查．
巩固11：
在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和
c 是关于x 的方程x mx m 21
++2-=02的两个实数根，求△ABC 的周长．
当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21?
?-42-=0 ?2?
?，
∴m 1=-4，m 2=2．若m =-4，原方程化为x x 2-4+4=0，则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7．若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0，则x x 12==-1，舍去 当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根，则m m 19+3+2-=02，则m 22
=-5
，
原方程化为x x 22221-
+=055，解得x 1=3，x 27=5，∴ABC △的周长为737
3+3+=
55
． 综上所述，ABC △的周长为7或
37
5
． 【总结】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路． 题型八 一元二次方程的根与系数的关系
例题12 （1）一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=． （2）已知x 1，x 2是方程x x 2-3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12-2?-2；③x x x x 221122+?+；④x x x x 2112+；⑤x x 12-；⑥x x 2212-；⑦x x 12
11-． （1）-4；
（2）()x x x x x x 2222121212+=+-2?=3-2?1=7，
()()()x x x x x x 121212-2?-2=?-2++4=1-2?3+4=-1，
()x x x x x x x x 22211221212+?+=+-?=9-1=8，
x x x x x x x x 2221211212+7+===7?1
，()()x x x x x x 222121212-=+-4?=3-4?1=5
，∴x x 12-=，
∴()()(x x x x x x 22121212-=+-=3?=
x x x x x x 21121211--===
巩固12：
（1）若m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，则m m n 2+2+-1的值为_____
（2）已知a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，则a ab a b 2-+3+的值为__________． （3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ______ （1）∵m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，∴m n +=-1，m m 2+-1=0， 则原式()()m m m n 2=+-1++=-1=-1，
（2）∵a 是方程x x 2+2-5=0的实数根，∴a a 2+2-5=0，∴a a 2=5-2， ∴a ab a b a ab a b a b ab 2-+3+=5-2-+3+=+-+5，
∵a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，∴a b +=-2，ab =-5，∴a ab a b 2-+3+=-2+5+5=8 （3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=-2016，mn =7； ∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，
()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7--1+2016+7++1
()()()()m n mn m n =-+1+1=-+++1=-7-2016+1=2008
巩固13： （1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，且
x x x x 1212
11
+=
+，求k 值． （2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24-4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221-2-2的值等于
54
． （1）∵方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2， ∴()()△≥k k k 22=2-3-4-3=21-120得：≤k 7
4
． 由韦达定理得，()
x x k x x k 122
12
+=-2-3????=-3??． ∵x x x x 1212
11
+=
+，∴x x x x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，
当x x 12+=0时，k 3-2=0，k 3=
2，∵k 37=<24，所以k 3
=2
符合题意．
当x x 12=1时，k 2-3=1，k =±2，∵k 7≤
4，∴k =2舍去．∴k 的值为3
2
或-2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16-16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a
12+4=
4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 22
21221121212129+4-2-2=5-2+=9-2+=
-24a a
+36
=
4 若有()(),x x x x 12215-2-2=4则a a +365=44
，
∴a =9，这与0a <矛盾，故不存在a ，使()()x x x x 12215
-2?-2=
4
． 【总结】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类 型的题比较常见，一定不要忽视?的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．
题型九 一元二次方程的公共根 例题13 一元二次方程x x 25-2-=04的某个根，也是一元二次方程()x k x 29
-+2+=04
的根，则k 的值为
【答案】由题意x x 2
5
-2-
=04，解得x 15=2，x 21=-2
． 当x 5=
2是方程()x k x 29-+2+=04的根时，解得k 7
=5
，
当x 1=-2
是方程
()x k x 29-+2+=04的根时，解得k =-7， 综上，k 7
=5
或-7
巩固14： 已知m 为非负实数，当m =__________时，关于x 的方程x mx 2+-1=0与
x x m 2++-2=0仅有一个相同的实根．
【答案】设相同的根为α，则由题意我们有m m αααα22?+-1=0
??++-2=0??
