广东省东莞市东华高级中学2021届高三理科数学周测试题11月17日

东莞市东华高级中学周测试题

2020.11.17 数 学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1．已知集合{}

(2)0A x x x =-<,集合{|1}B x x =< , 则A

B =（ ）

A ．(-∞， 2)

B ． (-∞,1)

C ．(0,1)

D ． (0,2)

2．复数z =1-2i （其中i 为虚数单位），则|3i |z +=( )

A ．5

B ． 2

C ．2

D ．26

3． “θ＝0” 是 “sin θ＝0” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充耍条件

D ．既不充分也不必耍条件

4． 惠州市某工厂 10 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10 、12、14 、14、15 、

15 、16 、17 、17 、17 . 记这组数据的平均数为a , 中位数为b , 众数为c , 则（ ） A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a 5．某产品的宣传费用x ( 万元）与销售额y (万元）的统计数据如下表所示：

根据上表可得回归方程，则宣传费用为6 万元时，销售额最接近（ ）

A ．55 万元

B ．60 月元

C ．62万元

D ．65 万元 6． 设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1 , a 2 + a 3 + a 4 = 2，则 a 6 + a 7 + a 8 = ( )

A ．6

B ．16

C ．32

D ． 64

7． 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新

时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%, 则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过 1 亿元的年份是（ ）（参考

数据； lgl.2≈0.08, lg5≈0.70)

A ．2030 年

B ．2029年

C ．2028年

D ．2027 年 8． 若函数f (x ) =e x (x 2- 2x + 1- a ) - x 恒有2个零点， 则a 的取值范围是 ( )

A ．??? ??+∞,1-e

B ．(-∞,1)

C ．??? ??e 1,0

D ．??

? ??-∞-e 1, 二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分．

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3分，有选错的得 0 分．

9． 已知函数π())6

f x x =+，则下列选项正确的有（

）

A ．)(x f 的最小周期为π

B ．曲线)(x f y =关于点）

，（03

π

中心对称 C ．)(x f 的最大值为3 D ．曲线)(x f y =关于直线6

π

=

x 对称

10．空间中，用a , b , c 表示三条不同的直线， γ表示平面，则下列命题正确的有（ ）

A ．若 a / / b , b / /c , 则 a / /c B. 若a ⊥γ , b ⊥γ, 则a / /b C ．若a / /γ, b / /γ, 则a / /b

D. 若a ⊥b , b ⊥c , 则a ⊥c

11．若a >0, b >0, a +b =2, 则下列不等式恒成立的有( )

A ．ab ≤1 B. ≤

C ．a 2+b 2 ≥2

D ．

21

2a b +>

12．已知F 1 、F 2是双曲线12

:22

=-x y C 的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1 F 2为直径的圆经过点M , 则下列说法正确的有(

)

A ．双曲线C 的渐近线方程为y =

B ．以F 1F 2为直径的圆方程为2

2

2x y +=

C ．点M 的横坐标为

D ．△MF 1F 2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16 题第一个空 3 分，第二个空2分。

13．6

1??? ?

?

-x x 的展开式的常数项是 ．（用数字作答）

14．已知向量b a ,, 满足2,1==b a .若)(b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为

．

15．已知抛物线C : y 2=2px (p >0), 直线l : y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交

于A 、B 两点．若|AB | = 5 , 则 p = ．

16．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实．心．

工艺品（如图 所示)．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个 面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)．若其中一个截面圆的 周长为6π，则该球的半径为 ； 现给出定义：球面被平面所截 得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R , 球冠的高是 h , 那么球冠的表面积计算公式是S =2πRh . 由此可知，该实心．．

工艺品的表面积是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70 分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．( 本小题满分10分）

在等差数列{a n }中，a 3 = 4 , a 9 =10 . ( 1) 求数列{a n }的通项公式；

( 2 ) 数列{b n }中 ，b 2 = 1, b 3 =4.若c n =a n +b n , 且数列{c n }是等比数列， 求数列{c n }

的前n 项和S n .

