《高等数学(一)》复习资料-姜作廉

一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）

（一）、单项选择部分

1．函数（A 附1.1.1f (x )在D 上如果对?)(2x ，就称

x f )(

(i)

则称f (x 们把最小的正周期叫做该函数的周期

计算过程如下：----(-)===f(x)x x x x x x f x =+++

答案：（D ）偶函数。

2．函数()ln(1sin ) (0)f x x x =+→为（）。 （A ）无穷小量；（B ）无穷大量；（C ）零函数；（D ）常数函数

★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27

附1.1.2（考核知识点解释及答案）：

当0x x →时，如果函数)(x f 的绝对值大于任意预先给定的正数M ，则我们称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，记为∞=→)(lim 0

x f x x 。 若0)(lim 0

=→x f x x ，则称函数)(x f 在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。 答案：（A ）无穷小量。

3．函数sin 0x y x

==在点处（）。

若函数)(x g u =在点x 处可导,而)(u f y =在点)(x g u =处可导,则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导,且其导数为 或dx

du du dy dx dy ?= 本题计算用到复合函数的求导法则和导数的四则运算法则。

导数的四则运算法则：

如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且 '''

5．若附.

x 处可导,或dx dy 复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时,首先要分清函数的复合层次，然后从外向里,逐层推进求导，不要遗漏,也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数.在开始时可以先设中间变量,一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.

答案：（D ）2。

6．函数2

1()lg 1cos x f x x

-=+为（）。 （A ）奇函数；（B ）偶函数；（C ）幂函数；（D ）周期函数

★考核知识点:函数的性质，参见P4-7

附1.1.6（考核知识点解释及答案）：

奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对D x ∈?，如果

(i))()(x f x f =-，则称该函数为奇函数；

(ii))()(x f x f -=-，则称该函数为偶函数．

周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈?，总有

则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．

通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期

答案：（B ）偶函数。

7．函数

（A 附1.1.7当x )x 为当0x x →若x 8．函数（A 附1.1.89．若(f （A 附1.1.9初等函数的求导法则：

函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则。

若函数)(x g u =在点x 处可导,而)(u f y =在点)(x g u =处可导,则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导,且其导数为

或dx

du du dy dx dy ?= 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

在求复合函数的导数时,首先要分清函数的复合层次，然后从外向里,逐层推进求导，不要遗漏,也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中

间变量)的导数.在开始时可以先设中间变量,一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来.

答案：（C ）0。

10．若2(),(0)x f x e f -''==则（）。

（A ）-2；（B ）-1；（C ）1；（D ）2

★考核知识点:二阶导数计算，参见P65-68

附1.1.10（考核知识点解释及答案）：

求高阶导数的方法：

求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知.

11（A 附设f (i)则称f (x 12（A 附当0x )x 为当0x x →时的无穷大量，记为∞=→)(lim 0

x f x x 。 若0)(lim 0

=→x f x x ，则称函数)(x f 在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。 答案：（C ）无穷小量。

13．函数()tan |f x x =在x=0处（）。

（A ）间断；（B ）可导；（C ）可微；（D ）连续

★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46

附1.1.13（考核知识点解释及答案）：

函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.

答案：（D ）连续。

14．若1()ln ,()12

x f x f x +'==-则（）。 （A ）2；（B ）-2；（C ）4；（D ）-4

★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63

附1.1.14（考核知识点解释及答案）：

基本初等函数的导数公式 1n n -

x 处可导,或dx dy 15附.

点外）都在点x 具有导数，且

（1）[]'''()()()()u x v x u x v x +=+；

（2）[]'

''()()()()()()u x v x u x v x u x v x =+；

（3）'''2()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x ??-=????(()0)v x ≠ 答案：（A ）-2。

二、主观部分：

（一）、填空部分

1.函数7

12arcsin

-=x y 的定义域是_________________. ★考核知识点:函数的概念，参见P1-6

附2.1.1（考核知识点解释及答案【解答过程】）： 函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：

设D 是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则f ，使得对D x ∈?，都有唯一的实数y 与之对应，就称f 确定了一个一元函数，通常记为)(x f y =，称x 为自变量，y 为函数（因变量），D

2.x →附答案：13

-。 3.设函数3

2()arctan x f x x e '=+，则f (x)=_________.

★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63

附2.1.3（考核知识点解释及答案）：

若函数)(x g u =在点x 处可导,而)(u f y =在点)(x g u =处可导,则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导,且其导数为

或dx

du du dy dx dy ?= 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

导数的四则运算法则：

如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且

（1）[]'''()()()()u x v x u x v x +=+；

'

'')()0x f x -0x 处相应其

上述“基本的微分公式”是各种微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里为了方便我们给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。

答案：2(2sin (1))x x x conx dx +-。

5.函数23()(1)1f x x =-+的极值点为_______.

附2.1.5(1)(2)求出(3)(4)又)(''x f 因此(x f 因为.0

答案：0x =。

6.函数()x y lg 1lg -=的定义域是____________.

★考核知识点:函数的概念，参见P1-6

附2.1.6（考核知识点解释及答案）：

函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：

设D 是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则f ，使得对D x ∈?，都有唯一的实数y 与之对应，就称f 确定了一个一元函数，通常记为)(x f y =，称x 为自变量，y 为函数（因变量），D 为定义域，函数值的集合称为值域． 答案：(0,10)。 7.10lim(12)x

x x →-=__________. ★考核知识点:求极限，参见上册P33-37

附2.1.7（考核知识点解释及答案）：

8.附x 处可导,或dx dy ⑤(sin )cos x x '=；⑥(cos )sin x x '=-；

⑦()ln x x a a a '=；⑧1(log ).ln a x x a

'= 答案：2x e +。

9.设2ln(1),y x dy =-=则_____________.

