两个变量的线性相关

《2.3.2两个变量的线性相关》

一、内容和内容解析

本节课是人教A版高中数学必修三2.3.2两个变量的线性相关的第二课时。上节课通过大量的生活实例，学生已经初步认识两个变量间的相关关系，并可以借助散点图呈现收集的数据。通过对单变量样本数据中“平均数的几何意义”（切合学生的认知需要）的介绍，为本节课的内容做了铺垫。本节课的主要内容是用最小二乘法求线性回归方程，基础知识是回归直线的概念，也是本节课的核心概念；基本思想是“最小二乘法”思想；根据线性回归方程的系数公式求回归直线是本节课的基本技能.

就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域.了解“最小二乘法”思想，比较各种“估算方法”，体会它的科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进学生对核心概念的进一步理解.“样本估计总体”是本节课的上位思想也是整个第二章的核心思想，而“最小二乘法思想”作为本节课的核心思想，由此得以体现.回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中有所渗透.

本节课通过引导学生经历“收集数据——整理数据（作散点图）——探究并确定回归直线的数学意义——求回归直线方程——应用”完整的回归分析的过程，鼓励学生独立思考、自主探究、合作交流和计算机操作等方式展开学习，从而发挥本节课的育人价值。整个学习过程渗透了数据分析和数学建模的核心素养。通过引导学生对散点图中的点大致分布在一条直线附近的观察，渗透直观想象的核心素养；通过尝试提出找回归直线的想法、用自己的语言描述对这条直线的初步认识到探究从数学的角度定义回归直线的过程，渗透数学抽象和逻辑推理的核心素养；最后，根据回归直线方程的系数公式，引导学生先求出公式中的基本统计量，再代入公式的过程和指导学生利用Excel电子表格求回归方程的过程，提升数学运算的核心素养。

基于上述内容分析，本节课的教学重点为:了解最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式，建立线性回归方程

二、目标和目标设置

基于对本节课教学内容的解析，结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求，制定本节课的教学目标如下：

1.了解一元线性回归模型的含义：

（1）能根据散点图解释两个相关变量的线性相关关系；

（2）能用自己的语言解释回归直线的统计意义；

2.了解最小二乘原理：

（1）经历用不同方法确定回归直线的过程，能认识到回归直线是“从整体上看，各点与此直线上的点的距离最小”的直线；

（2）能用数学符号刻画“从整体上看，各点与此直线上的点的距离最小”的表达方式；

（3）通过对表达方式的转化（距离最小到偏差平方和最小），体会最小二乘法原理，并能用自己的语言表述；

3. 针对实际应用问题，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；

4. 在经历完整的线性回归分析的过程中，重点提升数据分析和数学建模核心素养；

5. 针对实际应用问题，会用一元线性回归模型进行预测.

三、学生学情分析

在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程后，在学生现有知识能力范围内，如何选择一个最优方法，成为知识发展的逻辑必然.而上节课的“从平均数的几何意义说起”符合学生的认知需要和支撑点，同时引起了学生的兴趣，为这节课的最小二乘法思想的产生做了重要的铺垫.

“最小二乘法”作为经典的回归方程估算方法，通过用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”这一直观的几何描述，采取合适的数学处理方法，最终获得回归直线，对学生认可统计估算的科学性有很大帮助.其中对于数形结合发现距离与偏差的等价性，二元二次函数的特征辨识等都是这节课学生所要具备的认知基础.

基于此，如何把“从整体上看，各点与此直线的距离最小”用合适的代数符号刻画并化简，化几何问题为代数问题，是学生顺利了解解“最小二乘法”思想的前提;而如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高，这里就造成了已有认知与现需认知的差异，而且是学生不能独立突破的.要了解“最小二乘法思想”，接受“由系数公式得到的线性方程”为回归方程，理解此方程可作为“两个具有线性相关关系的变量的代表”这一回归直线概念的本质，并体现相对于其他估算方法法的优越性，又必须要求对给出的系数公式来源进行一定的说理，这里的认知差异也是学生无法自己消除的，需要老师的引导和帮忙.

知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课将会遇到的最大矛盾.教学中，要防止两种倾向:一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程;二是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂上花大量时间对回归系数公式进行证明说理.这两种倾向，都脱离了实际情况，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标;后者人为拔高教材要求，脱离了本节课教学要求.

所以，本节课的教学难点是:如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想.对于该教学难点，教师通过精准问题串层层分解学生认知的难点，不断寻找学生的认知原点，关键处动画展示，直观形象，突破教学难点.本节课涉及大量数据计算，形成操作上的一个难点，通过小组合作，教师培训模式突破难点.

