复变函数计算

1.设z 1=

i

z i -=

+32

12，，试用指数形式表z 1z 2及

2

1z z .

2.试证函数x +y 在z 平面上任何点都不解析.

3.试证函数f (z )=x 3+3x 2yi -3xy 2-y 3i 在z 平面上解析，并分别求出其导函数.

4.不用计算，验证积分

?c

z

dz cos

之值为零，其中C 均为单位圆周|z |=1.

5.证明级数∑

∞

=1

n n

n

i

收敛. 6.求下列函数f (z )=

1

-e 2z

z

在z =±1的留数.

25．利用留数计算积分?

+∞

∞

-++=

dx

x x x

I )

9)(1(2

2

2

17．设复数)

2)(1(--=

i i i z

（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点.

18．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线. 19．设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，

求),(y x v . 21．求)

2)(4(2)(---

=z z z f 在圆环域3|1|1<-

22设z

z f -=11sin

)(的幂级数展开式为∑∞

=0

n n n z a ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.

23.设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =

.)

(213

dz a z ze

i

z C

-?

π

24.求)

(1)(3

i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数.

1．设z =

2

3-

1i ，求｜z ｜ 及Ar gz ． 2．试证函数z

1在z 平面上任何点都不解析．

3．若函数f (z ) 在区域D 内解析，在D 内f ′(z )=0 ，试证f (z ) 在D 内必为常数． 4．不用计算，验证积分∫c 6

52

++z z

dz e z

之值为零，其中C 均为单位圆周｜z ｜=1 ．

5．将函数 ?0z

e

z 2

dz 展成z 的幂级数，并指出展式成立的范围． 6．将函数

)

(z-z z 112

+在圆环0＜｜z ｜＜1 内展为洛朗级数．

7.求4

=?z

3

4

2

2

15

)

2()1(++z z

z

dz 之值． 17．（本题6分）用θcos 与θsin 表示θ5cos ．

18．已知z ≠时2

2

y

x y x +-=υ为调和函数，求解析函数υi u z f +=)(的导数)(z f '，并将它表示

成z 的函数形式．

19.计算积分I=dz ix y x c

?+-)(2，其中C 为从0到1+i 的直线段．

20．将函数f(z)=ln(z 2-3z +2)在z =0处展开为泰勒级数．

1．函数f (z )=x 2-y 2-x +i (2xy-y 2

)在复平面上何处可导？何处解析？ 22．计算积分I=dz

z z

c ?

+-)

1()1(12

2

，其中C 为正向圆周x 2+y 2-2x =0.

23利用留数计算积分I=?-c z

dz z e

2

2)

1(，其中C 为正向圆周z =2．

24将函数)

1(1)(2

-+=

z z z z f 在圆环域0

17．将曲线的参数方程z =3e it

+e -it

（t 为实参数）化为直角坐标方程. 18．设C 是正向圆周?

+-=-C

z

dz z z e

z .2

3,2112

计算

19．求0

)

2)(1()(=-+=z z z z z f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.

20．求)

2)(1(12)(+-+=

z z z z f 在圆环域1

22．设v (x ,y )=arctan

)(),0(z f x x

y >是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).

23．设C 是正向圆周2=z ，计算.)

1(2

dz z z e

I C

z

?

-= 24设C 是正向圆周1=z ，计算?

+=C

dz z

z I .

2sin )1(2

1.求函数f （z ）=z

z 在z 平面上的不连续点. 21．计算z =(1+i )2i 的值.

2.将函数f （z ）=

3

1

+z 在|z |<3内展开为幂级数.

3.设点z 0分别是解析函数f （z ）和g （z ）的m 阶零点和n 阶零点，证明：z 0是函数f （z ）·g （z ）的m +n 阶零点.

4.讨论函数f （z ）=2

3

)

1(z z

-的奇点（包括无穷远点）及其类型.

5.求函数f （z ）=

2

)

1)(2(+-z z z

在点z =2和z =-1处的留数.

6.试求映射w =f （z ）=z 2

-2z 在点z =1-2i 处的旋转角和伸缩率.

四、证明函数f （z ）=x 2-y 2

+i （2xy -2）在复平面上解析，并求f ′（z ）. 五、用留数计算积分：?

