函数的应用单元测试卷(A卷)

全国名校高一数学优质试题，试卷汇编（附详解）

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函数的应用单元测试卷（A 卷）

数学

全卷满分150分 考试时间120分钟

第I 卷（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－1,1)

B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C ．(－2,2)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

2．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )．

3．下表表示一球自一斜面滚下t 秒内所行的距离s 的呎数(注：呎是一种英制长度单位)

当t ＝2.5时，距离s 为( )A ．45

B ．62.5

C ．70

D ．75

4．已知f

(x )＝2x 2－2x ，则在下列区间中，方程f (x )＝0一定有实数解的是( )．

A ．(－3，－2)

B ．(－1,0)

C ．(2,3)

D ．(4,5)

5．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )．

6．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ＞1)的函数关系是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )．

A ．f 1(x)＝x 2

B ．f 2(x)＝2x

C ．f 3(x)＝log 2x

D ．f 4(x)＝2x

7．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A 产品连续两次提价20%，B 产品连续两次降低20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A ，B 产品各一件，盈亏情况为( )． A ．不亏不赚

B ．亏5.92元

C ．赚5.92元

D ．赚28.96元

8．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表

不求a ，b ，c A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞) 9．若函数y ＝a x －x －a 有两个零点，则a 的取值范围是( )．

A ．(1，＋∞)

B ．(0,1)

C ．(0，＋∞)

D ．?

10．某工厂2012年生产某种产品2万件，计划从2013年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件(参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )．

A ．2020年

B ．2021年

C ．2019年

D ．2022年

11．设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1＜v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵横s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )．

第II 卷（共90分）

二、填空题（每题4分，满分16分.）

13．下列函数：①y ＝x 2

－1；②y ＝x 2

＋x ＋1；③y ＝lg(x ＋2 013)；④y ＝2x

－1；⑤y ＝lg x ＋1；⑥y ＝x 2＋1

x －1

.

其中，有零点的所有函数的序号为________．

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14．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )＝1.06×(0.75[t ]＋1)给出，其中t ＞0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为________元．

15．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x ≥0时，y ＝f (x )是单调递减的，f (1)·f (2)＜0，则y ＝f (x )的图象与x 轴的交点个数是________．

16．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：

现有如下5个模拟函数：

①y ＝0.58x －0.16；②y ＝2x

－3.02；③y ＝x 2

－5.5x ＋8；④y ＝log 2x ； ⑤y ＝????12x ＋1.74.

请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选________． 三.解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知函数f (x )图象是连续的，有如下表格：

18．（本小题满分12分）设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2； (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．

19．（本小题满分12分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N)，前30天价格(单位：元)为g (t )＝1

2t ＋

30(1≤t ≤30，t ∈N)，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N)． (1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系式； (2)求日销售额S 的最大值．

20．（本小题满分12分）定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－1

2，

求满足f(1

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log x )≥0的x 的取值集合．

21．（本小题满分12分）有时可用函数f (x )＝

?????

0.1＋15ln a

a －x ，x

≤6，x －4.4x －4，x ＞6，

描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，

f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关． (1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知 识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(取e 0.05≈1.051)

22．（本小题满分14分）某地区为响应上级号召，在2013年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房， 供生活困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年 平均增长率只能达到5%.

(1)经过x 年后，该地区的廉价住房面积为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域． (2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房面积能达到300万平方米？

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函数的应用单元测试卷（A 卷）

数学参考答案及解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

二、填空题（每题5分，满分20分.）

13．①③④⑤ 14． 5.83 15．2 16． ④

三.解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）【解析】 因为函数的图象是连续不断的，

由对应值表可知f (－2)·f (－1.5)＜0，f (－0.5)·f (0)＜0，f (0)·f (0.5)＜0.所以函数f (x )在区间(－2，－1.5)，(－

0.5,0)以及(0，0.5)内一定有零点． 18．（本小题满分12分）【解析】

(1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)， ∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0， ① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0. ②

①－②得b ＝a ＋8.

③

③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2

＋3a ＝0. ∵a ≠0，a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2

－3x ＋18.

(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3????x ＋122＋3

4＋18，图象的对称轴方程是 x ＝－1

2，又0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18.

∴函数f (x )的值域是[12,18]． 19．（本小题满分12分）【解析】

(1)根据题意，得

S ＝?????

(－2t ＋200)????12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，

45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N ，

＝?

????

－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N. (2)当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， 当t ＝20时，S 的最大值为6 400；

当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， 当t ＝31时，S 的最大值是6 210.∵6 210＜6 400， ∴当销售时间为20天时，日销售额S 取最大值6 400元． 20．（本小题满分12分）【解析】

∵－1

2是函数的一个零点，∴f ????－12＝0. ∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当x ≤0，即x ≥1时，

x ≥－1

2

，解得x ≤2，即1≤x ≤2.

由对称性可知，当

x ＞0时，1

2

≤x ＜1.综上所述，x 的取值范围是????12，2. 21．（本小题满分12分）【解析】

(1)证明 当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4

(x －3)(x －4)

.

又当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)·(x －4)＞0.故f (x ＋1)－f (x )单调递减．∴当x ≥7，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降． (2)解 由题意可知0.1＋15 ln

a

a －6

＝0.85. 整理得a a －6＝e 0.05

，解得a ＝e 0.05e 0.05－1

·6≈20.61×6＝123.7.又123.7∈(121,127]．

由此可知，该学科是乙学科． 22．（本小题满分14分）【解析】

(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …

经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．

(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示，作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x 的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值． 因为8＜x 0＜9，则经过9年后，该地区的廉价住房面积能达到300万平方米．