自动控制第四章 根轨迹法 复习资料
第四章 根轨迹法
一、填空选择题（每题2分）
1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。
2、根轨迹对称于s 平面 轴。
3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。
4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1
)
2()(++=
s s K s G ，若此时闭环极点为
－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。
5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。
6、系统的开环传函为G(s)H(s)=
)
4(3
+s s K
，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。 A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]
根轨迹填空题答案
1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。
2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。
3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。
4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1
)
2()(++=
s s K s G ，若此时系统的闭环
极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。
5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。
6、B
二、综合计算题及参考答案
a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。
解：
8’(按规则分解)
a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
c
b
a
d
解：每项三分
c
b
a
d
b1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为
1
5.0)
15.0()(2+++=
s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。并求分离点或会合点。
解：G(s)的零、极点标准形式为
)
1)(1()
2()(j s j s s K s G -++++=
因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。它们在实轴上有一个会合点d ，系统的特征方程如下： 0)(1=+s G
所以有，2222+++-=s s s K ，于是由0=ds
dK
可解得：
d ＝－3.414, d ＝－0.586，显然应取d ＝－3.414。 4’
因此其根轨迹如下图所示：
6’
b2、（10分）设一单位负反馈控制系统的开环传递函数如下
)
12()
1()(++=
s s s K s G
试概略绘制出相应闭环根轨迹图（要求确定分离点或汇合点的坐标）。
解：该系统的特征方程为
0)
12()
1(1)(1=+++
=+s s s K s G ，故有
1)12(++-
=s s s K ，由0=ds
dK
可以解得分离点的坐标为
（-1.707,0）（分离点）和（-0.293,0）（汇合点），根轨迹如下所示 4’
6’
b3、（12分）
（1）（6分）设某单位负反馈系统的开环传递函数为
)
2)(1()(++=
s s s K
s G
问其根轨迹有无分离点，若有，试求出该分离点的坐标。若无，说明理由。 （2）（6分）设系统的特征方程为
0)
4)(1(1=+++
s s s K
求系统根轨迹与虚轴的交点，以及系统的稳定临界开环增益。
解:（1）解：该系统的特征方程为 0)
2)(1(1)(1=+++
=+s s s K
s G
即， )2)(1(++-=s s s K 3’ 由此可以求方程
0)263(2=++-=s s ds
dK
的根，其根为
577.1,423.02,1--=s
因为分离点必定位于0和－1之间，因此该系统的分离点为423.0-=s 。 3’ (2)解：用ωj s =代入系统的特征方程，得
0)4)(1(=+++K j j j ωωω 2’
对上式虚部和实部分别求解，可得
052=-ωK
043=-ωω 2’
由此可得，
2±=ω
20=K 2’ 故，系统根轨迹与虚轴的交点为ωj ±，系统的临界开环增益20=K 。
B4、（12分）已知系统的开环传递函数为
3
)
1()()(+=
s K
s H s G τ 要求绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的开环增益。 解：系统的零、极点标准形式为
3
1)1()()(τ
+=
s K s H s G ，其中13
K K τ= 2’ 该系统有3重开环极点τ
1
3,2,1-
=s ，无开环零点。根轨迹有三条分支，01=K 时从开环极
点出发，∞→1K 时沿着渐近线趋向∞处。渐近线的相角为
)2,1,0(180,603
)12(180=±=+±=q q a ?
渐近线与实轴的交点
τ
τσ1
31
3
=-=a
实轴上的根轨迹存在于τ
1
-
至∞-的线段上。 2’
根轨迹的分离点可以根据系统的特征方程
0)
1(13
1
=++
τ
s K 求得，由
0)1
(321=+-=τ
s ds dK 可求得分离点为
τ
1
。 2’ 系统的根轨迹如下图所示，根据根轨迹图可以得到系统根轨迹与虚轴的交点为
τ
τω3)60(10j tg j j =?=
代入特征方程并取模可得
3
3
18
1
3
ττ
τ
=
+
=j
K
因此，系统的稳定开环增益813
==K K τ 4’
2’
b5、（12分）设控制系统的开环传递函数为
)
22)(3()
2(3)()(2++++=
s s s s s K s H s G
试绘制系统的根轨迹。
解：（1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j )和(－1－j ),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。 2’ （2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为
3180)12()12(-?
?+=
-+=
K m n K a π? 取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。 2’
三条渐近线如图4-14中的虚线所示。
渐近线与实轴的交点为
114)2()1130(111-=-----+--=
??
