数学建模-醉酒驾驶问题

南昌航空大学数学与信息科学学院实验报告

课程名称：数学模型

实验名称：醉酒驾驶的数学模型

实验类型：验证性□综合性■设计性□

实验室名称：数学实验室D208

班级学号： 11071120 学生姓名：张万晴

任课教师：张邻

成绩：

实验日期： 2013-11-13至2013-11-20

目录

一、问题的重述 (3)

二、问题的假设 (4)

三、符号说明 (5)

四、模型的建立 (5)

五、问题分析与模型建立 (7)

六、结果分析与检验 (17)

七、模型的评价与改进 (18)

一、问题重述

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。

驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车

血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准

在吃晚饭时他又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

问题1 对大李碰到的情况做出解释

问题2 喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在下列情况下回答该问题：

1. 酒是在很短时间内喝的；

2. 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

二、问题假设

1. 不考虑酒精进入体内随呼吸或汗液排出的量，及肠道细菌产生的酒精，只考虑饮入的酒全进入肠胃，再由肝脏等分解的过程。

2. 假设体液中的酒精消耗(向外排出、分解或吸收)的速度，与体液中的酒精浓度(或含景)成正比。

3. 不考虑酒精进入体内随呼吸或汗液排出的量，及肠道细菌产生的酒精，只考虑饮入的酒全进入肠胃，再由肝脏等分解的过程

4. 设人体血液和体液中酒精浓度相等,酒精进入血液后瞬间混合均匀。

5. 假设整体过程中人没有摄入任何影响代谢的药类物质和做剧烈

三、符号说明

t时刻肠胃中的酒精含量：

p(t):t时刻血液中的酒精浓度；

X(t):t时刻血液中的酒精含量；

r1(t)：饮入酒精的速率；

r2(t):肠胃内酒精进入血液的速率；

r3(t):肠胃内酒精进入（除体液外）其它地方的速率；r4(t)：血液中酒精被分解的速率。

p：所饮酒中含的酒精量；

V：体液的体积；X(t)：

四、模型的建立

一、符号说明及模型假设

1.符号说明

k----------酒精在人体中的消除速率常数[1]

()t c--------t时刻血液中的酒精浓度

F-------------酒精在人体中的吸收度

V-------------人体的血液体积

V酒-----------喝酒的体积

t----------饮用酒的时间

)(t x-------t时刻血液中的酒精量

)(1t x ------t 时刻人体吸收的酒精量

M----------人的体重

λ---------人的体液占人的体重的百分含量 ρ-------------酒中的酒精含量 τ-------------饮酒持续时间

0x ---------人体饮入酒精总量

μ----------人的血液占人体重的百分含量

1k ----------酒精在人体中的吸收速率常数[1]

2.基本假设

1. 酒精按一级吸收过程进入体内；

2. 正常情况下，酒精在各人体中的吸收和消除速率基本相同

3. 酒精进入人体后，不考虑其他因素对酒精的分解作用；

4. 每瓶啤酒的酒精含量、体积基本相同；

5. 如果在很短时间内饮酒，认为是一次性饮入，中间的时间差不计；

6. 酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同；

假设模型

一个人的血液中酒精含量取决于他的饮酒量、体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。由科普知识知道，酒精是经胃肠(主要是肝脏)的吸收与分解进入体液的。

根据假设可建立以下基本模型：

???

??

??????===-=--=)()()()()()()()()()()(4433224

2321t y k t r t x k t r t x k t r t r t r d d t r t r t r d d t

y t

x

从生物学可知，酒类进入人体后，胃及血液中酒精随注入酒精速率、浓度、时间等不同产生不同的代谢速率。下面根据饮酒速率及方式的不同建立三种实用模型。

○

1短时间内快速饮酒模型 在基本模型的基础上，由短时间快速饮酒的特点可得出初始值：

0)(1=t r ，0)0(p x =,0)0(=y ，将其代入基本模型可得模型 ???????*-*=*+-=)()()()(4232t x k t x k d d

t x k k d d t

y t

x

五、问题分析与模型建立

1.快速饮酒模型

同药物一样，酒精进入机体后，作用于机体而影响某些器官组织的功能；另一方面酒精在机体的影响下，可以发生一系列的运动和体内过程：自用药部位被吸收进入血液循环；然后分布于各器官组织、组织间隙或细胞内；有部分酒精则在血浆、组织中与蛋白质结合；或在各组织（主要是肝脏）发生化学反应而被代谢；最后，酒精可通过

各种途径离开机体（排泄）；即吸收、分布、代谢和排泄过程。它们可归纳为两大方面：一是酒精在体内位置的变化，即酒精的转运，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化学结构的改变，即酒精的转化亦即狭义的代谢。由于转运和转化以致形成酒精在体内的量或浓度（血浆内、组织内）的变化，而且这一变化可随时间推移而发生动态变化。又因为酒精有促进血液循环的作用[2]。而药物动力学模型中的一室模型[3]是指给药后，药物一经进入血液循环，即均匀分布至全身,故快速饮酒情况可通过建立一室模型求解。

虽然酒精在体内的分布状况复杂，但酒精的吸收、分解等则都在系统内部进行，酒精进入人体后，经一段时间进入血液，进入血液后，当在血液中达最高浓度时，随后开始消除[3]，把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程，这样便会使问题得到简化。用in

dt dx ???