．
所以m m αααα22+-1=++-2．即()m m α-1=-1． （1）当m ≠1时，α=1，代入原方程求得m =0， 方程为x 2-1=0与x x 2+-2=0，满足题意；
（2）m =1时，代入原方程，两方程均为x x 2+-1=0，解得x =
， 即它们的两根都相同，不合题意，舍去，故只有当m =0时，两方程仅有一个相同的实根．
巩固15： （1）求k 的值，使得关于x 的一元二次方程x kx 2+-1=0，()x x k 2++-2=0
有相同的根，并求两个方程的根．
（2）已知1x 为方程x kx 2+-2=0的根，x 2为方程x kx 22+7+3=0的根，且x x 12=2，求k 的值．
【答案】（1）不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有 a ka 2+-1=0 ……①， ()a a k 2++-2=0……②．
①-②有，()ka a k -1---2=0，即()()k a -1-1=0，∴k =1，或a =1． 当k =1时，两个方程都变为x x 2+-1=0，
∴两个方程有两个相同的根,x 12，没有相异的根； 当a =1时，代入①或②都有k =0，此时两个方程变为x 2-1=0，x x 2+-2=0． 解这两个方程，x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x x 2+-2=0的根为x 1=1，x 2=-2． x =1为两个方程的相同的根，
综上x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x x 2+-2=0的根为x 1=1，x 2=-2． （2）由已知可知x kx 211+-2=0和x kx 2222+7+3=0． 又x x 12=2，则x kx 2224+2-2=0，即x kx 2222+-1=0，
消去二次项可解得kx 22=-3．代入x kx 2222+7+3=0，整理得x 225
=6
，
此时k =k 21?=+8≥0，k 22?=49-24≥0，
∴≥
k 22449，k =满足≥k 224
49
，∴k =．
【点评】在这个公共解中，对于这种两个方程均含有参数值k ，通常情况下可以分三步：1 设2代3消．这种问题考察起来通常较难。
题型十 一元二次方程的整数根
例题14 已知关于x 的方程()()()k k x k x 24-8--80-12+32=0的解都是整数，求整数k 值 【答案】①当k =4时，原方程化为x -32+32=0，解得x =1，故当k =4时，解都是整数． ②当k =8时，原方程化为x 16+32=0，解得x =-2，故当k =2时，原方程的解都是整数． ③当k ≠4或k ≠8时，原方程可化为[()][()]k x k x 4--88--4=0，
∴x k 18=
4-，x k
24
=8-． k 为整数，且x 1、x 2均为整数，k ∴4-=±1，±2，±4，±8，得,,,,,,,k =352608-412，
k 8-=±1，±2，±4，得,,,,,k =79610124．
故当k 的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数．
【总结】这个题由于含有参数，因此运用了因式分解的方法，并且都进行了讨论，如果含参 方程没有告诉是什么类型方程，一定要记得分类讨论．
巩固16：
当m 是何整数时，关于x 的一元二次方程mx x 2-4+4=0与
x mx m m 22-4+4-4-5=0的根都是整数．
【答案】由题意可知，方程mx x 2-4+4=0的判别式()()m m m 21?=-4-16=161-≥0?≤1， 方程x mx m m 22-4+4-4-5=0的判别式为()()()m m m m 222?=4-44-4-5=44+5≥0， 故m 5
≥-4
，又m 为整数，m ≠0，故m =-1或m =1，
当m =1时，题干中的两个方程分别为x x 2-4+4=0、x x 2-4-5=0，满足题意； 当m =-1时，题干中的两个方程分别为x x 2+4-4=0、x x 2+4+3=0，不合题意． 故m =1．
巩固17： （1）当m 是什么整数时，关于x 的方程()x m x m 2--1++1=0两根都是整数? （2）已知关于x 的方程()x a x a 2+-6+=0的两根都是整数，求a 的值．
【答案】（1）设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得：x x m x x m 1212
+=-1
??=+1?，
从上面两式中消去m ，可得x x x x 1221--=2，()()()x x 12-1-1=3=1?3=-1?-3 则有x x 12-1=1??-1=3?或x x 12-1=-1??-1=-3?，解得：x x 12
=2
??=4?或x x 12=0??=-2?，
由此x x 12?=8或0，所以m x x 12=-1=-1或7．
（2）设两个根为x x 12≥，由韦达定理得x x a
x x a 1212
+=6-??=?．
从上面两式中消去a 得x x x x 1212++=6，所以()()x x 12+1+1=7，
所以x x 12+1=7??+1=1?或x x 12+1=-1??+1=-7?．即x x 12=6??=0?或x x 12
=-2
??=-8?．所以a x x 12==0或16．
【总结】这道题主要用韦达定理去解决整数根问题，本质是得到关于两根的不定方程．这道
题也可利用判别式的方法去解，但是在用判别式的方法解之前，需要先说明a 、m 为整数．在
此处老师们可以引入：()()ab a b a b +++1=+1+1，()()ab a b a b --+1=-1-1；对于实数参问题可以考虑使用韦达定理去消参进行求解．
巩固18：
当m 为何整数时，方程x mx m 22
2-5+2=5有整数解．
【答案】解法1：将方程x mx m 222-5+2=5左边因式分解可得()()x m x m 2--2=5， 故x m x m 2-=5??-2=1?，或x m x m 2-=1??-2=5?，或x m x m 2-=-5??-2=-1?，或x m x m 2-=-1??-2=-5?
