第08讲 函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第8讲：函数的单调性 一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。 二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)． (2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间． 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减． 3. 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 4. 函数单调性的常用结论 (1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2） x1－x2>0?f(x)在D上是增函数； f()x1－f()x2 x1－x2<0?f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋a x(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)． (3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
2函数的单调性及其应用高三复习专题
函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+
高考数学专题：函数的单调性
高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`a 且0≤b 。 （年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
专题一：导数与函数的单调性
专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区
2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。
微专题30函数的单调性答案
微专题30 例题1 答案：(1){x|x ＞1，或x ＜－4}； (2)－2. 解析：∵f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，令x ＝0，得f (0)＝0，k －1＝0，k ＝1. (1)∵f (1)＞0，∴a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x ，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0，∴f (x )在R 上为增函数(令解析：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(ax 2－ax 1)＋])1()1[(21x x a a -，因为a ＞1，则ax 2－ax 1＞0，21)1()1(x x a a -＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，则f (x )在R 上为单调增函数)．因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )，又f (x )在R 上为单调增函数，所以x 2＋2x ＞4－x ，解得x ＜－4，或x ＞1，所以不等式的解集为{x |x ＞1，或x ＜－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12 (舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝2x －2－x (x ≥1)为增函数， 即t ≥21－2－1＝32 .所以g (x )＝h (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2≥－2(当t ＝2， x ＝log 2(1＋2)时取等号)．则g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2. 例题2 答案：22. 解析：因为函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，所以4是函数f (x )的周期．则f (15)＝ f (4×4－1)＝f (－1)＝|211|+-＝12，所以f (f (15))＝f )2 1(＝cos π4＝22. 变式联想 变式1 答案：(1)略； (2)???a ＝－1，b ＝－2，或?????a ＝1，b ＝2；(3)当? ????a ＝1，b ＝2时，D ＝R ； 当?????a ＝－1，b ＝－2时，D ＝(0，＋∞)，或D ＝)7 5log ,(2-∞. 解析：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f (x )＝1－2x 1＋2x ＋1 ，f (－1)＝14，f (1)＝－15，所以f (－1)≠－f (1)，则f (x )不是奇函数．
专题函数单调性的证明
函数单调性的证明 函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。 一、证明方法步骤为： ① 在给定区间上任取两个自变量1x 、2x 且1x ＜2x ② 将()1f x 与()2f x 作差或作商（分母不为零） ③ 比较差值（商）与0（1）的大小 ④ 下结论，确定函数的单调性。 在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。 二、常见的类型有两种： （一）已知函数的解析式： 例1：证明：函数()1=x-1 f x 在x ∈（1，+∞）单调递减 例2：证明：函数()3 =x +x+1x f x R 在∈时单调递增 例3：证明：函数()x [1+f x ∞∈，）时单调递增 例4：讨论函数()1=x+ 1+x-1 f x ∞在（，）的单调性，并求最小值 例5：求函数()x+2= x-1 f x 的单调区间
练习：1、证明函数()a =x+a 0x f x ∞（＞）单调递增 2、讨论函数()f x 的单调性 （二）抽象函数的单调性： 抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中()f x 与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例： 例1：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (x +y )=f (x )+f (y ) 恒成立，且当x ＞0时，f (x )＞0.证明：f (x )在R 上单调递增. 例2：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (xy )=f (x )+f (y ) 恒成立，且当x ＞1时，f (x )＞0.证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增. 例3：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (xy )=f (x )f (y ) 恒成立，且当x ＞1时，f (x )＞ 1.若f (x )≠0.证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增. 练习： 1、已知函数()f x 对于任意的x 、y ∈R ，总有 ()()()()()2+=+y x 00=-.3 y 1f x f f x f x f ，且当＞时，＜； （1）求证：()f x 在R 上是减函数 （2）求()f x 在[-3，3]上的最大值与最小值
微专题30函数的单调性
微专题30 函数的单调性、奇偶性、周期性 函数是高考数学的重点内容之一，对函数基本性质的考查是其主要方向；单调性、奇偶性和周期 性是函数的几个重要性质，也是研究函数的主要工具，单调性、奇偶性的考查在江苏高考题中常以填空题的形式出现，周期性作为函数的一个整体性质，给函数带来了周而复始的无穷魅力，也正因如此，周期性、单调性、奇偶性如同函数性质的三驾马车，成为了模考、高考的重点考查对象．重点考查学生的数形结合、分类讨论等方面的能力，考查学生的基本数学素养. 例题1设函数f(x)＝ka x －a － x (a ＞0，a ≠1)是定义域为 R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集； (2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a － 2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 例题2(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝??? ????≤<-+≤<02|,21|20,2 cos x x x x π则 f (f (15))的值为____________． 变式1设f(x)＝ －2x ＋a 2x ＋ 1＋b (a ，b 为实常数)． (1)当a ＝b ＝1时，证明：f(x)不是奇函数； (2)若f(x)是奇函数，求a 与b 的值； (3)当f(x)是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x ，c ，都有f(x)＜c 2－3c ＋3成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由． 变式2若函数f(x)(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝???x （1－x ），0≤x ≤1， sin πx ，1＜x ≤2， 则 f )429( ＋f )6 41 (的值为________________．
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是 考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.
