非线性方程和常微分方程的解法
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用 摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。 本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。我将从二分法、Steffensen 加速收敛法、Newton 迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。 关键字：非线性方程;二分法；Steffensen 加速收敛法；代数Newton 法；弦截法 一、前言 随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此经常需要求非线性方程 f(x) = O 的根。方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b) 20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。这种方法优点是，不要求f(□)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大 编辑摘要 目录 ? 1 正文 ? 2 牛顿法及其变形 ? 3 割线法 ? 4 布朗方法 ? 5 拟牛顿法 ? n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为 (1) 式中?i(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非 线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记?＝ 则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D，使?(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2) 式中 是?(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及 ;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求 。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P为迭 代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W 内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义， 牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到 常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx 伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 非线性方程组数值解法 n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为 (1) 式中?i(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非 线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记?＝ 则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D，使?(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2) 式中 是?(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及 ;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求 。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P 为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定 义，牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即 淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日 常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差 Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error 第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截 i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。 各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数 第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。 常微分方程数值解法 【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。基本模型 1. 发射卫星为什么用三级火箭 2. 人口模型 3. 战争模型 4. 放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来” 的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 1. 改进Euler 法： 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： 【源程序】 1. 改进Euler 法： function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun 为函数，(xO, x1)为x 区间，yO 为初始值，n 为子 区间个数 if nargin<5,n=5O;end h=(x1-xO)/n; x(1)=xO;y(1)=yO; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); y(i+1)=(y1+y2)/2; end 调用command 窗口 f=i nlin e('-2*y+2*x A2+2*x') [x,y]=eulerpro(f,O,,1,1O) 2 x +2x , (0 < x < , y(0) = 1 求解函数y'=-2y+2 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： [t,y]=solver('F',tspan ，y0) 这里solver为ode45, ode23, ode113，输入参数F是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。 注：ode45和ode23变步长的，采用Runge-Kutta算法。 ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(△ 口人5解 决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。 -293- 第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如 22x y dx dy +=。于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ?????=≤≤=0 )() ,(y a y b x a y x f dx dy （1） 在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数L ，使得 |||),(),(|y y L y x f y x f ?≤? 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点 b x x x x a N =<<<<=L 210 处的近似值),,2,1(N n y n L =的方法，),,2,1(N n y n L =称为问题（1）的数值解， n n n x x h ?=+1称为由n x 到1+n x 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商h x y x y n n ) ()(1?+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得 )1,,1,0())(,() ()(1?=≈?+N n x y x f h x y x y n n n n L 化简得 ))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ 如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ， 则有 )1,,1,0() ,(1?=+=+N n y x hf y y n n n n L （2） 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ?? ?=?=+=+) () 1,,1,0(),(01a y y N n y x hf y y n n n n L （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出N y y y ,,,21L 。