实验十用牛顿环测透镜的曲率半径

实验十用牛顿环测透镜的曲率半径

利用透明薄膜上下表面对入射光的依次反射，入射光的振幅将分解成有一定光程差的几部分。若两束反射光在相遇时的光程差取决于产生反射光的薄膜厚度，则同一干涉条纹所对应的薄膜厚度相同。这就是所谓的等厚干涉。

牛顿为了研究薄膜颜色，曾经用凸透镜放在平面玻璃上的方法做实验。他仔细观察了白光在空气薄层上干涉时所产生的彩色条纹，从而首次认识了颜色和空气层厚度之间的关系。1675年，他在给皇家学会的论文里记述了这个被后人称为牛顿环的实验，但是牛顿在用光是微粒流的理论解释牛顿环时却遇到困难。19世纪初，托马斯.杨用光的干涉原理解释了牛顿环。

一、实验目的

1、观察牛顿环产生的等厚干涉现象，加深对等厚干涉原理的理解。

2、掌握用牛顿环测量透镜曲率半径的方法。

二、实验仪器

牛顿环，钠光灯，测微目镜。

三、实验原理

1、牛顿环

“牛顿环”是一种用分振幅方法实现的等厚干涉现象，最早为牛顿所发现。为了研究薄膜的颜色，牛顿曾经仔细研究过凸透镜和平面玻璃组成的实验装置。他的最有价值的成果是发现通过测量同心圆的半径就可算出凸透镜和平面玻璃板之间对应位置空气层的厚度；对应于亮环的空气层厚度与1、3、5…成比例，对应于暗环的空气层厚度与0、2、4…成比例。但由于他主张光的微粒说（光的干涉是光的波动性的一种表现）而未能对它作出正确的解释。直到十九世纪初，托马斯．杨才用光的干涉原理解释了牛顿环现象，并参考牛顿的测量结果计算了不同颜色的光波对应的波长和频率。

牛顿环装置是由一块曲率半径较大的平凸玻璃透镜，将其凸面放在一块光学平板玻璃（平晶）上构成的，如图所示。平凸透镜的凸面与玻璃平板之间形成一层空气薄膜，其厚度从中心接触点到边缘逐渐增加。若以平行单色光垂直照射到牛顿环上，则经空气层上、下表面反射的二光束存在光程差，它们在平凸透镜的凸面相遇后，将发生干涉。其干涉图样是以玻璃接触点为中心的一系列明暗相间的同心圆环（如图所示），称为牛顿环。由于同一干涉环上各处的空气层厚度是相同的，因此称为等厚干涉。

2、牛顿环测薄透镜曲率半径的原理

如图所示。将一块曲率半径R比较大的平凸透镜AOB的凸面放置在一块光学平板玻璃CD上，两者之间便形成一层空气薄膜，其厚度从中心接触点O到边缘逐渐增加。当用单色

平行光从上面垂直照射时，从空气薄膜上下两个表面反射的光束1和光束2 之间便存在一定的光程差，两者在透镜凸面上的某点相遇产生干涉。空气层厚度相同处干涉情况相同，形成同一级干涉条纹，因此这种干涉现象是典型的等厚干涉。而空气层厚度相同的点的轨迹是以接触点为中心的同心圆，因此这种干涉图样是以接触点为中心的一系列明暗交替的同心圆环。这种圆环最早由牛顿发现，故称为牛顿环。

单色光的波长如果用λ表示，则空气层厚度

为h 处对应的两束相干光的光程差δ（空气折射率近似为1）为

22

h λ

δ=+

式中的

2

λ

是由于光从光疏介质射向光密介质，在界面反射时有一位相为π的突变引起的附加光程差，称为半波损失。

明条纹满足的条件为

22

h k λ

δλ=+

= (1,2,3,)k =⋅⋅⋅

暗条纹满足的条件为

2(21)

2

2

h k λ

λ

δ=+

=+ (0,1,2,3,)k =⋅⋅⋅

由图可知空气层厚度h ，干涉圆环的半径r 及透镜的曲率半径之间满足

222()R r R h =+-

化简后得到

因为 R >>h （R 为几米，h 为几分之一厘米），故二阶小量2

h 可以略去，所以有

2

2r h R

=

故对于第k 级暗环则有

22(21)222

k r h k R λ

λλ

δ=+=+=+

2k r kR λ= (0,1,2,3,)k =⋅⋅⋅

22

2r Rh h =-

2

k r R k λ

=

因此只要知道入射光的波长λ，并测得第k 级暗环的半径r k ，便可以算出透镜的曲率半径R 。相反，当R 已知时，则可计算出入射光的波长λ。

在实际测量过程中，观察牛顿环将会发现，牛顿环中心不是一个点，而是一个不甚清晰的暗斑或亮斑。这是因为透镜和平板玻璃接触时，由于接触压力使玻璃发生弹性形变，因而平凸透镜与平板玻璃接触处不可能是一个理想的点，而是一个圆面。所以中心的干涉现象就不是一点，而是一个圆斑。从而使得圆心无法准确确定，圆环的半径不能精确测量。表面的形变会引起附加光程差，故圆心及其附近暗环的半径实际上不符合公式。另外平板玻璃上若有灰尘，接触处有间隙也会产生附加光程差，这时就不能确定第k 条．暗环便是第k 级．暗环。为了消除这两种情况引起的系统误差，提高测量精度，一般从离中心较远的某暗环开始，测出某两个暗环半径的平方差。

