(完整版)实数的概念和运算法则
实数的有关概念
1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 无限不循环小数是无理数，有理数和无理数统称为实数.
2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实
数和数轴上的点一一对应.
3.绝对值：几何意义：在数轴上表示数a的点到原点的距离
叫数a的绝对值，记作∣a∣，代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相
反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.
5. 5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，()0≠a a的倒数为
1.
a 6.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到
最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.
7.科学记数法：把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n
是整数),这种记数法叫做科学记数法.
如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.
8.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值
大的反而小.
9.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.记作a n.
10.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那
么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．记作()0≥
±a
a一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
11.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
12.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即
x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作a()0
a.0的算术平方根是0．
≥a
.0≥
13.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，
那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记作3a.正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．
14.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．
实数的运算
15.有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把
绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．16．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
17．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．
18.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，
当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
19．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．
20.幂的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次
幂是正数，负数的偶次幂是正数；零的任何次幂都是零。21实数的运算顺序：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．
22．有理数的运算律：
加法交换律：a+b=b+a(a b、为任意有理数)
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)
课时1《实数的概念》基础训练
课时1 实数的概念 知识点1 无理数的定义 1.(2018广东广州中考)四个数, 12中,是无理数的是 ( ) B.1 C.12 D.0 2.(2018广东汕头潮阳实验学校期中),,46π-是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.给出下列说法:①无限小数都是无理数;②无理数都是无限小数;③带根号的数都是无理数;④两个无理数的和还是无理数.其中错误的是 .(填序号) 知识点2 实数的定义及分类 4.下列说法正确的是 ( ) A.正实数和负实数统称实数 B.正数、0和负数统称有理数 C.带根号的数和分数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 5.把下列各数分别填入相应的集合中. 1,,7 π-,-0.2121121112…(每两个2之间依次多一个1). 有理数集合:｛ …｝; 无理数集合:｛ …｝; 负实数集合:｛ …｝. 知识点3 实数与数轴的关系 6.(2017湖北武汉英格实验中学模拟)给出下列结论:①数轴上的点只能表示无理数;②任何一个无理数都能用数轴上的点表示;③实数与数轴上的点一一对应;④有理数有无限个,无理数有有限个.
其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 7.(2018山东淄博张店区二模)如图,若数轴上的点A,B 分别于实数-1,1对应,用圆规在数轴上画点C,则与点C 对应的实数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 知识点4 实数范围内的绝对值、相反数、倒数 8.(2018江苏苏州吴江区一模3 ( ) A.33 B.-3333 9.(2018吉林模拟2的倒数是 ( ) 2222 327-的倒数是 ,绝对值是 . 11.(2017河南洛阳孟津期中)设a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的实数,求a+b+c 的值.、 12.28(27)a b +-与互为相反数,33a b 的值.
