7.5 里程碑上的数

第七章 二元一次方程

7.5 里程碑上的数

课程学习要求

(一)知识目标

1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题.

2.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

(二)能力目标

1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世

界的有效数学模型.

2.初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤.

(三)情感与价值观

1.“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关.相对而言有一定难度，

让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气.

2.鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神.

重点难点剖析

1. 用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题.

【剖析】路程=速度×时间

2. 体会列方程组解决实际问题的步骤

【剖析】列二元一次方程组解应用题的主要步骤：

(1)弄清题意和题目中的等量关系.用字母表示题目中的两个未知数.

(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系.

(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组.

(4)解这个方程组并求出未知数的值. (5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理?

(6)写出符合题意的解释.

典型例题展示

重难点题讲解

1.根据条件列方程组

【例1】根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组：

(1)小明、小芳两人的年龄之和为27岁，且小明比小芳大1岁；

(2)现有面额为100元和20元的人民币共40张，共计2000元；

【解】(1)设小明的年龄为x 岁，小芳的年龄为y 岁,则???=-=+1

27y x y x ; (2) 设面额为100元和20元的人民币的张数分别为x 张, y 张, 则?

??=+=+20002010040y x y x 【点拨】注意设出两个未知数，找出两个等量关系，从而得到方程组已达到解决问题的目的.

2.利用方程组解决问题

【例3】据统计，连云港港口2002年、2003年的内外贸吞吐总量分别为3300万吨和3760

万吨，其中2003年外贸和内贸吞吐量分别较2002年增长10%和20%．

（1）试确定2002年的外贸和内贸吞吐量；

（2）2004年港口内外贸吞吐量的目标是：总量不低于4200万吨，其中外贸吞吐量所占

比重不低于60%．预计2004年的内贸吞吐量较2003年增长10%，则为完成上述目标，2004年的外贸吞吐量较2003年至少应增加多少万吨？

【解】解：（1）设2002年内贸、外贸吞吐量分别为x 和y 万吨，

则?

??=+++=+3760%)101(%)201(3300y x y x 解得1300,2000==y x ， 答：2002年内贸、外贸吞吐量分别为1300万吨和2000万吨．

【点拨】在列出相应的方程或方程组并正确的解出方程组的解后，一定要注意计算结果是否符合实际情况.

易错题型讲解

【易错点1】打折销售

【例1】某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A 、B 两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A 商品和1件B 商品需用84元；购买6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购买50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？

【正解】：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意有

58463108x y x y +=??+=?解之，得164x y =??=?

打折前购买50件A 商品和50件B 商品共需16504501000?+?=元．

∴打折后少花(1000960)40-=元．

答：打折后少花40元．

【错因分析】

【易错点2】面对多个数据和复杂的关系无从下手

【例2】（2009襄樊市）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．

（1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方

财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的

改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为

每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

【正解】：（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万

元．依题意得：22302205a b a b +=??+=?

解之得6085

a b =??=? 答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．

（2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则

60851575m n +=

173151212

m n =-+

∵A 类学校不超过5所 ∴1731551215

n -

+≤ ∴15n ≥

即：B 类学校至少有15所． （3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：

()()507064*********

x x x x +-???+-??≤≥ 解之得14x ≤≤

∵x 取整数

∴1234x =，

，， 即：共有4种方案．

【错因分析】数据较多不能找出题目中的等量关系而列出方程.

中考真题讲解

【例1】某中学新建一栋4层的教学楼，每层有8间教室，进出这栋楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启一道正门和侧门时，4分钟可通过800名学生.

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门名可以通过多少名学生？

(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下，全楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.

【解】(1)设平均每分钟一道正门通过x 名学生，一道侧门通过y 名学生，则

()()225604800

x y x y +=???+=?? ∴12080x y =??=?

(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)

拥挤时5分钟4道门能通过，5×2×(120+80)×(1-20%)=1600(名)

∵1600＞1440

∴建造的4道门符合规定.

【点拨】看建造的这4道门是否符合安全规定，关键要看在规定的时间内所有的学生是否都能安全撤离.

【例2】某教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？

【解】设用x 米布料生产上衣，y 米布料生产裤子才能配套，则

60023

x y x y +=???=?? 解得 360240x y =??=?

答：用360米生产上衣，240米生产裤子才能配套，共能生产240套。

【点拨】解决本问题关键要理解3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，要想成为完整的一套，上衣和裤子的数量应该一致.

综合技能探究

【例1】 北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示.现在有一种调运方案的总运费为7600元.问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？

北京—→重庆 费用需8y 百元.

上海—→武汉 费用需3(6－x )百元.

上海—→重庆 费用需5(8－y )百元.

合计7600元即76百元.

【解】：设这种调运方案中北京应调x 台到武汉，y 台到重庆；上海应调(6－x )台到武汉，(8－y )台到重庆，根据题意，得

?

??=-+-++=+76)8(5)6(38410y x y x y x 化简得?

??=+=+18310x x y x 解得?

??==46y x 所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台.

【点拨】解决本问题关键要分清楚从哪个地方调运到那个地方.

【例2】两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数.

【分析】：(1)本题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178.

(2)设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x +y ；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y +x .

【解】：设较大的两位数为x ,较小的两位数为y ，则

?