二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； 例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3高三数学 函数的单调性专题复习 教案
江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标： ①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； ②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题． 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。 3.最大（小）值 （前面已复习过） 4.判断函数单调性的方法 （1）定义法：利用定义严格判断。 （2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当 '()0f x <时，()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在 该区间上递减时，则'()f x ______0。 （3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1 ()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。
高考专题：函数的单调性与最值
函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．
2．函数的最值 知识拓展 函数单调性的常用结论 (1)对?x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0?f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0?f (x )在D 上是 减函数． (2)对勾函数y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0， a ]． (3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)必修一函数的单调性专题讲解(经典)
(2)第一章函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1 .定义：对于函数y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x「X2，当捲x2时，都有f(x i) f (X2)(或f (x i) f(X2))，那么就说函数y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。 重点2 .证明方法和步骤： (1) 取值: 设X i,X2是给定区间上任意两个值，且X i X2 ； (2) 作差: f(xj f(X2)； (3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口 定 号： 即f (x i) f(x2) 0或f (x i) f(x2) 0 ； (5) 根据定义下结论。 3?常见函数的单调性 ⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k5.函数的单调性的应用： 判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析 T 2 例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。 例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。 例3 :证明函数f(x)=x 3的单调性。 例4 :讨论函数y =一； 1 — x2在［—1,1］上的单调性. 3 例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性.
抽象函数的单调性专题
抽象函数的单调性专题突破 或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在 []3,3x ∈-上的值域。 例2、()f x 对任意实数x 与y 都有 ()()()2f x f y f x y -=--,当0x >时,()2f x > （1）求证:()f x 在R 上是增函数； （2）若5 (1)2 f = ,解不等式(23)3f a -< 【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=， 求不等式f a a ()2 223--<的解集。 2、定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ，y ∈R 都有 ()()()f x y f x f y -=-，且当0,()0x f x <<时 (1)求证()f x 为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
或例1、()f x 是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1) (1)f 和1()9 f 的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。 例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性, 【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f y x f -=且当01x <<时， ()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f ；
高中数学函数单调性和最值专题
函数专题：单调性与最值 一、增函数 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ ○ 3 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间． 2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数． 注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，
专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?Y Y Y Y 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1] 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞Y )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f < <<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题
函数奇偶性与单调性的综合应用专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；
3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1）根据题意在区间上设； （2）比较大小； （3）下结论. 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域； （2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系； （3）下结论. 【典型例题】 例1设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)31(log 2f ，b ＝)2 1(log 3f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log)高三数学复习专题函数的单调性
函数的单调性 从近两年高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数最值问题是高考的热点，各种类型都有，难度中等偏高，客观题主要考查函数的单调性或最值的灵活确定与简单应用，主观题注重综合考查函数性质，以及数学思想方法． 一、要点精讲 1．单调性 对于给定区间I 上的函数()x f 及属于这个区间I 的任意两个自变量1x ，2x ，当21x x <时，如果都有 ()()21x f x f <（()()21x f x f >），那么就说()x f 在给定区间上是增函数（减函数）；这个区间就叫做这 个函数的单调递增（减）区间。 2. 判断函数单调性的方法 ⑴定义法 ⑵在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 ⑶利用复合函数的单调性：同增异减 ⑷奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； ⑸互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性； 3．求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 4、函数的最值： 二、双基达标 1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是() A ．y ＝tan x B ．y ＝1x C ．y ＝2－ x D ．y ＝－x 2－4x ＋1 2．若函数2)1(2)(2 +-+=x a x x f 在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是() A ．a ≤－3 B ．a ≥－3 C ．a ≤3 D ．a ≥3 解：x 对＝1－a ，由在(－∞，4]上是减函数，故1－a ≥4. ∴a ≤－3. 3．函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是() A ．(－∞，－2) B ．[－5，－2] C ．[－2,1] D ．[1，＋∞)