，
解得x m =3??=1?，x m =-1??=-3?，x m =-3??=-1?，x m =1??=3?
．
故m =±1或m =±3．
解法2：将方程x mx m 222-5+2=5整理成标准形式：x mx m 222-5+2-5=0，
由原方程有整数解，首先必须满足()()m m m 222?=5-4?2?2-5=9+40为一个完全平方数，不妨设()n n 2?=>0，
则有()()m n m n m n 229+40=?3-3+=-40，
又m n 3-、m n 3+的奇偶性相同，且m n m n 3-<3+（由于n >0）． 则有m n m n 3-=-2??3+=20?，m n m n 3-=-4??3+=10?，m n m n 3-=-10??3+=4?，m n m n 3-=-20
??3+=2?，
解得m n =3??=11?，m n =-1??=7?，m n =1??=7?，m n =-3??=11?
．
m n
5±=
4
中检验可知，均满足题意． 故m =±1或m =±3．
【点评】这道题首先可以使用因式分解来做，但是这里主要提出用判别式法去求整数解问题， 让孩子们感受下不同方法间的不同技巧．
题型十一
利用根的定义构造方程
例题15 若1ab ≠，且25200190a a ++=，29200150b b ++=，则1
ab a b
++=_______．
（填小数形式）
由29200150b b ++=得，2115200190b b
++=，又25200190a a ++=， 所以a ，
1
b
可以看作是方程25200190x x ++=的两个根． 由韦达定理，得：195a a b b ?==，12001
5
a b +=-；
故
11992
398.45
ab a b ++=-=-．
一元二次方程知识点总结与易错题
一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于 a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式： 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根。 考点四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。也就是 说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点五、一元二次方程的二次函数的关系 二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了 二次函数知识点 一、二次函数概念：
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳
初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：
数列知识点总结及题型归纳
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式
一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
初中英语全部知识点总结
初一年级（上） 【知识梳理】 I. 重点短语 1. Sit down 2. on duty 3. in English 4. have a seat 5. at home 6. look like 7. look at 8. have a look 9. come on 10. at work 11. at school 12. put on 13. look after 14. get up 15. go shopping II. 重要句型 1. help sb. do sth. 2. What abo ut… 3. Let’s do sth. 4. It’s time to do sth. 5. It’s time for … 6. What’s… It is…/ It’s… 7. Where is… It’s…. 8. How old are you I’m….9. What class are you in I’m in…. 10. Welcome to…. 11. What’s …plus… It’s…. 12. I think… 13. Who’s this This is…. 14. What can you see I can see…. 15. There is (are) …. 16. What colour is it (are they) It’s (They’re)… 17. Whose …is this It’s…. 18. What time is it It’s…. III. 交际用语 1. Good morning, Miss/Mr…. 2. Hello! Hi! 3. Nice to meet you. Nice to meet you, too. 4. How are y ou I’m fine, thank you/thanks. And you 5. See you. See you later. 6. Thank you! You’re welcome. 7. Goodbye! Bye! 8. What’s your name My name is …. 9. Here you are. This way, please. 10. Who’s on duty today 11. Let’s do. 12. Let me see. IV. 重要语法 1. 动词be的用法； 2. 人称代词和物主代词的用法；
1.高考数学考点与题型全归纳——集合
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
一元二次方程重点题型(全)
一元二次方程重点题型 一．选择题（共7小题） 定义 1．（2016?凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（）个 ①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2． A．1 B．2 C．3 D．4 一般形式 2．（2016春?荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是 （） A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1 3．（2016春?宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A．6；2； 9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6； 9 D．﹣2； 6；9 一元二次方程的解 4．（2016?山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 5．（2016?诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 6．（2016?济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（） A．﹣2 B．C．﹣4 D．2 7．（2015?诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（） A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．， 二．填空题（共12小题） 8．（2016春?长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为． 9．（2016?罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程 为． （9题）（10题） 10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为． 11．（2016?丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是． 11．（2016?松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是．
(完整版)中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目，举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，