18．(本小题满分12分）

已知有条件①(2)cos cos b c A a C -=, 条件②45cos 2cos 2

=+??

?

??+A A π;

请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．

在锐角△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b,c , a =7, b +c =5, 且满足

．

(1) 求角A 的大小； (2) 求△ABC 的面积．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 19．(本小题满分12 分）

教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务．惠州市多所中小学校响应教育部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了10 所学校（记为 A 、B 、C 、……、J ) , 10 所学校的参与人数统计图如下：

( 1 ) 若从这 10 所学校中随机选取2 所学校进行调查，求选出的2 所学校参与足球运动人数都超过40人的概率；

( 2 ) 现有一名排球教练在这10 所学校中随机选取 3 所学校进行指导，记 X 为教练选中参加排球人数在30 人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望．

20．(本小题满分12 分）

一副标准的三角板（如图1) 中，∠ABC为直角，∠A =60°,∠DEF为直角，DE=EF,BC=DF. 把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图2). 设M是AC的中点，N是BC的中点．

E

( 1 )求证：平面ABC⊥平面EMN ;

( 2 ) 若AC = 4 , 二面角E - BC- A为直二面角，

求直线EM与平面ABE所成们的正弦值．

21．( 本小题满分 12 分）

已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的离心率为22

，短轴一个端点到右焦点F ( 1 )求椭圆C 的标准方程 ；

( 2 )过点 F 的直线l 交椭圆于 A 、B 两点，交y 轴 于 P 点，设

21,λλ==,

试判断12λλ+是否为定值？ 请说明理由．

22．( 本小题满分12 分 )

已知实数a >0,函数)10,0(,ln 2

)(2∈++=

x x a x a x

x f . (1 ) 讨论函数f ()x 的单调性；

(2) 若1x = 是函数 f (x )的极值点，曲线()y f x =在点11(,())

P x f x 、

22(,())Q x f x 、（12x x < ） 处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的

截距分别为12,b b .若 12l l , 求12b b -的取值范围．

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．

符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。 13．20- ； 14．

34

π

（或写成135?） ； 15．2 ； 16．5 ；94π . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）

【解析】（1）法1：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，

由39710a a =??=?，得1124

810a d a d +=??+=?……………………………2分

解得121

a d =??=?， ……………………………………………4分

所以()111n a a n d n =+-=+.

即1n a n =+ ……………………………………………………5分

法2：设数列{}n a 的公差为d ，由()n m a a n m d =+- ………………………1分

得()9393a a d =+-………………………………………………………2分 即1046d =+，得1d = …………………………………………………4分

所以()331n a a n d n =+-=+.

即1n a n =+ ………………………………………………………………5分

（2）取2n =，则2222114

c a b =+=++=

………………………………6分 取3n =，则3333148

c a b =+=++=

………………………………7分

因为数列{}n c 是等比数列，则其公比3

2

2c q c =

= ……………………8分 ∴数列{}n c 的前n 项和11(1)2(12)

22112

n n n n c q S q +-?-=

==--- ……10分

18．（本小题满分12分）

【解析】（1）选择条件①()2cos cos b c A a C -=,…………………………………1分

法1：由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=, ………2分

所以()2sin cos sin sin B A A C B =+=,………………………3分

因为sin 0B ≠, 所以1

cos 2

A = ………………………………4分 又π0,2A ??

∈ ??

?

,…………………5分【无此步骤，本得分点不给分】 所以3

A π

=

. ………………………………………………………6分

法2：由余弦定理得()222222

222b c a a b c b c a bc ab

+-+--=，……2分

化简得2

2

2

b c a bc +-=………………………………………3分

则2221

cos 22

b c a A bc +-=

=， ………………………………4分 又π0,2A ?

?

∈ ??

?