四、教学策略分析

本节课在课前让学生收集身高与体重的数据，一方面对前面学过的知识有一个巩固，同时让本节课进行线性回归分析的过程更加完整；二是从学生身边的真实数据出发，更容易促进学习动机，而且给学生带来的体验也更为真实。对回归直线概念的学习，采用概念形成和概念同化相结合的策略。从自然语言描述上，回归直线是“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的一条直线，“总偏差平方和最小”是回归直线的数学符号表示。这里通过精心设计“问题串”引导学生经历充分的思维活动过程，是本节课落实数学基本活动经验的最佳机会。具体来说，考虑让学生带着“同学们想做什么？或者说利用学过的统计知识你能做些什么？”这样的问题，在得出散点图后，直观感知“点”的分布特点，实际上也是在培养学生“发现问题”、“提出问题”的能力；通过让学生“尝试画出你认为合适的回归直线”的活动，给予学生独立思考的时间和空间，再通过让学生展示自己画的回归直线，引导学生对回归直线的标准有一个模糊的初步的想法。在此基础上提出如何给回归直线一个定量的数学的标准的问题。通过借助几何画板动态演示，帮助学生理解从“距离的和的最小”到“总偏差平方和最小”的转化过程，完成对回归直线概念的形成过程。除此之外，上节课利用“平均数的几何意义”的案例做了铺垫，本节课再类比标准差公式的学习过程，实际上是采用了先行组织者策略帮助学生同化回归直线的概念。新课标相对于老课标（修订版）在教学目标上增加了“会使用相关统计软件”的要求，采用小组合作学习的方式，更能在探究和上机操作的过程中帮助基础薄弱的学生学习。另外，手机拍照投屏技术可以及时将学生讨论的结果展示给所有学生，帮助老师及时获得反馈，也有助于学生在心理上形成与他人的比较，帮助学生逐

渐形成自我评价的意识。最后考虑结合国策作为作业的背景材料，也是体现教学中要有立德树人的意识。

五、教学过程设计

（一）知识回顾，导入新课

1．两个变量之间有几种关系？

2．从“平均数”的几何意义说起

师生活动：两个变量之间有两种关系，即函数关系和相关关系.通过平均数是数轴上一组数据最靠近的一个“代表值”，但是这是一个单变量样本数据的问题，日常生活中涉及的大多数是多变量的问题，比如课前收集的身高与体重就是一个双变量样本数据的问题

（二）初步探索，直观感知

面对收集来的样本数据，同学们想做什么？或者说利用学过的统计知识你能做些什么？

利用电子表格作出散点图，直观感知两个变量之间的线性相关关系及回归直线（板书）

数学实验1：寻找回归直线——请同学们在学案上尝试画出你认为合适的回归直线

问题1：如何评价这些“直线”的优劣？是否有个评价标准？

【设计意图】能够进行数学抽象，达到新课标的水平一，即在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题.在上节课平均数的几何意义的基础上，学生通过散点图对寻求回归直线的优劣展开思考，对于所有的点要突出“整体”二字，于是提出“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”这一评价标准，对比几何描述的直观性和代数表达的便捷性，揭示两者是同一标准下不同表述.

师生活动：通过面对样本数据，感受核心思想“利用样本估计总体”.通过作出散点图发现两个变量线性相关关系及回归直线.寻求的可能方案：(1)回归直线是过散点最多的直线；(2)回归直线是使上下点基本平均分布的直线；(3)回归直线是过两个端点的直线；(4)回归直线是经过样本中心的直线；(5)回归直线是各点与之距离最小的直线；(6)多画几条直线，取它们的斜率、截距的平均数作为回归直线的斜率.由此自然出现一个问题:各种处理方法是否合理?哪条“最合适”?类比平均数的几何意义，感受样本数据点与相应直线在整体上是最接近的，“接近”，数学上是如何量化的.于是引出了评价优劣的标准为“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”. 由于具有几何直观性，学生易于接受此标准，达成“几何”与“代数”的转化.

（三）循序渐进，延伸拓展

问题2：你能用代数式刻画“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”吗?

问题3：距离可以用别的形式代替吗？

问题4：作为判断优劣的标准，距离和偏差可以等价吗?

问题5：偏差有正有负，因此它们的和并不能反映“从总体上来看，各点与直线的偏差最小”，怎样解决这个问题呢?