第4讲 对数概念及其运算 [讲义]
432211log (4443)x x x x x =++++例．当时，求的值． 912162()q p q R log p log q log p q p +∈==+=例．设，且有，则． 23()(2)(1)2()2f x x lga x lgb f f x x x R a b =+++-=-≥∈+=例．已知，且，又对一切都成立，则． 124()(2)()(01)()2(18)x f x f x f x x f x f log +=-∈=例．已知奇函数满足，且当，时，，则的值为 ． 21234541515()lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx x
111211(2)[()(]4 lg log --+．化简： ． 7．已知函数()( )1(4)21(4)x x f x f x x ???≥? ?=????+，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。
(完整版)初三数学总复习实数的概念及实数的运算
初三数学第一轮总复习 第一讲实数的概念及实数的运算 （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 (1)有理数: 和 统称为有理数。 （2）无理数： 小数叫做无理数。 （3）实数： 和 统称为实数。 （4）实数和 的点一一对应。 （5） 实数的分类 ①按定义分: ②按符号分: 实数( ) ( )0() ()()( )? ???????????????? ； 实数( )( )()0()( )( ) ??????? ?? ?????? （6）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （7）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （8）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a≠0）的倒数为1a . 。 （9）绝对值： =a 2.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。 3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号 时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 4.实数的大小比较 5.零指数幂和负指数幂:当a ≠0时a 0 =____;当a ≠0时且n 为整数时,a -n =(a 1 )n 6.三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】 例1 ①a 的相反数是-1 5 ,则a 是_______。(3－2)的倒数是_______，相反数是______． ②．数a ，b 在数轴上的位置如图所示: 化简2 () ()|| a a b a b a b -+--. a b ③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．
《实数》易错题和典型题
《实数》易错题和典型题 一、平方根、算术平方根、立方根的基本概念和区别 1.25的平方根是±５的数学表达式是（ ) A.525±= B.525= Ｃ.525±=± D ．525-= 2.81的算数平方根是 ；16的平方根是 ,=3 38- ，64-的立方根是 。 3.如果ｘ是2 3-） （的算数平方根，ｙ是16的算数平方根,则1xy x 2++= 。 4.若2x =729,则x= ;若2x =2 4-）（,则x= 。 5.已知２x-1的负的平方根是-３,3x+y －1的算数平方根是4，求x ＋2ｙ的平方根。 6.一个数的平方根等于这个数,那么这个数是 。 7.下列语句及写成的式子正确的是（ ) A.8是6４的平方根，即864= B ．864648=±的平方根，即是 C.864648±=±的平方根，即是 D.88-8-82 2=）（的算数平方根，即）是（ 9.已知有理数m 的两个平方根是方程4x ＋2y=6的一组解,则m= 。 10.已知=±x 11-x 232，则的平方根是）（ 。 二、对21-a ） （ 的化简:去绝对值符号 1.化解=22-1）（ ；=23-2）（ ；=22-3）（ 。 2.如果4m 2=，则m= ;如果1-a 1-a 2=）（，则a 的取值范围是 。 3.已知b a a -b b -a 10b 6a 2 +===，则且，= 。 4.实数ａ，ｂ,ｃ在数轴上的对应点如图所示，化解 233c -a b a -b -c a ）（）（+++ 三、被开方数的小数位移动与结果的关系 1.已知==200414.12，那么 ;=0 2.0 。 2.已知==23604858.0236.0，那么（ ) Ａ．４８58 B ．485.8 Ｃ.48.58 Ｄ.４.858 3.若===x 68.28x 868.26.233 ,3，那么， 。 4.已 知 853 .32.57,788.172.58301.0572.03 3,3 ===，，,则
高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案
高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案 题组1 对数的概念 1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2 且1a ≠ B.102 a << C.0a >且1a ≠ D.12 a < 3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2??+∞ ??? B.10,2? ? ??? C.()()0,11,+∞ D.1, 2??-∞ ??? 对数式与指数式的互化 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0 1e =与ln10= B.13 1 8 2 - = 与811log 23=- C.3log 92=与1 293= D.7log 71=与177= 5.若1 log 2 m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12 n m = B.2m n = C.2n m = D.2n m = 6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c a b N = B.log ab c N = C.log c a b N = D.log b a c N = 7.若log x z =，则（ ） A.7 z y x = B.7z y x = C.7z y x = D.7x y z = 8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11 a b +=（ ） A. 12 B. 15 C.16 D.1 9.将下列指数式改为对数式： （1）2 1 3 9 -= ，对数式为_____________；
