九年级圆 几何综合单元培优测试卷
九年级圆几何综合单元培优测试卷
一、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO 、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x，ACO
OBD
S
S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
【答案】（1）2；（2）
2825
x x x
-+
（0＜x＜8）;（3）AD=
14
5
或6．
【解析】
【分析】
(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.
(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.
(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.
【详解】
解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，
∴OD⊥AB，AC=
1
2
AB=4，
在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，
∴22
AO AC
-，
∴OD=5，
∴CD=OD﹣OC=2；
（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
则由（1）可得AH=4，OH=3，
∵AC=x，
∴CH=|x﹣4|，
在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，
∴22
HO HC
+22
3|x4|
+-2825
x x
-+
∴CD=OD ﹣OC=5
过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴
OH OC
DG CD
=， ∴DG=OH CD OC
?
35， ∴S △ACO =
12AC ×OH=12x ×3=32
x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣
x ）×（3
35）=3
2
（8﹣
x ）
∴y=
ACO OBD
S S
=
()32
3582x x -
（0＜x ＜8）
（3）①当OB ∥AD 时，如图3，
过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB?OH=1
2
OB?AE ， AE=
AB OH OB ?=24
5
=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，
AO=5，
∴75
∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，
∴AD=2AF=14
5
．
②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，
则由①的方法可得DG=BM=
245
， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，
∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185
， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，
∴AD=
22AG DG +=6
综上得AD=
14
5
或6．
故答案为（1）2；（2）y=()
2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=14
5或6．
【点睛】
本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.
2．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．
（1）分别求点E 、C 的坐标；
（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）234
3333
y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切 【解析】
试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；
（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么
∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.
试题解析：（1）在Rt△EOB 中，cot602EO OB =??==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．
在Rt△COA 中，tan tan603OC OA CAO OA =?∠=??==， ∴点C 的坐标为（－3，0）．
（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0）， 点C 与点F （－1，0）都在抛物线上．
设()()13y a x x =++，用(0A 代入得
()()
0103a =++，
∴3
a =．
∴)()13y x x =
++，即
2y x =
++ （3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下： ∵ME ∥y 轴，
∴MED B ∠=∠．
∵B BDA MDE ∠=∠=∠， ∴MED MDE ∠=∠． ∴ME MD =．
∵MA MD AD ME AD =+=+， ∴⊙M 与⊙A 外切．
3．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；
（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．
【答案】（1）CE ＝42；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】
（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610
r r
-= 解得即可；
（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，
GB GE
AB AC
=，即12108GE =，解得即可. 【详解】
解：（1）如图①，连接OE ，
∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°，
∵AC ＝8，⊙O 的半径为2， ∴OC ＝6，OE ＝2，
∴CE ＝2242OC OE -= ； （2）设⊙O 的半径为r ，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC 22AB A C -＝6， ∵AF ＝BF ，
∴AF＝CF＝BF，
∴∠ACF＝∠CAF，∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，
∴∠OEC＝∠ACB，∴△OEC∽△BCA，
∴OE OC
BC BA
=，即
8
610
r r
-
=
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3；
（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，
由对称性可知，CB＝CG，
∵CE＝CG，
∴∠EGC＝∠GEC，
∵CE切⊙O于E，
∴∠GEC+∠OEG＝90°，
∵∠EGC+∠GMC＝90°，
∴∠OEG＝∠GMC，
∵∠GMC＝∠OME，
∴∠OEG＝∠OME，
∴OM＝OE，
∴点M和点D重合，
∴G、D、E三点在同一直线上，
连接AE、BE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，
又CE＝CB＝CG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，
∴A、E、B三点在同一条直线上，
∴E、F两点重合，
∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，
∴GB GE
AB AC
=，即
12
108
GE
=
∴GE＝9.6，
故G、E两点之间的距离为9.6．
【点睛】
本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关
4．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．
（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．
i．若点P正好在边BC上，求x的值；
ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，
当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜
时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．
【解析】
试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；
ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2
②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．
试题解析：（1）i．如图1，
由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，
又MN∥BC，
∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，
∴∠B=∠BPM，
∴AM=PM=BM，
∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．
ii．以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴AN=，
△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，
∴，
②当2＜x＜4时，如图2，
设PM，PN分别交BC于E，F，
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，
由题意知△PEF∽△ABC，
∴，
∴S△PEF=（x-2）2，
∴y=S△PMN-S△PEF=，
∵当0＜x≤2时，y=x2，
∴易知y最大=，
又∵当2＜x＜4时，y=，
∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，
综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，
设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN=x
∴OD=x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴，
∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4
∴x=，
∴当x=时，⊙O与直线BC相切；
当x＜时，⊙O与直线BC相离；
x＞时，⊙O与直线BC相交．
考点：圆的综合题．
5．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，45ABC ∠=?，12BC cm =，半圆O 的直径
12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，
点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ?的重叠部分的面积为(
)2
S cm
．
（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．
（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ?重叠部分的面积
S ；
（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ?的边所在的直线相切？
【答案】（1）24cm ，()
926cm ；（2）2
(189)cm π+；（3）0x =或6x =或
932x =-【解析】 【分析】
（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON
AB ⊥于N ，与半圆交于点
M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，
2
61218()92()2
OB OC CB cm ON BN cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=；
（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，
2901
6669183602
BOH HOC S S S ππ?=+=
?+??=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==1262OC BC OB =-=-61262182()cm +--，运动时间为1862
932x -=
=-)． 【详解】
解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=
如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，
45ABC ∠=?， 45NOB ∴∠=?，
在Rt ONB ?中，61218()OB OC CB cm =+=+= 2
92()2
ON BN OB cm ∴==
=， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，
故答案为24cm ，(926)cm -；
（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，
设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．
BC 为直径，
90CHB ∴∠=?，
45ABC ∠=?
45HCB ∴∠=?，
HC HB ∴=，
OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，
2901
6669183602
BOH HOC S S S ππ?=+=
?+??=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12， 0x ∴=（秒)或6（秒)；
当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，
连接OH ，则OH AB ⊥，6OH = 45B ∠=?，90OHB ∠=?，
1262OC BC OB =-=-，
移动的距离为612621862()cm +-=-， 运动时间为1862
932x -=
=-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ?的边所在的直线相切． 【点睛】
本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.
6．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延
长交
O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且
2180APB PEB ∠+∠=?．
（1）如图1，求证：//PF AD ；
（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=?，求证：PE 平分AEB ∠； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，
4
sin 5
ABD ∠=
，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257
【解析】 【分析】
（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=?，由四边形内角和是
360?，得180∠+∠=?P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到
2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；
（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=?得290PEB ∠=?，从而45PEB ∠=?，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=?，得PE PK =，从而90APE EPB ?∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得
APE BPK ??≌由此45K AEP ∠=∠=?，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；
（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由
45ADE ∠=?，90AED ∠=?，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，
即可证出DEO AEO ??≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=?，在
Rt ADM ?中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对
角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ?中，252OP OA =
=.延长EO
交AD 于K ，在Rt OEP ?中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ?中，由勾股定理得
257PH =
. 【详解】 （1）连接OA 、OB
∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径， ∴OA AP ⊥，OB BP ⊥， ∴90OAP OBP ∠=∠=?，
∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=?-?=?， ∵AB AB =， ∴2AOB ADB ∠=∠， ∴2180P ADB ∠+∠=?， ∵2180P PEB ∠+∠=?， ∴ADB PEB ∠=∠， ∴//PF AD
（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K
∵90APB ∠=?，
∴21809090PEB ∠=?-?=?， ∴45PEB ∠=?，
∵PA 、PB 为圆O 的切线， ∴PA PB =，
∵PK PE ⊥，45PEK ∠=?， ∴PE PK = ，
∵9090APE EPB KPB EPB ??∠=-∠=∠=-∠，
∴APE BPK ∠=∠， ∴APE BPK ??≌， ∴45K AEP ∠=∠=?， ∴AEP PEB ∠=∠， ∴PE 平分AEB ∠；