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。 非线性方程的数值解法 《计算方法》 期末论文 论文题目非线性方程的数值解法 学院 专业 班级 姓名 学号 指导教师 日期 目录 摘要 第1 章绪论 1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法 第2 章非线性方程的数值解法 2.1 二分法 2.2 迭代法 2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值 摘要 数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。 在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如 在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。本文讨论了非线 性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。 第1 章绪论 可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。拉格朗日插值多项式的算法 step1.输入 插值节点控制数n 插值点序列 i i x , y i=0,1,…,n 要计算的函数点x。step2. FOR i =0,1,…,n i 制拉格朗日基函数序列问题的提出和研究目的和意义非线性方程的问题在工程实践中有很多用途 研究其数值解法是当前一个研究方向。目前已有相当一部分算法在广泛使用于工程实践中。非线性方程组和无约束最优化的数值解法 一直是数值优化领域中热门的研究课题。本文对传统的方法进行改进和提出新的算法 该算法不仅有重要的论价值，而且有很高的实用价值。例如在天体力学中，有如下Kepler 开普勒方程 x-t- sin x=0,0< <1,其中t 表示时间 x 表示弧度，行星运动的轨道x 是t 的函数。也就是说，对每个时刻i t 上述方程有唯一解i x ，运动轨道位置。 国内外相关研究综述随着科学技术的高速发展和计算机的广泛应用 求解形如F(x)=0 的非线性方程组问题越来越多的被提出来了 其中F 是的连续可微函数。例如非线性有限元问题、非线性断裂问题、弹塑性问题、电路问题、电子系统计算以及经济与非线性规划问题等都可转化为非线性方程组的求解问题。只要包含有未知函数及其导函数的非线性项的微分方程，无论是用差分方法或有限元方法，离散化 i.常微分方程初值问题数值解法 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<<<<=L （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-L 方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t L 上的差分解1,,N u u L 。 第六章 非线性微分方程 §6.1 稳定性 6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理 本章讨论非线性常微分方程组 n R Y Y t G dt dY ∈=),;( （6.1） 的解的性态. 设给定方程组（6.1）的初值条件为 ， （6.2） 00)(Y t Y =考虑包含点),,,;(),(02010000n y y y t Y t L =的某区域 b Y Y a t t R ≤?≤?00,:. 在这里Y 的范数Y 定义为∑== n i i y Y 1 2 . 所谓在域上关于),(Y t G G Y 满足局部利普希 茨条件是指：对于G 内任一点，存在闭邻域，而于),(00Y t G R ?),(Y t G R 上关于Y 满足利普希茨条件，即存在常数，使得不等式 0>L Y Y L Y t G Y t G ?≤?~ );()~;( （6.3） 对所有R Y t Y t ∈),(),~ ,(成立. 称为利普希茨常数. L 存在唯一性定理 如果向量函数在域),(Y t G R 上连续，且关于Y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解),;(00Y t t Y ?=，它在区间h t t ≤?0上连续，而且 0000),;(Y Y t t =? 这里);(max ),, min(),(Y t G M M b a h G Y t ∈==. 解的延拓与连续定理 如果向量函数在域G 内连续，且关于),(Y t G Y 满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解),;(00Y t t Y ?=)),0t ((0G Y ∈可以延拓，或者延拓到（或）；或者使点∞+∞?)),;(,(00Y t t t ?任意接近区域G 的边界. 而解 ),;(00Y t t ?作为的函数在它的存在范围内是连续的. 00,;Y t t 可微性定理 如果向量函数及 ),(Y t G ),,2,1,(n j i y G j i L ??在域内连续，那么方程组G 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数； 式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤： 为常数； ，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数； 型，为常数 ，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+'' 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ''+'+=y py qy f x () （1） 其中p q ,是常数。 方程（1）的通解为对应的齐次方程 0=+'+''qy y p y （2） 的通解Y 和方程（1）的一个特解*y 之和。即 *y Y y +=.我们已解决了求二阶常系数齐 次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解* y 的方法。 下面我们只介绍当方程（1）中的)(x f 为如下两种常见形式时求其特解*y 的方法。 一、 f x e P x x m ()()=?λ型 由于方程（1）右端函数f x ()是指数函数e x λ?与m 次多项式P x m ()的乘积，而指数 函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测： 方程（1）的特解应为 y e Q x x *?=λ()( Q x ()是某个次数待定的多项式 ) y e Q x e Q x x x *??'=+'λλλ()() y e Q x Q x Q x x *?"=?+'+''λλλ[()()()]22 代入方程（1），得 e Q x p Q x p q Q x e P x x x m λλλλλ???''++'+++≡?[()()()()()]()22 消去e x λ?，得 ''++'+++≡Q x p Q x p q Q x P x m ()()()()()()22λλλ （3） 讨论 01、如果λ不是特征方程 r pr q 20++=的根。 即 02≠++q p λλ 由于P x m ()是一个m 次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q x ()必为一个m 次多项式，设为 Q x b x b x b x b m m m m m ()=++++--0111Λ 将之代入（3），比较恒等式两端x 的同次幂的系数，就得到以b b b b m m 01 1,,,,Λ-为未知数的m +1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m +1个待定的系数，并得到特解 y e Q x x m *?=λ() 02、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的单根。 即 λλ20++=p q ，但 20λ+≠p 欲使（3）式的两端恒等，那么'Q x ()必是一个m 次多项式。 因此，可令 Q x x Q x m ()()=? 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 0 11,,,,Λ-。 03、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的二重根。 即 λλ20++=p q ，且 20λ+=p 。 欲使（3）式的两端恒等，那么''Q x ()必是一个m 次多项式 因此， 可令 Q x x Q x m ()()=?2 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 011,,,,Λ-。 目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12) 二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换 METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程非线性方程的解法
一阶常微分方程解法总结
常微分方程解题方法总结.doc
非线性方程组数值解法
常微分方程数值解法的误差分析教材
常微分方程数值解
常微分方程数值解法
各类微分方程的解法大全
常微分方程数值解法
常微分方程数值解法
15第十五章 常微分方程的解法
非线性方程的数值解法
(整理)常微分方程数值解法
第六章 非线性微分方程
(完整版)专题一(二阶常微分方程解法)
二阶常微分方程的解法及其应用