指数对数概念及运算公式
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为
实数的概念性质和运算
第一章实数的概念、性质和运算 【考试大纲内容精要解析】 第一节“条件充分性判断”——解题策略与应试技巧 MBA联考综合能力考试中，数学部分有问题求解和条件充分性判断两大题型。内容涉及实数的概念、性质和运算，整式和分式，方程和不等式，数列，排列组合与概率论初步，平面几何与解析几何初步等数学基础知识。从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。 以下我们就从这几个方面并结合联考真题进行分析： 一、充分条件的有关概念 1、四种命题及其关系： 原命题互逆逆命题 若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ 互互 互为为互 否否 逆逆 否否 否命题逆否命题 若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ 【注】：互为逆否的两组命题等价（即同真同假） 2、充分条件、必要条件 )，称p是q的充分条件，q是p的必要条件 若p，则q（即p q 充分条件：有之则必然，无之未必不然 必要条件：有之未必然，无之则必不然 【注】：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 具体判断时:注意两点：（1）分清条件与结论——抓“主语” （2）推导方向 对于具体问题可以有以下情况：（1）充分不必要 (2) 必要不充分 （3）充分而且必要（充要） （4）既不充分也不必要
3、MBA 联考中，只要求判定“充分性”——有之则必然 （1）若p 是q 的充分条件，也说：p 具备了使q 成立的充分性； （2）若p 不是q 的充分条件，即 p q ?，也即：p 不具备使q 成立的充分性。 由于在MBA 联考中，只要求对条件充分性进行判断，故实际上只需考虑“p q ?”与“p q ?”两种类型的命题真假。 解题关键——“有之则必然，无之未必不然”，重点在前一句。 例1：x,y 是实数，︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ (1)x ＞0, y ＜0 (2) x ＜0, y ＞0 【解题分析】：（1）“有之” x ＞0,y ＜0 “则” ︱x ︱+︱y ︱=x －y ︱x －y ∣= x －y (∵x －y ＞0) “必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ 故条件（1）充分 （2）“有之” x ＜0,y ＞0 “则” ︱x ︱+︱y ︱＝﹣x ＋y ︱x －y ∣＝﹣x ＋y (∵x －y ＜0） “必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ 故条件（2）也充分 注：对“无之未必不然”可以这样理解。如上例中条件（1）为结论成立的充分条件，但若无条件（1）（即“无之” ），结论未必不成立（“未必不然”）。如上述的条件（2）仍然使结论成立。这说明充分条件不一定唯一。 4、从集合的角度分析 若从集合的观点对条件充分性问题加以分析。我们可以发现：条件充分性问题实质上是两个集合之间的一种蕴含关系。 对于命题：“若A ，则B ”，实质上是指A 蕴含B 。回顾集合之间的包含关系：若A ?B （即A 是B 的子集），指“对任意的x ∈A,有x ∈B ”。这正是关系“A B ?”。因而我们有：若能够判断出A ?B ，即A 是B 的子集，则A 就是B 的充分条件。 MBA 中的很多问题，可以用集合的方法进行判断。 例2：关于x 的不等式x ≤1. (1) x ＜1 (2)x ＝1 解题分析：设B ＝｛x ∣x ≤1｝，A 1＝｛x|x ＜1｝，A 2=｛x ∣x ＝1｝ 虽然有A 1?B ，A 2?B 故条件（1）充分，条件（2）也充分。 注：对于任意两个集合A 与B ，它们之间可能的关系有： （ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） （ⅴ） MBA 联考中的“条件充分性判断”问题，由于只考虑充分性，如判断A 是否为B 的充分条件，则只有图(ⅲ)、(v) 满足A ?B 。 即A 是B 的充分条件，其它关系下，A 都不是B A B A B B A A B A （B ）
中考复习之实数的概念
2013年中考复习之实数的概念 知识考点： 实数是初中数学的重要内容，也是学习数学的基础，应熟练掌握数轴、相反数、绝对值、倒数等概念，并能正确运用实数的有关概念提高综合解题能力。注意“0”的特殊性并重视数形结合的数学思想。 精典例题： 【例1】将下列各数填入相应的结合内： －2、94、0、060sin 、327-、?13.0、7 22、π-1、2.161161161…、030tan 、0)2004(- 自然数集合：｛ ……｝ 无理数集合：｛ ……｝ 整数集合：｛ ……｝ 分析：①实数的分类是以运算结果为标准，9 4是有理数而不是无理数；式的分类则以形式为标准，如x x 2 是分式而不是整式。②有理数的表现形式为：分数、整数、有限小数、无限循环小数；无理数的表现形式有定义形式、开方开不尽的方根、π等等。 【例2】填空： （1）如果3-a 与1+a 互为相反数，则a ＝ 。 （2）如果1=x ，那么2322+-x x ＝ 。 （3）如果a a =2，则a 为 。 （4）一个数乘以 得这个数的相反数，一个数的 数乘以这个数的倒数得－1。 （5）3与它的负倒数之和是 。 （6）已知4=a ，6=b ，且a ＞b ，ab ＜0，则b a -＝ 。 （7）52个纳米的长度为0.000 000 052米，用科学记数法表示为 米。 答案：（1）1；（2）1或7；（3）非负数；（4）－1、相反；（5） 332；（6）10；（7）5.2×10－8 探索与创新： 【问题一】某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1 个
注意：在我的光盘中这些资料全为word 文档，可以自由编辑、排版，修改！我在这题故意把它转成了图片，请你注意分辨。
对数的概念与运算性质
《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.