（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM
∵45ADE ∠=?，90AED ∠=?， ∴DE AE =， ∵OA 、OD 为半径， ∴OA OD =， ∵OE OE =， ∴DEO AEO ??≌， ∴1
452
AEO OED AED ∠=∠=∠=?， ∴90OEP ∠=?， ∵AM 为圆O 的直径， ∴90ADM ∠=?， ∵弧AD =弧AD ， ∴ABD AMD ∠=∠，
在Rt ADM ?中，8AD =，4
sin 5
AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，
由题易证四边形OAPB 为正方形， ∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =， ∵H 在AB 上， ∴OH PH =， 在Rt OAP ?中，252OP OA ==
延长EO 交AD 于K ，
∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠， ∴4DK KE ==，3OK =，1OE = ∴在Rt OEP ?中，227PE OP OE =-= 在Rt OEH ?中，222OH OE EH =+
∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=- ∴()2
2217PH PH =+-
∴257
PH =
． 【点睛】
本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．
7．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A 点出发，到笔直的河岸l 去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于点P ，则PA +PB ＝A ′B 的值最小． 解答问题：
（1）如图2，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，求PA +PC 的最小值；
（2）如图3，已知菱形ABCD 的边长为6，∠DAB ＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿A →C 的方向，向点C 运动．当到达点C 后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x 轴上某一点M 时，立即以每秒1个单位的速度，沿M →B 的方向，向点B 运动．当到达点B 时，整个运动停止．
①为使点P 能在最短的时间内到达点B 处，则点M 的位置应如何确定？
②在①的条件下，设点P 的运动时间为t （s ），△PAB 的面积为S ，在整个运动过程中，试求S 与t 之间的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．
【答案】（1）PA +PC 的最小值是32）①点M 30）时，用时最少；②S 与t 之间的函数关系式是当3t 3S ＝3﹣3t ；当0＜t 3S ＝3t ．当3t 3S ＝﹣3t 3 【解析】 【分析】
（1）延长AO 交圆O 于M ，连接CM 交OB 于P ，连接AC ，AP +PC ＝PC +PM ＝CM 最小； （2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB ⊥AB 时，点P 能在最短的时间内到达
点B处；
②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（3，0）以及到B 的解析式．
【详解】
解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，
则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小，
∵AM是直径，∠AOC＝60°，
∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，
∴AC＝1
2
AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝22
AM AC
＝23．
答：PA+PC的最小值是23．
（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，
∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意，
∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，
∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3
在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝1
2
AP，由勾股定理得：AP＝3，BP＝3，
∴点M30）时，用时最少．
②当0＜t≤33时，AP＝2t，∵菱形ABCD，
∴∠OAB＝30°，
∴OB＝1
2
AB＝3，
由勾股定理得：AO＝CO＝33，
∴S＝1
2
AP×BO＝
1
2
×2t×3＝3t；
③当33＜t≤43时，AP＝63﹣（2t﹣63）＝123﹣2t，
∴S＝1
2
AP×BO＝
1
2
×（123﹣2t）×3＝183﹣3t．
当43＜t≤63时，
S＝1
2
AB×BP＝
1
2
×6×[23﹣（t﹣43）]＝﹣3t+183，
答：S与t之间的函数关系式是当33＜t≤43时，S＝183﹣3t；当0＜t≤33时，S＝3t．当43＜t≤63时，S＝﹣3t+183．
【点睛】
本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．
8．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；
（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6
MN
【解析】
【分析】
（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到
2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；
（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据
ASA 证明△
ABF ≌△ACE ，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE ；
（3）连接HG 、BM ．由三线合一的性质证明BG=CG ，从而得到HG 是△BCD 的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO ，于是可得到HO=OF ，然后得到∠OGH=∠OHG ，从而得到OH=OG ，则OF=OG ，接下来证明四边形MFGB 是矩形，然后由MF ∥BC 证明△MFH ∽△CBH ，从而可证明HF=FD ．接下来再证明△ADF ≌△GHF ，由全等三角形的性质的到AF=FG ，然后再证明△MNB ≌△NAF ，于是得到MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，然后由S 四边
形BHOG
=52，可求得a=2，设HF=x ，则BH=2x ，然后证明△GFH ∽△BFG ，由相似三角形
的性质可得到HG=2x ，然后依据S △BHG =
1
2
BH?HG=42，可求得x=2，故此可得到HB 、GH 的长，然后依据勾股定理可求得BG 的长，于是容易求得MN 的长． 【详解】
解：（1）∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB ． ∴∠BAC+2∠C=180°． ∵BD ⊥AC ， ∴∠ADE=90°． ∴∠E+∠CAE=90°． ∴2∠CAE+2∠E=180°． ∵∠E=∠ACB ， ∴2∠CAE+2∠ACB=180°． ∴∠BAC=2∠CAE ． （2）连接OB 、OC ．
∵AB=AC ，AO=AO ，OB=OC ， ∴△ABO ≌△ACO ． ∴∠BAO=∠CAO ． ∵∠BAC=2∠CAE ， ∴∠BAO=∠CAE ． 在△ABF 和△ACE 中，
ABF ACE AB AC
BAF CAE ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△ABF ≌△ACE ．
∴BF=CE．
（3）连接HG、BM．
∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，
∴AG⊥BC，BG=CG．
∵BH=DH，
∴HG是△BCD的中位线．
∴HG∥CD．
∴∠GHF=∠CDE=90°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．
∴HO=OF．
∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG．
∴OH=OG．
∴OF=OG．
∵OM=OC，
∴四边形MFCG是平行四边形．
又∵MC是圆O的直径，
∴∠CBM=90°．
∴四边形MFGB是矩形．
∴MB=FG，∠FMB=∠AFN=90°．
∵MF∥BC，
∴△MFH∽△CBH．
∴
1
2 HF MF
BH CB
==．
∴HF：HD=1：2．
∴HF=FD．
在△ADF和△GHF中，
AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ADF ≌△GHF ． ∴AF=FG ． ∴MB=AF ．
在△MNB 和△NAF 中，
90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=???
