河南省四校(郑州一中、开封高中、洛阳一高、信阳高中)高三数学四校联考(文)

2009年四校联考

郑州一中、开封高中 洛阳一高、信阳高中

数学试题（文科）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。考试结束后，将第II 卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题

1．设集合},

,),{(},,3,2,1,0{},1,0,1{B A y B A x y x B A B A ∈∈+=*--=定义集合则A*B 中元素个数是 （ ）

A ．7

B ．10

C ．25

D ．52 2．函数)2,(245)(2

-∞-+-=

在x

x x x f 上的最小值是 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3．函数)23

sin(2x y -=π

单调增区间为

（ ） A ．]125,12

[πππ

π+

-k k B ．]1211,125[ππππ++

k k

C ．]6,3

[π

ππ

π+

-

k k

D ．)](3

2

,6[Z k k k ∈++其中ππππ

4．设x ，y ，z 都是正数，那么三个数x

z z y y x 1,1,1+++ （ ）

A ．都不大于2

B ．都不小于2

C ．至少有一个不在于2

D ．以上都不对

5．已知a 、b 为非零的不共线的向量，设条件)(:b a b M -⊥；条件N ：对一切R x ∈，

不等式||||b a b x a -≥-恒成立，则M 是N 的

（ ）

A ．必要而不充分条件

B ．充分而不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分与不必要条件

6．已知)2s i n ()2(s i n

,)2

3,45(,1)(ααππα--∈-=f f x x f 式子时当可以化简为（ ）

A ．αsin 2

B ．αcos 2-

C ．—αsin 2

D ．αcos 2

7．用简单随机抽样的方法从含有n 个个体的总体中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中

个体a 在第一次抽取中被抽到的概率为8

1

，那么，在整个抽样过程中，个体a 被抽到的概率为

（ ）

A ．

81

B ．

82 C ．

8

3 D ．

2

1 8．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛完后都回到休息室取外衣，由于灯光暗

淡，看不清自己的外衣，则至少有两个人拿对自己的外衣的情况有 （ ） A ．30种 B ．31种 C ．35种 D ．40种 9．已知x x x x f x ??++=

≠=)(||2

1

31)(,0||2||23的函数且关于在R 上有极值，则与的夹角的取值范围为

（ ）

A ．??

?

???6,

0π B ．??

?

??ππ,3 C ．??

?

??ππ32,3 D ．??

?

??ππ,6 10．数列}{,01

)12(,,1,}{2

11n n

n n n b b x n x a a a a 则数列的两个根是方程中=+

+-=+的前n 项和S n 等于

（ ）

A ．

12+n n

B ．

1

+n n C ．

1

21

+n D ．

1

1+n 11．已知函数),()2,0(,23)(1

23x f x x x x f -∈+-=的反函数为则

（ ）

A ．)23

()21(11--

B ．)23

()21(11

->---f f

C ．)2

3()21(11-->f f D ．)2

5()23(11--

2=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2,1)(,( =n y x P n n n 在其右

支上，且满足20082121121,|,|||x F F F P F P F P n n 则⊥=+的值是 （ ）

A ．24016

B ．24015

C ．4016

D ．4015

二、填空题

13．2

5

)1)(2(x x x 的展开式中--项的系数为 。（用数字做答）

14．在约束条件y x Z t y x t y x y x 23,43,4

200

+=≤≤????

???≤+≤+≥≥目标函数时当下的最大值的变化范围

是

。

15．已知函数)10(3)(1≠>-=+a a a x f x 且的反函数的图象恒过定点A ，且点A 在直线

n

m n m ny mx 2

1,0,0,01+>>=++则

若上的最小值为 。 16．地球北纬45°圈上有A 、B 两点，点A 在东经130°处，点B 在西经140°处，若地球

半径为R ，则A 、B 两地在纬度圈上的劣弧长与A 、B 两地的球面距离之比为 。

第Ⅱ卷（非选择题，共70分）

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）

在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设向量

.,//)cos ,(),cos ,(A b B a ≠==且

（1）求B A sin sin +的取值范围；

（2）若x c b a abx 试确定实数,)(?+=的取值范围。

18．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲

闯关成功的概率为

13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15

.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.

（1）求乙、丙各自闯关成功的概率； （2）求团体总分为4分的概率；

（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛.求该小组参加复赛的概率.

19．（本小题满分12分）

已知函数)(x f 对一切实数)12()()(,++=-+y x x y f y x f y x 均有成立，且

.0)1(=f

（1）求)0(f 的值； （2）求)(x f 的解析式；

（3）若函数])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=在区间（—1，2）上是减函数，求实

数a 的取值范围。

20．（本小题满分12分）

如图，设直线x y x ay 222

=-=与抛物线交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直

径作圆H （H 为圆心）。

（1）证明：抛物线的顶点在圆H 的圆周上； （2）求a 的值，使圆H 的面积最小。

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3，PE=2EA （1）求证：PC//平面EBD ；

（2）求平面PCD 与平面PAB 所成角的大小；

（3）求异面直线PA 与CD 所成角的大小。

22．（本小题满分12分）

已知正数数列.,}{2

3333231n n n n S a a a a S n a =++++ 且项和为的前 （1）求证：n n n a S a -=22

；

（2）求数列}{n a 的通项公式；

（3）若),.(2)1(3*1N n b an n n n ∈?-+=-为非零常数λλ，问是否存在整数λ，使得对

任意.,1*n n b b N n >∈+都有

参考答案

一、选择题

1—5 BCBDC 6—10 DCBBB 11—12 CC 二、填空题

13．25 14．[7，8] 15．8 16．4

2

3 三、解答题

17．解：因为B b A a n m A b n B a m cos cos ,//)cos ,(),cos ,(===所以且，

.

