2019届河南省名校(鹤壁市高级中学)高三下学期压轴第三次考试数学(文)试题(解析版)

2019届河南省名校（鹤壁市高级中学）高三下学期压轴第三次

考试数学（文）试题

一、单选题

1．设,a b ∈R ，且2a i bi +=+，则b ai +等于（ ）

A ．1

B ．2

C D ．5

【答案】C

【解析】利用复数相等可得a ，b 的值，再利用复数模的计算公式计算即可. 【详解】

由复数相等，得2a =，1b =，则12b ai i +=+==故选：C. 【点睛】

本题考查复数的概念与复数模的计算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 2．已知全集U N =，集合{}

1A x x =<，2

1ln ,,B y y x x e e ??

??==∈???

?????

，则集合() U

A B =I

e（ ）

A ．{}2,1,1--

B ．{}1

C ．[]

2,1-- D ．[]{}2,11--U

【答案】B

【解析】先由已知求得集合A 、B ，进一步求得 U A e，再与B 求交集. 【详解】

由已知，{}

11A x x =-<<，*

U A N =e，{}21B y y =-≤≤，()

{} 1U A B =I e.

故选：B. 【点睛】

本题考查集合间的基本运算，涉及到函数的值域问题，是一道容易题.

3．在ABC ?中，若222cos cos 2sin A B C +>-，则ABC ?的形状是（ ）

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．无法判断

【答案】A

【解析】222cos cos 2sin A B C +>-?222sin sin sin A B C +<，利用正弦定理可得

222a b c +<，再利用余弦定理即可判断三角形形状.

【详解】

由222cos cos 2sin A B C +>-，得222sin sin sin A B C +<，由正弦定理，得222a b c +<，

所以222

cos 02a b c C ab

+-=<，故C 为钝角，所以ABC ?是钝角三角形.

故选：A. 【点睛】

本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，考查学生对定理的灵活运用，是一道容易题. 4．小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式比较经济（ ） A ．第一种 B ．第二种 C ．两种一样 D ．无法判断

【答案】B

【解析】设此种商品的价格分别为()1212,t t t t ≠，第一种方案每次购买这种物品数量为

0x >；第二种方案每次购买这种物品的钱数为0y >．则第一种方案的平均价格为

122t x t x

x +；第二种方案的平均价格为1

2

2y

y y t t

+，利用基本不等式的性质即可得到答案.

【详解】

设两次购买的单价分别为()1212,t t t t ≠，方案一平均单价为

122t x t x x +=12

2

t t +， 方案二平均单价为1

2

2y

y

y

t t =

+

12

211t t +，

由均值不等式得12121212121212

22

1122t t t t t t t t t t t t +>=>=

++()12t t ≠.

故第二种购物方式比较经济. 故选：B. 【点睛】

本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5．ABC ?中，AB 边上的中线为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r

，1CD a ==u u u r r ，2AB =u u u r ，

则AD BC ?=u u u r u u u r （ ） A ．1

2

-

B ．

12

C ．3

D 3【答案】A

【解析】由已知可得||3CA =u u r ，||1AD =u u u r ，30CAB ∠=o ，将AD BC ?u u u r u u u r

改写成()

AD BC AD AC AB AD AC AD AB ?=?-=?-?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，再利用数量积的定义计算即可.

【详解】

∵12

CD AB =u u u r u u u r ，∴ABC ?为直角三角形，∵CD DB CB ==u u u r u u u r u u u r ，

∴60CBA ∠=o

，||3CA =u u r ，||1AD =u u u r ，30CAB ∠=o ，

∴()

113cos30122

AD BC AD AC AB AD AC AD AB ?=?-=?-?=-?=-o

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .

故选：A. 【点睛】

本题考查利用定义求向量的数量积，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

6．已知正方体1111ABCD A B C D -，M 是线段1AD 上的一个动点，过点M 作平面//α平面1BDC ，点C 到平面α和平面1BDC 的距离分别是12,d d ，则1

2

d d =（ ） A ．

12

B ．

13

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】平面α即平面11AB D ，又易知体对角线1A C 垂直于平面11AB D 和平面1BDC ，且

体对角线1A C 与两个平面的交点把1A C 三等分. 【详解】

由已知，BD ∥11B D ，11B D ?平面1BDC ，BD ?平面1BDC ，故11B D ∥平面1BDC ， 同理由1AB ∥1DC 可得1AB ∥平面1BDC ，又1AB I 111B D B =，

所以平面11AB D ∥平面1BDC ，故平面α即平面11AB D ，又11AD A D ⊥，1AD CD ⊥，

1A D CD D =I ，所以1AD ⊥平面1A CD ，所以11AD AC ⊥，同理可证得11

1B D AC ⊥ 又1111AD B D D ?=，所以体对角线1A C 垂直于平面11AB D ，同理也垂直于平面1BDC ， 且体对角线1A C 与两个平面的交点把1A C 三等分，所以122d d =. 故选：C. 【点睛】

本题考查面面平行及线面垂直判定的应用，考查学生逻辑推理及空间想象能力，是一道中档题.

7．已知变量,x y 满足240

2400x y x y x +-≥??

+-≤??≥?

，则24x y --的最小值为（ ）

A 85

B ．8

C 165

D ．

163

【答案】D

【解析】2

2

2424512

x y x y ----=+，2

2

2412

x y --+表示点(,)x y 到直线240

x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】

因为2

2

2424512

x y x y ----=+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线

240x y --=5

点44

(,)33

A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时22

442433

3512d -?-==+， 所以24x y --16

53

d =. 故选：D. 【点睛】

本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.

8．设函数()(()221

ln 1211

x x a f x ax a x ax a a -=+++++>+，则不等式

()()224f x f x +->的解集为（ ）

A ．()1,2-

B ．()2,1-

C ．()(),12,-∞-+∞U

D ．()(),21,-∞-?+∞

【答案】D

【解析】易知()()4f x f x +-=，()()220f x f x -+--=，故()()2g x f x =-是奇函数，原不等式转化为2

()(2)g x g x >-，再利用()g x 的单调性即可解决.

【详解】

由()(()221

ln 1211

x x a f x ax a x ax a a -=+++++>+，得()()4f x f x +-=，

则()()2g x f x =-是奇函数，故()()()()2

2

24222f x

f x f x f x +->?->--

((2)2)f x =---，所以2

()(2)(2)g x g x g x >--=-，又12

1(1)11

x x x a y a a a -==->++

是增函数，(22

ln 1y ax a x =++也是增函数，由增函数+增函数=增函数，知()f x 是增

函数，所以()g x 是增函数，故()()2

2

220g x g x x

x >-?+->，解得2x <-或1x >，

所以不等式()()2

24f x f x +->的解集为()(),21,-∞-?+∞.

故选：D. 【点睛】

本题考查利用函数的基本性质解不等式，涉及到奇偶性、单调性，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 9．已知数列2233331131357135

1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n

，则该数列第2019项是（ ）

A ．

10

1989

2 B ．1020192 C ．1119892

D ．1120192

【答案】C

【解析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????

? ??? ?????????

项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号

里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????

? ??? ?????????

，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，

故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11

21

2

m -， 所以第12个括号里的第995项是11

1989

2. 故选：C. 【点睛】

本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.

10．将函数()2

2

4

4

sin cos sin cos f x x x x x =?++的图象向右平移

6

π

个单位长度，向下平

移

58个单位长度后，得到()h x 的图象，如果对于区间,127ππ??

????

上任意的实数x ，都有()12

7

h h x h ωπωπ

ω????

≤≤ ? ?????

，则正数ω的最大值为（ ） A ．1

B ．

76

C ．

143

D ．5

【答案】B

【解析】易得()11cos 4864h x x π??=

-+ ???，()11cos 4864h x x πωω?

?=-+ ???，原问题转化

为函数()h x ω在区间,127ππ???

???上单调递增，再求出()h x ω的所有单调增区间，让,127ππ??

????

处在所有增区间中的某一子区间内即可. 【详解】 依题意

()()

2

22442222sin cos sin cos sin cos sin cos f x x x x x x x

x x =?++=+-?

2117

1sin 2cos 4488

x x =-=+

向右平移

6π

个单位长度，向下平移58个单位长度得到()11cos 4864h x x π??=-+ ??