∠=∠??=?
， ∴△MNB ≌△NAF ． ∴MN=NF ．
设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ， ∴S 四边形BHOG
． ∴
． 设HF=x ，则BH=2x ．
∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ， ∴△GFH ∽△BFG ． ∴
HF GH HG BH =，即2x HG
HG x
=． ∴
． ∴S △BHG =
12BH?HG=1
2
， 解得：x=2． ∴HB=4，
． 由勾股定理可知：
． ∴
． ∴
． 【点睛】
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．
9．如图，在
O 中，AB 为直径，过点A 的直线l 与O 相交于点C ，D 是弦CA 延长线
上一点，BAC ∠，BAD ∠的平分线与
O 分别相交于点E ，F ，G 是BF 的中点，过点
G 作MN AE ，与AF ，EB 的延长线分别交于点M ，N ．
人教数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题(含答案)附答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x =于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设MBN ?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】 试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子． 试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 2 452 3602ππ ? =． （2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN． 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=1 2（∠AOC-∠MON）= 1 2 （90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
圆培优题
六年级上册圆培优题 圆 ?易错题 1、两个圆的半径比是2:3，他们的直径比是（ ），周长比是（ ）。 2、一个圆的直径扩大到原来的2倍，它的半径就扩大到原来（ ）倍，它的周长扩大到原来的（ ）倍。 3、一座石英钟的时针长6cm ，经过6小时，这时针的尖端所走的路程是（ ）cm ，经过12小时，这时针的尖端所走的路程是（ ）cm 4、周长相等的正方形，长方形和圆，面积最大的是（ ），最小的是（ ）。 5、将一个圆，沿半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长是圆的（ ），宽是圆的（ ）。如果这个长方形的宽是3cm ，那么这个长方形的长是（ ）cm,周长是（ ）cm ，面积是（ ）平方厘米。如果拼成的长方形的长为12.56dm ，那么原来圆的面积是（ ）cm 2 6、小圆的半径是大圆半径的3 1，小圆的面积是大圆面积的（ ）。 7、一张正方形的周长是16分米，把它剪成一个最大的圆，剪去部分的面积是（ ）平方分米。 8、有一半圆的周长是25.7cm ，它的面积是（ ）平方厘米。 9、在一块直径是1.2米的圆形桌布周围缝在一条花边，接头处长6厘米，这条花边长（ ）米。 10、用一根12.56dm 长的铁丝弯成一个圆形铁环，这个铁环的直径是（ ）dm ，面积是（ ）dm 2 求阴影部分的面积与周长
例1、求下面图形中阴影部分的面积与周长。 练2、.如图，四个扇形的半径相等， 3、如图所示，正方形的面积是18dm2，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 求圆的面积。
4、.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米求阴影部分的面积。 5、求阴影部分的面积。(单位:厘米) 半圆的周长 例1、有一个半圆形的零件如图所示，周长是25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。 练1、如图所示，这个四分之一园的周长是17.85厘米，求它的面积。
最新圆的专项培优练习题及答案
《圆》的专项培优练习题 1．如图一，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图二，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 圆培优竞赛 1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（） A 5 13 12 ． 12 5 C 3 13 5 D 2 13 3 【答案】B． 【解析】 试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB=3 r 2 . ∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 313 PO t r 2 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO=. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OA PA OA OP ==,即 AH OH 3r13 r r 2 == ∴ 313213 AH OH=.∴ 13213513 GH GO OH =--. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 13 513 r H5∠=∠===. 故选B． 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用. 2．如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是( ). =5，r=2 =4，r=3/2 =4，r=2 =5，r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心O 和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H，连接OH并延长，交大圆于点J 圆有关知识练习 1.半圆周长为25.7厘米，半径是（）分米，面积是（）平方分米。 2.圆周长是直径的（）倍。 3.半径是3厘米的半个圆周长是（），直径是3厘米的半圆周长是（）。 4.圆半径扩大5倍，直径扩大（）倍，面积扩大（）倍。 5.挂表的分针长10厘米，从8：00到12：00分钟走了（）厘米，时针走了（）圈。 6.（）决定圆的位置，（）决定圆的大小。 7.圆有（）对称轴。 二、请你来当小裁判。 1、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（） 2、当圆的半径等于2分米时，这个圆的周长和面积相等。（） 3、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长一定也相等. ( ) 4、同一个圆的直径一定是半径的2倍。（） 5、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。