耗散系统的哈密顿原理及其应用

题目耗散系统的哈密顿原理及其应用

学生姓名闫俊杰学号 1210014049 所在学院物理与电信工程学院

专业班级物理学1202 班

指导教师王剑华 __ __ 完成地点陕西理工学院

2016年 5 月 20 日

耗散系统的哈密顿原理及其应用

作者：闫俊杰

（陕西理工学院物理与电信工程学院物理专业1202班级，陕西汉中 723000）

指导老师:王剑华

[摘要]哈密顿原理不仅是分析力学的基础,而且在量子物理中也有重要的应用。本文首先通过定义耗散函数，给出了有耗散系统的哈密顿原理。然后利用有耗散系统的哈密顿原理推导出了有耗散系统的拉格朗日方程。最后通过与受线性粘滞阻尼作用的力学系统类比，把有耗散系统的拉格朗日方程应用到有耗散的电路系统，给出了基尔霍夫定律。

[关键词] 耗散系统；耗散函数；哈密顿原理；广义耗散力；基尔霍夫定律.

引言

哈密顿原理,于1834年首次发表,从而完成了从莫泊丢开始的尝试,该原理的数学形式简洁,内容广泛,将动力学问题转化为数学的一般体系的一部分,更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系,在物理学中有极高的地位,它不仅可以看作是力学的最高原理,甚至可以看作是整个物理学的最高原理,利用广义坐标并定义哈密顿函数就可以从哈密顿原理推导出哈密顿正则方程,致各种动力学定律都可以从这一变分式推出.所以说它是成为牛顿之后力学发展一个最大飞跃[1]。伴随经典力学从自由到非完整约束系统发展历程的是学术讨论甚至是争论,有些是对错之争,有些只是观点不同,问题的焦点主要是经典力学理论怎样从完整系统推广到非完整尤其是非线性非完整系统,这是经典力学后牛顿发展的主要标志，也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。物理学家考察具体的物理问题，常常以最小作用量原理为出发点，通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出;甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出，其实，所有运动方程就是拉格朗日方程或哈密顿正则方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体体现。亦是广义相对论的一个重大结论;而如前文已提及的，引力场方程的导出可采用引力场之作用量的变分运算。从光线路径和质点运动到四维弯曲时空中的短程线方程乃至引力场运动方式等等实例可见，无论是几何间题，还是物理问题，都可凭籍变分法去圆满地解决;特别是最小作用量原理及其在物理学各领域的成功应用，正就是利用变分法这一几何方法、亦乃经济原则去解析各物质系统之运动规律的丰盈成果。例如牛顿力学描绘了天体运动的出色图景，拉格朗日一哈密顿理论描绘此图景也毫不逊色。当然，在经典力学范畴里，这两个理论体系本来是等价的，只是着眼点有所不同:对于行星运动，牛顿着眼于行星与恒星之间的万有引力;哈密顿等人着眼于行星运行时的能量守恒正因为后者着眼于能量状况，遂使哈密顿原理的适用性得以超出经典力学范畴。耗散系统就是指一个不断地与外界交换能量的系统这样的新结构就是耗散结构[2]。拉格朗日方程是力学理论中的基本方程，它在力学系统中得到广泛的应用。它的表述形式不再是直观的矢量形式，而是抽象的数学分析，即分析力学。分析力学所注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的能量，同时又扩大了坐标的概念。所以拉格朗日方程更适用于处理复杂力学系统的问题，而且可以更进一

步，应用到物理学和技术科学的其他领域[3]