????--=∑∑==j j z p m n m i i n
j j a σ 2’ （3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2之间以及极点－3的左边，如图中的粗线所
示。从复数极点(－1±j ) 出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。1’
（4）在实轴上无根轨迹的分离点。
（5）确定根轨迹与虚轴的交点 1’ 系统的特征方程式为
0)2(3)22)(3(2=+++++s K s s s s
即
06)36(85234=+++++K s K s s s
劳斯行列表 4
s
1 8 K 6
3
s 5 K 36+
2
s
5)
36(40K +- K 6
1
s K
K
K 33415036--+ 0
s
6
若阵列中的s 1行等于零，即（6+3K ）－150K/（34-3K ）=0，系统临界稳定。 解之可得K =2.34。相应于K =2.34的频率由辅助方程
[]034.230)34.236(402=?+?+-s
确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s =±j 1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为ω=1.614。
（6）确定根轨迹的出射角
根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p 1=（－1＋j ）出发的根轨迹的出射角为
j)(p )(p p )(p )k (θ-+∠-+∠-∠-+∠++=132121801111
将测得的各向量相角的数值代入并取k =0，则得到?-=6.26θ 2’
2’
系统的根轨迹如图所示。
B6、（12分）设控制系统的结构图如下图所示
试证明系统虚数根轨迹部分是一个圆。并求系统的最小阻尼比。
S 平面
ω
j σ
-1
-2
-3
-4
0 j 1
j 2
j 3
-j 3
135° 45° 90°
26.6° R (s )
C (s )
)2()
3(++s s s K
解：系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。由根轨迹的幅角条件
π)12()()(1
1
+=+∠-+∠∑∑==K p
s n z s m
i j j
i
得
π)12()2()3(+=+∠-∠-+∠k s s s 3’
s 为复数。将ωσj s +=代入上式，则有
πωσωσωσ)12()2()()3(+=++∠-+∠-++∠K j j j
即
2
tan 180tan 3
tan 1
1
1
++?=-+---σω
σωσω 2’ 取上述方程两端的正切，并利用下列关系
y
x y
x y x tan tan 1tan tan )tan( ±=
±
有
211)3(3313tan 3tan tan ωσσωσ
ωσωσω
σω
σωσω++-=
-++-
+=??? ?
?
-+--
22
01202tan 180tan 1+=+?-++
=
??? ?
?++?-σωσωσωσω
2
)3(32+=++-σω
ωσσω
即
222)3()3(=++ωσ
这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j 0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传
递函数的零点上）。证毕。（或从闭环特征方程入手，将ωσj s +=代入也可） 4’
由坐标原点作圆的切线，此切线与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比。 ζ=cos θ=6/3 3’ 2’ B7、（12分）已知系统固有开环传递函数G(s)H(s)=
)
1(+s s K
(1) 绘出固有系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。
（2）若固有系统增加一个P 3= -3的开环极点，绘出根轨迹，并分析其稳定性。 解：（1）极点为0，-1，实轴轨迹[-1，0]
渐近线n-m=2条，倾角为900，1800。 分离点：dk/ds=0, s=-0.5
4’ 由图可知，k>0,系统总是稳定的 2’ (2) 增加一个P 3= -3，则 G(s)H(s)=)
3)(1(++s s s K
渐近线n-m=3条，33.13
4
-=-=a σ 倾角ππ
π?,3
3)12(±=+=
K a ， 分离点：dk/ds=0, s1=-0.45，s2= -2.2（舍去），如图。
3’
稳定性：特征方程 s(s+1)(s+2)+k=0，将ωj s =代入有：（-ω3
+3ω）j+k-4ω2
=0
因此：-ω3
+3ω=0 k-4ω2
=0
得ω=±3 ， k =12
当0 c1、（12分）已知控制系统的开环传递函数为 ) 164)(1() 1()()(2 ++-+= s s s s s K s H s G 试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K 值的范围。 解 （1） 系统的开环极点为0，1和－2±j 3.46,开环零点为－1。 1’ （2） 确定根轨迹的渐近线 渐渐线的倾斜角为 1 4180)12()12(-? ?+= -+= K m n K a π? 取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3。 渐进线与实轴的交点为 32 3)1()46.3246.3210(111-=----+-+= ?? ????--=∑∑==j j z p m n m i i n j j a σ 2’ （3） 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及－1与－∞之间。 1’ （4） 确定根轨迹的分离点 系统的特征方程式为 0)1()164)(1(2=++++-s K s s s s 即 1 )164)(1(2+++--=s s s s s K 利用0/=ds dK ,则有 0) 1(16 24211032234=+-+++-=s s s s s ds dK 解之可得，会合点和分离点分别是 d 1=0.46 和 d 2=－ 2.22。 