★考核知识点:微分计算，参见P74-79

附2.1.9（考核知识点解释及答案）：

函数)(x f y =在点0x 可微的充分必要条件是函数)(x f y =在点0x 可导，

且当)(x f y =在点0x 可微时，其微分一定是：

即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 答案：221x dx x

--。 10.曲线2

1x y xe =+的斜渐近线为_________________.

★考核知识点:求渐近线，参见P109-111

附2.1.10（考核知识点解释及答案）： y =

如果

11.函数附设y 与D 答案：(1,0)(0,1)-?。 12.30tan sin lim

sin x x x x

→-=__________. ★考核知识点:洛必达法则求极限，参见P90-95

附2.1.12（考核知识点解释及答案）： 如果函数)(x f 和)(x g 满足以下三个条件:

(1)0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0

=→x g x x ;

(2))(x f 和)(x g 在点0x 的某去心邻域内可导,且0)(≠'x g ; (3))

()(lim 0x g x f x x ''→存在(或无穷大). 则极限)()(lim 0

x g x f x x →存在(或无穷大),且 这种求极限的方法称为洛必达法则.法则中的0x x →改为∞→x 后法则仍成立.

13.设y 附0x 可微14.设y 附(1)(2)(3)答案：4-。

15.曲线3234y x x x =-+的拐点坐标为______________.

★考核知识点:求拐点，参见P108-109

附2.1.15（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

如果()f x 的二阶导数()f x ''在0x 的左右两侧变号，则00(,())x f x

就是拐点。

计算过程如下：

答案：(1,2)。

（二）、计算题

1.求1

cos x y e =的导数.

★考核知识点:导数计算，参见P56-63

附2.2.1（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

复合函数的求导法则:

若函数)(x g u =在点x 处可导,而)(u f y =在点)(x g u =处可导,则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导,且其导数为

du dy dy 再次给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。

参考答案：

2.求由方程0x y xy e e -+=确定的隐函数()y y x =的导数。

★考核知识点:隐函数求导，参见P69-71

附2.2.2（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

隐函数的导数：

假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式 利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数

dx dy ，这就是隐函数求导法.

导数的四则运算法则：

如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且 '''

3.求y =附2.2.3数.⑤(sin )cos x x '=；⑥(cos )sin x x '=-；

⑦()ln x x a a a '=；⑧1(log ).ln a x x a

'= 参考答案：

4.求由方程y x x y =确定的隐函数()y y x =的导数。

★考核知识点:隐函数求导，参见P69-71

附2.2.4（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

隐函数的导数：

假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式

利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数

dx

dy ，这就是隐函数求导法.

对数求导法：

形如)()(x v x u y =的函数称为幂指函数.直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数.我们把这种方法称为对数求导法.

参考答案：

原方程化为ln ln y x x y e e =,两边对x 求导,其中y=y(x),有

5.求y 附x 处可导,或dx dy

6.附

7.求32)2)(12()(-+=x x x f 的极值。

★考核知识点:求极值，参见P96-101

附2.2.7（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

确定极值点和极值的步骤?

(1)求出函数的定义域和导数)(x f '?

(2)求出)(x f 的全部驻点和不可导点?

(3)利用第一充分条件,根据)(x f '的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况?以便确定该点是否是极大值点或极小值点?如函数存在二阶导数,也可根据第二充分条件判定;

(4)求出函数的极值?

参考答案： 由02

3)1(10)(3=--='x x x f 得到1=x 为驻点；

2的充分2=x 处0。 在区间I 上为严格递增（减）函数的充要条件为：

对一切I x ∈有.0)()(≤≥'x f

利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些.

参考答案：

① 当a ≥1

1a <≤，此时f /(x)<0， ∴函数f(x)在区间),(+∞-∞上是单调递减函数。

② 当0

x <

∴f(x)在区间

(-∞上是单调递减函数。 解不等式f /(x)>0得

x >

∴f(x)在区间

)+∞上是单调递增函数。 .

9.求函数3)x ≤≤的最大值和最小值。

附2.2.9（（10.附如果(2)(3)断点。

参考答案：

1,2x =为函数的第二类间断点。

11.试问函数23()ln(1)sin f x x x =++是否为2x 的等价无穷小？为什么？

★考核知识点:无穷小的比较，参见P37-39，

附2.2.11（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

如果

()lim 1()

x a x x βα→=， 则称()x β与()()x x a α→是等价的无穷小量。

参考答案：

由于

因而

23()ln(1)sin f x x x =++是2x 的等价无穷小。

12

x

附(1)(2)(3)(1)(2)(3))

()(lim 0x g x f x x ''→存在(或无穷大). 则极限)()(lim

0x g x f x x →存在(或无穷大),且 这种求∞

∞型未定式的极限的方法同上面求00型未定式极限一样都称为洛必达法则. 参考答案：

上式为∞

∞型未定式,使用洛必达法则得

n

x

x x e +∞→lim +∞===-===∞→-+∞→+∞→-+∞→!lim )1(lim 6lim lim 21n e x n n e x e nx e x x n x x x x n x x .

13求方程221169x y +=在点M 处的切线方程. ★考核知识点:导数的几何意义，参见P69-71

附2.2.13（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

以曲线()y f x =上一点00(,())x f x 为切点的切线方程是 隐函数的导数：

假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式