设r m 和r n 分别是第m 条和第n 条暗环的半径。由以上两种误差产生的附加厚度为a ，则由光程差满足暗条纹的条件得

2()(21)

2

2

h a k λ

λ

δ=±+

=+

2

h k a λ

=±， 而 2

2r h R = 22k r kR Ra λ=±

所以第m 条暗环的半径满足

2

2m r mR Ra λ=±

所以第n 条暗环的半径满足

22n r nR Ra λ=±

将以上两式相减可得两暗环半径的平方差

22()m n r r m n R λ-=-

可见两暗环半径的平方差22

m n r r -与附加度a 无关。

又因为暗环的圆心很难准确确定，所以暗环的直径代替得

224()m n D D m n R λ-=-

因此，透镜的曲率半径

22

4()m n

D D R m n λ

-=-

由此可见，要计算R ，只需测出级数相差（m-n ）的两条暗环的直径D m 和D n 就可以了，而m 或n 的真正级数不必知道，这样就可以消除起始点的误差。

另外，以上分析的是反射光的情况。若采用透射光干涉，就没有所谓的半波损失。因此产生暗条纹的条件是

22(21)2

r h k R λ

δ===+

22

k R

r kR λλ=+

同样可得

224()m n

D D R m n λ

-=-

四、实验步骤与内容

图 实验装置

1、调整实验装置

实验装置如图所示。钠光灯S 发出的单色钠光射到45度半反镜M 上，使一部分光经其反射后进入牛顿环，然后改变测微目镜的高低，调整半反镜M 的角度就可通过测微目镜看到清晰的牛顿环。

（1）借助室内的灯光，用眼睛观察牛顿环，看到一亮点位于镜框的中心，周围的干涉条纹呈圆环状。若亮点不在镜框中心，轻微旋动金属镜框上的三个调节螺丝，使环心面积最小，并稳定在镜框中心（注意不要将螺丝拧得太紧，以免干涉条纹变形，导致加大测量误差或光学玻璃破裂）。

（2）将牛顿环装置放置在光学平台上，且使牛顿环中心与钠光灯发光窗口高度大致相同。

（3）接通钠光灯电源使灯管预热，待钠光灯正常发光后，调节测微目镜高度（底座可升降），使45度半反镜正对钠灯窗口，并且大致等高。

（4）调节测微目镜，看清十字叉丝。轻微调整45度半反镜，使视场被钠黄光均匀照亮，且亮度达到最大，这时基本上满足入射光垂直透镜的要求。

（5）干涉条纹产生在空气薄层的上表面，因此应对上表面调焦，才能看到清晰的干涉图象。调节测微目镜与牛顿环装置之间的距离，直到在目镜中同时看到清晰的十字叉丝和牛顿环的像为止。并注意使两者之间无视差，即眼睛左右移动观察时两者无相对位移。

2、观察干涉条纹的分布特征

观察各级条纹的粗细是否相同？条纹间隔有无变化？并作出解释。观察牛顿环中心是暗斑还是亮斑？若是亮斑，如何解释？用擦镜纸仔细地将两个接触面擦干净，可使中心呈暗斑。

3、测量牛顿环直径，算出透镜曲率半径

（1）调节测微目镜，使十字叉丝的交点尽量位于水平线的中心。调节牛顿环装置的位置，尽量使十字叉丝的交点对准牛顿环中心。从而使待侧环的左右两侧都在测量范围之内。测量单过程中，应缓慢转动测微目镜的鼓轮，且只能单方向方向转动，中途不要反向。因为丝杆与螺母的螺纹间有空隙，称为螺距差。当反向旋转时，啮合过程中必须转过此间隙后分划板（叉丝）才能跟着螺旋移动，从而导致读数与实际移动距离不符而引起误差。这种误差称为空程误差（或回程差，螺距差）。这在精密测量中是不允许的，所以在测量的过程中若转过了的头，必须退回几圈，再沿原方向旋转推进。注意不得移出刻度尺所示的刻度范围，如已到达刻度尺一端，则不能再强行旋转鼓轮。在实验中暗环容易分辨，建议测暗环。靠近中心的环较粗，不易测准，尽量要测离中心比较远的环。

