一元二次方程各种题型总结

（一）一元二次方程的概念 1．一元二次方程的项与各项系数

把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）x x 3252=- （2）015622

=--x x （3）5)2(7)1(3-+=+y y y （4）22)3(4)15(-=-a a （5）m m m m m m 57)

2())((2

-=-+-

2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1)m 为何值时，关于x 的方程m x m x

m m

4)3()2(2

=+--是一元二次方程？

（2）若分式

=---x x x ，则=x .

3．由方程的根的定义求字母或代数式值

（1）关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a ．

（2）已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，

=+-c b a ．

（3）已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程0

=-+c x x 的一个根，求方程032

=-+c x x 的根及c 的值．（二）一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程：

（1）012552=-x （2）2

169(3)289t -=

（3）03612

=+y （4）0)31(2

=-m

（5）2

2(31)

n +=

2．用配方法解方程：

（1）0522=-+x x （2）0152=++y y

（3）3422-=-y y

3．用公式法解下列方程：

（1）2632-=x x （2）p p 3232=+

（3）y y 1172= （4）2592-=n n

（5）2(2)(21)3m m m +=--- 4．用因式分解法解下列方程：（1）094

12=-x （2）04542

=-+y y

（3）281030m m +-= （42

0-=

（5）2

6t -=- （6）2(5)2(5)1y y -=--

（7）222

(3)2(3)80t t t +-+-=

5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：

（1）128)72(22=

-x （2）2

)2(212m m m

m -=+-

（3）6(2)(2)(3)y y y y -=-+ （4）3

)

13(2

)

23(3

+y y y y y

（5）2

81(25)144(3)m m -=-

6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）：

（1）02222=-+-n m mx x （2）223421y a ay a +=-+

（3）n m nx x n m -=++2)(2 （0≠+n m ）（4）2222(1)(1)(1)a t t a t a t -+--=-

（三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况：（1）4x x x 732=+- （2）23(2)4y y +=

（3）2

45t +=

2．k 为何值时，关于x 的二次方程0962=+-x kx （1）有两个不等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）无实数根

3．已知关于x 的方程m x m x -=+-1)2(42

有两个相等的实数根．

求ｍ的值和这个方程的根． 4若方程054)1(222

=-++++a a x a x 有实数根，求正整数a 的值.

5．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(2

=++-+m mx x m 无实数根. 6．k 为何值时，方程0)3()32()1(2

=+++--k x k x k 有实数根.

7．设m 为整数，且404<

2=+-+--m m x m x 有两个相异整数根，求m

的值及方程的根．

（四）一元二次方程的应用

1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.

2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.

3．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？

4．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不计利息税）

5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

6．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人2千米？

相距10

7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.

8．如图，东西和南北向两条街道交于O 点，甲沿东西道由西向

东走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过O 点又继续前进50米时，甲刚好通过O 点，求这两人在相距85

米时，每个人

的位置．

9．已知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ①有两个相等的实数根.

(1)求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。 (2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122+的值．

10．一次函数6+-=x y 和反比例函数k y x

，（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图

象有两个交点？（2）设（1）中的两个公共点为A 、B ，AOB ∠是锐角还是钝角？

十二、补充习题

1．方程260x x +=的解是（）．

A ．10x =，26x =-

B ．10x =，26x =

C ．6x =-

D ．0x = 2．方程2(23)(32)0x x -+-=的解是（）． A ．123

x =

，21x =- B ．123

x =

，21x = C ．123

x =

，213

x =

D ．1223

x x ==

3．已知2是关于x 的方程2

3202

x a -=的一个根，则21a -的值是（）．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

4．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）． A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．0.5

5．已知下列方程：1246

x x +

=-，

6285

x x -+=，

4111

x -

=-，2

31433

x x +

-=，其中，整式方程的个

数是（）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 6．方程22

x x x x +

--的根是（）．

A ．2

B ．1-

C ．1-或2

D ．1或2 7．用换元法解方程21

()(3)2x x x

---=-时，如果设1x y x

=，那么原方程可化为（）

． A ．2320y y ++= B ．2320y y --= C ．2320y y +-= D ．2320y y -+= 8．*方程

2653

x x x x -=+-的实根的个数是（）

． A ．3 B ．2 C ．1 D ．没有 9．如果2

6910x x

+=，那么

的值等于（）．

A ．1

B ．1-

C ．2-

D ．1±

10．冰雪节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元．出发时，又增加了两名同

学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．若设参加游览的学生共有x 人，则所列的方程为（）． A ．