2,22,,2s i n 2s i n ,

c o s s i n c o s s i n ,ππ=

+=+≠==B A B A n m B A B B A A 即所以又即得由正弦定理

（1）)4

sin(2cos sin )2

sin(

sin sin sin π

π

+

=+=-+=+A A A A A B A

(]

分

的取值范围是因此52,1sin sin 2

)4

sin(21,4344,20 B A A A A +≤+<∴<

+

<∴

<

<π

ππ

ππ （2）若ab

c

b a x

c b a abx ?+=?+=)(,)(则， 由正弦定理，得

(]

[)

分

的取值范围为所以实数即所以则设10.,222

22122

121

22

12

1

cos sin ,cos sin 21,2,1cos sin cos sin cos sin sin sin sin sin )(2222

+∞=-≥-=-=-=-=

+=∈=+?+=?+=?+=

x t t t t t t x t A A A A t t A A A

A A

A B A B A ab c b a x

18．解：（1）设乙闯关成功的概率为1P ，丙闯关成功的概率为2P …………1分

因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：

1121

1,36

1.5P P P ?=???

??=??

…………3分 解得5

2

,2121==

P P …………4分

答：乙闯关成功的概率为

21，丙闯关成功的概率为5

2. （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.

设“团体总分为4分”为事件A ，

则1121121123

()(1)(1)(1).3

2532532510

P A =-?

?+?-?+??-= 答：团体总分为4分的概率为3

10

. …………8分

（3）团体总分不小于4分, 即团体总分为4分或6分，

设“团体总分不小于4分”为事件B ，由（2）知团体总分为4分的概率为310

， 团体总分为6分, 即3人都闯关成功的概率为1121

.32515

??=

所以参加复赛的概率为

.30

11

…………12分 19．解：（1）令2)0(0)1(,2)0()1(0,1-=?=∴=-?==f f f f y x …………2分 （2）令2)1()0()(02-+=++=?=x x x x f x f y …………4分 （3）])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=

上恒成立

在即上恒成立在上是减函数即在)2,1(0)21()2(23)2,1(0)()2,1()()

21()2(23)(2

)21()2(222]2)1()1[()2)(1(22

23222322-≤+--+-≤'-+--+='----+=---++-+=--+++--++=a x a x x g x g a x a x x g x a x a x ax ax x x x x x x x x a x x x

令619

2148120214230)2(0)1(≥????≤---+≤---+???

?≤≤-?a a a a a g g …………12分

20．（1）证明：设),(),,(2211y x B y x A

4444)(242042:22212122212122121212

2=+∴++-=+++=??

?-==+∴=--???=-=y y x x a a y y a y y a x x y y a y y ay y x

y x ay 又得由 0=?∴，即抛物线的顶点在圆H 的圆周上 …………6分

（2）)4)(1(2||1

1||22212

a a y y k AB ++=-+

= 4||,0min =⊥=∴AB x AB a 轴时即当，此时圆H 面积最小 …………12分

21．（1）连AC 交BD 于F ，在直角梯形ABCD 中易求BC=6

分

面4////21 EBD EF PC EF EP AE

BC AD FC AF ∴∴===∴

（2）延长BA 、CD 交于O ，则OP 即为面PCD 与面PAB 的交线

过B 作BG ⊥PO 于G ，连OG ，则由三垂线定理知CG ⊥PO ， 于是∠BGC 即为所求， …………6分

分

即由等积法易求86

6arccos ,66cos 5

30

6,556 =∠=

∠∴==BGC BGC CG BG

（3）在Rt △OBC 中易知A 为OB 中点，故取BC 中点H ，连AH ，则∠PAH 即为异面

直线CD 与PA 所成角或其补角。 …………10分 在△PAH 中，易求得AH=PA=PH=23 ∴异面直线PA 与CD 所成角为3

π

…………12分

22．解：（1）当2

3

3

13

23

1,2n n n S a a a a n =++++≥- 由时

分

成立也成立时且时又当两式相减得得4.2.2,1,1211

,0,,12,0)())((,2211211121

3

12111212321

313211 n n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n n n n n n a S a a S a n a S a a a a a n a S a S S a a a S S S S S S S S a S a a a -=∴-==∴=-=∴=∴>==-=-+=∴>+=-+=-==+++------

（2）当112

122,2,2----=-=≥n n n n n n a S a a S a n 得由时

分

的等差数列公差为是首项为数列两式相减得8.,1,1}{,

1,02)(2,111

1112

12 n a a a a a a a a a a a a a S S a a n n n n n n n n n n n n n n n n n =∴=-∴>++=+-=+--=--------

（3）n n n n n b n a 2)1(3,1?-+=∴=-λ ，

1

,1)2

3

(,1,)23(,32)2(3,

0)2(332]2)1(3[2)1(3111111<∴=<∴?->-∴>-+?=?-+-?-+=----+++λλλλλλ取最小值时当恒成立为奇数时当n n n

n n n n n n n n n n n n n b b

分

都有使得对任意存在整数又取最大值时当恒成立为偶函数时又当12.,,1,0,12

3

,23,

2

3

)23(,2,)23(,1*11 n n n n b b n n n >∈-=∴≠<<-∴->∴--=->+--N λλλλλ