?， 故()11cos 4864h x x πωω??=-+ ?

??，如果对于区间,127ππ??????上任意的实数x ，都有 ()12

7

h h x h ωπ

ωπω????≤≤ ? ?????，则函数()h x ω在区间,127ππ??

???

?上单调递增， 而函数()h x ω的单调递增区间满足：22423

k x k π

ππωπ-≤-≤，k Z ∈， ∴函数()h x ω的单调递增区间是,21226k k ππππω

ωωω??-+?

???，k Z ∈， ∴,,12721226k k ππππππωωωω?????-+????????，k Z ∈，∴12212726k k π

ππωωπππω

ω?≥-????≤+??，k Z ∈，

当0k =时，7

6

ω≤，当1k ≥且k Z ∈时，无解，∴706ω<≤.

故选：B. 【点睛】

本题考查三角型函数与三角恒等变换的综合应用，涉及到余弦型函数的单调性，考查学生的计算能力、逻辑推理能力，是一道中档题.

11．祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）

A ．297

B ．302

C ．307

D ．312

【答案】B

【解析】先求出正四面体的体积1V 与内切球的体积2V ，设落在球内的玻璃球数量为x ，由

几何概型的概率计算公式，得到21

1000V x

V =即可解决. 【详解】

由三视图知，该模型是一个棱长为502a = 正四面体体积222311332()34312

V a a a a =

?-=，

过球心及正四面体顶点作截面，如图所示，

易知BOD BEC ?~?，所以r BD EC BE =，即36222

r a a

=612

r a = 所以内切球体积243V π=

?3

6()a ， 设落在球内的玻璃球数量为x ，则211000V x

V =，即31000x = 近似计算得302x ≈. 故选：B. 【点睛】

本题考查几何概型的概率模型与三视图的综合应用，涉及到正四面体的体积与内切球的体积问题，是一道中档题.

12．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：①()()55f x f x =，②当[)1,5x ∈时，

()()()2

21,135,35

x x f x x x ?-≤

A ．3

B ．15

C ．31

D ．33

【答案】D

【解析】()()55f x f x =说明自变量变为原来的5倍时，函数值也变为原来的5倍，故易知()f x 在()0,1x ∈时，()4f x <，作出示意图，数形结合即可解决. 【详解】

由题意知，()f x 在[)1,5x ∈时，()[]

0,4f x ∈，且()f x 关于3x =对称，又()f x 在 ()0,1x ∈时，()4f x <，()f x 在[)5,25x ∈时，()[]0,20f x ∈，且()f x 关于15x =

对称，如图所示，

所以()4f x =的根13x =，23215x x +=?， 所以12333x x x ++=.

故选：D. 【点睛】

本题考查与函数的零点有关的问题，考查学生转化与化归、数形结合的思想，是一道中档题.

二、填空题

13．函数()3

2

f x x x x =++在点()()

1,1f 处的切线方程是______.

【答案】630x y --=

【解析】由导数的几何意义，知()1k f ='，利用点斜式即可写出方程，再化为一般式即可. 【详解】

∵()2

321f x x x '=++，∴()'

16f =，∴函数()3

2

f x x x x =++在点()()

1,1f 处的切线

方程是36(1)y x -=-，即630x y --=. 故答案为：630x y --=. 【点睛】

本题考查导数的几何意义，要注意过某点的切线与在某点处的切线的区别，是一道容易题. 14．已知过点()3,2P m +-和点()2,0Q 的直线1l 与直线2:20l mx y +-=平行，则

m =______.

【答案】2-

【解析】由已知，直线1l 的斜率必然存在，所以1m ≠-，再利用两直线平行，斜率相等，截距不等建立方程，解方程即可. 【详解】

由条件知，2l 的斜率存在，故320m +-≠，即1m ≠-，直线1l 的方程为2

(2)1

y x m -=-+，

由已知，

2

1

m m -=-+，解得1m =或2m =-，当1m =时，1:2l y x =-+，2:2l y x =-+，

1l ，2l 重合，不满足题意，当2m =-时，1:24l y x =-，2:22l y x =+，1l ，2l 平行，满

足

题意，所以2m =-. 故答案为：2m =-. 【点睛】

本题考查两直线的位置关系，考查学生分类讨论的思想，是一道基础题.