??=+-+=+2178)100()100(68x y y x y x 化简，得

???=-=+2178

999968y x y x 即?

??=-=+2268y x y x 解该方程组，得

???==23

45y x 所以这两个两位数分别是45和23.

【规律总结】要理解每个数位上的数所表示的意义.

分层题型训练

（A 层）夯实基础训练

一、选择题

1. 已知一个两位数，它的十位上的数字x 比个位上的数字y 大1．若颠倒个位与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这两个数所列的方程组正确的是

A ．???=+++=-9)()(1x y y x y x

B ．?

??++=++=9101x y y x y x C ．???-+=++=910101x y y x y x D ．???++=++=9

10101x y y x y x 2. 甲、乙二人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒可追上乙；如果乙先跑2米，则甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x 米／秒，乙的速度为y 米／秒，下列方程组正确的是

A ．???+=+=y y x y x 2441055

B ．???=-=-y

x x y x 4241055 C ．???=-=+2445105y x y x D ．???=-=-y

x y x 4241055 3. 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）

A ．4辆

B ．5辆

C ．6辆

D ．7辆

4. 西部山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县一部分耕地改还为林地。改还后，林地面积和耕地面积共有180km 2, 耕地面积是林地面积的25%。设改还后耕地面积为x km 2 ，林地面积为ykm 2,则下列方程组中，正确的是（ ）

Ａ. ???==+y x y x %25,180 Ｂ. ???==+x y y x %25,180 Ｃ. ???=-=+%25,180y x y x Ｄ. ?

??=-=+%25,180x y y x 二、填空题

1. 一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，那么这个数可表示为_________；如果交换

个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________.

2.有两个两位数x 和y ,如果将x 放在y 的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________.

3.一个两位数，个位上的数为m ，十位上的数为n ，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________.

4. 有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，则用代数式表示原两

位数为 ，根据题意得方程组???_________________________________

三、解答题

1.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，

它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天中有几

天晴天，几天是雨天？

2.有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个

0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数．

（B 层）拓展知识训练

一、选择题

1．如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是( )

A ．3

B ．6

C ．5

D ．4

2．已知有含盐20%与含盐5%的盐水，若配制含盐14%的盐水200千克，设需含盐20%的盐水x 千克，含盐5%的盐水y 千克，则下列方程组中正确的是( )

A ．??

?=+=+%14%5%20200y x y x B ．

???=+=+200%5%20200y x y x C ．????=+=+%

14200%5%20200y x y x D ．????=+=+%14200%20%5200y x y x 3．甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时，则下列方程组中正确的是( )

A ．???=-=+360)(24360)(18y x y x

B ．?

??=+=+360)(24360)(18y x y x C ．???=-=-360)(24360)(18y x y x D ．?

??=+=-360)(24360)(18y x y x 4. 6年前，A 的年龄是B 的3倍，现在A 的年龄是B 的2倍，A 现在年龄是( )

A ．12

B ．18

C ．24

D ．30

二、填空题

1．已知两数之和为25，两数之差为3，则这两个数分别为________．

2．小李购买了3角和5角的邮票11张，共花去了3.9元，若设购买3角和5角的邮票分别为x 张和y 张，则x ＝________，y ＝________．

3．一个两位数，若个位上数字为x ，十位上的数字比个位上的数字的3倍多1，则这个两位数为________．

4．兄弟两人，弟弟5年后的年龄是哥哥5年前的年龄，3年后兄弟二人的年龄之和是他们年龄之差的3倍，则兄弟两人今年的岁数分别为________．

三、解答题

1. 某电子有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出利息8.42万元．甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求这两种贷款的数额各是多少？

2. 某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车。问共有几辆车，几个学生？

参考答案

（A 层）夯实基础训练

一、选择题

1.D

2.C

3.C

4.A

二、填空题

1. 10b+a ；10a+b.分析：个位上的数字是a ，即有a 个1，十位数字是b 个10,所以这个两位数是b 个10和a 个1的和即10b+a ；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a 个10与b 个1的和即10a+b.

2. 100x+y ；100y+x.分析：两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x 个100，而两位数y 在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y 个1.因此用x 、y 表示这个四位

数为100x+y.同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y+x.

3. 100n+m ：一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数.因此这个三位数是由n 个100，0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m.

4. 10y+x ，?

??=+-+=+63)10(1011x y y x y x 三、解答题

1. 解：设这几天中有x 天晴，y 天有雨 根据题意得?????=+=+141121121220y x y x 解得???==62y x

答：这几天中共有2天晴天，6天雨天．

2. 设这个两位数为x ，这个一位数为y ，???+==+2661410y x y x ，解得???==956y x

答：这个两位数为56．

（B 层）拓展知识训练

一、选择题

1.C

2.C

3.A

4.C

二、填空题

1.11、14

2.8、3

3.31x+10

4.17、7

三、解答题

1. 解；设甲种贷款x 万元，乙种贷款y 万元，则

6812%13%8.42x y x y +=??+=? 解得 4226

x y =??=? 答:甲种贷款42万元，乙种贷款26万元.

2. 解：设有x 辆车，y 个学生，则

451560(1)x y x y +=??-=? 解得5240x y =??=?

答：有5辆车，240个学生.