1’ （5） 确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为 0)16(123234=+-+++K s K s s s 劳斯行列表为 4 s 1 12 K 3s 3 K -16 2 s 3 52K - K 1s K K K K --+-52832150592 0 s K 若阵列中的s 1行全等于零，即 052832150592=--+-K K K K 系统临界稳定。解之可得K =35.7 和 K =23.3。 对应于K 值的频率由辅助方程 03 522 =+-K s K 确定。当K =35.7 时 ，s =±j 2.56；当K =23.3时 ，s =±j 1.56. 根轨迹与虚轴的交点处的频率为ω=±2.56 和ω=±1.56。 2’ （6）确定根轨迹的出射角（自复数极点－2±j 3.46出发的出射角） 根据绘制根轨迹基本法则，有 ??+±=-?-?-?-?180)12(905.130120106K θ 因此，开环极点－2±j 3.46的出射角为θ1,2=±54.5°。 1’ 系统的根轨迹如下图所示。 由图可见，当23.3 2’ c2、（12分）试用根轨迹法确定下列代数方程的根 08644)(234=++++=s s s s s D 解：当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。 把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得 034)86(12 3 4 2=+++++ s s s s s K g S 平面 K g =1时，即为原代数方程式。等效开环传递函数为 ) 1)(3()4)(2()()(2 ++++= s s s s s K s H s G g 2’ 因为K g >0, 先做出常规根轨迹。 系统开环有限零点z 1=－2，z 2=－4；开环有限极点为 p 1=p 2=0，p 3=－1，p 3=－3。 实轴上的根轨迹区间为[-4，-3]，[-2，-1]。 根轨迹有两条渐近线，且σa =1，φa =±90°。 作等效系统的根轨迹如图所示。 4’ 图知，待求代数方程根的初始试探点可 在实轴区间[－4，－3]和[－2，－1]内选择。确定了实根以后，运用长除法可确定其余 根。 2’ 初选s 1=－1.45，检查模值 046.1| )4)(2(||)1)(3(|11112 1=++++=s s s s s K g 由于K g >1故应增大s 1，选s 1=－1.442，得K g =1.003。 1’ 初选s 2=－3.08，检查模值得K g =1.589，由于K g >1，故应增大s 2，选s 2=－3.06，得 K g =1.162。经几次试探后，得K g =0.991时s 2=－3.052。 1’ 设 0)()052.3)(442.1()(=?++=s B s s s D 运用多项式的长除法得 819.1494.0)(2+-=s s B 解得326.1257.04,3j s ±=。解毕。 2’ S 平面 j ω σ 0 -1 -2 -3 -4 图4-8 例4-7系统的根轨迹 c3、（12分）已知控制系统如下图所示 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。 解:4 4) 2()2(16)(+=+= s K s K s G g 2’ 系统有四个开环重极点： p 1=p 2=p 3=p 4=-2。没有零点。实轴上除－2一点外，没有根轨迹段。根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为 24 8 -=-= a σ 44)12(ππ?±=+= K a ，π4 3 ± 系统的根轨迹如图所示。 4’ 图知，随着K g 的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j 2和－j 2处。 2’ 将s =j 2代入幅值方程有 1| )2(|4 =+s K g 解得开环根增益：K gc =64，开环增益：K c =K g /16=4． 即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j ２，系统处于临界稳定的状态。当K >4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0 c4、（12分）已知负反馈系统的开环传递函数 ) 204)(4()()(2 +++= s s s s K s H s G g 试绘制闭环系统的根轨迹。 解： 按照基本法则依次确定根轨迹的参数： （1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，－4，和－2±j 4。 1’ （2）轴上的根轨迹区间为[－4，0]。 1’ （3）根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为 σa =－2；φa =±45°，±135° 2’ S 平面 σ j ω R (s ) C (s ) 4)15.0(+s K （4）复数开环极点p 3,4=－2±j 4处，根轨迹的起始角为θp 3.4=±90° 1’ （5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程 04 21421411=-+++++++j d j d d d 解得 21-=d ，623,2j d ±-= 因为 21-=d 时，064>=g K 623,2j d ±-=时，0100>=g K 所以，d 1、d 2、d 3皆为闭环系统根轨迹的分离点。 3’ （6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为 080368)(234=++++=g K s s s s s D 列写劳斯表如下 4 s 1 36 g K 3s 8 80 2s 26 g K 1 s 26 82680g K -? 0s K g 当K g =260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程 026)(2=+=g K s s F 得根轨迹与虚轴的交点为10j s ±=。概略绘制系统根轨迹如图所示。 2’ 2’ C5、（15分）一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)= 3 ) 2(+s K 画出以K 0为参变量的根轨迹图，并求： （1） 根轨迹与虚轴交点的K 0值和振荡频率。 （2） 主导极点的阻尼比ζ=0.5时的静态位置误差系数。 解：画出以K 0为参变量的根轨迹图： 渐近线n-m=3条，236-=-= a σ，倾角πππ?,3 3)12(±=+=K a ， 分离点也是渐近线与实轴的交点，如图。 