（2）转动测微目镜的测微鼓轮，使十字叉丝的竖线从中央缓慢地往某一方向（如向右）移动，同时读出移过去的暗环数（中央暗斑可当成k=0，四周暗环依次为k=1、2、3等）。移到大于20环时，反方向转动鼓轮，使十字叉丝的竖线反方向（如向左）移动，当十字叉丝的竖线与m=15环外侧相切时，记下测微目镜的读数。继续朝同方向转动鼓轮（使十字叉丝的竖线继续向左移动），依次测出m=14、13、12、11和n=10、9、8、7、6对应各级暗环右侧的位置。过了6环后继续转动鼓轮，并注意读出环数，直到十字叉丝的竖线回到牛顿环中心，核对该中心是否是k = 0。

（3）继续朝同方向转动鼓轮（中途切不可倒转），当十字叉丝的竖线经过中央暗斑而与另一边（左边）第6条暗环对准时，开始记录数据，同样依次测出n=6、7、8、9、10和

m=11、12、13、14、15对应各级暗环左侧的位置。特别注意从右侧20环移到左侧15环的过程中鼓轮均切不可倒转。然后再反向转动鼓轮，并读出反向移动时各暗环次序，并核对十字叉丝的竖线回到牛顿环中心时是否是k = 0。测量时，应使十字叉丝的竖线始终与环的同一侧相切，即如果在中心左边与环外切，则在右边应与环内切，以免环较粗时难以测准。

五、数据处理

1、将所测数据记入下表，并处理。

2、计算薄凸透镜的的曲率半径

算出各级牛顿环直径平方值后，用逐差法处理所得数据，这是实验中常用的一种数据处理方法，应认真体会，熟练掌握。

求出D 2

m - D 2

n 的平均值（如果某组数据偏差较大，则应舍去，以免带来较大的误差），代入公式

22

4()m n

D D R m n λ

-=-

就可以算出薄凸透镜的曲率半径R 。

六、实验注意事项

1、使用测微目镜时，为避免引进螺距差，移测时必须向同一方向旋转，中途不可倒退。

2、调节牛顿环时，螺旋不可旋得过紧，以免接触压力过大引起透镜弹性形变。

3、读环数时要细心，不要将环的序数数错。

4、实验完毕应将牛顿环仪上的三个螺旋松开，以免牛顿环变形。

七、思考题

1、什么是牛顿环？牛顿环干涉条纹一定会成为圆环形状吗？观察牛顿环干涉条纹的分

布特征并予以解释。用以测定透镜曲率半径的理论公式是什么？根据此式测量时，下列因素是否影响测量结果？

（1）牛顿环中央是一个斑而不是一个点。

（2）牛顿环中央是亮斑而不是暗斑。

（3）玻璃上有灰尘，接触处有间隙产生引起附加光程差，因而使数的条纹序数并非条纹的实际级次。

（4）测量时由于叉丝没有恰好沿直径移动，使得测量的不是牛顿环的直径而是弦长。

2、实验中为什么要测牛顿环直径，而不测其半径？

3、实验中为什么要测量多组数据且采用多项逐差法处理数据？用算术平均法行吗？

4、实验中测微目镜测的是牛顿环本身的直径还是牛顿环放大像的直径？如果改变放大率，是否会影响测量结果？

5、为什么n的值要取得较大一点(至少大于等于5)？如果条纹清新范围大，m-n的值也应尽量取大一些呢？

6、透射光的牛顿环是如何形成的呢？如何观察？它与反射光的牛顿环在明暗上有何关系？为什么？

7、在实验中，假如平板玻璃上有微小的凸起，则凸起处空气层厚度减小，导致等厚干涉条纹发生畸变。试问这时的牛顿环（暗环）将局部内凹还是外凸?为什么？

8、如果给你一块平晶（平整度很高的光学平板玻璃），能否根据干涉条纹的特征检验出牛顿环装置中的两块玻璃中哪一块的表面是平面？哪一块的表面是球面？对于平板玻璃，哪一个表面光洁度高？对于球面，怎么判断是凸面还是凹面？

9、如果被测透镜是平凹透镜，能否根据本实验中的方法测定其凹面的曲率半径？推导出相应的公式并说明具体方法。

10、如果用白光照射，能否观察到牛顿环干涉条纹？此时的条纹将有何特征？

11、能否根据此实验原理测液体的折射率？如何测量？

附录一牛顿环仪

牛顿环仪是由曲率半径约为200~700厘米的待测平凸透镜L和磨光的平玻璃板P叠和装在金属框架F中构成，如附图所示。框架边上有三个螺旋H，用来调节L和P之间的接触，以改变干涉条纹的形状和位置。调节H时，螺旋不可旋得过紧，以免接触压力过大引起透镜弹性形变，甚至损坏透镜。

附图牛顿环装置