??和out

dt dx ???

??分别表示酒精输入速率和输出速率。由于单位时间内血液中酒精的改变即变化率dt

dx

就等于输入与输出速率之差，所以其动力学模型为：

dt

dx =

in

dt dx ??? ??-

out

dt dx ???

?? （1）

又因为酒精在血液中的消除速率与当时血液内的药量成正比，所以

out

dt dx ???

??=kt ，代入（1）式得： dt dx =in dt dx ??? ??-kt

（2）

则由（2）式可知X(t)的变化规律由饮酒速率而定。而酒精在人体内的代谢可简单的由图一表示：

1

k

(图一)

则t 时刻吸收室的药量为X 1(t)，又药物是按一级吸收过程进入体内的，对于吸收室有：

dt

dx

=-k 1X 1 (3) 对于房室，in

dt dx ???

??=1

1x k ，于是（2）式变为：kx x k dt dx -=111 （4） （3）、（4）两式构成一阶线性方程组，当t=0时，01)0(Fx x =，X(0)=0,解（2）式得：

t k e Fx x 101-=，

将其代入（4）式得一阶线性非齐次方程：t k e Fx k kx dt

dx

101-=+ 解之得：

()

t k kt

e e k

k Fx k t x 1101)(----=

从而，人体内酒精含量为：

()

t k kt e e k k V Fx k t C 1)

()(10

1----=

在这种情况下，酒精含量最大值出现的时间：使

0=dt

dc

时t 的值。 一般情况下，又因为酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同。

则有： μ

λM Fx

M x 00= ? λ

μ

=

F

(F 为常数且0

X 0=ρV 酒则人体内酒精含量与时间函数关系为: )()

()(111t k kt e e K K V V k t C ----=

λμρ酒 （一般情况）

1.1.模型的求解

根据图一中酒精含量实测数据拟合,显然它无法化为线性最小二乘,我们直接作非线性最小二乘拟合[4]。用MATLAB 优化工具箱的Leastsq [5]计算,拟合参数),,(0

1V

Fx k k x = 程序见:JM2004C1.m 。拟合得：

1k =2.0079mg ·ml -1

·h -1

,k=0.1855mg ·ml -1

·h -1

,V

Fx 0

=11.2423（毫克/

毫升），又由F

V

x ?=

2423.110，得到问题中隐含的一瓶啤酒的酒精量约为：27543.635毫克。

1.2问题一的解答

虽然大李喝等量的酒，并且相隔的时间也相同的情况下,两次检查的结果不一样是因为第一次喝下去的酒，在6小时内并没有完全分解，还残留有相当一部分在血液中，并且这一部分在较长时间内不能完全分解。由图（二）喝一瓶啤酒的酒精含量随时间变化的函数图像可知，6小时后，第一次喝的酒的酒精含量约19.5毫克/百毫升。也

就是说此时血液中已有一定的酒精量，这样虽然第二次喝的是同样多的酒，由于第一次残留部分的存在，相当于涉入的酒精量已增大了，使其同样再过6小时，酒精含将会大于20毫克/百毫升。这样大李碰到的情况也就很自然的解释了

（图二）

现通过实际计算证明：

设A 为第一次喝酒在六个小时后，残留在血液中的酒精量。 则第二次喝酒时，酒精含量C （t ）与时间t 的函数关系为： )()

()()(1101t k kt

e e k k V A Fx k t C ----+=

代值用MATLAB 计算（程序见JM2004C5.LOG ），此时再过6小时酒精含量为：27.4毫克/百毫升。这就大于了第一次的值。

1.3问题二第一问的求解

当一个人在很短时间内喝3瓶啤酒时，相当于在瞬间使其吸收室的酒精浓度达最大值，运用模型Ⅰ并用计算机拟合得其函数图象如(图三)（程序见JM20004C2.LOG），

(图三)

由图可得： t:0.065—0.24小时内饮酒驾车；t:0.34—4.5小时内醉酒驾车；t:4.5—12小时内饮酒驾车。

2.匀速饮酒二室模型）

2.1模型的建立及求解

由于在两小时内慢速喝酒有多种方式，为了便于计算我们考虑为匀速饮入等量酒精，即在时间τ内匀速吸收酒精。若体内酒精含量不超过一级消除动力学范围，假设人的酒精含量未达到平衡状态，随着人体吸收次数增多，血液中酒精浓度逐渐升高，当在τ时间内饮完后，由于τ时刻前一小段时间内饮入的酒精在短时刻内没有被吸收，

故在τ时刻后一段时间内，酒精浓度将继续升高，某一时刻将达到最大值。这一时刻后，酒精含量就会逐渐减小。考虑到一室模型在求慢速喝酒情况下的局限性，我们采用建立二室模型[6]。对二室模型我们将建立两个关于酒精浓度的动力系统模型来描述其动态特性。