（） 6、半圆的周长是圆周长的一半。（） 三、选一选。（选择正确答案的序号填在括号里） 1、圆周率π（）3.14。A、大于B、等于C、小于 2、下面各图形中，对称轴最多的是（）。A、等腰三角形B、正方形C、圆 3、一个圆的周长是31.4分米，这个圆的面积是（）分米2。 A、314 B、78.5 C、15.7 4、一个半圆，半径是r，它的周长是（）。 A、πr + 2r B、πr C、π/4 5、周长相等的正方形、长方形和圆，（）的面积最大。 A、正方形 B、长方形 C、圆 四．解决问题 （1）电视塔的圆形塔底半径为15米，现在要在它的周围种上5米宽的环形草坪（如下图）： ①需要多少平方米的草坪? ②如果每平方米草坪需用50元，那么植这块草坪至少需要多少元? （2）已知以圆的半径为边长的正方形的面积是20平方厘米。求阴影面积。 （3）有一根6厘米长的绳子，它的一端固定在长是2厘米、宽是1厘米的长方形的一个顶点A处（如图），让绳子另一端C与边AB在一条线上，然后把它按顺时针方向绕长方形一周，绳子扫过的面积是多少？ （4）有三个面积都是6平方厘米的圆，两两相交（如图），交点都在圆心上。求阴影部分 面积。 第4题 第5题 第6题 第1题 第2题 第3题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 ∠BAD ＝ . 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 第10题 第11题 第12题 第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 九年级上册数学《圆》专项训练 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最 小距离为b（a>b），则此圆的半径为（） A． 2 b a+ B． 2 b a- C． 2 2 b a b a- + 或D．b a b a- +或 2．（2005·浙江）如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（） A．4 B．6 C．7 D．8 3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（） A．40°B．80°C．160°D．120° 4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（） A．20°B．40°C．50°D．70° 5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A．12个单位B．10个单位 C．1个单位D．15个单位 6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30° 7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（） A．5 B．7 C．8 D．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（） A．2 6m B．2 6m πC．2 12m D．2 12m π 9．如图24—A—6，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦 CD经过点P，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（） A．16πB．36πC．52πD．81π 10．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为 （） 图24—A—5 图24—A—6 图24—A—1 图24—A—2 图24—A—3 图24—A—4 圆培优竞赛 1.如图，PA 、PB 切③O 于A 、B 两点，CD 切OO 于点E,交PA, PB 于C 、D,若。 O 的半径为r, △ PCD 的周长等 PA=PB, CA=CE, DB=DE, Z APO= Z BPO, Z OAP=90 o. ???△PC D 的周长等于 3r, PA=PB= ?? O O 的半径为 r, .??在 Rt △ APO 中，由勾股定理得 713 GO 」r . 4 . Z OHA= Z OAP=90 o, Z HOA= Z AOP, . HOA AOP. . 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质; 三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质； 7.转换思想的应用. 3r,贝U tan / APB 的值是( ) 连接 PO, AO,取AO 中点 B 两点，CD 切③。于点 G,连接AG,过点A 作AH ± PO 于点 E, L 2 3 而 PO 」t —r ---- r 2 2 .AH OH PA OA AH OH r 3 r J13 —r ----- r 2 2 ' . 3血 2寸13 AH ---------- r , OH ----------- r . 13 13 2而 5/13 GH GO OH ---- r ------- r ------- r 4 13 52 ???/ AGH=2 Z APO= Z APB, AH tan APB tan AGH GH 3 13 13「12 5.13 5 52 r 5.锐角 【答案】B. 【解析】 试题分析：如答图， H, . ? PA 、PB 切③ O 于 D. 故选B. H 培优数学试题 1、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a ， b 的形式，求20062007a b +。 2、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且|||| || ||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则32 1ax bx cx +++的值是多少？ 3、 若|||||| 0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少？ 4、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 5、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006200()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 7、(1)123456-+-+-+…20012002+-的值是__________________。 (2)如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所 示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b (3)已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 8、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 9、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 10、已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()()1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 第7题 第8题 第9题 第4题 第5题 第6题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1 2 ∠BAC ＝100?） 