克莱姆法则的证明及应用

克莱姆法则及证明

第7 节克莱姆（Cramer）法则 一、线性方程组 元线性方程组是指形式为： 的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个 未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题： （1）. 这个方程组有没有解？ （2）. 如果这个方程组有解，有多少个解？ （3）. 在方程组有解时 , 解之间的关系 , 并求出全部解。 本节讨论方程的个数与未知量的个数相等（即）的情形。 二、克莱姆法则 定理 1 （克莱姆法则）如果线性方程组 的系数行列式：

接下来证明定理。首先，证明 3）确实是（2） 的解。将行列式 按第 列展开得： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成： 其中 是把 中第 列换成常数项 所得的行列式，即 方程组有解； 解是唯一的； 解由公式（3）给出。 因此证明的步骤是： 有解，并且（3）是一个解，即证明了结论 与 。 第二，证明如果 是方程组（２）的一个解，那么一定有 。这就证明了解的唯一性，即证明了结论 。 3） 代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组 证明：先回忆行列式的一个性质，设 阶行列式 第一，把 ，则有：

其中是行列式中元素的代数余子式。现把 代入第个方程的左端，得： 这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的 一个解。 其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式： 4） 用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：

克莱姆法则的一个新证明

线性代数培训之收获 ——对“克莱姆法则”的一个新教案 有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n 阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n 阶行列式在几何上表示“n 维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。 对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。 §7克莱姆法则 一、教学内容 (1) 克莱姆法则的证明 (2) 克莱姆法则的应用 二、教学要求 （1）理解克莱姆法则的证明 （2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D ≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解 （3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D ≠0，方程组只有零解 教学过程 一、（定理1）克莱姆法则 若n ×n 线性方程组 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221 12222212111212111,, ⑴ 的系数行列式

克莱姆法则及证明

第7节克莱姆（Cramer）法则 一、线性方程组 元线性方程组是指形式为： （1） 的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，，; 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题： (1).这个方程组有没有解？ (2).如果这个方程组有解，有多少个解？ (3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。 本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。 二、克莱姆法则 定理1（克莱姆法则）如果线性方程组

（2） 的系数行列式： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成： （3） 其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即 。 分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。因此证明的步骤是： 第一，把代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。

第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有 。这就证明了解的唯一性，即证明了结论。 证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有： 接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）的解。将行列式按第列展开得： ， 其中是行列式中元素的代数余子式。现把 代入第个方程的左端，得：

这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。 其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式： （4） 用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到： 将此个等式相加，得： 从而有：。这就是说，如果是方程组（2）的 一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。 三、齐次线性方程组

克莱姆法则

教学目的及要求：1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点：克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n 元线性方程组的概念。 含有n 个未知数n x x x ,,,21 的线性方程组 )1(, ,,22112222212111212111 n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为n 元线性方程组.当其右端的常数项n b b b ,,,21 不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当n b b b ,,,21 全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即 )2(. 0,0,0221122221211212111 n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 线性方程组(1)的系数ij a 构成的行列式称为该方程组的系数行列式D ，即 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 . 2.克莱姆法则 定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0 D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为

),,2,1(n j D D x j j (3) 其中),,2,1(n j D j 是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式,0 D 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理: 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见021 n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式.0 D 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例1用克莱姆法则求解线性方程组： 453522 532322 1321x x x x x x x

克莱姆法则

第三节 克莱姆法则 教学目的及要求： 1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点： 克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行 探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。 含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组 a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n b 1, a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n b 2, (1) a n1x 1 a n2x 2 a nn x n b n , a 11 a 12 a 1n D a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 2. 克莱姆法则 定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为 性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组， 即 a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n 0, a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n 0, (2) a n1x 1 a n2x 2 a nn x n 0. 称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即 ,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一

2 2 5 20, 20, 85 45 D j x j D(j 1,2, ,n) (3) 其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理: 定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方 程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理 3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0. 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性 方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例 1 用克莱姆法则求解线性方程组： 2x1 3x2 5x3 2 x1 2x2 5 3x 2 5x3 4 解D 20 2 35 D1( 2) 2 5 D2 60,

