函数的基本性质解读

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值

整体设计

教学分析

在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.

由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.

三维目标

1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.

3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.

4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.

重点难点

教学重点:函数的单调性和最值.

教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.

课时安排

2课时

设计方案（一）

教学过程

第1课时函数的单调性

导入新课

思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(H ermann E bbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再

时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）

图1-3-1-1

学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.

遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.

思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

图1-3-1-2

②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？

③如何理解图象是上升的？

⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？

⑥增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?

⑦增函数的定义中，“当x1

⑧增函数的几何意义是什么？

⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？

⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？

讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.

②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x 时对应的函数值的大小.

③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.

④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1

⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

⑥可以.增函数的定义：由于当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.

⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.

⑧从左向右看,图象是上升的.

⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.

⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.

应用示例

思路1

例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

图1-3-1-3

活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.

解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.

点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.

图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

变式训练

课本P 32练习1、3.

例2物理学中的玻意耳定律p =V

k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明.

活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V 减少时，压强p 将增大是指函数p =V

k 是减函数；刻画体积V 减少时，压强p 将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.

解：利用函数单调性的定义只要证明函数p =V

k 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.

定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．

两个自变量x 1和x 2,通常令x 1

较f (x 1)和f (x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再．

归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”,因此简称为：“去比赛．．．

”. 变式训练

课本P 32练习4.

思路2

例1（1）画出已知函数f (x )=-x 2+2x +3的图象；

（2）证明函数f (x )=-x 2+2x +3在区间(-∞,1］上是增函数；

（3）当函数f (x )在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围.

图1-3-1-4

解：（1）函数f (x )=-x 2+2x +3的图象如图1-3-1-4所示.

(2)设x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1

f (x 1)-f (x 2)=(-x 12+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3)

=(x 22-x 12)+2(x 1-x 2)

=(x 1-x 2)(2-x 1-x 2).

∵x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1

∴2-x 1-x 2>0.∴f (x 1)-f (x 2)<0.∴f (x 1)

∴函数f (x )=-x 2+2x +3在区间(-∞,1］上是增函数.

（3）函数f (x )=-x 2+2x +3的对称轴是直线x =1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m ］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m ≤1，即实数m 的取值范围是(-∞,1］.

点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的

单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内.

判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲：

第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；

第二步，结合图象来发现函数的单调区间；

第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.

函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.

变式训练

已知函数f (x )是R 上的增函数，设F(x )=f (x )-f (a -x ).

(1)用函数单调性定义证明F(x )是R 上的增函数；

(2)证明函数y =F(x )的图象关于点(2

a ,0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y =F(x )的图象上的任意点关于点(

2a ,0)的对称点还是在函数y =F(x )的图象上即可.

解：（1）设x 1、x 2∈R ，且x 1

F(x 1)-F(x 2)=［f (x 1)-f (a -x 1)］-［f (x 2)-f (a -x 2)］

=［f (x 1)-f (x 2)］+［f (a -x 2)-f (a -x 1)］.

又∵函数f (x )是R 上的增函数，x 1

∴f (x 1)

∴［f (x 1)-f (x 2)］+［f (a -x 2)-f (a -x 1)］<0.

∴F(x 1)

（2）设点M(x 0,F(x 0))是函数F(x )图象上任意一点，则点M(x 0,F(x 0))关于点(

2a ,0)的对称点M′(a -x 0,-F(x 0)).

又∵F(a -x 0)=f (a -x 0)-f (a -(a -x 0))

＝f (a -x 0)-f (x 0)

＝-［f (x 0)-f (a -x 0)］

=-F(x 0),

∴点M′(a -x 0,-F(x 0))也在函数F(x )图象上，

又∵点M(x 0,F(x 0))是函数F(x )图象上任意一点，

∴函数y =F(x )的图象关于点(2

a ,0)成中心对称图形. 例2(1)写出函数y =x 2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

(2)写出函数y =|x |的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

图1-3-1-5

(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.

活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:

（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.

解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.

(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.

(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.

图1-3-1-6

函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.

(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:

不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.

由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).

设2m-b≤x12m-x2≥a,

f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).

又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.

∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).

∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.

∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.

因此有结论:如果函数y =f (x )的图象关于直线x =m 对称,那么函数y =f (x )在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.

点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.

变式训练

函数y =f (x )满足以下条件:

①定义域是R ;

②图象关于直线x =1对称;

③在区间［2,+∞)上是增函数.

试写出函数y =f (x )的一个解析式f (x )=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).

活动：根据这三个条件，画出函数y =f (x )的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.

解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x =1对称的函数解析式满足：f (x )=f (2-x )，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x =1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y =a (x -1)2+b (a >0). 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：

形如y =a (x -1)2+b (a >0)，或为y =a |x -1|+b (a >0)等都可以，答案不唯一.

知能训练

课本P 32练习2.

【补充练习】

1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.

解：①正比例函数：y =kx (k ≠0)

当k >0时，函数y =kx 在定义域R 上是增函数；当k <0时，函数y =kx 在定义域R 上是减函数.

②反比例函数：y =

k (k ≠0) 当k >0时，函数y =x

k 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k <0时，函数y =x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y =kx +b (k ≠0)

当k >0时，函数y =kx +b 在定义域R 上是增函数；当k <0时，函数y =kx +b 在定义域R 上是减函数.

④二次函数：y =ax 2+bx +c (a ≠0)