15．某人沿一条折线段组成的小路前进，从A 到B 的方向角是北偏东50?，距离是3km ；从B 到C 的方向角是南偏东70?，距离也是3km ；从C 到D 的方位角（正北方向顺时针旋转所成的角度）是140?，距离是33.则从A 到D 距离是______km .

【答案】9

【解析】作出示意图，在ABC ?中，利用余弦定理可得AC 33=33CD =120ACD ∠=o ，再利用余弦定理计算即可得到答案.

【详解】

连接AC ，在ABC ?中，5070120ABC ∠=+=o o o ，又3AB BC ==，由余弦定理可得 AC 33=ACD ?中，(

)3601407030

120ACD ∠=--+=o

o

o o

o

，3

3CD =

余弦定理得222cos1209AD AC CD AC CD +-??=o (km )，故从A 到D 距离等于9.

故答案为：9 【点睛】

本题考查余弦定理在实际问题中的应用，考查学生将实际问题转化为数学问题处理，是一道中档题.

16．已知双曲线()222

2:10,0x y C a b a b

-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为12,F F ，过原点的直线交双曲线于,A B 两点，点C 是双曲线上的点，则AC BC k k ?=______. 【答案】3

【解析】设点()11,A x y ，()11,B x y --，()22,C x y ，则22

122212

AC BC y y k k x x -?=-，又A 、C 在双曲线上，利用点差法即可得到答案. 【详解】

设点()11,A x y ，()11,B x y --，()22,C x y ，则22

122212

AC BC

y y k k x x -?=-， 又()22112210,0x y a b a b -=>>①，()22

22

2210,0x y a b a b

-=>>②， ①－②，得22

221222

21213AC BC y y b k k e x x a

-?===-=-. 所以3AC BC k k ?=.

故答案为：3 【点睛】

本题考查直线与双曲线位置关系的简单应用，涉及到点差法的知识，考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力，是一道中档题.

三、解答题

17．在等差数列{}n a 中，已知11a =，3a 是2a 与6a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，求数列

()

{}

1

1n n S +-的前n 项和n T .

【答案】（1）当0d =时，1n a =；当2d =-时，()

*

23n a n n N =-+∈；（2）当0d =时，

*1

,21,2(),2,2n n n k T k N n n k +?=-??=∈??-=??；当2d =-时，()()*11,21,2()1,2,2

n n n n k T k N n n n k ?--+=-??=∈?-?=?? 【解析】（1）由已知可得()()()2

11125a d a d a d +=++，结合11a =，解得0d =或2-，再利用等差数列通项公式计算即可； （2）注意分n 为奇数和偶数讨论. 【详解】

（1）由题意知：{}n a 为等差数列，设()11n a a n d +-=， ∵3a 是2a 与6a 的等比中项，∴()()()2

11125a d a d a d +=++， ∵11a =，解得：0d =或2-， 当0d =时，1n a =；

当2d =-时，(

)*

23n a n n N

=-+∈

（2）由题意知：()1

1234...1n n n T S S S S S +=-+-++-

由（1）知：当0d =，1n a =，n S n =

()1*1

,21,2

1234...1(),2,2

n n n n k T n k N n n k ++?=-??=-+-++-=∈??-=??；

当2d =-时，23n a n =-+，()2n S n n =- 当n 是偶数时，∵()()()()()1

11113223n

n n n S S n n n n n +--+-=----=-，

∴()()

1159 (232)

n n n T n -=++++-=

， 当n 是奇数时，()1112

n n n n n T T S --=+=-

+，

∴()()*11,21,2()1,2,2

n n n n k T k N n n n k ?--+=-??=∈?

-?=?? 综上：当0d =时，*1

,21,2

(),2,2

n n n k T k N n n k +?=-??=∈?

?-=??； 当2d =-时，()()*11,21,2()1,2,2

n n n n k T k N n n n k ?--+=-??=∈?

-?=?? 【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式以及并项求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.

18．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且有1AB =，

2AP =E 是线段PC 上一点，且AC 与PD 所成角的正弦值是

33

6

.