克莱姆法则

克莱姆法则（Cramer's Rule ） 教学过程(自己写的不一定好，大家自己斟酌，括号中的内容不在教案范围内，把括号的内容全部删掉就是教案。红色的内容和其中的公式是教案内容也是板书的部分) 一；引入（大约5分钟）：复习行列式的计算，并通过实例引入： (1)回忆行列式的定义和简单的计算性质(我们学习了行列式的定义和计算，一个行列式的值就是所有不同行列的元素的成绩的代数和，那么下面我们来研究一下行列式的应用，到底行列式用在什么地方呢？我们看一下如下的例子) （例题及分析写在黑板的右边） 例：解二元一次解方程组：11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=?，（通过消元法我们可以解得方程组的解为） 消元法解方程得：122212111221221111212 211221221b a b a x a a a a a b a b x a a a a -?=?-??-?=?-? 。（我们来看一下这两个解会发现什么？ 两个根1x 和2x 的分母是相同的刚好是行列式） 令：11122122 a a D a a = ，（这个行列式刚好是方程组的系数行列式而分母我们也可以用行列式表示，我们用行列式来表示一下分子） 1 121222b a D b a =和1112212 a b D a b =；（看，1D 和2D 恰好是用常数项分别代替1x 和2x 的系数得到的行列式；即） 此时：112 2D x D D x D ?=????=??。（那我们按照这个形式将二元的形式推广到n 元的情形会得到什么呢？能不能像这样用行列式来表示线性方程组的解呢？这就是我们这节课要学习的克莱姆法则） （在黑板中间写标题：）板书标题：克莱姆法则 二；新课（约25分钟） （黑板左边写定理）定理一克莱姆法则：若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组： 【1】11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解，且解为： 1212,,n n D D D x x x D D D ===……………………………………（2） 其中j D 是将系数行列式的第j 列换成方程的常数项得到的行列式。

克莱姆法则及证明

第7节?? 克莱姆（Cramer）法则 一、线性方程组 元线性方程组是指形式为： （1） 的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， ; 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组 ，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题： (1).这个方程组有没有解？ (2).如果这个方程组有解，有多少个解？ (3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。 本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。

二、克莱姆法则 定理1（克莱姆法则）如果线性方程组 ???????????（2） 的系数行列式： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成： （3） 其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即 。 分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。因此证明的步骤是：

第一，把代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。 第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有。这就证明了解的唯一性，即证明了结论。 证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有： 接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）的解。将行列式按第列展开得： ， 其中是行列式中元素的代数余子式。现把 代入第个方程的左端，得：

这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。 其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将 代入（2）后，得到个恒等式： （4） 用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到： 将此个等式相加，得：

克莱姆法则及证明

第7节克莱姆（Ｃraｍeｒ)法则 一、线性方程组 元线性方程组是指形式为： （1） 的方程组,其中代表个未知量，是方程的个数，,； 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组, 当个 未知量分别用代入后,式（１)中每个等式都成为恒等式。方程组(１) 的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合,就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题: (1）.这个方程组有没有解？ (2）.如果这个方程组有解,有多少个解? (3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。?本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。 二、克莱姆法则??定理1(克莱姆法则）如果线性方程组 （2) 的系数行列式： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的,这个解可表示成：

(3） 其中是把中第列换成常数项所得的行列式,即 。 分析：定理一共有3个结论:方程组有解；解是唯一的;解由公式(3）给出。因此证明的步骤是: 第一，把代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解,并且(3）是一个解,即证明了结论与。 第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有 。这就证明了解的唯一性，即证明了结论。 证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式,则有： 接下来证明定理。首先,证明（３)确实是（２)的解。将行列式按第列展开得: ，

其中是行列式中元素的代数余子式。现把 代入第个方程的左端，得： 这说明将（3）代入第个方程后,得到了一个恒等式,所以(3)是(2)的一个解。 其次,设是方程组(2)的一个解,那么，将代入（2）后，得到个恒等式: (４） 用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘(4）中个恒等式,得到：

克莱姆法则

第三节 克莱姆法则 教学目的及要求：1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点：克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n 元线性方程组的概念。 含有n 个未知数n x x x ,,,21 的线性方程组 )1(, ,,22112222212111212111????? ? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为n 元线性方程组.当其右端的常数项n b b b ,,,21 不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当n b b b ,,,21 全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即 )2(. 0,0,0221122221211212111????? ? ?=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 线性方程组(1)的系数ij a 构成的行列式称为该方程组的系数行列式D ，即

nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211= . 2.克莱姆法则 定理 1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0≠D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为 ) ,,2,1(n j D D x j j == (3) 其中 ) ,,2,1(n j D j =是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项 ,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式,0≠D 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理: 定理2' 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见021====n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.