,……………………5分【无此步骤，本得分点不给分】 所以3

A π

=

. ………………………………………………6分

（1）选择条件②2

5cos cos 24A A π??

++=

???

………………………………………1分

法3：因为cos sin 2A A π??

+=-

???

，所以25sin cos 4A A += ……………2分

因为22sin cos 1A A +=，所以2

5

1cos cos 4

A A -+=

…………3分 化简得2

1cos 02A ?

?-= ??

?，解得1cos 2A =, ………………………4分

又()0,A π∈,………………………5分【无此步骤，本得分点不给分】 所以3

A π

=

. ……………………………………………………6分

（2）由余弦定理2

2

2

2cos

3

a b c bc π

=+-, ……………………………7分

得()2

73b c bc =+-，…………………………………………………8分

所以()2

7

63

b c bc bc +-=

?=， ……………………………10分

于是ABC ?

的面积11sin 622S bc A =

=??=．………12分

19．（本小题满分12分） 【解析】（1）参与足球人数超过40人的学校共4所，…………………………………1分

记“选出的两所学校参与足球人数都超过40人”为事件S ，

从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本事件总数为2

10C . ……2分

随机选择2所学校共2

4C 6=种，……………………………………… 3分

所以()24210

43C 2

2109C

152

P S ?=

==?…………………………………………4分 所以选出的两所学校参与足球人数都超过40人的概率为2

15

．………5分

（2）参加排球人数在30人以上的学校共4所，………………………………………6分

X 的所有可能取值为0，1，2，3，………………………………………………7分

()6310304C C 106C P X ?===，()6

3

102

14C C 112C P X ?===，………………………8分 ()2461103C C 2C 310P X ?===，()46

30103

C C 3C 130

P X ?===.……………………9分 X

………………10分

()0123103065

2E X =?+?+?+?=. ………………………11分

所以，随机变量X 的数学期望为

6

5

……………………………………12分

20．（本小题满分12分）

【解析】（1）证明：∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， ∴MN

AB ，…………………………………………1分

∵AB BC ⊥，∴MN BC ⊥， ……………………2分

∵BE EC ⊥，BE EC =，N 是BC 的中点，

∴EN BC ⊥， ……………………………………3分 又MN EN N ?=，MN ?平面EMN ，EN ?平面EMN ……………4分【无此步骤，本得分点不给分】 ∴BC ⊥平面EMN ……………………5分

且BC ?平面ABC

∴平面ABC ⊥平面EMN . ……………………6分 （2）法1（向量法）：

由（1）可知：EN BC ⊥，MN BC ⊥，

∴ENM ∠为二面角E BC A --的平面角……………………………………………7分 又二面角E BC A --为直二面角 ∴90ENM ∠=?

以NM ，NC ，NE 分别为x ，y ，z ，建立如图空间直角坐标系N xyz -.………8分 ∵4AC =，则2AB =，23BC =，3NE =

由()

0,0,3E ，()1,0,0M ，

则()

1,0,3EM =- ………………………………………9分 又()

0,3,0B -，()2,3,0A -，()

0,0,3E ， 则()

0,3,3BE =，()2,0,0BA =

设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，则0,0m BE m BA ??=??=?

即0,

330,x y z =???

