基于单纯形法的优化潮流计算文献综述

基于单纯形法的优化潮流计算

一、前言

在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。田忌赛马的故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。可见，筹划安排是十分重要的。

现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。前者提供模型，后者提供理论和方法。

运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。

但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。

二、单纯形法

单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形法是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。

概述

根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2， (x)

n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。

最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；

③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。

用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有

10^6个决策变量和10^4个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。

改进单纯形法

原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。

对偶单纯形法

（Dual Simplex Method）1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题（Dual Problem）为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现（1965年），这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。

这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的N + 1个顶点的凸包，是一个多胞体：直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个四面体，等等。

三、潮流计算

潮流计算，电力学名词，指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。

潮流计算是电力系统非常重要的分析计算，用以研究系统规划和运行中提出的各种问题。对规划中的电力系统，通过潮流计算可以检验所提出的电力系统规划方案能否满足各种运行方式的要求；对运行中的电力系统，通过潮流计算可以预知各种负荷变化和网络结构的改变会不会危及系统的安全，系统中所有母线的电压是否在允许的范围以内，系统中各种元件(线路、变压器等)是否会出现过负荷，以及可能出现过负荷时应事先采取哪些预防措施等。

潮流计算是电力系统分析最基本的计算。除它自身的重要作用之外，在《电力系统分析综合程序》(PSASP)中，潮流计算还是网损计算、静态安全分析、暂

态稳定计算、小干扰静态稳定计算、短路计算、静态和动态等值计算的基础。

由此决定该问题有以下特点：

①迭代算法及其收敛性

对于非线性方程组问题，其各种求解方法都离不开迭代，因此，存在迭代是否收敛的问题。为此，在程序中开发了多种计算方法：

PQ分解法

牛顿法(功率式)

最佳乘子法

牛顿法(电流式)

PQ分解法牛顿法

供计算选择，以保证计算的收敛性。

②解的多值性和存在性

对于非线性方程组的求解，从数学的观点来看，应该有多组解。根据程序中所设定的初值，一般都能收敛到合理解。但也有收敛到不合理解(电压过低或过高)的特殊情况。这些解是数学解(因为它们满足节点平衡方程式)而不是实际解。为此需改变运行条件后再重新计算。此外，对于潮流计算问题所要求的节点电压的分量(幅值和角度或实部和虚部)。只有当其为实数时才有意义。如果所给的运行条件中无实数解，则认为该问题无解。

因此，当迭代不收敛时，可能有两种情况：一是解(指实数解)不存在，此时需修改运行方式；另一是计算方法不收敛，此时需更换计算方法。

电力系统潮流计算是电力系统最基本的计算，也是最重要的计算。所谓潮流计算，就是已知电网的接线方式与参数及运行条件，计算电力系统稳态运行各母线电压、各支路电流与功率及网损。对于正在运行的电力系统，通过潮流计算可以判断电网母线电压、支路电流和功率是否越限，如果有越限，就应采取措施，调整运行方式。对于正在规划的电力系统，通过潮流计算，可以为选择电网供电方案和电气设备提供依据。潮流计算还可以为继电保护和自动装置定整计算、电力系统故障计算和稳定计算等提供原始数据。

潮流计算（load flow calculation）根据电力系统接线方式、参数和运行条件计算电力系统稳态运行状态下的电气量。通常给定的运行条件目前广泛应用的潮流计算方法都是基于节点电压法的，以节点导纳矩阵Y作为电力网络的数学模型。节点电压Ui和节点注入电流Ii 由节点电压方程（1）

联系。在实际的电力系统中，已知的运行条件不是节点的注入电流，而是负荷和发电机的功率，而且这些功率一般不随节点电压的变化而变化。由于各节点注入功率与注入电流的关系为Si=Pi +jQi=UiIi ，因此可将式（1）改写为（2）

式中，Pi 和Qi分别为节点i 向网络注入的有功功率和无功功率，当i为发电机节点时Pi﹥0；当i为负荷节点时Pi﹤0；当i为无源节点Pi =0，Qi=0；Ui 和Ii分别为节点电压相量Ui和节点注入电流相量Ii 的共轭。式（2）有n 个非线性复数方程，亦即潮流计算的基本方程式。它可以在直角坐标也可以在极坐标上建立2n个实数形式功率方程式。

已知网络的接线和各支路参数，可形成潮流计算中的节点导纳矩阵 Y。潮流方程式（2）中表征系统运行状态变量是注入有功功率Pi、无功功率Qi和节点电压相量Ui（幅值Ui 和相角δi）。n个节点的电力网有4n变量，但只有2n个

功率方程式，因此必须给定其中2n个运行状态变量。根据给定节点变量的不同，可以有以下三种类型的节点。

PU节点（电压控制母线）有功功率Pi和电压幅值Ui为给定。这种类型节点相当于发电机母线节点，或者相当于一个装有调相机或静止补偿器的变电所母线。

PQ节点注入有功功率Pi和无功功率Qi是给定的。相当于实际电力系统中的一个负荷节点，或有功和无功功率给定的发电机母线。

平衡节点用来平衡全电网的功率。平衡节点的电压幅值Ui和相角δi是给定的，通常以它的相角为参考点，即取其电压相角为零。一个独立的电力网中只设一个平衡节点。

从数学上说，潮流计算是求解一组由潮流方程（ 2）描述的非线性代数方程组。牛顿-拉夫逊方法是解非线性代数方程组的一种基本方法，在潮流计算中也得到应用。当采用了稀疏矩阵技术和节点优化编号技术后，牛顿-拉夫逊潮流算法成为电力系统潮流计算中的优秀算法，至今仍是各种潮流算法的基础。此外，还有各种快速潮流计算方法（例如直流潮流和快速分解潮流算法）、扩展潮流计算方法（例如最优潮流、动态潮流、随机潮流、开断潮流等）、交直流联合系统潮流计算、不对称电力系统潮流计算和谐波潮流计算方法等，以满足各种特殊要求的潮流计算。

参考文献：

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任务驱动法在“电力系统”课程改革中的应用-中国电力教育：下-2012年第11期 (2)

分布式电源并网潮流计算-自动化与仪器仪表-2012年第6期 (3)

浅谈PAS系统如何实现县域电网经济运行-中小企业管理与科技-2012年第31期 (2)