5’ （1） 特征方程 (s+2)3+ K 0=0，将ωj s =代入有：（-ω3 +12ω）j+ K 0-6ω2 +8=0 3’ 有 -ω3 +12ω=0 K 0-6ω2 +8=0 S 平面 ω σ j 得ω=23 ， K 0=64 。 即为所求。 2’ （2） 静态位置误差系数Kp= )()(lim 0 s H s G s →= K 0 /8 1’ 此时 ζ=0.5，θ=600，从上图得主导极点S 1,2= -1±j 3 2’ 由幅值条件 12 ,1|)2(|3 ==+s s s K 得K 0=8 ∴Kp= K 0/8=1 2’ 根轨迹方法控制系统校正 1.根轨迹方法控制系统 调节时间：t s ≤5S （2%） 最大超调量：M p ≤10% 开环比例系数：K 0≥20 2. ζ=0.6 cos β=53°，取β=45° 4.4/ζWn ≤5s ， 取ζW n =1 经计算，C （s ）=1.079s/s+2 3.流程图 4.程序 clear; K=2; h=0.05; A=0; B=30; f=@(m,y)(K*m-2*y)/1; fc=@(s,m)(1*s-0.002*m)/1; n=floor(B/h); s(1)=0; m(1)=0; d(1)=0; y(1)=0; t=0:h:B; for i=1:n e(i)=1-s(i); k1=f(e(i),y(i)); k2=f(e(i),y(i)+h*k1/2); k3=f(e(i),y(i)+h*k2/2); k4=f(e(i),y(i)+h*k3); y(i+1)=y(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; m(i+1)=(y(i+1)-y(i))/h+0.01*y(i+1); k1=fc(m(i),d(i)); k2=fc(m(i),d(i)+h*k1/2); k3=fc(m(i),d(i)+h*k2/2); k4=fc(m(i),d(i)+h*k3); d(i+1)=d(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; s(i+1)=s(i)+h*(d(i+1)+d(i))*0.5; end plot(t,s,'-m') title(sprintf('2(s+0.01)/s(s+0.002)(s+2)')) set(legend,'Location','NorthWest') hold on 5.结果 调节时间4.6S 超调量7.6% K0=50 实验五利用MATLAB绘制系统根轨迹 一、实验目的 （1）熟练掌握使用MATLAB绘制控制系统零极点图和根轨迹图的方法； （2）熟练使用根轨迹设计工具SISO； （2）学会分析控制系统根轨迹的一般规律； （3）利用根轨迹图进行系统性能分析； （4）研究闭环零、极点对系统性能的影响。 二、实验原理及内容 1、根轨迹与稳定性 当系统开环增益从变化时，若根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，那么系统对所有的K值都是稳定的；若根轨迹越过虚轴进入s右半平面，那么根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。应用根轨迹法，可以迅速确定系统在某一开环增益或某一参数下的闭环零、极点位置，从而得到相应的闭环传递函数。 2、根轨迹与系统性能的定性分析 1）稳定性。如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点的位置有关，而与闭环零点位置无关。 2）运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。 3）超调量。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。 4）调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值；如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。 5）实数零、极点影响。零点减小闭环系统的阻尼，从而使系统的峰值时间提前，超调量增大；极点增大闭环系统的阻尼，使系统的峰值时间滞后，超调量减小。而且这种影响将其接近坐标原点的程度而加强。 【自我实践5-1】 在实验内容（2）中控制系统的根轨迹上分区段取点，构造闭环系统传递函数，分别绘制其对应系统的阶跃响应曲线，并比较分析。 1：阻尼比=，k= 自动控制原理课程设计题目及要求 一、单位负反馈随动系统的开环传递函数为 ) 101.0)(11.0()(++= s s s K s G k 1、画出未校正系统的Bode 图，分析系统是否稳定 2、画出未校正系统的根轨迹图，分析闭环系统是否稳定。 3、设计系统的串联校正装置，使系统达到下列指标 （1）静态速度误差系数K v ≥100s -1 ； （2）相位裕量γ≥30° （3）幅频特性曲线中穿越频率ωc ≥45rad/s 。 4、给出校正装置的传递函数。 5、分别画出校正前，校正后和校正装置的幅频特性图。计算校正后系统的穿越频率ωc 、相位裕量γ、相角穿越频率ωg 和幅值裕量K g 。 6、分别画出系统校正前、后的开环系统的奈奎斯特图，并进行分析。 7、应用所学的知识分析校正器对系统性能的影响（自由发挥）。 二、设单位负反馈随动系统固有部分的传递函数为 ) 2)(1()(++= s s s K s G k 1、画出未校正系统的Bode 图，分析系统是否稳定。 2、画出未校正系统的根轨迹图，分析闭环系统是否稳定。 3、设计系统的串联校正装置，使系统达到下列指标： （1）静态速度误差系数K v ≥5s -1 ； （2）相位裕量γ≥40° （3）幅值裕量K g ≥10dB 。 4、给出校正装置的传递函数。 5、分别画出校正前，校正后和校正装置的幅频特性图。计算校正后系统的穿越频率ωc 、相位裕量γ、相角穿越频率ωg 和幅值裕量K g 。 6、分别画出系统校正前、后的开环系统的奈奎斯特图，并进行分析。 7、应用所学的知识分析校正器对系统性能的影响（自由发挥）。 三、设单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 2(4 )(+= s s s G k 1、画出未校正系统的根轨迹图，分析系统是否稳定。 2、设计系统的串联校正装置，要求校正后的系统满足指标： 闭环系统主导极点满足ωn ＝4rad/s 和ξ＝。 3、给出校正装置的传递函数。 