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?） 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?） 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 第10题 第11题 第12题 答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ，弦AC ∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算 1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30?，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90?， ∵∠BED ＝30?，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60? ∴∠OAC ＝30?，OC ＝ 1 2 OA ＝2，则AC ＝AB ＝2、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝1 2 AB=3 ∴OE 4=，则CE ＝5＋4＝9 培优竞赛 试题分析：如答图，连接PO, AO,取AO 中点G,连接AG,过点A 作AH 丄PO 于 点H, ???PA 、PB 切OO 于A 、B 两点，CD 切OO 于点巳 /.PA=PB f CA=CE, DB 二DE,上APO 二上BPO, ZOAP=90°. v Z OHA=ZOAP=90°z / HOA=Z AOP, /. A HOA<^ A AOP. = — = PA OA OP AAH = ^r. OH = ^r.AGH = GO-OH = ^r-^r = ^r. 13 13 4 13 52 ??? z AGH=2 z APO= z APB.二 tanZAPB = tanZAGH =—= 丄 =—? GH 5>/13 5 52 F 考点：1沏线的性质；2?切线长定理；3?勾股定理；4?相似三角形的判定和性质；5?锐角 三角函数定义；6?直角三角形斜边上中线的性质；7?转换思想的应用.1. 如图，PA 、PB 切OO 于A 、B 两点, CD 切OO 于点E,交PA, PB 于C 、D,若 △PCD 的周长等于3r, 则tonZAPB 的值是（ C. -^3 D. -V13 ???△PCD 的周长等于3r, /,PA=PB=-r. 2 vOO 的半径为r,???在RtAAPO 中，由勾股定理得PO = AH OH 2 OO 的半径为 【答案】 B. 【解析】 4 2 2. 如图，以PQ 二2r(r€Q)为直径的圆与一个以R(R€Q)为半径的圆相切于点P ?正方形 ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部旦与边CD 切于点Q.若正方形的 边长为有理数，则R 、「的值可能是()? A.R 二5, r 二2 B.R 二4, r 二3/2 C.R 二4, r 二2 D.R 二5, r 二3/2 【答案】D 【解析】 本题老查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心0'和正方形中心。。设正方形边长为a 。设A3中点为连接并延长, 交大圆于点丿 将各个选项数据代入，知D 正确。 3. 如图，RtAABC 中，上090° , AB 二5, AC 二3,点E 在中线AD 上，以E 为圆心 的OE 分别与AB 、BC 相切，则0E 的半径为()? 所以 “+"+/?— 初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附详细答案 一、圆的综合 1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）3 5 ；（3）点E的坐标为（1，2）、（ 5 3 ， 10 3 ）、（4，2）． 【解析】 分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则 MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°， ②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题． 详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan∠BAH=BH HA =1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）． O A E D B C F O A B C D P 初三《圆》培优专题练习 一、选择题 1、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( ) A ．15° B ．30° C ． 45° D ．60° 2．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3. 下列命题中，真命题是 （ ） A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．相等的弦所对的弧相等 C ．度数相等的弧是等弧 D ．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 4．边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） （A ） 3 3 （B ） 3 （C ）2 3 （D ）2 3 3 5，圆内接四边形ABCD 中，四个角的度数比可顺次为（ ） （A ）4：3：2：1 （B ）4：3：1：2 （C ）4：2：3：1 （D ）4：1： 3：2 6．如图3，已知⊙O 的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O 上到弦所在直线的距离为2的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、 ⊙O 的半径为10cm ，两平行弦AC ，BD 的长分别为12cm ，16cm ，则两弦间的 距离是（ ） A. 2cm B. 14cm C. 6cm 或8cm D. 2cm 或14cm 8、 如图，⊙O 是?ABC 的外接圆，AO BC ⊥于F ，D 为AC ? 的中点，E 是BA 延长线上一点，∠=?D A E 114，则∠C A D 等于（ ） A. 57° B. 38° C. 33° D. 28.5° 二、填空题 1、.已知圆O 的半径为6㎝，弦AB=6㎝，则弦AB 所对的 圆周角是 度。 2、一条弦分圆周为5：7，这条弦所对的圆周角的度数是 。 3、.弓形的半径为10cm ，弦长为12cm ，则弓形高为___________cm. 4、 如图，弦CD ⊥AB 于P ，AB=8，CD=8，⊙O 半径为5，则OP 长为________。 5．