实数的概念与运算1
实数的概念与运算 (1) 班级________ 姓名________ 小组 _______ 一：学习目标：了解实数的定义与分类，会进行实数的有关运算.提高运算能力。 二：学习过程： （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 （1）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （2）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （3）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a ≠0）的倒数为1a .则 。 （4）绝对值： （5）实数和 的点一一对应。 2.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a ×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这 个数字的有效数字。 3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ． 有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法：a b -＞0a ?＞b ，a b -=0a b ?=，a b -＜0a ?＜ b （2）商值比较法： 若a b 、为两正数，则a b ＞1a ?＞b ；1;a a b b =?=a b ＜1a ?＜b （3）绝对值比较法： 若a b 、为两负数，则a ＞b a ?＜b a b a b a =?=；；＜b a ?＞b 5．二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2() ()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ 二：【经典考题剖析】 1．下列各数中：-1，0，169，2π ，1.1010016.0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 722,2,π-722. 有理数集合{ …}； 正数集合 { …}； 整数集合 { …}； 自然数集合{ …}； 分数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 2. 已知(x-2)2 +|y-4|+6z -=0，求xyz 的值．． 课海拾贝/ 反思纠错
初中数学之实数教案.
初中数学之实数教案 2018-12-04 一、内容特点 在知识与方法上类似于数系的第一次扩张，初中数学教案----实数。也是后继内容学习的基础。 内容定位：了解无理数、实数概念，了解（算术）平方根的概念；会用根号表示数的（算术）平方根，会求平方根、立方根，用有理数估计一个无理数的大致范围，实数简单的四则运算（不要求分母有理化）。 二、设计思路 整体设计思路：无理数的引入----无理数的表示----实数及其相关概念（包括实数运算），实数的应用贯穿于内容的始终。 学习对象----实数概念及其运算；学习过程----通过拼图活动引进无理数，通过具体问题的解决说明如何表示无理数，进而建立实数概念；以类比，归纳探索的方式，寻求实数的.运算法则；学习方式----操作、猜测、抽象、验证、类比、推理等。 具体过程：首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念，然后通过具体问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算。最后教科书总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。 第一节：数怎么又不够用了：通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；会判断一个数是有理数还是无理数，初中数学教案《初中数学教案----实数》。 第二、三节：平方根、立方根：如何表示正方形的边长？它的值到底是多少？并引入算术平方根、平方根、立方根等概念和开方运算。 第四节：公园有多宽：在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值，为此这一节内容介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等，其目的是发展学生的数感。 第五节：用计算器开方：会用计算器求平方根和立方根。经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。 第六节：实数。总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。
对数的基本概念及运算
第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考 问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有 二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对 数，记作： ，其中叫做对数的底数， 叫做真数。 注意：①是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。 思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？ 对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数 指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数
3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数） 注意：对数的书写 课堂练习 1 将下列指数式写成对数式： （1） （2） （3） （4） 2 将下列对数式写成指数式： （1） （2） （3） 3 求下列各式的值： （1） （2） 2. 对数运算 （1） 基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2） 运算法则 如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计
中考专题：实数及其运算归纳
数与式 §1.1 实数及其运算 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，实数 和数轴上的点是一一对应的。 2、相反数：只有符号 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是，0的相反数是， a 、 b 互为相反数?。 3、倒数：实数a 的倒数是，没有倒数，a 、b 互为倒数?. 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离原点的叫做这个数的绝对值。 a = 5、初中阶段学过的三种非负数形式：、、。 提醒：相反数等于本身的数是. 倒数等于本身的数有.绝对值等于本身的数是. 三、科学记数法、近似数 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成的形式叫做科学记数法，其中a 的取值范围是。 2、近似数：一般地，将一个数四舍五入后得到的数称为这个数的近似数。 四、平方根、算术平方根、立方根 1、若x 2 = a (a ≥0)， 则x 叫做a 的，记做±a ，其中正数a 的平方根叫做a 的算术平方根， 记做，正数有个平方根，它们互为，0的平方根是，负数平方根。 2、若x 3=a ，则x 叫做a 的，记做3a ，正数有一个的立方根，0的立方根是，负数有一个的立方根。 提醒：平方根等于本身的数是， 算术平方根等于本身的数有.立方根等于本身的数有. 【中考典例】 考点1 实数的概念 例1 （2015安徽）在－4，2，－1，3这几个数字中，比－2小的数是 ( ) （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0） （有限或无限循环小数）