。目前拉格朗日方程已经被应用到许多领域中，

特别是电学中的应用。虽然拉格朗日方程在力学系统中得到广泛的应用，对力学问题提供了

新的、简洁的求解方法。但是在某些领域中还有它的不足，特别是在耗散系统中，一般的拉

格朗日方程解决的都是理想约束的问题，即忽略阻力、摩擦、黏滞力形、变等，或者是把阻

尼力当成主动力处理[4]。但是自然界中大多数物理过程都是有阻尼的物理过程，往往使问题

不能很好的解决，或变得更复杂。如果把耗散函数引入拉格朗日方程中，这个不足就会迎刃

而解，把阻尼力的问题用耗散函数来解决，解决有耗散系统的复杂问题时更加简单。

哈密顿原理它涉及了一系列基础问题。中国学者为推动这一学科的发展作出了重要的贡

献[5-9]。牛青萍发表了重要论文《经典力学基本微分原理与不完整力学组的运动方程》。这是

我国第一篇非完整力学的研究论文,赵跃宇建立了一类新型的积分变分原理,该原理比较完

满地解决了变分原理的推广问题。保加利亚科学院院士И.Цнов(Tzenoff)建立了一类新

型的运动微分方程,具有简单统一且便于应用的优点。对于变质量力学系统,梅凤翔就

Hamilton 原理[10],陈立群就非惯性系[11],张毅就相对运动[12],方建会和李元成就相对论力学

的速度空间[13],自二十世纪70年代以来,以DNA 为背景的超细长弹性杆力学受到关注,用

Kirchhoff 理论进行力学建模。基于此,刘延柱、陈立群等将经典的分析力学理论移植到弹

性杆静力学[14，15],人类对于自然界的认识永无止境,任何一个学科的发展都在伴随着时代的

步伐与时俱进。

本文主要研究了耗散函数，广义耗散力和准拉氏函数，耗散系统的哈密顿原理及其拉格

朗日方程，有耗散系统中哈密顿原理的应用。 1 耗散函数

设质点不仅受有势力和非有势力作用,还受粘滞阻尼的作用,粘滞阻尼是作用在质点上

的线性阻力。由于这种阻力使机械能耗散,所以他又被称为耗散力。下面,先定义阻尼力,再

由阻尼力的虚功给出耗散函数。设作用在任一质点i M 上的线性阻力为i R

i i i V C R -= （1.1）

其中V i 是质点的运动速度,阻力系数C i 为常数。质点上的线性阻力任意虚位移中所作虚功

的和为

11n n R i i i i i

i i W R r C V r δδδ===?=?∑∑∑ （1.2）

式中

∑∑∑===??=???=???=N 1k 11k k i k N k k i k N

k i i q q V q q r q q r r δδ&& （1.3） 将它代回式(1.2)得

2111112N N

N N i R i i k i i k i i k i k V W CV q CV q q δδδ====???=-?=- ????∑∑∑∑∑& （1.4）

在有耗散存在的力学系统中,可以把耗散函数Ψ表示成广义速度的函数 ∑=??==N

k k k i i i q q r r V 1&& （1.5） 令21

12n i i i C V ψ==∑称为耗散函数，有 11i 1111111()()222n n S S S S i i i i i i k j kj k j i i j k j k k

r r C VV C q q q q q q ψγ======??==?=??∑∑∑∑∑∑&&&& (1.6) 式中j

i k i n j i

kj q r q r C ?????=∑=1γ是常数或广义标的函数,称为广义阻力系数。式(1.6)表明耗散函数是广义速度的二次齐次函数。

2 广义耗散力和准拉氏函数

约束系统动力学的基本问题[16]和变分原理目前的研究主要出现在以下几个方面:

(1)对分析力学基本概念和基本问题在更高层面上的进一步探讨与扩充。这项研究,不但

可以巩固分析力学的理论根基,并且可以澄清一些纷争。

(2)对于新的力学系统,建立相应的力学变分原理。历史和现代的如变质量系统、单面约

束系统、连续系统、Birkhoff 系统、广义力学系统、广义非完整系统以及基于Kirchhoff

动力学比拟的超细常弹性杆等。

(3)用近代微分几何建立各种变分原理,如射丛几何的、辛几何的等。

(4)变分原理的应用,如应用于数值计算等等。

在有耗散存在的系统中，广义耗散力是一个非常重要的力学量。下面来进行计算，把

（1.6）代入（1.4）可以得到

s

k 1R k k W q q ψδδ=?=-?∑∑

& （2.1） 再令RK Q 为对应于广义坐标k q 的广义耗散力，则 Rk k

Q q ψ?=-

?& （2.2） 于是，有耗散存在的准拉氏函数为 R L T V W L W '=-+∑=+∑ （2.3）

利用这个准拉氏函数,我们可以给出有耗散存在的哈密顿原理。

3 耗散系统的哈密顿原理及其拉格朗日方程

物理学中最基本的原理是哈密顿原理。著名量子物理学家狄拉克曾十分推重这条原理

[18]