4、分别画出校正前，校正后和校正装置的幅频特性图。计算校正后系统的穿越频率ωc 、相位裕量γ、相角穿越频率ωg 和幅值裕量Kg 。 5、分别画出系统校正前、后的开环系统的奈奎斯特图，并进行分析。 第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 课程设计任务书 院部名称机电工程学院 专业自动化 班级 M11自动化 指导教师陈丽换 金陵科技学院教务处制 摘要 MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++ 。在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。 此次课程设计就是利用MATLAB对一单位反馈系统进行滞后-超前校正。通过运用MATLAB的相关功能，绘制系统校正前后的伯德图、根轨迹和阶跃响应曲线，，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。学会使用MATLAB语言及Simulink动态仿真工具进行系统仿真与调试。 关键字：超前-滞后校正 MATLAB 仿真 1．课程设计应达到的目的 1. 掌握自动控制原理的时域分析法，根轨迹法，频域分析法，以及各种补偿（校正）装置的作用及用法，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。 2. 学会使用MATLAB 语言及Simulink 动态仿真工具进行系统仿真与调试。 2．课程设计题目及要求 题目： 已知单位负反馈系统的开环传递函数， 试用频率法设计串 联滞后——超前校正装置，使之满足在单位斜坡作用下，系统的速度误差系数1v K 10s -=，系统的相角裕量045γ≥，校正后的剪切频率 1.5C rad s ω≥。 设计要求： 1. 首先， 根据给定的性能指标选择合适的校正方式对原系统进行校正，使其满足工作要求。要求程序执行的结果中有校正装置传递函数和校正后系统开环传递函数，校正装置的参数T ，α等的值。 2.. 利用MATLAB 函数求出校正前与校正后系统的特征根，并判断其系统是否 稳 定 ， 为 什 么 ? 3. 利用MATLAB 作出系统校正前与校正后的单位脉冲响应曲线，单位阶跃响应曲线，单位斜坡响应曲线，分析这三种曲线的关系。求出系统校正前与校正后的动态性能指标σ%、tr 、tp 、ts 以及稳态误差的值，并分析其有何变化。 4. 绘制系统校正前与校正后的根轨迹图，并求其分离点、汇合点及与虚轴 交点的坐标和相应点的增益K *值，得出系统稳定时增益K * 的变化范围。绘制系 统校正前与校正后的Nyquist 图，判断系统的稳定性，并说明理由。 5. 绘制系统校正前与校正后的Bode 图，计算系统的幅值裕量，相位裕量，幅值穿越频率和相位穿越频率。判断系统的稳定性，并说明理由。 ()(1)(2) K G S S S S = ++ 4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++- 4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。 课程设计报告 (2014--2015年度第一学期) 名称：《自动控制理论》课程设计 题目：基于自动控制理论的性能分析与校正院系：自动化 班级：自动化 学号： 学生姓名： 指导教师： 设计周数：1周 成绩： 日期：2015年1月9日 目录 第一部分、总体步骤 (3) 一、课程设计的目的与要求 (3) 二、主要内容 (3) 三、进度计划 (4) 四、设计成果要求 (4) 五、考核方式 (4) 第二部分、设计正文 (5) 一控制系统的数学模型 (5) 二控制系统的时域分析 (9) 三控制系统的根轨迹分析 (15) 四控制系统的频域分析 (19) 五控制系统的校正 (22) 六非线性系统分析 (38) 第三部分、课程设计总结 (40) 第一部分、总体步骤 一、课程设计的目的与要求 本课程为《自动控制理论A》的课程设计，是课堂的深化。设置《自动控制理论A》课程设计的目的是使MATLAB成为学生的基本技能，熟悉MATLAB这一解决具体工程问题的标准软件，能熟练地应用MATLAB软件解决控制理论中的复杂和工程实际问题，并给以后的模糊控制理论、最优控制理论和多变量控制理论等奠定基础。作为自动化专业的学生很有必要学会应用这一强大的工具，并掌握利用MATLAB对控制理论内容进行分析和研究的技能，以达到加深对课堂上所讲内容理解的目的。通过使用这一软件工具把学生从繁琐枯燥的计算负担中解脱出来，而把更多的精力用到思考本质问题和研究解决实际生产问题上去。 通过此次计算机辅助设计，学生应达到以下的基本要求： 1.能用MATLAB软件分析复杂和实际的控制系统。 2.能用MATLAB软件设计控制系统以满足具体的性能指标要求。 3.能灵活应用MATLAB的CONTROL SYSTEM工具箱和SIMULINK仿真软件，分析系统的性能。 二、主要内容 1．前期基础知识，主要包括MATLAB系统要素，MATLAB语言的变量与语句，MATLAB的矩阵和矩阵元素，数值输入与输出格式，MATLAB系统工作空间信息，以及MATLAB的在线帮助功能等。 2．控制系统模型，主要包括模型建立、模型变换、模型简化，Laplace变换等等。 3．控制系统的时域分析，主要包括系统的各种响应、性能指标的获取、零极点对系统性能的影响、高阶系统的近似研究，控制系统的稳定性分析，控制系统的稳态误差的求取。 4．控制系统的根轨迹分析，主要包括多回路系统的根轨迹、零度根轨迹、纯迟延系统根轨迹和控制系统的根轨迹分析。 5．控制系统的频域分析，主要包括系统Bode图、Nyquist图、稳定性判据和系统的频域响应。 6．控制系统的校正，主要包括根轨迹法超前校正、频域法超前校正、频域法滞后校正以及校正前后的性能分析。 三、进度计划 西安石油大学 课程设计 电子工程学院自动化专业 1203班题目根轨迹法校正的设计 学生郭新兴 指导老师陈延军 二○一四年十二月 目录 1. 任务书．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2．设计思想及内容．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 3．编制的程序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 3.1运用MATLAB编程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 3.2由期望极点位置确定校正器传递函数．．．．．．．．．．．