初一地理上册知识点总结最全面最详细
地理七年级上册知识结构 第一章地球和地图 第一节地球和地球仪 第二节地球的运动 第三节地图 第二章陆地和海洋 第一节大洲和大洋 第二节海陆的变迁 第三章天气和气候 第一节多变的天气 第二节气温和气温的分布 第三节降水和降水的分布 第四节世界的气候 第四章居民与聚落 第一节人口与人种 第二节世界的语言和宗教 第三节人类的居住地──聚落 第五章发展与合作 第六章亚洲 第七章：我们邻近的国家和地区 第八章东半球其它国家和地区 一、地球和地图 1．地球的形状和大小 ①地球是一个两极稍扁，赤道略鼓的不规则球体。 ②葡萄牙航海家麦哲伦率领的船队首次实现了人类环绕地球一周的航行。 ③地球表面积5.1亿平方千米，最大周长4万千米，赤道半径6378千米，极半径6357千米，平均半径6371千米。 2．纬线和经线 ①纬线：与地轴垂直并且环绕地球一周的圆圈。 纬线是不等长的，赤道是最大的纬线圈。 ②经线：连接南北两极，并且与纬线垂直相交的半圆。 经线是等长的。 3．纬度和经度 ①纬度的变化规律：由赤道（0°纬线）向南、北两极递增。最大的纬度是90度，在南极、北极。 ②赤道以北的纬度叫北纬，用“N”表示；赤道以南的纬度叫南纬，用“S”表示。 ③以赤道为界，将地球平均分为南、北两个半球，赤道以北是北半球，赤道以南是南半球。 ④经度的变化规律：由本初子午线（0°经线）向西、向东递增到180°。 ⑤本初子午线以东的经度叫东经，用“E”表示；本初子午线以西的经度叫西经，用“W”表示。 ⑥东、西半球的分界线是：20°W、160°E组成的经线圈。 20°W以西到160°E属于西半球（大于20°W或大于160°E）
高中数学集合基础知识及题型归纳复习
集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-
实际问题及一元二次方程题型知识点归纳总结
实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤： 与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。 （1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （2）找：找出等量关系； （3）列：列出一元二次方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （6）答：作答。 二、典型题型归纳 1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传 染轮数，M为最后得病总人数 例、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
2、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题 1n(n-1)，双循环问题n(n-1) 循环问题：又可分为单循环问题 2 例1、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？ （2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？ 例2、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？ 例3、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（） A.()182 182 x 1? x D.()2 + x x - = x B. ()182 x + 1= 2= 1= 1 - x C.()182 x 练习：1、甲A联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳
实际问题与一元二次方程题型归纳总结 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。 （1）审：审清题意，弄清已知量与未知量； （2）找：找出等量关系； （3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （4）列：列出一元二次方程； （5）解：求出所列方程的解； （6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （7）答：作答。 二、典型题型 1. 数字问题 例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。 例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。 练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。 2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（） A. 25 B. 36 C. 25 或36 D. -25 或-36 2. 传播问题：公式：（a+x）n=M 其中a 为传染源（一般a=1），n 为传染轮数，M 为最后得病总人数 例3 、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？ 3. 相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题1 n（n-1），双循环问题n（n-1）. 2 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有多少个队参加比赛？ （2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90 场比赛，共有多少个队参加比赛？ 66，请问参加例5 、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握 手会议的人数共有多少人？ 例6 、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1 件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（） A. x x 1 182 B. x x 1 182 C. 2x x 1 182 D. x x 1 182 2 练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？ 2、参加一次聚会的每两人都握了一次手, 所有人共握手15 次, 有多少人参加聚会? 3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
初一数学知识点全总结
初一数学知识点全总结 第一章有理数 1.1 正数与负数 在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数negative number。 与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数positive number根据需要，有时在正数前面也加上“+”。 1.2 有理数 正整数、0、负整数统称整数integer，正分数和负分数统称分数fraction。 整数和分数统称有理数rational number。 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴number axis。 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点origin。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数opposite number。例：2的相反数是-2;0的 相反数是0 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值absolute value,记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。两个 负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法 有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 乘积是1的两个数互为倒数。 