。因为它具有物理学理论的同一性。物理学中的一些重要原理与它们的核心方程,都能从

哈密顿原理出发、借拉格朗日分析力学的方法导出;哈密顿原理在分析力学中有着十分重要

的地位[19]。它借助于变分原理对质点运动情况作出精确描述。这一原理不仅适用于有限自由

度的点系,也可用于无限自由度的点系[20]。它在相对论中,场论中被广泛采用。在有耗散存在

的的系统中，可以考虑把哈密顿原理写成如下形式 210t t s L dt δδ

'==? （3.1）

把（2.3）代入（3.1）可以得到 2

1()0t R t s L W dt δδ=+∑=? （3.2） 即 211d δδd 0d s

t R t

L L q q W t q t q αααααδ=??????+-∑=?? ???????∑?& （3.3） 经过进一步推导，得 2

21111d d δ0d t s s t R t t L L L W q t q q t q q αααααααδ==?????????-+δ+=?? ? ??????????∑∑?&& （3.4） 把（2.1）代入（3.4），并考虑

[][]120,t t q q ααδδ== ()1,2,...s α= （3.5）

可得

2

11d δδd =0d s

t t L L S q q q t q t q q αααααααψδδ=???????=--?? ????????∑?&& (3.7) 哈密顿原理指出，对于质点系真实运动，0=S δ，即上式中积分为零。由于区间是任意的，

故知被积函数为零。又因为αδq 彼此独立，所以αδq 的S 个系数应全为零，于是得到方程。

即 0,(1,2,)d L L s dt q q q ααα

ψα???-+==???L && （3.8） 这就是含耗散函数的拉格朗日方程。

哈密顿原理处理简单运动没有什么优越性，但是用它来处理多自由度复杂问题却比较方

便。天体力学中摄动法就是应用哈密顿方程一个典型事例[21]

。哈密顿正则方程虽然是经典力

学的方程，但是却能被推广应用到微观和高速领域，在理论力学尤其是分析力学领域有着重

要应用。 4 有耗散系统中哈密顿原理的应用

一维弹性振子在有阻尼力和谐迫力时的振动方程为

cos mx bx Kx F t ++=Ω&&& (4.1)

其中m 是振子的质量,k 是弹簧的弹性系数,b 是阻尼因数,t F Ωcos 为谐迫力。

由电感L,电阻1R ,电容C 和电源E 所组成的串联电路, 若某时刻电容器上的电荷为q, 则

电路的电流 dt

dq I =

（4.2） 电感上的电压降为 22L dt

q d L dt dI = （4.3） 电阻上的电压降为 dt dq R I R 1

1= （4.4） 电容上的电压降为

c

q ，又设电源电动势为t cos ΩE E 00=,由基尔霍夫定律得电路的微分方程为 t cos ΩE c

q dt dq R dt q d L 00122=++ (4.5) 比较方程(3.1)和方程(3.2)可得如下的结论: 电荷与位移, 电感与质量, 电阻与阻尼

因数，电容的倒数与弹簧的弹性系数，电动势与机械力。利用同样的方法, 可以找到很多相

似的对应关系。

若取电荷q 为广义坐标, 电流q &即为广义速度, 电动势为广义力, 系统的动能、势能和

耗散函数分别为

221Lq T = 221q C V = 2112

R q ψ=& 以此代入有耗散力的拉格朗日方程 , 即得:

Q q

q T q T dt d =??+??-??&&ψ)( (4.6) 对于复杂的RLC 电路时，设有N 条含源组成的复杂RLC 电路，每条支路的电荷为

αq ()S ,2,1=α，这样，只有α-n 个独立网孔，选取网孔的电荷为广义坐标αq ()S ,2,1=α，就所有面电路，其任一之路的电荷都可以用一网孔电流或两网孔电流的和差表示。 各支路所含的电阻，电感，电容及电源电动势分别用()t E C L R i i i i ,,,表示，各网孔的电流、自电阻、自电感、自电容及自电源电动势分别用()t E L R Q jj jj jj jj ,,,表示，各网孔的互电阻、互电感、互电容分别用ji ji ji C L R ,,表示，且设所用的网孔的参考电流方向均为顺时针方向。 由以上对比结论可知，与LRC 电路相对应的力学系统的拉格朗日函数为[22] ()∑∑∑∑≠=≠=--+=s jk