+π

20

2

4cos 5d sin

x

x

x . 1.若f )1(

i

z +=z

，求lim i

z →f （z ）.

2.讨论函数f （z ）=2x 3

+3iy 3

在z 平面上的可导性与解析性.

3.不用计算，验证积分?=+++1

||2

1

6

5sin z z dz

z z z

e

之值为零. 4、计算积分I =

?

π

θ

-θ0

cos 45d

4.设函数f （z ）=

∑+∞

-∞

==+-n n

n z

a z z )

1)(1(1

，|z |>1,求a -4.

5.求函数f （z ）=z cos z

1在z =0处的留数. 6.证明z 7+5z 5-z 2+z +1=0在|z |<1内有5个零点.

23.将函数数

的领域内展开为泰勒级

在2)

2)(1(1)(=++=

z z z z f 。 17.求解方程z 4+16=0。

18.(本题6分)已知z 2

2

,)(0y

x x u iy x z +=+=≠时为调和函数，求解析函数的导数iv u z f +=)(

f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式。 19.设的值

试确定时解析在a x x

y i y x a z f ,0arctg

)ln()(22>++=。

20.计算积分?c

zdz 其中,Re C 为抛物线的弧段到上从i x y +=102。

21.计算积分其中

,cos 13

dz z

z I c

?

-=

C 为正向圆周2

3=

z 。

22.利用留数计算积分?-=

c

dz z

z I 其中

,)

2(1

3

2

C 为正向圆周43=-z 。

24.(本题7分)将函数内展开为罗朗级数

在圆环域201

1)(2

<-<+=i z z z f

17.设z =x +iy ,求复数

1

1+-z z 的实部与虚部. 18.求复数i 8

-4i 25

+i 的模.（6分）

19.求f （z ）=（z -1）2e z 在z =1的泰勒展开式. 20.求f （z ）=

)

2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式. 21.求解方程cos z =2.

22.设z =x +iy ,试证v （x ,y ）=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f （z ）=u （x ,y ）+iv （x ,y ）. 23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求?

-C

z

z z 2

)2(e

d z . 24.设C 为正向圆周|z|=1，求?

C

z

1sin

d z .

17.用cos θ与sin θ表示sin4θ. （18.）已知z 0

≠时2

2

y

x

y

x u

++=为调和函数，求解析函数

f (z )=u +iv 的导数)(z f '，并将它表示成z 的函数形式. 19.设f (z )=x 2-y 2-3y +i (axy +3x )在复平面上解析,试确定a 的值. 20.计算积分I =?C

dz

z z Re

,其中C 为连接由点0到点1+i 的直线段.

21.计算积分I=?-+-C

dz

z z z

2

2

)1(1

2,其中C 为正向圆周|z|=2.

22.将函数

2

31

)(-=

z z f 在z =2处展开为泰勒级数.

23.将函数

)

1)(2(5

2)(2

2

+-+-=

z z z z

z f 在圆环域1<|z |<2内展开为罗朗级数.

24.利用留数计算积分I =?+-C

dz z

z )

1()1(1

2

2,其中C 为正向圆周x 2+y 2=2(x +y ).

1．设z =-i 2

321+

，求满足等式

z n =z 且大于1的最小正整数n .

2．讨论函数f (z )=(x 2

-y 2

-x )+i (2xy -y 2

)在z 平面上的可微性与解析性. 3．证明：方程9z 4

=sin z 在|z |<1内有4个根. 4．求级数∑

∞

=1

n n

n

z

(|z |<1)的和函数.

5．求函数f (z )=?

=-1

||ξξ

ξ

ξ

ξd z e

在区域1<|z |内的洛朗(Laurent )展开式.

6．求z

e

z -1cos 在z =0处的留数. 17.求复数

的三角表示式.

7.求积分I =?

-+C

dz

z z )

2)(1(1的值，其中C 为|z |=r >0,r ≠1,2.

18.已知z 2+z+1=0，求z 11+z 7+z 3

的值. 2. .

cos 11

||?

=z dz z

19.求f(z)=2

1z

在z=2处的泰勒展开式，并指出其收敛域.