如图7所示，⊙O 的两弦AB 、CD 交于点P ，连接AC 、BD ， 得S △ACP ：S △DBP =16:9，则AC ：BD 实用文档 圆培优竞赛 1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E ，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（） A． 5 13 12 B． 12 5 C． 3 13 5 D． 2 13 3 【答案】B． 【解析】 试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB= 3 r 2 . ∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 313 PO t r r 22 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO r =. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴ AH OH OA PA OA OP ==,即AH OH 3r13 r r 2 ==. ∴ 313213 AH r,OH r ==.∴ 13213513 GH GO OH r r r =-=-=. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 r 13 513 r H5 ∠=∠===. 故选B． 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用. 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在形的外部且与边CD 切于点Q.若形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是 ( ). A.R=5，r=2 B.R=4，r=3/2 C.R=4，r=2 D.R=5，r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心O '和形中心O 。设形边长为a 。设AB 中点为H ，连接OH 并延长，交大圆于点J a 2r R J O'O D B A C P Q 则连接OA .由勾股定理有22a OH R =-22 a JH R R =--所以2222 a r a R R R ++-=。 将各个选项数据代入，知D 正确。 3．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E 在中线AD 上，以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，则⊙E 的半径为（ ）． 765B C E A 圆的专项培优练习题 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B C．6 D 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 圆培优经典题 第七课圆的基本性质 几何定义：线段AB绕点A旋转一周得到的图形叫做圆，其中，点A为圆心，AB为半径。 集合定义：平面内到固定点等于定长的点的集合。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧 AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．注意：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角，叫做圆心角。 弧度：圆弧所对应的圆心角。 有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角，叫做圆周角。 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD的圆心，?其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径． 例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=?60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是?EB的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=43，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作 DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ． ()1求证：BC 是O 的切线； ()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值． 【答案】（1）见解析；（2）1tan 2 EDB ∠=． 【解析】 【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线 的判定定理得到结论； ()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设 O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-， 再证明BDO ∽BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15 r 8 = ，接着利用勾股定理计算5BD 2= ，则3CD 2=，利用正切定理得1 tan 12 ∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值． 【详解】 ()1证明：连接OD ，如图， AD 平分BAC ∠， 12∴∠=∠， OA OD =， 23∴∠=∠， 13∴∠=∠， //OD AC ∴， AC BC ⊥， OD BC ∴⊥， BC ∴是O 的切线； () 2解：在Rt ACB 中，5AB ==， 设 O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-， //OD AC ， BDO ∴∽BCA ， OD ∴：AC BO =：BA ， 即r ：()35r =-：5，解得158 r = ， 158OD ∴= ，258 OB =， 在Rt ODB 中，5 2 BD == ， 32 CD BC BD ∴=-= ， 在Rt ACD 中， 3 12tan 132 CD AC ∠=== ， AE 为直径， 90ADE ∴∠=， 90EDB ADC ∴∠+∠=， 190ADC ∠+∠=， 1EDB ∴∠=∠， 1 tan 2 EDB ∴∠=． 【点睛】 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形． 2．如图，已知Rt △ABC 中，C=90°，O 在AC 上，以OC 为半径作⊙O ，切AB 于D 点，且BC=BD ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若BC=6，sinA= 3 5 ，求⊙O 的半径； （3）在（2）的条件下，P 点在⊙O 上为一动点，求BP 的最大值与最小值.圆精典培优竞赛题(含详细答案)
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