（1）求ABC ∠的大小；

（2）若EB 与平面PAB 所成的角的正弦值是

11137

，求PE PC 的值.

【答案】（1）60?；（2）

2

5

【解析】（1）记AC 与BD 相交于点O ，PB 的中点为F ，连结,OF AF ，OF 与AC 所成的角就是AC 与PD 所成的角，解OFA ?即可；

（2）取AB 的中点G ，易得CG ⊥平面PAB ，平面PCG ⊥平面PAB ，在平面PCG 内作

EH PG ⊥，则EH ⊥平面PAB ，故EB 与平面PAB 所成的角的正弦值EH

EB

=

，设PE

PC

λ=，再分别求出,EH EB 代入即可. 【详解】

（1）记AC 与BD 相交于点O ，PB 的中点为F ，连结,OF AF ，∴OF PD P ， ∴OF 与AC 所成的角就是AC 与PD 所成的角， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AB ⊥，PA AD ⊥， ∴3PB PD ==

∴13

22AF PB =

=

，1322OF PD ==， ∵AOF ?中，33

sin 6

AOF ∠=

， ∴3cos AOF ∠=（舍3，

∴1

2

OA =

，∴1AC =， 又ABCD 是菱形，∴60ABC ∠=o ；

（2）取AB 的中点G ，连结CG ，∵ABC ?为正三角形，∴CG AB ⊥，且3CG =， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ， ∴CG ⊥平面PAB ，∴平面PCG ⊥平面PAB ，交线为PG ， 在平面PCG 内作EH PG ⊥，则EH ⊥平面PAB ， ∴EB 与平面PAB 所成的角的正弦值EH

EB

=

， 设

PE PC λ=，则EH PE CG PC λ==，∴3

2

EH λ=，且3PC =，则3PE λ=， 在PBC ?中，5

cos 6

BPC ∠=， ∴2222cos 353EB PB PE PB PE BPC λλ+-??∠=-+

∴23

111237353

EH EB λλ==-+，解得25λ=（舍去65

-）， 所以若EB 与平面PAB 所成的角的正弦值是11137

2

5PE PC =. 【点睛】

本题考查利用定义法找线面角，涉及到面面垂直的判定定理、性质定理的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.

19．2019年“两会”报告指出，5G 在下半年会零星推出，2020年有望实现大范围使用。随着移动通信产业的发展，全球移动宽带（MobileBroad Band ，简称MBB ）用户数已达54亿，占比70%（MBB 用户比例简称MBB 渗透率），但在部分发展中国家该比例甚至低于20%。

MBB 基站覆盖率小

于80%

MBB 基站覆盖率大

于80% 总计

MBB 渗透率低于20%

MBB 渗透率高于20%

总计

（1）现对140个发展中国家进行调查，发现140个发展中国家中有25个国家MBB 基站覆盖率小于80%，其中MBB 渗透率低于20%的有15个国家，而MBB 基站覆盖率大于80%的国家中MBB 渗透率低于20%的有25个国家.由以上统计数据完成下面22?列联表，并判断是否有99%的把握认为MBB 渗透率与MBB 基站覆盖率有关；

（2）MBB 基站覆盖率小于80%，其中MBB 渗透率低于20%的国家中MBB 手机占居民人均收入比例和资费居民人均收入比例如茎叶图所示，请根据茎叶图求这些国家中的MBB 手机占居民人均收入比例的中位数和资费居民人均收入比例平均数；

（3）根据以上数据判断，若要提升MBB 渗透率，消除数字化鸿沟，把数字世界带入每个人，需要重点解决哪些问题。

附：参考公式：22

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=++++；其中n a b c d =+++．

临界值表：

20()P K k ≥

0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

0k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

【答案】（1）见解析；（2）中位数是3.24%；平均数约为3.32%；（3）见解析 【解析】（1）完善列联表，再计算2K ，然后与临界值表作比较得到答案.

（2）MBB 手机占居民人均收入比例一共是15个数据，第8个数据为中位数，利用平均值公式得到答案.