20.设f(z)=

1

(z 1)(z i)

-+. 问：f(z)在哪几个以i 为中心的圆环域（包括圆域）内可展为罗朗级

数？写出这几个圆环域（不要求写出展开式）.

21.解方程 sinz=2 （22）.若f(z)及f (z )都是复平面上的解析函数，且f(0)=5，求f(z) 23.设C 为正向圆周|z|=2，求2

2

C

dz z (z 1)

-?

24.设C 为正向圆周|z|=4，求C

dz sin z

?

31.求u=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 32.计算积分I=z z z dz

C

+?

||

的值，其中C 为正向圆周|z|=2.

33.试求函数f(z)=e

d z

-?ζ

ζ

2

在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.

34.计算积分I=e

z i z i dz

z

C

π()()

-+?

2

2

3的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.

35.利用留数求积分I=co s x x

x

dx 4

2

109

+++∞

?

的值.

1.设

)

2)(1(1)(--=

z z z f ，求)(z f 在

}

1||0:{<<=z z D

内的罗朗展式.

3. 设

?

-++=

C

d z

z f λ

λλλ1

73)(2

，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +

4. 求复数

11

+-=

z z w 的实部与虚部. 1. 求函数)2sin(3

z 的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的

一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.

3. 计算积分：?

-=

i

i

z z I

d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.

1. 将函数1

2

()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.

2. 试求幂级数

n

n n

z

n

n ∑+∞

=

!

的收敛半径. 4. 求

dz z z

z ?

=-

2

2

)

2

(sin π

.

3. 算下列积分：

?

-C

z

z z z e )

9(d 2

2，其中C 是1||=z .

4. 求

02822

6

9=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数.

1. 解方程013

=+z . 2. 设1

)(2

-=

z e

z f z

，求).),((Re ∞z f s

3.

.)

)(9(2

||2

?

=+-z dz i z z z . 1. 求复数

1

1+-z z 的实部与虚部

2. 计算积分：

z z I L

d R

e ?

=

，

在这里L 表示连接原点到1i +的直线段. 1、2lim 6n

n i →∞

-??

???

. 2、设2

371

()C

f z d z

λλλλ++=-?

，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+.

3、设2

()1

z

e

f z z =

+，求Re ((),)s f z i . 4、求函数

3

6

sin z z

在0z <<∞内的罗朗展式.

5、求复数11

z w z -=+的实部与虚部. 6、求3

i

e

π

-

的值.

６．计算下列积分．（８分） (1)

2

2

sin ()

2

z z

dz z π

=-

?

； (2) 2

2

4

2

(3)

z z dz z z =--?

．

７．计算积分20

53cos d πθθ

+?

．（６分） 1.求sin(3+4i).

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

(1)

1

(1)n n

n i z ∞

=+∑

； (2)

2

1

(!)n

n

n n z n

∞

=∑

．

1.

43432i

i

e

e i

-+-- 3．求函数()1,1

10=+-=

z z z z f 在指定点z 0

处的Taylor 级数及其收敛半径。 1． z=0为

()(

)

1

2

2

-=z

e

z z f 的 级零点,

3．利用留数计算定积分:

?

+π

θ

θ20

cos 2d 1. 复数i

i z -+=

11 三角表示形

式 .

2. 设xy y

x

u +-=2

2

为调和函数，其共轭调和函数为

3.

()n

n n i z c -∑

∞

=0

能否在z=-2i 处收敛而z=2+3i 发散.

3. C 是直线OA ，O 为原点，A 为2+i , 则

()dz z c

?Re =

1. 解方程0=+i e

z

. 2.利用留数计算定积分:

?

∞

+∞

-+dx x x 2

2

3

cos

3、=+)3(i Ln _____ 1、设i z 222-=，则其三角表示式为____ 6、1

1)(5

+=

z z f 在00=z 处展开成幂级数为_____________

1、沿x y =算出积分dz iy x i

?

++10

2

)(的值； 2、

?

=-π

3||cos 1sin z dz

z

z ；

3、?+π

θ

θ

20

cos 351d ； 4、?

=-1

||2

2

)

(cos z dz

a z z z ，其中0,1||≠≠a a

已知调和函数i i f xy y x u +-=+-=1)(,22，求解析函数,)(iv u z f +=，并求)('

z f 。

（8分）