+=?? 令1y =，则1z =-

∴面ABE 的一个法向量()0,1,1m =-……………………10分

36

cos ,422

m EM m EM m EM

?<>=

=

= ………………………………11分

所以直线EM 与平面ABE 所成的角的正弦值为64

. ……………………12分

法2（几何法）：

分别作AE 、AB 的中点G 和H ，连接GM 、GH 、 MH ………………………7分

∵4AC =,60BAC ∠=?，AB BC ⊥ ∴23BC =,6BE CE ==

,得3BN NE ==

∵H 是AB 的中点，∴MH AB ⊥

又G 、H 分别是AE 、AB 的中点，则//HG BE 由三垂线定理知AB BE ⊥，所以AB HG ⊥

又HG HM H =，HG ?平面HGM ，HM ?平面HGM ,

∴AB ⊥平面HGM ，…………………………………………………………………8分 ∵MG ?平面HGM ，∴AB MG ⊥

由1MN =，3NE =，得222ME MN NE AM =+==， 且G 是AE 的中点∴MG AE ⊥，

又AE BE E =，AE BA ?、平面ABE

∴MG ⊥平面ABE ，…………………………………………………………………9分 即AE 是ME 在平面ABE 内的射影

∴MEA ∠是直线ME 与平面ABE 所成的角，……………………………………10分

1622MG NH BE ===，∴6

6

2sin 24

MG MEA ME ∠=== ………………11分

所以直线EM 与平面ABE 所成的角的正弦值为6

4

. ……………………………12分

21．（本小题满分12分）

【解析】（1）由题可得222a b c +==， ……………………………………1分

又2

c e a =

=

，所以1c = …………………………………………2分 221b a c =-= ……………………………………………3分

因此椭圆方程为2

212

x y += ………………………………………4分

（2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-， ……………………5分

G

H

由()22

112

y k x x y ?=-??+=??消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，…………6分 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则2122

2

1224122212k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

， ……………………7分 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--， 由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1

11

1x x λ=

- ……………………8分 同理可得2

22

1x x λ=

-， ……………………………………………………9分 所以12121211x x

x x λλ+=

+--()()()12121212121212

22111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++…………10分

2222

222

2

422

2121242211212k k k k k k k k --?++=--+++4=- ………………………………11分

所以，12λλ+为定值-4 ……………………………………………………12分

22．（本小题满分12分） 【解析】（1）()()()()2

22212010ax ax a f x a x x x x

+-'=-

++=<<.………………1分 0a >，010x <<，20ax ∴+>.

①当110a ≥，即10,10a ??

∈ ???

时，()0f x '<，()f x ∴在()0,10上单调递减；…… 2分

②当1010a <

<，即1,10a ??

∈+∞ ???

时， 当10,x a ??∈ ???

时，()0f x '<；当1,10x a ??

∈ ???时，()0f x '>， ()f x ∴在10,a ??

???

上单调递减，在1,10a ?? ???上单调递增. …………………………3分

综上所述：当10,

10a ??

∈ ???

时，()f x 在()0,10上单调递减； 当1,10a ??∈+∞ ???时，()f x 在10,a ??

???

上单调递减，在1,10a ?? ???上单调递增.……………4分 （2）

1x =是()f x 的极值点，()10f '∴=，即()()210a a +-=，

解得1a =或2a =-（舍）， 此时()2

ln f x x x x =

++， ……………………………………………………5分 ()221

1f x x x

'=-++.

1l ∴方程为：()1112111221ln 1y x x x x x x x ????

-++=-++- ? ?????

， ……………………6分

令0x =，得111

4

ln 1b x x =

+-； 同理可得：222

4

ln 1b x x =

+-. ……………………………………………………7分 12//l l ，221122

212111x x x x ∴-

++=-++，整理得：()12122x x x x =+， 1

2122

x x x ∴=

-，………………………………………………………………………………8分 又12010x x <<<，则1112102x x x <

<-，解得：1542

x <<， ()121221111121

1221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x x b b x x x x x x x x x ??

- ?

--??∴-=+=+=+++. ………9分 令12x t x =，则1111211,1224x x t x x -??=?=-∈ ???

， 设()()

21ln 1t g t t t

-=

++，………………………………………………………………10分

()()

()()2

2

2

14

1011t g t t t t t -'∴=-

+=>++， ()g t ∴在1,14??

???

上单调递增， ……………………………………………………11分

又()10g =，16ln 445g ??=-

???，()6ln 4,05g t ??

∴∈- ???

， 即12b b -的取值范围为6ln 4,05

??

- ???. …………………………………………12分