A.－4 B.2 C.－1 D.3 例2 （20130，－π13 ，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例3（2015浙江丽水）在数－3，2，0，3中，大小在－1和2之间的数是（ ） A ．－3 B ．2 C ．0 D ．3 例4（2015山东潍坊）在2-，0 2，1 2- ） A. 2- B. 0 2 C. 1 2- D. 例5（2015上海）下列实数中，是有理数的为（ ） （A ） (B) (C) ( D) 0. 例6（2015四川巴中）－2的倒数是（ ） A ．2 B ． 12 C ．1 2 - D ．－2 例7 (2015贵州安顺)|-2015|等于（ ） A. 2015 B. -2015 C. ±2015 D. 12015 例8（2015山东海市）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻 重的角度看，最接近标准的工件是（ ） A. -2 B. -3 C. 3 D. 5 例9（2015山东威海）已知实数b a ,在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A. a ＜1＜b B.1 ＜a - ＜b C. 1 ＜ a ＜b D. b - ＜a ＜-1 例10（2015山东菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反 数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ） A.点M B. 点N C. 点P D. 点Q 考点2 非负数的性质 A ．m ＞6 B ．m ＜6 C ．m ＞-6 D ．m ＜-6 考点3 科学记数法、近似数 例1（2015四川自贡）将2.05×310-用小数表示为（ ） A ．0.000205 B ．0.0205 C ．0.00205 D ．－0.00205
初中数学复习实数的概念及运算(含答案)知识讲解
第1讲实数概念与运算 一、知识梳理 实数的概念 1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。 (1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。 (2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。实数a的相反数是______0的相反数是________ ②性质：若a+b=0 则a与b互为______, 反之，若a与b 互为相反数，则a+b= _______ (3)倒数： ①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。 ②a 的倒数是________(a≠0) (4)绝对值：①定义：一般地数轴上表示数a的点到原点的_______, 叫数a的绝对值。 ② 2、平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a的平方根，a的平方根表示为_________.（a≥0） (2)算术平方根：正数a的____的平方根叫做a的算术平方根，数a的算术平方根表示为为_____（a≥0） (3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a的立方根，数a的立方根表示为______。 注意：负数_________平方根。 实数的运算 1、有效数字、科学记数法 （1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
（2）科学记数法：一个数M 可表示为a ?10n 或a ?10-n 形式，其中1//10a ≤∠，n 为正整数，当/M/≥10时，可表示为__________形式，当/M/<1时，可表示为____________形式。 2、实数的运算： （1）运算顺序：在进行混合运算时，先算______,再算_______，在最后算_________;有括号时，先算括号里面的。 （2）零指数：0a =__________（a≠0），负指数：p a -=________（a≠0，p 是正整数）。 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 二、题型、技巧归纳 考点一：实数的概念 1、5-的相反数是（ ） A ．5 B ．5- C ．55- D ．55 2、如果 2()13?-=，则“”内应填的实数是（ ） A ． 32 B ． 23 C ．23- D ．32 - 3、在实数π、13 、2、sin30°,无理数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 技巧归纳： 1.只有符号不同的两个数互为相反数； 2.乘积为1的两个数互为倒数 3.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 考点二：平方根、算术平方根、立方根 4、已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是 ． 技巧归纳： 一个数的平方根互为相反数，相加等于0 考点三：实数的运算 5、PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025 m 的颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为( )
著名机构七年级数学春季班讲义1实数的概念(学生)
实数的概念 课时目标 1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类； 2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根； 3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系. 知识精要 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类 ???????????????? ?????????正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 4. 平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即 2x a =，那么x 就叫做a 的平方根. 5. 平方根的性质与表示 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根. （2）正数a 的两个平方根可以用 “ a 的正平方根，叫做 a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.