k j s jj j k j s jk j s jj C q q C q q q L q L L βαβααβαβαα,12)(,21222121&&& （4.9） 耗散函数为 ()

k j s jk s j jj q q R q R &&&∑∑≠=+=βαβααψ,122121 （4.10） 其它非保守广义力为

)(t E Q jj jj = （4.11）

则拉格朗日方程为

,)(jj j

j j Q q q L q L dt d =??+??-??&&ψ （s j ??=,2,1） （4.12） 可得j 个拉格朗日方程

)()()()(t E C q q L q L C q q R q L s

j k k jj jk

k k s j k k jk k s j k k jk jj j

j jj j jj ∑∑∑≠≠≠=+++++&&&&&&，（s k j ??=,2,1, ） （4.13） 把耗散函数引入拉格朗日方程中，把阻尼力的问题用耗散函数来解决，这样就得到的了有耗散函数的拉格朗日方程。使拉格朗日方程的使用范围增加，解决有耗散系统的复杂问题时更加简单。耗散函数的拉格朗日方程可以更好的解决有阻尼力的耗散系统中，而且可以通过类比的方法更好的应用到电学中。虽然力学与电学是物理学中两个不同的课程,但是将分析力学中的广义坐标,广义力，动能，势能和耗散函数等概念引入到电学中,就可以用拉格朗日方程来解决RLC 电路中的问题。从力与能的角度出发,在RLC 电路体系中运用拉格朗日方程,得到了电学中用基尔霍夫定律和欧姆定律分析RLC 电路过程相一致的结果。这是分析不同研究对象之间共同规律的思维方法。更重要的是，两种不同的物理系统可用相同形式的拉格朗日函来描述，这种结构上的类似意味着研究其中一种系统的方法和结论也适用于另一种系统。这就远远扩大了拉格朗日方程的应用范围，为拉格朗日方程应用到其它更多的领域做好了铺垫。

5 结论

分析力学有微分、积分两种型式。拉氏方程和哈氏正则方程等属微分型至于积分型式，乃从对最小作用量原理的探讨起始。 变分法的发明使分析力学的建立和扩展有了简便的数

学工具。若一个系统在其物理过程中，系统能量随时间损耗，那么该系统就称耗散系统.由于耗散系统更接近实际，所以一直是物理学的一个研究课题;特别是近年来，这方面的研究(经典和量子两个方面)日趋活跃，并显示出了广阔的前景行了修正，比较成功地解决了一些耗散系统的问题.

长期以来，人们对对电力系统的暂态稳定性进行了大量的研究。由于电力系统是电力系统是一个能量产生、传输和消耗的复杂系统，而广义哈密顿理论其以能量理论为基础，鲜明其能量平衡在整个系统的安全运行中起至关重要的作用，将能量函数作为函数进行控制设计是很自然的。广义哈密顿控制系统不但为电力系统提供了合适的数学描述同时提供了一个新的控制途径。近年来哈密顿函数方法在电力系统分析和控制中受到越来越多的应用.该方法能充分利用系统内在的结构性质而且其结构简单，易于实现.所以耗散函数的哈密顿原理及其应用在电力系统分析和控制领域具有广阔的前景，吸引着越来越多研究人员去研究探索。

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Hamilton's principle and application of dissipative

system

Yan Junjie

（Shaanxi Institute of Physics and Telecommunication Engineering Physics 1202 class, Hanzhong,

Shaanxi 723000）

Tutor：Wang Jianhua

[Abstract]:Hamilton's principle is not only the basis of analyzing the mechanics, but also has important applications in quantum physics. This paper by defining the dissipation function, this paper gives a dissipative system of Hamilton's principle. Then use a dissipative Hamiltonian principle is deduced with Lagrange equation of dissipation system. Finally, with the linear viscous damping effect analogy, the mechanical system of Lagrange's equation with dissipative system applied to the dissipation of the circuit system, the kirchhoff's law is given.

[Key words]:Dissipative system; The dissipation function; Hamilton's principle. The generalized dissipation force; Kirchhoff's law.