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。mì 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂power。在a的n次方中，a 叫做底数base number，n叫做指数exponent。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。 把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，用的就是科学计数法。 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字significant digit。 第二章一元一次方程 2.1 从算式到方程 方程是含有未知数的等式。 方程都只含有一个未知数元x，未知数x的指数都是1次，这样的方程叫做一元一次方程linear equation with one unknown。解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解solution。 等式的性质： 1.等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等。 2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 2.2 从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论1 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 第三章图形认识初步 3.1 多姿多彩的图形 几何体也简称体solid。包围着体的是面surface。
(完整版)一元一次不等式组知识点及题型总结(可编辑修改word版)
x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y ＜0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3＜0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2＞0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若 a ＞b ，ac ＞bc ，则 c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若 a ＞b ，ac ＜bc ，则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由： . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由： -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理
由：. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由：. 2、若x＞y，则下列式子错误的是（） A.x-3＞y-3 B.x ＞ y 3 3 3、判断正误 ①. 若a＞b，b＜c 则a＞c. （） ②.若a＞b，则ac＞bc. （） ③.若ac2＞bc2，则a＞b. （） ④.若a＞b，则ac2＞bc2. （） ⑤.若 a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） C. x+3＞y+3 D.-3x＞-3y （） ?. 若a＞b，若c 是个自然数，则ac＞bc. （） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（） A.x=2 是不等式x+3＜2 的解 B.x =3 是不等式3x＜7 的解。 C.不等式3x＜7 的解是x＜2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是（） A.不等式 x＜2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1＜0 的一个解 C. 不等式-3x＞9 的解集是 x＞-3 D.不等式 x＜10 的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x＜（a-1）的解集是x＜1，那么a 的取值范围是. x＜ 1
《二次函数与一元二次方程》重点题型探究
《二次函数与一元二次方程》重点题型探究 类型一、二次函数图象与坐标轴交点 例1．（1）判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点，若有求出公共点坐标，若没有，说明理由. ①y=-x2-x+1；②；③y=x2+3x+4. 思路点拨：二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实根. 解： ①有两个公共点 对于方程-x2-x+1=0 ，∴方程有两个不等实根 两根为 ∴两个公共点坐标为； ②只有一个公共点 对于方程 ∴方程有两个相等实根， ∴公共点坐标为(-2，0)； ③没有公共点，理由如下： 对于方程x2+3x+4=0 ∵△=32-4×1×4=-7<0，方程没有实数根 ∴二次函数y=x2+3x+4与x轴无公共点. （2）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A. B. C.且 D.且 思路点拨：只要当y=0时，⊿≥0即可，k-3=0时也可以，故选B. 答案：B 总结升华： (1)当，则方程有两个不相等实根，这时二次函数的图象与x轴有两个交点； (2)当，则方程有两个相等实根，这时二次函数的图象与x轴有且只有一个交点； (3)当，则方程没有实根，这时二次函数的图象与x轴没有交点. 举一反三： 【变式1】已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1
一元二次方程题型分类总结
一元二次方程题型分类总结 一、知识结构：一元二次方程考点类型一概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： ⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例 2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：★ 1、方程的一次项系数是，常数项是。★ 2、若方程是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★ 3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。★★★ 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（） A、m=n=2
B、m=3,n=1 C、n=2,m=1 D、m=n=1考点类型二方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知的值为2，则的值为。例 2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。例 3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。例 4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。针对练习：★ 1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。★ 2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。★ 3、已知m是方程的一个根，则代数式。★★ 4、已知是的根，则。★★ 5、方程的一个根为（）A B1 C D ★★★ 6、若。考点类型三解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型 一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：
集合知识点总结
集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020
辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含