（3）需要重点解决手机贵、资费高和基站覆盖低的问题. 【详解】 解：（1）

MBB 基站覆盖率小

于80%

MBB 基站覆盖率大

于80% 总计

MBB 渗透率低于20%

15 25 40 MBB 渗透率高于20%

10 90 100 总计 25

115

140

214.730 6.635K ≈>

所以有99%的把握认为MBB 渗透率与MBB 基站覆盖率有关

（2）MBB 手机占居民人均收入比例一共是15个数据，第8个数据为3.24%，所以中位数是3.24%；

3.18 3.16 3.19 3.23 3.27 3.24 3.26 3.35 3.31 3.36 3.30 3.42 3.47 3.54 3.50

3.32

15

++++++++++++++=资费居民人均收入比例平均数约为：3.32%

（3）根据以上数据判断, MBB 用户发展受限的因素分别是手机、资费、基站覆盖,若要提升MBB 渗透率,消除数字化鸿沟,把数字世界带入每个人,需要重点解决手机贵、资费高和基站覆盖低的问题.

【点睛】

本题考查了列联表，中位数，平均值，意在考查学生解决问题的能力. 20．已知动圆C 过定点()1,0M -，且圆心C 到直线2x =的距离比CM 大1. （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；

（2）已知轨迹E 与直线4y kx k =+相交于,A B 两点.试问，在x 轴上是否存在一个定点P 使得AP BP k k +是一个定值？如果存在，求出定点P 的坐标和这个定值；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）2

4y x =-；（2）存在，定点()4,0P ，0AP BP k k +=

【解析】（1）利用抛物线的定义即可；

（2）假设在x 轴上存在一个定点(),0P t ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线方程和抛物线方程联立得到124y y k

+=-

，1216y y =-，而1212AP BP y y k k x t x t +=

+--，将根与系数的关系代入化简即可得到答案. 【详解】

（1）∵动圆C 过定点()1,0M -，且圆心C 到直线2x =的距离比CM 大1， ∴动圆C 到直线1x =的距离等于圆心C 到定点M 的距离，

∴动圆圆心C 的轨迹E 是以定点()1,0M -为焦点，以定直线1x =为准线的抛物线， ∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程是24y x =-；

（2）假设在x 轴上存在一个定点(),0P t ，使得AP BP k k +是一个定值， 设()11,A x y ，()22,B x y 由4y kx k =+，且由条件知0k ≠，

得14x y k =-，代入24y x =-，消去x 得：

2

4160y y k +-=， 216640k ?=

+>恒成立，124y y k

+=-，1216y y =-， ()()()()

1221121212AP BP y x t y x t y y

k k x t x t x t x t -+-+=

+=----，

()()()()()()

12121212444y y y y t t k x t x t x t x t ??-++- ???=---- 若AP BP k k +是一个定值，则4t =，

故在x 轴上存在一个定点()4,0P ，使得0AP BP k k +=. 【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系中的定点问题，涉及到抛物线的定义等知识，在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一般要用到根与系数的关系，是一道中档题. 21．已知函数()()()212222

x

e

f x x e ax ax a a R =--

+++∈. （1）当1a =时，求()f x 在[]1,2-上的最小值；

（2）若12,x x 是()f x 的两个不同的极值点，且()()120f x f x +>，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3122

e e -+

+；（2）()()15

,,e e e e -U 【解析】（1）当1a =时，()()()()

1111x

x

f x x e x x e =--+=--'，分析函数的单调性即

可得到最值；

（2）()()()()

11x

x

f x x e ax a x e a =--+=--'，分0a ≤，0a e <<，a e =，a e >四

种情况讨论，易得当0a >且a e ≠时，()f x 在1x =和ln x a =处取极值，结合

()()120f x f x +>即可得到答案.

【详解】

（1）当1a =时，()()212222

x

e

f x x e x x =--

+++， ()()()()

1111x x f x x e x x e =--+=--'

∵当10x -≤<或12x <≤时，()'

0f

x >，当01x <<时，()'0f x <，

∴()f x 在区间[]1,0-上是增函数，在[]0,1上是减函数，在区间[]1,2上是增函数， 当0x =时，()f x 取极大值()0f ，当1x =时，()f x 取极小值()1f ， ∵()()315112222

e e

f f e -=-+

+<=-，