18018032

x x -=+ B ．

18018032

x x

-=+ C ．

18018032

x x -=- D ．

18018032

x x -=-

11．用直接开平方法解下列各方程：

（1）20.010y -=；（2）210.503m -

=；

（3）2(3)2t -=；（4）2(31)90x +-=． 12．用配方法解下列各方程：

（1）2280x x --=；（2）2324y y -=；

（3）22300t +-=；（4）21106

m m +-

=．

13．用公式法解下列各方程：

（1）2220x x --=；（2）2227p p +=；

（3）2

3412

y y =-；（4）3(32)1t t -=-．

14．用因式分解法解下列各方程：

（1

）230x -=；（2）7(3)39y y y -=-；

（3）2(1)2(1)3m m +-+=；（4）224(3)25(2)p p +=-．

15．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错；若有错，请你写出正确答案．已知m 是关于x 的方程220mx x m -+=的一个根，求m 的值．将x m =代入原方程，化简，得3m m =．两边同除以m ，得21m =，所以1m =．

把1m =代入原方程检验，可知1m =符合题意，所以m 的值是1．

16．要使关于x 的方程210x bx ++=与20x x b --=有且只有一个公共根，求b 的值．

17．是否存在使函数2

310

x x y x --=

+的函数值为0的x 值，若存在，就把它求出来；若不存在，请说明理

由．

18．*解下列方程：

（1）63371

x x x x +-

=+；（2）2

56011x x x x ??-+= ?

++??

．

19．一个两位数，两个数位上的数字之和为6，两个数之积等于这个数的三分之一，求这个两位数．

60cm

80cm

20．已知：如图，在一块长80cm，宽60cm的白铁片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积是15002

cm的没有盖的长方体盒子，问截去的小正方形边长是多少？

21．某林场准备修一条长1000米，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.4万平方米，上口宽比渠面深多

2.3米，渠底宽比渠深多0.3米．

（1）渠道的上口与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土70立方米，需要多少天才能把这条渠道的土挖完？

22．旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年．如果第一年的折旧率为20%，以后折旧率有所变化；现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆车第二年、第三年平均每年的折旧率．

23．某工厂2007年初投资100万元生产某种新产品，2007年底将获得的利润与年初的投资的和作为2008年初的投资，到2008年底两年共获利润56万元．已知2008年的年获利率比2007年的年获利率多10个百分点，求2007年和2008年的年获利率各是多少？

24．某农户种植花生，原来种植的花生单位面积产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每单位面积收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生的出油率的增长率是单位面积产量的增长率的一半，求新品种花生单位面积产量的增长率．

拓展练习

1．已知关于x 的方程2340mx x -+=，如果0m <，那么此方程的根的情况是（）． A ．有两个不相等的实根 B ．有两个相等的实根 C ．没有实根 D ．不能确定 2．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）．

A ．有两个不相等的实根

B ．有两个相等的实根

C ．没有实根

D ．不能确定 3．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（）． A ．2m ≠ B ．6m ≤且2m ≠ C ．6m < D ．6m ≤

4．已知0k >，且方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k 的值等于（）． A

． B

．± C ．3或4- D ．3

5．若关于x 的方程2430kx x -+=有实根，则k 的非负整数值是（）． A ．0，1 B ．0，1，2 C ．1 D ．1，2，3 6．如果是α、β是方程2234x x +=的两个根，则22αβ+的值为（）． A ．1 B ．17 C ．6.25 D ．0.25

7．已知1x 、2x 是方程220x ax c +-=的两个实数根，则12122x x x x +-等于（）． A ．2

a c +

B ．2

a c --

C ．2

a c -+

D ．2

a c -

8．设1x 、2x 是方程22630x x -+=的两个实数根，则122

()()x x x x +

的值为（）

． A ．146

B ．253

C ．16

- D ．146

9．方程2380x x m -+=的两根之比为3:1，则m 等于（）． A ．4 B ．4- C ．3 D ．5

10．已知一个直角三角形的两条直角边的恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）．

B ．3

C ．6

D ．9