4 3.3 校正后的系统传递函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 4．结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 5．设计总结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 6．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 《自动控制理论》课程设计任务书 2.设计内容及思想 ： 1) 内容：已知单位负反馈系统被控对象传递函数为： ) 25(2500 )(0 0+=s s K s G ，试用根轨迹几何设计法对系统进行滞后串联校正 设计，使之满足： （1）阶跃响应的超调量：σ%≤15%； （2）阶跃响应的调节时间：t s ≤0.3s ； （3）单位斜坡响应稳态误差：e ss ≤0.01。 2）思想： 首先绘出未校正系统得bode 图与频域性能，然后利用MATLAB 的SISOTOOL 软件包得到系统的根轨迹图，对系统进行校正，分析系统未校正前的参数，再按题目要求对系统进行校正，计算出相关参数。最后观察曲线跟题目相关要求对比看是否满足要求，并判断系统校正前后的差异。 3 编制的程序： 3.1运用MATLAB 编程： 根据自动控制理论，对 I 型系统的公式可以求出静态误差系数 K 0=1。再根据要求编写未校正以前的程序 %MATLAB PROGRAM L1.m K=1; %由稳态误差求得； n1=2500;d1=conv([1 0],[1 25]); %分母用conv 表示卷积； 武汉工程大学自动控制原理实验报告 专业班级：指导老师： 姓名：学号： 实验名称：系统根轨迹分析 实验日期：2011-12-01 第三次试验 一、实验目的 1、掌握利用MATLAB精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB仿真软件（版本6.5或以上） 实验内容 1．根轨迹的绘制 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。 图3.2 闭环系统一 图3.3 闭环系统一 的根轨迹及其绘制 程序 注意：在这里，构成系统s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中s最高 次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 r locfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某点 并点击鼠标左键，这时图上会出现一个关于该点的信息框，其中包括该系统在此点的特征根的值及其 对应的 K 值、超调量和阻尼比等值。图 3.4 给出了函数 r locfind 的用法。 2．实验内容 图3.5 闭环系统二 1） 对于图 3.5 所示系统，编写程序分别绘制当 （1） G(s)= )2(+s s K , （2） G(s)= ) 4)(1(++s s s K , 第四章 根轨迹分析法 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 思考与习题祥解 \ 题 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 | 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。 自动控制原理综合实验 一．实验目的 1．掌握连续系统的根轨迹法校正设计过程 2．掌握用根轨迹法设计校正装置的方法，并用实验验证校正装置的正确性 3．了解MATLAB 中根轨迹设计器的应用 4．了解零点和极点对一个系统的影响 二．实验内容 设控制系统为单位负反馈系统，开环传递函数为： ()(20)(5) K G s s s s =++ 试用根轨迹法设计串联超前校正装置，使校正后系统满足：期望开环放大系数K ≥18，0.4s t s ≤ ,%25%σ≤。 三．实验步骤 （1）用鼠标双击MATLAB 图标，进入MATLAB 命令窗口：“Command Window ”. (2)在“Command Window ”中键入以下程序： clear; num1=[1 ]; den1=conv([1 0],conv([1 20],[1 5])); Gk=tf(num1,den1); rltool(Gk) 得到如图1所示的开环的根轨迹图形，图1中红色正方形是k ＝1时闭环系统的极点。 图1 （3）选择Analysis—other loop repsonses点击后如图2所示 图2 图2的设置，表示要观察闭环系统的单位阶跃输入的时域响应曲线。 选择STEP后在右边的Closed-loop下面的r to y打钩，按OK.观察系统的阶跃响应，如图3所示 图3 （4）引入设计规则：添加设计条件，在根轨迹上建立期望极点区域。在图4的菜单项中，点击Edit>>Root Locus>>Design Constrains>>New，得图5。 图4 在图4所示的界面上设置调节时间。设置完毕，点击OK，得图5。 《自动控制原理》课程实验报告 实验名称系统根轨迹分析 专业班级 *********** ********* 学 号 姓名** 指导教师李离 学院名称电气信息学院 2012 年 12 月 15 日 一、实验目的 1、掌握利用MATLAB 精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB 仿真软件（版本6.5或以上） 三、实验内容和步骤 1．根轨迹的绘制 利用Matlab 绘制跟轨迹的步骤如下： 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。 图3.2 闭环系统一 图3.3 闭环系统一的根轨迹及其绘制程序 图 3.4 函数 rlocfind 的使用方法 注意：在这里，构成系统 s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 rlocfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某 第4章 根轨迹法 在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。 