考研数学三公式大全

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

a

x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)cot (11

)(arctan 11

)(arccos 11

)(arcsin x x arc x x x x x x +-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x xdx x C

x dx x x C

x xdx x dx C x xdx x dx x

x

)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222

22

22

2C

a x x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

a x a dx C

x x xdx C x x xdx C

x xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

x a x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n arcsin 22ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

2222222

22

2

22

2

ππ

三角函数的有理式积分： …

2

22212211cos 12sin u du

dx x tg u u u x u u x +=

=+-=+=，　，　，　

A.积化和差公式：

[]

)sin()sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(2

1

sin cos βαβαβα--+=

[])cos()cos(21

cos cos βαβαβα-++=

()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2

1sin sin B.和差化积公式：

①2cos

2sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ ②2

sin

2cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=-

③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin

2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=- 1.正弦定理：A a

sin =B b sin =C

c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）

2..余弦定理：a

2

=b

2

+c

2

-2bc A cos b

2

=a

2

+c

2

-2ac B cos c

2

=a

2

+b

2

-2ab C cos

bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

：

⊿

=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =2

1

ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C

sin

=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C

B

A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---

】

(其中)

(

2

1

c

b

a

p+

+

=, r为三角形内

) 4.诱导公试

α的同名三角函数值，前

α看作锐角时，原三角函数

函数名不变，符号看象限

！

5.和差角公式

①

β

α

β

α

β

αsin

cos

cos

sin

)

sin(±

=

±

②β

α

β

α

β

αsin

sin

cos

cos

)

cos(

=

±

③

β

α

β

α

β

α

tg

tg

tg

tg

tg

?

±

=

±

1

)

(④)

1

)(

(β

α

β

α

β

αtg

tg

tg

tg

tg?

±

=

±

6.二倍角公式：(含万能公式)

①

θ

θ

θ

θ

θ

2

1

2

cos

sin

2

2

sin

tg

tg

+

=

=

￥

②

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

2

2

2

2

2

2

1

1

sin

2

1

1

cos

2

sin

cos

2

cos

tg

tg

+

-

=

-

=

-

=

-

=

③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2

θθ+=

7.半角公式：（符号的选择由2

θ

所在的象限确定）

①2cos 12

sin

θθ

-±= ②2cos 12sin 2θ

θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12

cos 2

θθ

+=

⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2

cos 2cos 12θθ=+ ⑦2

sin

2

cos )2

sin 2

(cos sin 12θ

θθθθ±=±=±

⑧θ

θ

θθθθθ

sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

-=+=+-±

=tg

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

。

)

()

()()2()1()(0

)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(n k k n n n n n

k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+

'+==---=-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=

---'=-)(F )

()

()()()()())(()()(ξξξ

多元函数微分法及应用

z

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??===???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：

　

时，

，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

多元函数的极值及其求法：

????

???

??=-<-???><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

，

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n

n n q q q q q n n 1

312112

)1(3211111

2

+++++=

++++--=

++++- 级数审敛法：

散。

存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞

→+∞→∞

→+++=??

?

??=><=??

?

??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ

。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和

如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n

n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ

级数： 收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；

肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n

n n n

?

函数展开成幂级数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ

幂级数：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n

n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρ

一些函数展开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin )11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x

x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m "

欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix

ix ix

ix ix

e e x e e x x i x e 或 微

分

方

程

的

相

关

概

念

即得齐次方程通解。

，

代替分离变量，积分后将)(，)(，，则设的函数，解法：

，即写成),(),(程可以写成

齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

)()( 得：)()(的形式，解法：

)()(为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程0

),(),(　或　),(一阶微分方程：u x

y

u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x

y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+=

===+='????? 一阶线性微分方程：

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?=≠?

===+?--n y x Q y x P dx

dy

e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

dy

n dx

x P dx x P dx

x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u

y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(

#

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，

0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy

x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

2

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

线性代数公式大全——最新修订

(

1、行列式

1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

4. 设n 行列式D ：

<

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2

1(1)

n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2

2(1)n n D D -=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -? -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； {

④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -? -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A

B C

B O B

==、

(1)m n C

A O

A A

B B O

B C

==-

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n

n

k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

7. 证明0A =的方法：

①、A A =-；

②、反证法； (

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A 是n 阶可逆矩阵：

?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵）

[

?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价；

?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；

?A 的行（列）向量组是n R 的一组基；

]

?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；

3.

1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***

111()()()T T T

AB B A AB B A AB B A ---===

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

若12

s A A A A ?? ?

?= ? ??

?

，则： Ⅰ、12s A A A A =；

，

Ⅱ、1111

2

1s A A A A ----?? ?

?= ? ? ??

?

； ②、1

11A O A O O B O B ---??

??

=

? ?????

；（主对角分块） ③、1

11

O A O B B O A

O ---??

??= ? ?????

；（副对角分块） ④、1

1111A C A A CB O B O

B -----??

-??=

? ?????

；（拉普拉斯） ⑤、1

111

1A O A O C B B CA

B -----??

??

= ? ?-????

；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r

m n

E

O F O

O ???

= ???； ~

等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、 若(,)(,)r

A E E X ，则A 可逆，且1X A -=；

/

②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c

A B E A B - ~ ；

③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r

A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、12

n ??

?

?Λ= ? ??

?

λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i

λ乘A 的各列元素；

③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1

111111-???? ? ?

= ? ? ? ?????

；

④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且1

1(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -????

?

?

?=≠ ? ? ? ???

?

?

； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：1

11

11(0)11k k k --???? ? ?

=≠ ? ? ? ?????

；

5.

^

6.

矩阵秩的基本性质：

①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤；

②、()()T r A r A =； ③、若A

B ，则()()r A r B =；

④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）

⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※） "

⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、()()r A r B n +≤

⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；

7. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如101001a c b ??

?

? ???

的矩阵：利用二项展开式；

二项展开式：0111

1110

()n

n

n

n m n m

m

n n n n

m m n m

n

n

n

n

n

n m a b C a C a b C a

b C

a b

C b C a b -----=+=++++

++=∑； *

注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；

Ⅱ、0(1)(1)!

1123!()!

--+==

==-m n n n n n n n m n C C C m m n m

Ⅲ、组合的性质：111

10

2---+-===+==∑n

m

n m m

m m r n

r r n

n

n n n

n

n n r C C C

C C

C

rC nC ；

③、利用特征值和相似对角化： 8. 伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：*()()1

()10()1

n

r A n r A r A n r A n = ??

==-??<-?

； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)A

A

AX X A A A A X X λλ

λ

- == ? =

；

③、*1A A A -=、1

*n A A -=

9.

*

10.

关于A 矩阵秩的描述：

①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；

11. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则：

①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；

②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 12. 线性方程组Ax b =的求解：

]

①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

13. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：

①、1111221121122222

1122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ??+++= ????+++=?；

②、111211121

22

22212

n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ?????? ??? ? ??? ?

=?= ??? ?

??? ???????

（向量方程，A 为m n ?矩阵，m 个方程，n 个未知数）

③、()1212

n n x x a a a x β?? ? ?= ? ???（全部按列分块，其中12n b b b β?? ? ?= ? ???

）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）

%

⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.

m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,

,m ααα构成n m ?矩阵12(,,,)m A =ααα；

m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,

,T T

T

m

βββ构成m n ?矩阵12T T T m B βββ??

? ?= ? ? ???

； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ?=有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解；（线性方程组） 】

③、向量组的相互线性表示

AX B ?=是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)

4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)

5.

n 维向量线性相关的几何意义：

①、α线性相关

?0α=； ②、,αβ线性相关 ?,αβ坐标成比例或共线（平行）；

③、,,αβγ线性相关 ?,,αβγ共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

>

若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；

若12,,,s ααα线性无关，则121,,

,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：

若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；

向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示

.

AX B ?=有解；

()(,)r A r A B ?=（85P 定理2）

向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==（85P 定理2推论）

8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12

l A P P P =；

①、矩阵行等价：~r

A B PA B ?=（左乘，P 可逆）0Ax ?=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c

A B AQ B ?=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ?=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ?与l n B ?：

·

①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；

②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ???=，则：

①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；

②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

.

①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解；

②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解；

12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ?可由向量组12:,,,n s s A a a a ?线性表示为：（110P 题19结论）

1212(,,

,)(,,

,)r s b b b a a a K =（B AK =）

其中K 为s r ?，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ?=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关

性）

（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）

注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵m n A ?，存在n m Q ?，m AQ E = ()r A m ?=、Q 的列向量线性无关；（87P ）

)

②、对矩阵m n A ?，存在n m P ?，n PA E = ()r A n ?=、P 的行向量线性无关；

14. 12,,,s ααα线性相关

?存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）

?1212(,,

,)0s s x x

x ααα?? ? ?= ? ???

有非零解，即0Ax =有非零解；

?12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；

16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111

P 题33结论）

】

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵T A A E ?=或1T A A -=（定义），性质：

①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,

)0

T i j i j a a i j n i j

=?==?

≠?；

②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a

11b a =；

]

1222111[,]

[,]

b a b a b b b =-

121121112211[,][,]

[,]

[,][,]

[,]

r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=-

---

;

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ?A 经过初等变换得到B ；

?=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()?=r A r B ，A 、B 同型；

、

②、A 与B 合同 ?=T C AC B ，其中可逆； ?T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-?=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C 为正交矩阵，则T C AC B =?A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：

A ?的正惯性指数为n ； `

A ?与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ?的所有特征值均为正数； A ?的各阶顺序主子式均大于0；

0,0ii a A ?>>；(必要条件)

考研概率论公式汇总

1．随机事件及其概率

吸收律：A

AB A A

A A =?=??Ω

=Ω?)( A

B A A A A

A =???

=??=Ω?)(

/

)(AB A B A B A -==-

反演律：B A B A =? B A AB ?=

n

i i n i i A A 1

1

===

n

i i n

i i

A A

1

1

===

2．概率的定义及其计算

)(1)(A P A P -=若B A ? )()()(A P B P A B P -=-?

对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有

)()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤?

)()

1()()

()()(211

111

1

n n n

n

k j i k

j

i

n

j i j

i

n

i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++

-

=∑∑∑

`

3．条件概率

()=A B P

)

()

(A P AB P 乘法公式 ())

0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()()

)

0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P

全概率公式 ∑==n

i i AB P A P 1

)()( )()(1

i n

i i B A P B P ?=∑=

Bayes 公式)(A B P k )

()

(A P AB P k =

∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1

)

()()()( &

4．随机变量及其分布

分布函数计算)

()()

()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<

5．离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k

(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k

n k k n ,,1,0,)1()( =-==-

* Possion 定理0lim >=∞

→λn n np 有

,2,1,0!)

1(lim ==---∞

→k k e

p p C k

k

n n k n

k n n λλ

(3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!

)(===-k k e k X P k

λλ

、

6．连续型随机变量

(1) 均匀分布 ),(b a U

?????<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ???????--=1,,

0)(a b a

x x F

(2) 指数分布 )(λE

?????>=-其他,

00,)(x e x f x λλ ???≥-<=-0,10,0)(x e x x F x

λ

(3) 正态分布 N ( ,

2 )

+∞<<∞-=

--

x e x f x 2

22)(21

)(σμσ

π ?

∞

---

=

x

t t e

x F d 21)(2

22)(σμσ

π

*N (0,1) — 标准正态分布

+∞<<∞-=-x e

x x 2

221

)(π

? +∞<<∞-=

Φ?

∞

--

x t e

x x

t d 21

)(2

2π

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ?

?

∞-∞

-=x y

dvdu v u f y x F ),(),(

边缘分布函数与边缘密度函数

??

∞-+∞

∞-=x

X dvdu v u f x F ),()( ?+∞

∞

-=dv v x f x f X ),()(

?

?

∞-+∞

∞

-=y

Y dudv v u f y F ),()( ?

+∞

∞

-=du y u f y f Y ),()(

8. 连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

?????∈=其他,

0),(,1

),(G

y x A y x f

(2)二维正态分布

+∞

<<-∞+∞<<∞-?-=

???

?

????-+------

y x e

y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21

2

21σμσσμμρσμρρ

σπσ

9. 二维随机变量的 条件分布

)()

()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0

)()

()(>=y f y x f y f Y Y X Y ?

?

+∞

∞

-+∞∞

-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ?

?+∞

∞

-+∞∞

-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()(

)(y x f Y X )(),(y f y x f Y =

)

()()(y f x f x y f Y X X Y =

)(x

y f X Y )(),(x f y x f X =

)()()(x f y f y x f X Y Y X =

10.随机变量的数字特征

数学期望

∑+∞

==1)(k k k p x X E ?+∞

∞

-=dx x xf X E )()(

随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E

X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的 方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩

)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数

XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=???

?

??--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -=

方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(2

1

Y D X D Y X D --±±= 相关系数)

()()

,cov(Y D X D Y X XY =

ρ