北京第五十四中学数学分式解答题中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：

（1）方程+=+的解；

（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．

【答案】（1）x=4；（2）x=．

【解析】

通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．

解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：

，

化简可得：，

整理可得：2x=15﹣8，

解得：x=，

这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），

这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；

解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：

，

化简可得：，

解得：x=，

这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），

这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；

所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，

由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，

分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，

所以方程的解为x==4；

（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd﹣ab，分母为（a+b）﹣（c+d），

所以方程的解为x=．

2．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20

天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的2

3

，公司需付甲工厂加工费用为

每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．

（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？

（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．

【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．

【解析】

【分析】

（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．

（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．

【详解】

（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，

则：解得：x＝16

经检验，x＝16 是原分式方程的解

∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品

（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天

需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元

方案二：乙工厂单独完成此项任务，则

需要的时间为：960÷24＝40 天

需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元

方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则

16a+24a＝960

∴a＝24

∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元

综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．

本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列 出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．

3．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333

+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：像33x x -+，2

3

x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x

-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例如：将分式2253

x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设2

25(3)()x x x x a b +-=+++

则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立， ∴3235a a b +=??+=-?，解得12a b =-??=-?

∴225(3)(1)2(3)(1)22133333

x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253

x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：

2225332(3)(3)2(3)32213333333

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253

x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731

x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；

（2）已知整数x 使分式225112

x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961

x x --

-；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】

（1）先变形2731x x x ---=26691

x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；

（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．

【详解】

解：（1）2731x x x ---=26691

x x x x --+-- =

(1)6(1)91

x x x x ----- =961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132

x x x x +++-+ =

2(2)(2)132

x x x x +++-+ =13212x x +-+， ∵x 是整数，225112

x x x +-+也是整数， ∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，

∴x=-1或-3或11或-15.

【点睛】

本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．

4．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，

含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-．

请根据以上材料解决下列问题：

（1）式子①22a b ，②22a b -，③

11a b +中，属于对称式的是__________（填序号）．

（2）已知2()()x a x b x mx n ++=++．

①若m =-n =，求对称式b a a b

+的值．

②若4n =-，直接写出对称式442211a b a b

+++的最小值． 【答案】（1）①③．（2）

①2．②

172

【解析】

试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是

①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab

+-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++42

1b b += a 2+21a +b 2+21b =（a +b ）2－2ab ()2

222a b ab a b

+-+=m 2+8+2816m +=21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++42

1b b +的最小值是172． 试题解析：

（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式，

∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式， ∵

1a +1b =1b +1a ，∴1a +1b

是对称式， ∴①、③是对称式； （2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ，

∴a +b =m ，ab =n ，

∵m =－

n

， ∴b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-

2

2

-

－2； ②421a a ++421b b

+， =a 2+21a +b 2+21b

， =（a +b ）2－2ab +

()2

222a b ab a b +-， =m 2+8+2816m +， =21716m +172

，

∵

1716m 2≥0， ∴1716m 2+172≥172

， ∴421a a ++421b b

+的最小值是172． 点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.

5．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。

（1）甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少？（用字母m 、n 表示）

（2）谁的购买方式比较合算?

【答案】（1）

2m n +元/千克；2mn m n +元/千克；（2）乙的购货方式合算． 【解析】

【分析】

（1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；

（2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算．

【详解】

（1）根据题意列得：甲采购员两次购买饲料的平均单价为800()16002

m n m n ++=元/千克； 乙采购员两次购买饲料的平均单价为16002800800mn m n m n

=++元/千克； （2）22

2()4()22()2()

m n mn m n mn m n m n m n m n ++---==+++， ∵（m-n ）2≥0，2（m+n ）＞0， ∴202m n mn m n +-+，即22

m n mn m n

++， 则乙的购货方式合算．

【点睛】 此题考查了分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

6．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：

（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；

（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；

（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．

为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．

【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．

【解析】

试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．

试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得：

1133()144

x x

x x -+

+=++ 解得：x =12． 经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．

∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．

∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．

A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．

答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．

7．某建设工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由.

【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元

【解析】

【分析】

（1）求的是工效，时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系，等量关系为：甲6天的工作总量+甲乙合作16天的工作总量=1；

（2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用，和19万进行比较．

【详解】

解：（1）设甲队单独完成这项目需要x 天，

则乙队单独完成这项工程需要2x天，

根据题意，得611

161 x x2x

??

++=

?

??

，

解得x＝30

经检验，x＝30是原方程的根，

则2x＝2×30＝60

答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，

则有

11

y1

3060

??

+=

?

??

，

解得y＝20

需要施工费用：20×（0.67+0.33）＝20（万元）

∵20＞19，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．

8．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）该商店第一次购进水果多少千克；

（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？

注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．

【答案】（1）该商店第一次购进水果100千克；（2）每千克水果的标价至少是15元．【解析】

【分析】

（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：（1000÷第一次购进水果的重量 +2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．

（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．

【详解】

解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，

（1000

x

+2）×2x=2400

整理，可得：2000+4x=2400，解得x=100．

经检验，x=100是原方程的解．

答：该商店第一次购进水果100千克．

（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950

整理，可得：290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．

答：每千克水果的标价至少是15元．

【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

9．某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.

(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？

(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？【答案】

(1)甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件；(2)乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.

【解析】

【分析】

(1)此题的等量关系为：乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8；甲工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间，设未知数，列方程求出方程的解即可；(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间，再求出甲工厂所需费用，然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用，设未知数，列不等式，再求出不等式的最大整数解即可.

【详解】

(1)设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工(x+8)件产品，

根据题意得：4872

8

x x

=

+

，

解得：x=16，

检验：x(x+8)=16(16+8)≠0，

∴x=16是原方程的解，

∴x+8=16+8=24，

答：甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件.

(2)解：甲工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷16=60，

所需费用为：60×800+50×60=51000，

乙工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷24=40，

解：设乙工厂向公司报加工费用每天最多为y元时，有望加工这批产品

则：40y+40×50≤51000

解之y≤1225

∴y 的最大整数解为：y=1225

答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.

【点睛】

本题考查分式方程的应用，涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间；分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

10．按要求完成下列题目．

()1求：()

11111223341n n +++?+???+的值． 对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的

每一项可以写成()11n n +的形式，而()11111n n n n =-++，这样就把()

11n n +一项(分)裂成了两项． 试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出111112233420162017

+++?+????的值． ()2若()()()()()112112A B n n n n n n n =++++++

①求：A 、B 的值：

②求：()()

11112323412n n n ++?+????++的值． 【答案】

()()()3412n n n n +++

【解析】

【分析】 （1）根据题目的叙述的方法即可求解；

（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；

②根据()()()()()

11111..1221212n n n n n n n =-+++++把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．

【详解】

解：（1）

112?+123?+134?+…+120161017? =1-12+12-13+13-14+…+12016-12017

=1-

12017

=20162017； （2）①∵()1A n n ++()()12B n n ++=()()()

2n 12A B n A n n ++++ =()()

1n 12n n ++， ∴120

A B B ?=???+=?， 解得1212A B ?=????=-??

． ∴A 和B 的值分别是12和-12

； ②∵()()1n 12n n ++=12?()11n n +-12?()()1n 12n n ++ =12?（1n -1n 1+）-12（11n +-12

n +） ∴原式=12?112?-12?123?+12?123?-12?134?+…+12?()11n n +-12

?()()112n n ++ =12?112?-12?()()

112n n ++ =14

-()()1212n n ++ =()

()()3412n n n n +++．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，正确理解()()1n 12n n ++=12?()1n 1n +-12?()()

112n n ++是关键．