2.2假设：

1、 机体分为中心室和周边室，两个室的容积在过程中保持不变。

2、

药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该

室的酒精浓度成正比。 3、

只在中心室一体外有酒精交换，即酒精从体外进入中心室，最

后又从中心室排出体外，与转移和排除的数量相比，酒精的吸收可以忽略。

2.3模型建立

二室模型的示意图如(图四)所示：

1

k

(图一)

两个房室中酒精量)(),(21t x t x 满足的微分方程。)(1t x 的变化率由一室向

二室的转移112x k -，一室向体外排除113x k -，二室向一室的转移221x k 及酒精)(0t f 组成；)(2t x

的变化率由一室向二室的转移112x k 及二室向一室的转移221x k -组成，于是有： )(022********

t f x k x k x k dt

dx ++--=

2211122

x k x k dt

dx -= （1） )(t x i 与血液中酒精含量)(t c i 、房室容积i V 显然有关系式

2,1.................................),........()(==i t c V t x i i i （2）

将（2）式代入（1）式可得：

2211122

1

21022112113121)()(c k c k V V dt dc V t f c k V V

c k k dt dc -=+++-= （3）

喝酒相当于在酒精进入中心室之前先有一个将酒精吸收入血液的过程，可以简化为有一个吸收室，如下图，)(0t x 为吸收室的酒精，酒精由吸收室进入中心室的转移速率系数为01k ，于是)(0t x 满足：

00

010

)0(D x x k dt dx =-= （4）

当0)0(,)0(,0)(21

10==

=c V D c t f 时，（3）可以化为： t t Be Ae t c βα--+=)(1 （5）

精经吸收

室进入中心室

0D 是饮入的酒精量，而酒精进入中心室的速率为：

)()(0010t x k t f = （6）

将方程（5）式代入（6）式得：

t

k e k D t f 010100)(-=

（7）

在这种情况下方程（3）的解的一般形式为：

t k t at Ee Be Ae t c 01

)(1---++=β

（8）

此时，这种情况下，酒精含量最大值出现的时间为：使01

=dt

dc 时的时间。 13

2113

2112k k k k k =++=+αββα （9）

其

中 010k D E =

3.2.1.3参数估计

不妨设βα<，于是当t 充分大时)(1t c 可近似为：t Ae t c α-=)(1 对于适当大的i t 和相应的)(1i t c ，用最小二乘法估计出A 和α的值。然后计算t Ae t c t c α-?

-=)()(11（10）

再利用（5）式得：t B t c β-=?

ln )(ln 1对于较小的i t 和（10）式算出的?

)(1i t c ，

仍用最小二乘法可得到B 和β。

由上可得参数值：B

?

,β

A,

,

2．4模型的求解

将题中所给参考数据代入，运用MATLAB工具，对前参数估计进行代值计算得:程序见JM2004C6---C8

A=69.4908;

a=0.3234;

B=-48.0251;

b= 2.77;

将所求得的参数代入（8）当中可得，并用MATABT画出匀速喝三瓶啤酒的酒精含量-时间曲线图如图（五）程序见JM2004C9.M

（图五）

由上函数图象可知：当t为2—4.5小时内为醉酒驾车；当t为4.5---12小时为饮酒驾车。

六、结果分析与检验

由于酒精不同于一般的药物，人饮用之后，酒精能迅速的进入人体，所以在快速饮酒情况下用一室模型来研究酒精的作用过程及代谢过程，与几室模型来研究酒精的作用过程及代谢过程并无太大的区别，（图七）酒精含量C（t）的拟合曲线与实测数据的比较,可以看出,我们的结果是较为准确的，并且拟合的曲线是一条较为理想的曲线。

（图七）对于匀速饮酒情况，由于匀速饮酒要考虑饮酒过程中的代谢情况，与快速饮酒有一定差异，所以采用二室模型来建立匀速饮酒模型，达到减小误差的目的。

七、模型的评价与改进

1.模型的优点

1.本模型从三种情况分别建立模型，模型稳定性高，适用性强。

2.本模型计算步骤清晰，引用了医药动力学的二室模型进行计算，可靠性较高

3.综合运用MATLAB和LINGO两个软件，准确求解，在运用MATLAB 进行数据拟合时，得到了较理想化的曲线。在表示喝三瓶啤酒的人什么时候是饮酒驾车，什么时候是醉酒驾车时，运用MATLAB准确的做出了函数据图像，使结果一目了然。

2.模型的缺点

1.模型为使计算简便，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要的因素。如：酒进入身体后随着血液流动，人体对酒精的吸收率。对于这些问题，由于时间关系本模型还未能更好的研究，有待以后的改进和完善。

2.本文的模型参数仅是依靠题中给出的一组数据拟合求解得出，可能有一点偏差。

3模型的改进

由于人体内部的复杂性，及各器官对酒精转化的多样性，用一室或二室都较为初级，三室或多室的情况模型更准确，但考虑起来会很复杂，又由于短期收集资料的局限，实行起来较为困难，可留着时间充裕时考虑。