本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。 4.1 根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。 4.1.1 根轨迹的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益* K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s 平面上移动的轨迹。根轨迹增益* K 是首1形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为 ) 2()15.0()(*+=+=s s K s s K s G 根轨迹增益K K 2* =。闭环传递函数为 * 2* 2)()()(K s s K s R s C s ++==Φ 闭环特征方程为 02*2=++K s s 特征根为： *111K -+-=λ, *211K ---=λ 当系统参数*K （或K ）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。 表4-1 **K K 1λ 2λ 0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 M M M M ∞ ∞ -1+j ∞ -1-j ∞ 利用计算结果在s 平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K （或* K ）从零变化到无穷大时闭环极点在s 平面上移动的轨迹，即根轨迹，如图4-2所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K （或* K ）增大时两条根轨迹移动的方向。 根轨迹图直观地表示了参数K （或* K ）变化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数 K 对闭环极点分布的影响。 4.1.2 根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见图4-2），就能分析系统性能随参数（如* K ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图4-2所示的根轨迹全部落在左半s 平面，因此，当K >0时，图4-1所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s 平面，则在相应K 值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。 图4-2 系统根轨迹图 四根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： <1） <2） <3 ） <4 ） 试绘制由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：<1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区 间。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由 得 不在根轨迹上，舍去。分离点为。 分离点处K 值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一令，得 方法二将特征方程列劳斯表为 令行等于0，得。代入行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1）解图所示。 ① 根轨迹方程 点，开环极点 开环零Array。 ② 实轴上的根轨迹区间。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上， 为分离点， 为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以 为圆心，以 为半径 的圆<教材已证明）。根轨迹如题2-4-1<2）解图所示。b5E2RGbCAP <3） ① 开环零点 开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2<3）解图 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1<3）解图所示。 <4） ①四个极 点。 ②渐近线 ③实轴上的根轨迹区间为。 ④分离点 得，均为分离点，。 分离角正好与渐近线重合。 ⑤出射角 东北大学秦皇岛分校自动化工程系自动控制系统课程设计 根轨迹串联超前校正 专业名称自动化 01 班级学号50801 5080101 学生姓名 指导教师 设计时间2020111111..6.2.277~20 ~20111111..7.8 目录 摘要 (1) 1.绪论 (3) 1.1课题概述 (3) 1.2根轨迹法超前校正简介 (3) 1.3课题研究的目的和意义 (4) 1.4本课题研究的主要内容 (4) 2.系统校正 (5) 2.1已知条件及要求 (5) 2.2对系统进行分析 (5) 2.2.1当串联一个零点时 (7) 2.2.2串联一个具有零点性质的零极点对 (8) 2.2.3串联一个具有两个零点，一个极点的控制器时 (9) 2.2.4当串联具有零点性质的两个极点，一个零点的控制器时 (10) 2.2.5串联更复杂的具有零点性质的控制器 (11) 3.总结 (13) 4.致谢 (13) 5.参考文献 (14) 摘要 根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数（通常为增益）从零变化到无穷大时，如何根据开环极点和零点的位置确定全部闭环极点位置。从根轨迹图可以看出，只调整增益往往不能获得所希望的性能。事实上，在某些情况下，对于所有的增益，系统可能都是不稳定的。因此，必须改造系统的根轨迹，使其满足性能指标。 利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。 是否采用超前校正可以按如下方法进行简单判断：若希望的闭环主导极点位于校正前系统根轨迹的左方时，宜用超前校正，即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。 用根据轨迹法进行超前校正的一般步骤为： 1)根据对系统静态性能指标和动态性能指标的要求，分析确定希望的开环 增益和闭环主导极点的位置。 