8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； ； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0． 12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义 如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质 （1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示； （2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在； （4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”. 热身练习
对数的概念与对数运算性质
对数的概念与对数运算性质 2.2.1对数的概念与对数运算性质 一、内容与解析 (一）内容：对数的概念与对数的基本性质 （二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二、教学目标及解析
(一)教学目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性. （二）解析 1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号； 2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。 3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。 三、问题诊断分析 对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。 四、教学支持条件分析
[第6-7讲] 实数(平方根、算术平方根、 立方根、实数的概念及基本运算、混合运算)=预习与巩固
实 数1（平方根、算术平方根、 立方根的概念及基本运算） 板块一：战前准备——打败拦路虎！ 第一作战目标：平方根 相关知识：平方 224,=2749,=211121,=221441,=2321024,= 4＝( )2 49＝( )2 121＝( )2 1024＝( )2 5＝( )2 250＝( )2 平方根的概念：____________________________________________________ ____________________________________________________。 示例： 若22＝4，则2就叫做4的平方根； 若(－2)2＝4，则－2就叫做4的平方根； 若(±2)2＝4，则±2就叫做4的平方根。 练习：25的平方根为_______，81的平方根为_______，5的平方根为_______。 练习升级：0的平方根为_______。 练习再升级：－5的平方根为_______？ 总结： 1．只有非负数才有平方根！ 2．正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根只有一个，就是0。 负数没有平方根。 第二作战目标：算术平方根 算术平方根的概念： ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________。 示例：4的平方根是±2，其中2叫做4的算术平方根。 5叫做5的算术平方根。 练习：2564 的平方根是______，算术平方根是______。 0.0001的平方根是________，算术平方根是________。 (－3)2的平方根是________，算术平方根是________。 ______，算术平方根是______。 a (a ≥0)的平方根是________，算术平方根是________。 又总结了： 1．先确定这个数是谁，再去判断它的平方根和算术平方根。( (－3)2 2a ≥00！(双重非负)
初中数学实数与二次根式的基本概念进阶(含解析)
初中数学实数与二次根式的基本概念进阶考试要求： 重难点： 1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系； 2.能进行实数的运算 3.二次根式(0) a≥的内涵，(0) a≥是一个非负数；2a =(0) a≥；a = (0) a≥ 及其运用． 4.二次根式乘除法的规定及其运用． 5.二次根式的加减运算． 例题精讲： 实数 模块一实数的概念及分类 1．实数的概念 实数：有理数和无理数的统称． 2．实数的分类
0???????? ???? ???????? ??? ???????????? ???????????? 正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意： （1）实数还可按正数，零，负数分类． （2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n 为整数)表示；奇数一般 用2n 1- 或2n 1+ （n 为整数）表示． （3）正数和零常称为非负数． （4）带根号的数不一定是无理数，如9． 【例1】 下列实数 31 7 ，π-，3.14159 21中无理数有（ ）． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个 【难度】1星 【解析】是不是有理数，要看化简之后的结果，所以无理数有π- 【答案】A 【巩固】有下列说法： （1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数； （3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【难度】1星 【解析】略． 【答案】C 模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0. （1）实数a 的相反数是a -. （2）实数a 和b 互为相反数，则a+b =0. （3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. 倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1. （1）实数a (a ≠0)的倒数是 1a . 2345