高考总复习：函数的单调性与最值
第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义
图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 .
3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m f (n )； ???? ??1x >1，即|x |<1，且x ≠0. 故－1 (－1,0)∪(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． [注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
函数的单调性与最值(讲义)
函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；
②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数. 几何意义：减函数的从左向右看,图象是的. 例如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数. 点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
函数的基本性质——单调性与最大(小)值
函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。
这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。
2函数的单调性及其应用高三复习专题
函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+
第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a)0 D ．()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】 试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此 ()()1212 0f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0， ()() 21 210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的 大小，因此f(a)函数单调性与最值讲义及练习题.docx
函数的单调性与最值 基础梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数 f ( x) 的定义域为 I . 如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2 定义当x1＜x2时，都有 f ( x1 ) 当x1＜x2时，都有 f ( x1) ＜f ( x2) ，那么就 ＞f ( x2 ) ，那么就说函数f 说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数 ( x ) 在区间 D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义 若函数 f ( x) 在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数 y＝f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈ I ，都①对于任意 x∈I ，都有 条件有 f ( x) ≤ M； f ( x) ≥ M； .②存在 x0∈ I ，使得②存在 x0∈ I ，使得 f ( x0 ) f ( x0 ) ＝ M M ＝ . 结论M为最大值M为最小值注意：
一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝x分别在 ( －∞， 0) ，(0 ，＋∞ ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( －∞，0) ∪(0 ，＋∞ ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为 ( －∞，0) 和(0 ，＋∞ ) ，不能用“∪”连 接．两种形式 设任意 x1，x2∈[ a， b] 且 x1＜x2，那么 f x1－f x2 f x1－f x2 ①＞ 0? f ( x) 在 [ a，b] 上是增函数；＜0? f ( x) x1－x2x1－x2 在 [ a，b] 上是减函数． ②( x1－ x2 )[ f ( x1) －f ( x2)] ＞0? f ( x) 在[ a，b] 上是增函数；( x1－x2)[ f ( x1) －f ( x2)] ＜0? f ( x) 在 [ a，b] 上是减函 数．两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大 ( 小 ) 值． 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函 数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 单调性与最大（小）值同步练习 一、选择题 1、下列函数中，在 (0 ，2) 上为增函数的是 ( )
高考数学专题：函数的单调性
高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`a 且0≤b 。 （年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
专题一：导数与函数的单调性
专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区
2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。
函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1f(x2) ． 2．单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件①对于任意x∈I，都有 f(x)≤M；②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在 x0 ∈ I，使得f(x0) ＝M 结论M为最大值M为最小值 注意： 1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但 f(x)·g(x)，1等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． f( x) ［试一试］ 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1 D．y＝x＋1 解析：选 A 选项 A 的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．函数f(x)＝x2－2x(x∈［－2,4］)的单调增区间为___ ；f(x)max＝ ________ . 解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为［1,4］，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案：
2013函数的单调性及最值⑵
函数的单调性及最值之二 一、例题讲解 例1.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围． 例2、已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ （1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间； （1）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明: βα-＜6. 例3.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围． 例4.已知a 是实数，函数())f x x a =-。 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值。 （i ）写出)(a g 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。 二、课后作业 1.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 2.（2009天津重点学校二模）已知函数=y )(x f 是定义在R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时不等式0)()('<+x xf x f 成立， 若)3(33.03.0f a =，),3(log )3(log ππf b = )9 1(log )91(log 33f c =，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 3.（2009浙江文）若函数2()()a f x x a x =+∈R ，则下列结论正确的是 （ ） A.a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B.a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C.a ?∈R ，()f x 是偶函数 D.a ?∈R ，()f x 是奇函数 4.（2007年福建理11文）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x > 时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 5.（ 08年湖北卷）若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值 范围是 （ ） A . [1,)-+∞ B . (1,)-+∞ C . (,1]-∞- D . (,1)-∞- 6（2009辽宁卷文）若函数2()1 x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = 7.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .
