(完整word版)中职数学-三角函数教案.docx
三角函数
一、任意角
1.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
B
α
A
O
⑵“正角”与“负角”“0 角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以 OA为始边的角α＝ 210°，β＝－ 150°，γ＝ 660°。
210 0660
-150 0
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。
2.“象限角”
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3.终边相同的角
所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S|k 360 ,k Z
二、弧度制
1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
说明：（ 1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
（ 2）角的弧度数的绝对值公式：l
为弧长， r为半径）（ l
r
2.角度制与弧度制的换算：
∵ 360 ＝2 rad∴180＝rad ∴1 ＝rad 0.01745rad
180
1rad 180
57.30 57 18'
3.两个公式
1）弧长公式：由公式：l r
l
比公式 l
n r
l r简单r180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
2）扇形面积公式S
1 lR其中l是扇形弧长，R 是圆的半径
2
4.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π /6π /4π /3π /22π /33π /45π /6π角度210°225°240°270°300°315°330°360°
7π /65π /44π /33π /25π /37π /411π
2π
弧度
/6
5.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
正角正实数
零角零
负角负实数
任意角的集合实数集 R
三、任意角三角函数的定义
1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（ x， y）
22
2y20
则 P 与原点的距离rxy x
(x, y)
r
（ 1）把比值y
叫做的正弦记作：sin
y r r
（ 2）把比值x
叫做的余弦记作：cos
x r
（ 3）把比值y
叫做的正切记作：
x
r
y
tan
x
上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变. 当角的终边在纵轴上时，即k( k Z) 时，终边上任意一点P 的横坐标 x 都为0，所以tan无意义；
2
它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。
三角函数值的定义域：
y
sin R
r
x
cos R
r
y
|k ,k Z
tan
x2
2.三角函数的符号
sin
为正全正
tan cos
为正为正
3.终边相同的角的同一三角函数值相等
例如 390°和－ 330°都与 30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值
相同，即
sin390 °＝ sin30 °cos390 °＝ cos30 °
sin （－ 330°）＝ sin30 °cos （－ 330°）＝ cos30 °
诱导公式一（其中k Z ）:用弧度制可写成
sin(k360 )sin sin(2k)sin
cos(k360 )cos cos(2k)cos
tan(k360 )tan tan(2k)tan
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～ 2π间角的三角函数值问题。
4.三角函数的集合表示：
y y
y
T y MP1
sin
1P
r
x x
x OM
cos
M A
1 x
r1－ 1O
y MP AT
AT
tan
OM OA－ 1
x
例 1.在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
(1) 120(2)640(3) 950 12'
例 2.写出终边在y 轴上的角的集合（用0 到 360 度的角表示）
例 3.用集合的形式表示象限角
第一象限的角表示为{ |k 360 < 第二象限的角表示为 第三象限的角表示为 第四象限的角表示为 巩固练习 1.下列命题中正确的是（） A.终边在 y 轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ· 360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同 2.与120°角终边相同的角是（） A.－ 600°＋k· 360°，ｋ∈Ｚ B.－ 120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ C.120 °＋（ 2k＋ 1）· 180°，ｋ∈Ｚ D.660 °＋ k· 360°，ｋ∈Ｚ 3.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是 4.角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第 ________象限角． 5.一个扇形 OAB的面积是1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，求∠AOB和弦AB的长 . 6.确定下列各式的符号 （ 1） sin100 °· cos240 °（2）sin5+tan5 四、三角函数 （一）三角函数的几何表示 1、有向线段：规定了方向（即规定了起点与终点）的线段称为有向线段。 有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线。 有向线段的数量：有向线段AB与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度加上 正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。记为AB 如图： AB＝ 3， BC＝ 2， CB＝－ 2 2、三角函数线的定义： y y y MP sin 1 r x x x OM cos 1 r y MP AT AT tan OM OA x 有向线段 MP、 OM、 AT 都称为三角函数线 （二）同角三角函数的关系 1. 公式：sin2cos21sin tan cos 2.采用定义证明： 1 x2y2r 2且 sin y , cos x sin 2cos21 r r 2 当k( k Z )时，sin y x y r y tan 2cos r r r x x （三）诱导公式 1、诱导公式一： sin(k360 )sin cos(k360 )cos tan(k360 )tan（其中 k Z ） 用弧度制可写成 sin(2k ) sin cos(2k )cos tan(2k ) tan（其中k Z ） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o― 360o之间角的正弦、 余弦、正切，其方法是先在0o― 360o内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。 2、诱导公式二： 用弧度制可表示如下： sin(180） -sin sin(） -sin cos(180） -cos cos(） -cos tan(180） tan tan(） tan 3、诱导公式三： sin( ）-sin cos( ）cos tan( ）tan 4、诱导公式四： 用弧度制可表示如下： sin(180） sin sin(） sin cos(180） -cos cos(） -cos tan(180） tan tan(） tan 5、诱导公式五： sin(360）-sin sin( 2）-sin cos(360） cos cos(2） cos tan(360） tan tan(2） tan 6、诱导公式六： sin （ 90） = cos cos（90） = sin . tan （ 90） = cot cot（90） = tan . sec （ 90） = csc csc（90） = sec 7、诱导公式七： sin （ 90+） = cos cos（ 90+） =sin . tan （ 90+） =cot cot（90+） =tan . sec （ 90+） =csc csc（90+） = sec 例 1.确定角α为何值时，下面的式子有意义。 （ 1） cos α tan α（ 2） 1 tan 例 2.已知 cos 8 ，求 sin、 tan的值。17 例 5.求下列各式的值：（1）sin（－4 ）；（2）cos（－60o）－sin（－210o）3 巩固练习 1.已知 sin α＋ cosα＝13 ，且 0＜α＜π，tan α的（）2 A.3 B.3 3 D.3 3 C. 3 2.cos cos 2 cos 3 cos 4 =。 5555 3.求下列三角函数： （ 1）sin 5 ；（ 2） cos 19 ；（ 3）sin(240 ) ；（4） cos( 1665 ) 46 五、三角函数的图象和性质 （一）三角函数的周期性 周期函数：一般地，于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定域内的每 一个，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做个函数 的周期。 明：①周期函数x 定域M，必有x+T M ②T往往是多的（如y=sinx 2,4, ? ,-2,-4, ?都是周期）周期T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；正弦函数、余弦 函数都是周期函数，2kπ (k ∈Z 且k≠0) 都是它的周期，最小正周期是2π 注：在本中，如果不加以明，周期都是指函数的最小正周期。 ③判断：（1）x 3时 sin( x 2 3 )sin x 则2 一定不是函数 y=sinx 的周期。3 （2）x时 sin(x 2 ) sin x 63 则2 一定是函数 y=sinx 的周期。3 （二）三角函数的性1.几何法作 第一步：列表。首先在位中画出正弦和余弦。在直角坐系的x 上任取一点O1，以 O1心作位，从个与x 的交点 A起把分成几等份，上的各分点 作 x 的垂，可以得到于角0,， 3， , ?， 2π的正弦及余弦（等价于描 62 点法中的列表）。 第二步：描点。我把x 上从 0 到 2π 一段分成几等份，把角x 的正弦向右平行移，使得正弦的起点与x 上相的点 x 重合，正弦的点就是正弦函数象上的 点。 第三步：。用光滑曲把些正弦的点起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0 ， 2π ] 的象。 1 y -6-5-4-3-2--1023456x f x= sin x 将 y=sinx的象向左平移即得 y=cosx 的象 2 1 y -6-5-4-3-2--1023456x f x= cos x 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的（描点法） （1）正弦函数y=sinx ， x∈ [0 ， 2π ] 的图象中，五个关键点是： (0,0)(,1)(,0)(3 (2,0) ,-1) 22 （2）余弦函数 y=cosx x[0,2] 的图象中，五个关键点是： (0,1)(,0)(,-1)(3 (2,1) ,0) 22 3.正弦函数的性质 （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 分别记作： y ＝sin x ，∈ R＝ cos x ，∈ R x y x （2）值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1， 1］。 其中正弦函数y=sin x, x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1。 2 ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1。 2 而余弦函数y＝cos x， x∈R ①当且仅当x＝2kπ， k∈Z时，取得最大值1。 ②当且仅当x＝(2 k＋1)π， k∈Z时，取得最小值－1。 （3）周期性 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ( k∈ Z 且k≠0) 都是它的周期，最小正周期是 2π。 函数 y A sin(x), x R 及函数 y A cos( x), x R （其中 A，为常数，且 A0,0 ）的周期 T 2 （4）奇偶性 y＝sin x 为奇函数， y＝cos x 为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y 轴对称 （5）单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1 22 增大到 1；在每一个闭区间［＋2kπ，3 ＋2kπ］(k∈ Z)上都是减函数，其值从 1 减小 22 到－ 1。 余弦函数在每一个闭区间［(2 k－ 1) π， 2kπ］ ( k∈Z) 上都是增函数，其值从－ 1 增加到 1；在每一个闭区间［2kπ， (2 k＋ 1) π］ ( k∈Z) 上都是减函数，其值从 1 减小到－ 1。 例1、若钟摆的高度 h(mm)与时间 t(s) 之间的函数关系如图所示 (1)求该函数的周期； （2）求 t ＝ 10s 时钟摆的高度。 h /mm t /s 例 2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： (1) sin x 1 2 (2) cosx 1 2 例 3、求下列函数的定义域： (1) y＝ 1 y＝cos x (2) 1sin x 巩固练习 1. 函数y＝ 2－ sin x，x∈［ 0，π］的最大值为（） A. 0 B.－1 C. 2 D. 3 2 242 2.直接写出下列函数的定义域、值域： y ＝ 1 ＝2 cos x y 1sin x 3.函数 y＝ ksinx ＋ b 的最大值为 2，最小值为－ 4，求 k， b 的值。 4. 求y cos( x ) 的单调递增区间。 3 2 5.求函数y＝－cosx的单调区间。 六、正切函数的图象和性质 1.正切函数图象的作法 在,的区间作出它的图象 22 y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线” 2 正切函数的性质： 1.定义域： x | x k , k z 2 2.值域： R 3.当 xk , k k z 时 y0 ，当 x k, k k z 时 y 0 22 4.周期性： T 5. 奇偶性：tan x tan x 奇函数 6. 单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增 22 七、函数 y=Asin （ω x+φ）（A>0 且 A 1，ω >0）的图象 （一）函数图象的三种变换 1.振幅变换 y=Asinx ，x R（ A>0 且 A 1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的 A 倍而得到。 A 称为振幅（物体振动时离开平衡位置的最大距离）。 2.周期变换 :函数 y=sin ω x，x R（ω >0 且ω 1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横 坐标变到原来的1 倍（纵坐标不变）。ω决定了函数的周期。 3.相位变换 : 函数 y＝ sin（ x＋），x∈ R（其中≠ 0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当＞ 0 时）或向右（当＜0时）平行移动｜｜个单位长度而得到。 13 与 tan 17 的大小 例 1. 比较tan 5 4 例 2. 求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 3 巩固练习 1. 判断正误 ① y ＝ Asin ω x 的最大值是 A ，最小值是－ A ② y ＝ Asin ω x 的周期是 2 ③ y ＝ -3sin4x 的振幅是 3，最大值为 3，最小值是 -3 2. 函数 y ＝ tan （ ax ＋ ）（ a ≠ 0）的最小正周期为（ ） 6 A. 2 B. 2 C. D. a | a | | a | a 3. 已知函数 y ＝ Asin （ω x ＋ ）（ A ＞0，ω＞ 0， 0＜ ＜ 2π＝图象的一个最高点是（ 2， 3 ），由这个最高点到相邻最低点的图象与 x 轴交于点（ 6， 0），试求函数的解析式。 4. 如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin （ω x+ φ） +B 。 （ 1）求这段时间的最大温差； （ 2）写出这段曲线的函数解析式。 设向量 a OP1(cos，sin) b OP (cos ， ) 2sin 所以a b | a || b | cos()cos() 又 a b cos cos sin sin 所以 cos()cos cos sin sin 以代得： cos()cos cos sin sin 两角和与差的余弦公式: cos() cos cos sin sin cos() cos cos sin sin 九、两角和与差的正弦 sin( + ) ＝ cos[( +)] ＝ cos[() ] 22 ＝ cos()cos+sin()sin 22 ＝ sin cos+cos sin 即： sin() sin cos cos sin S（+ ） 以代得： sin() sin cos cos sin S（） 两角和与差的正弦公式 sin() sin cos cos sin sin() sin cos cos sin tan( + ) 公式的推导∵cos ( + ) 0 tan(+ ) ＝sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin 当 cos cos0 时 ,分子分母同时除以cos cos 得： tan()tan tan 1 tan tan 以代得： tan( tantan ) tan tan 1 其中R,R,,,都不等于 k,k Z 2 两角和与差的正切公式 tan( tan tan tan( tan tan ) tan ) tan 1 tan 1 tan 小结：两角和与差的正、余弦、正切公式 cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin tan( tan tan tan( tan tan ) tan tan ) tan tan 11 例 1.计算① cos105② cos15③ cos 3 sin 3 cos sin 510510 例 2.已知 sin(+ ) ＝2 ,sin() ＝ 2 求 tan的值35tan 巩固练习 1. 已知，求函数5 x 0,y cos(x) cos(x 21212 2.求 2 cos10 sin 20的值 cos 20 十一、二倍角公式的推导 在公式 (S) ， (C) ， (T) 中，当时，得到相应的一组公式：sin 22sin cos ；(S2) cos2cos2sin 2； (C 2 ) tan 2 2 tan ；(T2 ) 1 tan2 因为 sin 2 cos 2 1，所以公式 (C 2 ) 可以变形为 cos2 2 cos 2 1或 cos 2 1 2 sin 2 (C 2 ) 公式 (S 2 ) ， (C 2 ) ， (C 2 ) ， (T 2 ) 统称为二倍角的三角函数公式，简称为 二倍角公式 。 二倍角公式 sin 2 2sin cos cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 tan 2 2 tan 1 tan 2 注意： （ 1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 （ 2）二倍角公式为仅限于 2 是 的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。 （ 3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。 （ 4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次） （ 5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： cos 21 cos2 , sin 21 cos2 这两个形式今后常用。 2 2 几个三角恒等式 1、积化和差公式的推导 sin( + ) + sin( ) ＝ 2sin cos sin cos 1 [sin( + ) + sin( )] ＝ 2 sin( + ) sin( ) ＝ 2cos sin cos sin 1 [sin( + ) sin( )] ＝ 2 1 cos( + ) + cos( ) ＝ 2cos cos cos cos ＝ + ) + cos( )] [cos( 2 cos( + ) cos( ) ＝ 2sin sin sin sin ＝ 1 + ) cos( )] [cos( 2 任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos = a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 A B α O ⑵“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 2100 -1500 6600 。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫 做零角。