质点运动学答案

一. 选择题:

［ C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的

运动是

(A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动．

(C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 【提示】如图建坐标系，设船离岸边x 米，

222l h x =+，22dl dx

l

x

dt dt

=， dx l dl dt x dt

==0dl

v dt

=-，

2

2

0dx h x

v i v i dt +==-

2203v h dv dv dx

a i dt dx dt x

==?=-

可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。

［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. 【提示】质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面积的代数和。

4.50

(1 2.5)22(21)122()s

x vdt m =

=+?÷-+?÷=?

［ D ］3、[基础训练4] 质点作曲线运动，r

表示位置矢量，v

表示速度，a

表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度分量，下列表达式中， (1) a t = d /d v ， (2) v =t r d /d ， (3) d d /t =s v ， (4) t a t =d /d v

．

(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． 【提示】根据定义式d d t =s v ，d d t a t =v ，d d a a t

==v 即可判断。

［ C ］4、[基础训练6]一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h ，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是

-12

(A) 南偏西16.3°；(B)

北偏东16.3

°；

(C) 向正南或向正北；(D) 西偏北16.3°；

(E) 东偏南16.3°．

【提示】根据三个速率的数值关系，以及伽利

略速度变换式=+

v v v

→→→

机地机空气空气地

，可

以画出三个速度之间的矢量关系，如图所示。

=200km/h, 56/, =192km/h

km h

v v v

→→→

=

机空气空气地机地

,根据余弦定理，222

200=56192256192cosθ

+-??，解得cos=0

θ，所以=

2

π

θ±.

［ C ］5、[自测提高6]某物体的运动规律为t

k

t2

d/

d v

v-

=，式中的k为大于零的

常量．当0

=

t时，初速为v

，则速度v与时间t的函数关系是

(A)

2

2

1

v

v+

=kt, (B)

2

2

1

v

v+

-

=kt,

(C)

21

2

1

v

v

+

=

kt

, (D)

21

2

1

v

v

+

-

=

kt

【提示】t

k

t2

d/

d v

v-

=，分离变量并积分，

2

v t

v

dv

ktdt

v

=-

??，得

21

2

1

v

v

+

=

kt

.

［B］6、[自测提高7]在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2 m/s速率匀速

行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向．今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用i

、j

表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）

为

(A) 2i

＋2j

．(B) -2i

＋2j

．(C) －2i

－2j

．(D) 2i

－2j

．

【提示】

B A

对

v=

B对

v

地

+

A

对

v

地

=

B对

v

地

-

A对

v

地

=2222 (/)

j i i j m s

-=-+.

二.填空题

1、[基础训练10 ]

在轨道A点处速度v

的大小为v

30°，则物体在A点的切向加速度a t = -0.5g ，轨道的

曲率半径

2

v

g

.（重力加速度为g）

【提示】如图，将重力加速度分解为切向加速度分量和法向加速度分量，得

v

→

机地

v

→

空气地

v

→

空气地

空气

v

→

机地

2

2

sin 300.5, cos 30 cos 30t n v v a g g a g g ρρ=-=-==∴=

2、[基础训练12 ]一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t －t 2 (SI)，则在t 由0至4s

的时间间隔内，质点的位移大小为 8 () m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10 () m ．

【提示】（1）x = 6 t －t 2 (SI)，位移大小()

2

4064408 ()r x x m ?=-=?--=；

（2）62x dx

v t dt

=

=-，可见，t<3s 时，x v >0；t=3s 时，x v =0；而t>3s 时，x v <0；所以，路程=()()()3034()909810 ()x x x x m -+-=-+-=

3、[基础训练13 ]在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，加速度2

Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为=v 3

0 3

C v t +，运动学方程为=x 4

00 + 12

C x v t t +

． 【提示】（1）2

dv a Ct dt ==，02

v

t

v dv Ct dt =??，得：303C v v t =+.

（2）303C dx v v t dt =+=，03003x

t

x C dx v t dt ?

?=+ ??

???，得：400+12C x x v t t =+

.