2)画出校正前系统的根轨迹，判断希望的主导极点位于原系统的根轨迹左 侧，以确定是否应加超前校正装置。 3)根据题目要求解出超前校正网络在闭环主导极点处应提供的相位超前 角。 4)根据图解法求得G c(s)的零点和极点，进而求出校正装置的参数。 5)画出校正后系统的根轨迹，校核闭环主导极点是否符合设计要求。 本文在进行根轨迹超前校正时应用了MATLAB，MATLAB的根轨迹方法允许进行可视化设计，具有操作简单、界面直观、交互性好、设计效率高等优点。早期超前校正器的设计往往依赖于试凑的方法，重复劳动多，运算量大，又难以得到满意的结果。MATLAB作为一种高性能软件和编程语言，以矩阵运算为基础， 47、传递函数 ：传递函数是指在零初始条件下，系统输出量的拉式变换与系统输入量的 拉式变换之比。 48、系统校正 ：为了使系统达到我们的要求，给系统加入特定的环节，使系统达到我们 的要求，这个过程叫系统校正。 49、主导极点 ：如果系统闭环极点中有一个极点或一对复数极点据虚轴最近且附近没有 其他闭环零点，则它在响应中起主导作用称为主导极点。 50、香农定理 ：要求离散频谱各分量不出现重叠 , 即要求采样角频率满足如下关系： s ≥ 2 ω max 。 51、状态转移矩阵 ： （t ） e At ，描述系统从某一初始时刻向任一时刻的转移。 52、峰值时间 ：系统输出超过稳态值达到第一个峰值所需的时间为峰值时间。 53、动态结构图 ：把系统中所有环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中， 并把相应的输入、输出信号分别以拉氏变换来表示，从而得到的传递函数方块图就称为 动态结构图。 54、根轨迹的渐近线 ：当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，系统有 n-m 条根轨迹终 止于 S 平面的无穷远处，且它们交于实轴上的一点，这 n-m 条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线。 55、脉冲传递函数 ：零初始条件下，输出离散时间信号的 z 变换 C z 与输入离散信号的 56、Nyquist 判据（或奈氏判据） ：当ω由 - ∞变化到 +∞时， Nyquist 曲线（极坐标 图） 逆时针包围（ -1，j0 ）点的圈数 N ，等于系统 G （s ）H （s ） 位于 s 右半平面的极点数 P ，即 N=P ，则闭环系统稳定；否则（ N ≠ P ）闭环系统不稳定，且闭环系统位于 s 右半平面的极 点数 Z 为： Z=∣P-N ∣ 57、程序控制系统 : 输入信号是一个已知的函数，系统的控制过程按预定的程序进行， 要求被控量能迅速准确地复现输入，这样的自动控制系统称为程序控制系统。 58、稳态误差 ：对单位负反馈系统，当时间 t 趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实 际值与期望值（即输入量）之差的极限值，称为稳态误差，它反映系统复现输入信号的 （稳态）精度。 59、尼柯尔斯图（ Nichocls 图）：将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以 （度）为线性分度的横轴，以 l （ ω）=20lgA （ ω）（db ）为线性分度的纵轴，以ω为参变 量绘制的 φ（ ω） 曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（ Nichols 图） 60、零阶保持器 ：零阶保持器是将离散信号恢复到相应的连续信号的环节，它把采样时 刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。 61、状态反馈 设系统方程为 x& Ax Bu,y cx ，若对状态方程的输入量 u 取 u r Kx ， 则称状态反馈控制。 . 名词解释 z 变换 R z 之比，即 G z Cz Rz 课程设计报告 ( 2013-- 2014 年度第 1 学期) 名称：《自动控制理论》课程设计 题目：基于自动控制理论的性能分析与校正院系：自动化系 班级： 学号： 学生姓名： 指导教师：孙建平 设计周数：1周 成绩： 日期：2014 年 1 月3 日 一、课程设计的目的与要求 本课程为《自动控制理论A》的课程设计，是课堂的深化。设置《自动控制理论A》课程设计的目的是使MATLAB成为学生的基本技能，熟悉MATLAB这一解决具体工程问题的标准软件，能熟练地应用MATLAB软件解决控制理论中的复杂和工程实际问题，并给以后的模糊控制理论、最优控制理论和多变量控制理论等奠定基础。作为自动化专业的学生很有必要学会应用这一强大的工具，并掌握利用MATLAB对控制理论内容进行分析和研究的技能，以达到加深对课堂上所讲内容理解的目的。通过使用这一软件工具把学生从繁琐枯燥的计算负担中解脱出来，而把更多的精力用到思考本质问题和研究解决实际生产问题上去。 通过此次计算机辅助设计，学生应达到以下的基本要求： 1.能用MATLAB软件分析复杂和实际的控制系统。 2.能用MATLAB软件设计控制系统以满足具体的性能指标要求。 3.能灵活应用MATLAB的CONTROL SYSTEM 工具箱和SIMULINK仿真软件，分析系统的性能。 二、主要内容 1．前期基础知识，主要包括MA TLAB系统要素，MA TLAB语言的变量与语句，MATLAB 的矩阵和矩阵元素，数值输入与输出格式，MATLAB系统工作空间信息，以及MA TLAB的在线帮助功能等。 2．控制系统模型，主要包括模型建立、模型变换、模型简化，Laplace变换等等。 3．控制系统的时域分析，主要包括系统的各种响应、性能指标的获取、零极点对系统性能的影响、高阶系统的近似研究，控制系统的稳定性分析，控制系统的稳态误差的求取。 4．控制系统的根轨迹分析，主要包括多回路系统的根轨迹、零度根轨迹、纯迟延系统根轨迹和控制系统的根轨迹分析。 5．控制系统的频域分析，主要包括系统Bode图、Nyquist图、稳定性判据和系统的频域响应。 6．控制系统的校正，主要包括根轨迹法超前校正、频域法超前校正、频域法滞后校正以及校正前后的性能分析。 三、设计正文 1，控制系统模型： 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= ' 28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2-根轨迹方法控制系统校正
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