【设计意图】能够在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，建立数学模型，进行数据分析.通过问题，引导学生进人深层次的思考，为下一步探究作好准备.经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，体会“最小二乘法” 思想.

师生活动: 利用几何画板介绍偏差处理法的优越性和等价性，达成“距离”与“偏差”的转化.假设样本数据为：11(,)x y 22(,)x y ……(,)n n x y .当自变量x 取i x （i =1，2，……，n ）时，

可以得到?i y bx a =+（i =1，2，……，n ），它与实际收集到的i y 之间的偏差是

?()i i i i y y y bx a -=-+（i =1，2，……，n ），故偏差和为1112???()()()n n Q y y

y y y y =-+-++-，偏差有正有负，易抵消，所以学生生可能会存在如下回答:(1)每项加绝对值，这样全部变成正数;(2)每项加平方.类比前面方差的学习，大家不难达成共识选（2），这样就形成二乘法思

想，即 2222112233()()()()n n Q y bx a y bx a y bx a y bx a =--+--+--+???+--

问题6：显然a ，b 是未知量，i x ，i y 是已知量 ，那么下面的表达式具有什么样的函数特征？

【设计意图】不经历公式化简，无法真正理解最小二乘法思想.而直接从n 个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度.而由具体到抽象，由特殊到一般，是学生顺利完成认知过程的一般性原则.通过此问，让学生了解这个式子的结构，为后续学习打下基础.

师生活动:通过令式子等于Q 观察其函数特征，可以发现其实是关于a ，b 的二元二次函数求最值的问题，即我们要求的是当a ，b 取什么值时，使Q 取到最小值，即所有点到直线的整体距离最小.

上述这种通过求Q 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法.其中“二乘”指的是平方，最小即使得Q 最小. 在此基础上，给出使Q 为最小值时的a ，b 的值的线性回归方程系数公式

222()()11()11

i i i i i i n n x x y y x y nxy i i b n n x x x nx i i ---∑∑====--∑∑==，a y bx =- 对于公式的推导及证明，我们将在后面的学习中深入展开.

问题7：运用这个公式进行运算，你按怎样的顺序求解呢?

【设计意图】能够针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题，体现了数学的核心素养.但公式不要求推导（推导过程参见《选修2-3》第三章3.1节），又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识.通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解.

师生活动: 这个公式不要求记忆，由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求a ，b 时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照的顺序来求，再代入公式.

（四）实际应用，知识深化

问题1：观察公式，根据我们收集的数据，需要计算哪些新数据，才能求出线性回归方程系数?计算量大不大?我们用计算机代替，请大家自主进行操作

【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂.通过分解，加深对公式结构的理解.同时，通过数据处理的繁杂过程，体现计算器处理的优越性.

师生活动:师生共同得出211,,,,n n i i

i i i n x y x y x ==∑∑这五个新数据.学生自主完成计算机操作(操作

流程拷贝在学生电脑上)，最后教师进行操作示范，点评，师生共同完成.

问题2：利用计算机，请同学们独立完成电脑上的例题（即课本上91页例题）.

师生活动:教师巡视，适时指导辅助，最后操作演示，并对估计的结果的随机性作出说明.

（五）归纳总结，内化知识

【设计意图】思维导图式的对课堂知识和思想的两层总结、提炼

师生活动: 师生共同小结

（六）作业布置，创新应用

我国是一个人口大国，由于二胎政策的放开，估计人口数量及发展趋势是我们制定经济发展计划等一系列相关政策的基础，人口数量预测是一个复杂的问题，不仅是人口与时间两个变量之间的关系，还与国家经济状况，科技发展，自然灾害和战争等其他因素有关.上网收集我国近15年人口数量，并利用统计知识对收集到的数据进行分析，并预测2020年我国人口数.

【设计意图】学习材料的选择是学生自身的身高和体重的数据，渗透了数学源于生活，材料的选择更能引起学生兴趣，而作业的背景材料选择结合国策，促进知识的保持与迁移，同时也是对立德树人的体现

（七）板书设计

六、课堂教学目标检测

1.完成课本85页“探究”：人体的脂肪百分比和年龄的回归直线方程；

2.从以上探究：人体的脂肪百分比和年龄的表格中随机抽样出7组数据，继续求其回归直线方程，并体会跟1中回归直线方程有什么不同？为什么？

【设计意图】对同样的问题背景，我们进行多次数据采样，求得的回归直线方程却不同，体会数据采样本身具有随机性，因此回归方程也是“随机的”.所以某个回归方程能否较好地反映总体，还需要进行误差分析，为后续学习铺垫.