记法：角α或α∠ 可以简记成α。 2. “象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合。 {} Z k k S ∈?+==,360| αββ 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． * 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α 的弧度数的绝对值公式：l r α= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360 ＝2 rad ∴180＝ rad ∴ 1 ＝ rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 3. 两个公式 1）弧长公式：α?=r l 】 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° ! 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 > π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 } π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° ? 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 ( 5π/3 7π/4 11π /6 2π 5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210 °，β＝－150 °，γ＝660°。 2. “象限角” 限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S | k 360 ,k Z 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值公式：l（l 为弧长，r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： 三角函数 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 210 0 210 -150 0 660 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象 ∴ 1 ＝rad0.01745rad 180 1rad 18057.305718' 3. 两个公式 1）弧长公 式： l r 由公式：l l r比公式l nr 简 r180 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 1 2）扇形面积公式S lR 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 2 角度 0°30°45°60°90°120°135°150°180° 弧度 π/6π /4π/3π/22π/33π/45π/6π 角度 210°225°240°270°300°315°330°360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π /6 2π 5. 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 、任意角三角函数的定义 1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y） 360 ＝2 rad ∴180 ＝rad 任意角的集合实数集R 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 三角函数 一、任意角 1、角得概念得推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“０角” 我们把按逆时针方向旋转所形成得角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成得角叫做负角, 2、“象限角” 角得顶点合于坐标原点,角得始边合于轴得正半轴，这样一来,角得终边落在第几象限,我们就说这个角就是第几象限得角(角得终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限) ３、终边相同得角 所有与α终边相同得角连同α在内可以构成一个集合。 二、弧度制 1、定义:长度等于半径长得弧所对得圆心角称为1弧度得角它得单位就是ｒad，读做弧度,这种用“弧度”做单位来度量角得制度叫做弧度制． 说明：(1）正角得弧度数就是正数,负角得弧度数就是负数,零角得弧度数就是0 (２)角得弧度数得绝对值公式: （l 为弧长, r为半径) 2、角度制与弧度制得换算: ∵3６0?＝2πｒaｄ∴180?=πｒaｄ ∴1?＝ 3、两个公式 1)弧长公式： 由公式：比公式简单 弧长等于弧所对得圆心角(得弧度数)得绝对值与半径得积 2）扇形面积公式其中就是扇形弧长,就是圆得半径 ４、一些特殊角得度数与弧度数得对应值应该记住： 5、应确立如下得概念：角得概念推广之后,无论用角度制还就是弧度制都能在角得集合与实数得集合之间建立一种一一对应得关系 任意角得集合实数集R 三、任意角三角函数得定义 1、设就是一个任意角,在得终边上任取（异于原点得)一点P(x,y) 则Ｐ与原点得距离 (1)把比值叫做得正弦记作： (２)把比值叫做得余弦记作： （3）把比值叫做得正切记作: 上述三个比值都不会随P点在得终边上得位置得改变而改变、当角得终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点P得横坐标x都为0,所以tan无意义; 高一数学三角函数公式大全 sinα=∠α的对边/斜边 cosα=∠α的邻边/斜边 tanα=∠α的对边/∠α的邻边 cotα=∠α的邻边/∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA2) (注：SinA2是sinA的平方sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina 三角函数辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A2+B2)’(1/2) cost=A/(A2+B2)’(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三角函数推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1- 2sin2a)sina=3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2- sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°- a)/2]cos[(60°-a)/2]=4s inasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a- (√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{- 2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=- 4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 初中数学 三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3 4 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 :i h l =h l α 三角函数 、任意角 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。 