对于互相关函数的深度理解

相关函数的物理意义：

信号相似性的描述：

在很多的应用场合，经常要描述两个信号的相似性。比如在雷达的信号检测中，要比较所接收的信号是否就是发射信号的延时。有时候，甚至还要描述一个信号本身的相似性，比如在语音编码中，要通过语音信号本身的相似性，来预测下一时刻的信号值。

我们知道，在信号处理中，用相关函数来描述信号的相似性。描述两个信号之间的相似性用互相关函数；描述信号本身的相似性用自相关函数。我们要问的是，相关函数在何种意义上表征了信号的相似性？如何从直观上来理解？

理解:

假定我们要描述两个信号的相似性，最直观的办法就是将两个信号相减，计算其误差能量。如果误差能量为0，说明两个信号完全一致。误差能量越大，则说明两个信号越“不像”。这只是最简单的情况。复杂一些的情况是，如果两个信号形状一致，但幅度大小不同，比如说两个同频的单频正弦信号，一个幅度为2，一个幅度为1，我们知道这两个信号也是非常之像的，但用上面这种办法就行不通了。假定第一个信号为s1(n),第二个信号为s2(n)，那么很明显，我们希望构造如下的误差信号：

v(n)=s1(n)-A*s2(n)

这时直观上表征这两个信号“像不像”的指标是这个误差信号的能量最小。也即是：

Ev=∑v2(n)=∑[s1(n)-A*s2(n)]2

=∑s12(n)-2A*∑s1(n)* s2(n)+A2*∑s22(n)

=E1-2A*∑s1(n)* s2(n)+A2*E2

PS:设一个能量信号 S(t)的能量为，则此信号的能量由下式决定：

其中Ev表示误差能量，E1、E2分别表示s1和s2这两个信号的能量。为使上述误差能量最小，由简单的微积分知识，可知此时A的取值为：

A=∑s1(n)* s2(n)/E2

如果将两个信号的相关函数定义为：

C=∑s1(n)* s2(n)

此时的误差能量为：

Ev=E1-C2/E2

最理想的情况是误差能量为0，此时相关函数C2=E1*E2。也就是说，当两个信号的相关函数的值为这两个信号的几何平均值时，这两个信号是完全一致的。相关函数越大，则误差能量越小，即两个信号越相似。也就是说，信号的相似性可以完全由信号的相关函数来描述。

在实际情况中，两个一样的信号，可能相互有延迟，这两个信号也是很像的，这同样可以很好地反映在相关函数中，此处就不再多说。

能量最小原理:

能量最小原理：一个系统总是要调整自己，使系统的总能量达到最低，使自己处于稳定的平衡状态（宏观世界与微观世界都适用）。

物理和自然界定律:

1.能量越低，物体所处的状态越稳定。势能越小，状态越稳定。

2.通常情况下，我们用E来表示能量，因此求解时也是在算所构造的能量结构的E的最小化，最小化问题就转化为了求梯度的问题，求梯度的问题等同于求导，导数为0。当然很多情况下，我们取不到我们需要的导数为0的点，为此我们就需要对能量最小有一个大体判断，避免陷入死循环。