克莱姆法则及证明

D- ≠0 第7节克莱姆（Cramer ）法则 、线性方程组 "元线性方程组是指形式为： ?+?? + +?? "? α31Λl + df 2a Λ2 + ■■ +?λκ =? L ?^L +ΛM Λ+ - + ?? =? 的方程组，其中；〔?打代表1个未知量，匸是方程的个数， 称为方程组的系数， 〔」"J 称为常数项。 卢 卢 i∣ W * 线性方程组的一个解是指由 、个数I 1J 1 I 组成的有序数组-一…J ■ - 1，当〔个 ［代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。 方程组（1） 的解 的全体称为它的解集合， 如果两个线性方程组有相同的解集合， 就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题： （1） .这个方程组有没有解？ （2） .如果这个方程组有解，有多少个解？ （3） .在方程组有解时，解之间的关系，并求出全部解。 本节讨论方程的个数与未知量的个数相等 、克莱姆法则 定理1 （克莱姆法则）如果线性方程组 + ÷- +?X 1 =? (2) 的系数行列式: (1) 未知量 （即「一 I ）的情形。

证明：先回忆行列式的一个性质，设 」阶行列式'- ,则有: 工 ％j ? = + 吟如 i + 务 H? 工阪吗t =砌吗1 + 2 +…+?? = 接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2） 当i=J 时; 当 时 。 当J =J 时; 当Wj 的解。将行 :列 式 ■■1 按第「列展开得: 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成: 分析：定理一共有 3个结论：*方程组有解；_ .解是唯一的；］解由公式（3） 因此证明的步骤是： ? =-≡-（ι =1J 2√?Λ） 第一，把 代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组 有解，并且（3）是一个解，即证明了结论 第二，证明如果 ? Γ :是方程组（2）的一个解，那么一定有 Di D Q DE 5 = -~J j 5 = _-Ii lBB J C M ≡ —- 和 1 。这就证明了解的唯一性，即证明了结论 。 (3) 其中6是把丄中第.列换成常数项 所得的行列式，即 a ÷÷ ? a … 工 ω ll ω ]}-l w Iul % fl 21… β 3i-l t ?+l ■■■ % El … fl BM L7 ?+1 ■■■细 给出。

克莱姆法则及证明

第７节克莱姆(Cｒamｅr）法则 一、线性方程组 元线性方程组就是指形式为： （1） 得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数，,；称为方程组得系数,称为常数项. 线性方程组得一个解就是指由个数组成得有序数组，当个未知量分别用代入后,式（１）中每个等式都成为恒等式.方程组(1）得解得全体称为它得解集合,如果两个线性方程组有相同得解集合，就称它们就是同解方程组.?为了求解一个线性方程组,必须讨论以下一些问题： (1）、这个方程组有没有解?? (2）、如果这个方程组有解，有多少个解? （３）、在方程组有解时,解之间得关系，并求出全部解. 本节讨论方程得个数与未知量得个数相等（即）得情形。 二、克莱姆法则 ?定理1（克莱姆法则)如果线性方程组 (2） 得系数行列式： 那么这个方程组有解,并且解就是唯一得，这个解可表示成: (3) 其中就是把中第列换成常数项所得得行列式，即 。 分析：定理一共有３个结论：方程组有解；解就是唯一得；解由公式（3）给出.因此证明得步骤就是： 第一,把代入方程组，验证它确实就是解。这样就证明了方程组有解，并且(3)就是一个解,即证明了结论与。 第二，证明如果就是方程组（２）得一个解，那么一定有.这就证明了解得唯一性，即证明了结论。 证明：先回忆行列式得一个性质,设阶行列式,则有：

接下来证明定理.首先,证明(3）确实就是（2)得解。将行列式按第列展开得：， 其中就是行列式中元素得代数余子式。现把 代入第个方程得左端，得： 这说明将（3)代入第个方程后,得到了一个恒等式，所以(３)就是（2）得一个解。其次，设就是方程组(2）得一个解,那么，将代入(2）后,得到个恒等式： （4) 用系数行列式得第列得代数余子式依次去乘(4）中个恒等式,得到： 将此个等式相加，得：