4、[自测提高9 ]一质点从静止出发沿半径R=1m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变

化规律为2126 (SI)t t β=-，则质点的角速度ω =32

43 (/) t t rad s -；加速度切向分量a t =2

2

126 (/) t t m s -。

【提示】（1）2

126d t t dt ωβ=-=，()

200

126t

d t t dt ωω=-??，3243 (/)t t rad s ω=-；

（2）22126 (/)t a R t t m s β==-；

5、[自测提高11]一质点从O 点出发以匀速率1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m ，如图所示．当它走过2/3

圆周时，走过的路程是__4π/3=4.19

（m ），这段

时间内的平均速度大小为3)=4.1310(/) m s π-?，方向是__与x 轴正方向

逆时针成600．

【提示】24S 2R (m);33

π

π=

?=路程 0r 2cos30v m /s S t 400v

π??===?平均速度大小（）

； v

方向如图。

6、[自测提高14 ]小船从岸边A 点出发渡河，如果它保持与河岸垂直向前划，则经过时间t 1到达对岸下游C 点；如果小船以同样速率划行，但垂直河岸横渡到正对岸B 点，则需与A 、B 两点联成的直线成α角逆流划行，经过时间t 2到达B 点．若B 、C 两点间距为S ，则

(1) 此河宽度l

(2) α =()1

12

cos / t t -或1

2sin -????

。

【提示】设小船速度为v ，水流速度为u ，如图。 保持与河岸垂直向前划时，①1 l vt =；②1S ut =； 成α角逆流划行时，③

()2cos l v t α=；④2l =.

联立①和③得：()()1

1212cos /, cos

/t t t t αα-

=∴=；

联立①、②和④，可求出v ，再代入①得：l =.

三．计算题

1、[基础训练16 ]有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．

解：（1）t 1=1s: x 1=2.5m; t 2=2s: x 2=2m ;

∴ 21212 2.5

0.5(/)21

x x v i i i m s t t --=

==--- （2）,)69(2

i t t i dt

dx v -== )/(6)4629(22s m i i v s t -=?-?==∴时， （3）令0)69(2

=-=i t t v ， 得：' 1.5t s =. 此时x ’=3.375m;

∴第二秒内的路程s=(x ’-x 1)+(x ’-x 2)=（3.375-2.5）+(3.375-2)=2.25m

2、[基础训练19 ]质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角?保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。

解：,n t a tg a ?= 将t dv a dt =，2n v a R =代入，得2

dv v dt Rtg ?

=

， 分离变量并积分：

S

α

v

u

v

00200011, v

t

v v Rtg dv dt t

v v Rtg v v Rtg Rtg v t ????=-+=∴=-??

4、[自测提高15 ]质点按照2

12

s bt ct =-

的规律沿半径为R 的圆周运动， b 、c 是常量，并且b 2

>cR 。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间？

解：212s bt ct =-， ds

v b ct dt

=

=-， 切向加速度大小t dv a c c dt ==-=，法向加速度大小()2

2n b ct v a R R

-==

； 当切向加速度与法向加速度大小相等时：()2

b ct

c R

-=

，即b ct -=

得1b t c =；

2b t c

=。

4、[自测提高17 ] 一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s 上升．当电梯离地面h =10 m 时，

一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率200=v m/s ．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？

(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？

解：(1) 根据伽利略速度变换式对对对v v v =+球地球梯梯地，可得球相对地面的初速度：方向

向上，大小为

2010对v =+=球地30 m/s

球到达最高点时，对地的速度为零。可得最大高度为

245.92对v h g

=

=球地

m/s

离地面高度为

H = (45.9+10) m =55.9 m

(2) 以地面作为参考系：球回到电梯上时，电梯上升的高度＝球上升的高度，即

212

v v 对对t t gt =-

梯地球地 解得：

2v 0 4.08t t g

==

=（舍去）或 s

附加题：[ 自测提高16 ] 一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气

其运动周期为T ．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为)1(<<=k k V v ．求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少．

解：如图，设风对地v kvj =，正方形边长为L ，根据+风对地机对地

机对风v v v =求解。

（1）A →B ，

机对地v ===

AB L t v ∴=

=

=

机对地

（2）B →C ，()1机对地v v kv k v =-=-，

()()

141BC L L T

t v v k k ∴=

=

=

--机对地

； （3）C →D 的飞行时间与A →B 的飞行时间相等，CD AB t t =； （4）D →A ，()1机对地v v kv k v =+=+

()()

141DA L L T

t v v k k ∴=

=

=

++机对地

所以，有恒定小风时飞行周期为'AB BC CD DA T t t t t =+++， 与无风时相比，周期增加了'T T T ?=

-。根据上述计算结果，可得

()(

)222

121211

221T k T k T k ?

--?

??=-??=

+-?

-?

因为1k <<

2

11k

-展开，并保留到2

k 项，得 2

22

13112224T k T T k k ???≈+++-≈

????

x

y

A B 风对地v 机对风v 风对地

v 机对风

v 机对地

v 机对地v