2.“象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3.终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S =| =+k360,k Z 二、弧度制 1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角王奎新新屯疆敞它的单位是 rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0王新奎新疆屯敞 （2）角的弧度数的绝对值公式： = l（l 为弧长， r 为半径） ∵ 360 ＝ 2 rad ∴ 180 ＝rad r 2.角度制与弧度制的换算： ∴ 1 ＝ rad 0.01745rad 180 3. 两个公式 1）弧长公式： l = r 由公式： = l l =r 比公式l = n r 简单 r 180 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 S = 1lR 其中l 是扇形弧长， R 是圆的半径 2 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 王奎新新屯疆敞 三、任意角三角函数的定义 1. 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P （x ，y ） 1rad = 57.30 = 5718' 任意角的集合 实数集 R 人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0 5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 【教学目标】 1、掌握任意角的三角函数的定义. 2、理解终边相同的角的三角函数值相等. 【教学重点】 任意角的三角函数的定义. 【教学难点】 任意角的三角函数的定义及其运算. 【教学过程】 (一) 复习提问 1.角的概念。 2.终边相同的角。（??+=360k αβ)(Z k ∈） 3.锐角三角函数的定义： AB BC A ==斜边对边sin ， AB AC A ==斜边邻边cos ， AC BC A == 邻边对边tan . （二）讲授新课 1.任意角的三角函数的定义 问题（1）：如何将上述的三角形放入直角坐标系中？ 学生回答：将A ∠的顶点即点A 与坐标原点重合，将其始边AC 与坐标系中 轴的非负半轴重合. 问题（2）：原有的线段AC 、BC 、AB 将如何改写？ 要求并引导学生将这三个距离用坐标x 和 y 表示.此时可根据学生的情况采用分小组讨 论的方法进行。 学生根据现有的图形，将刚才的定义进行改写： x AC =，y BC =，r y x AB =+=22(勾股定理)。 把这三个式子带入原始的定义中去可以得到： sin y r α= , cos x r α= , tan y x α= 给学生两分钟时间记忆公式并由教师提问以加深记忆效果。 问题（3）：若角的终边落在其他象限，如何求呢？ 当角的终边在第二、第三、第四象限的时候，其三个三角函数值的计算公式与上述的完全相同，但符号发生了变化： 第一象限：0>x ，0>y ，0>r ； 第二象限：0 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如： sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”. 三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 A B α O ⑵“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 2100 -1500 6600 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角α或α∠ 可以简记成α。 2. “象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。{ } Z k k S ∈?+==,360| αββ 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α 的弧度数的绝对值公式：l r α= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?＝2π rad ∴180?＝π rad ∴ 1?＝ rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 3. 两个公式 1）弧长公式：α?=r l 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 任意角的集合 实数集R 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 5.6三角函数的图像和性质 创设情景兴趣导入 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？ ． 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 类似这样的周期现象还有哪些？ 动脑思考探索新知 对于函数()y f x = ，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x += 成立，那么，函数 ()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ， 并且sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且2π， 4π，6π，及2π-，4π-，都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 构建问题探寻解决 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 动脑思考探索新知 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有 sin 1x …成立，函数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的),(b a x ∈都有 ()f x M …，那么函数)(x f y =叫做区间),(b a 内 的有界函数．如果这样的M 不存在，函数)(x f y =叫做区间),(b a 上的无界函数． 显然，正弦函数是R 内的有界函数．高中数学必修4三角函数教案
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