整式的加减讲义

第二章 整式的加减

1．从用字母表示数逐渐提升到准确规范列代数式.

（1）用字母表示数的意义：可以简明地表示数学运算定律；可以简明地表示公式；简明地表示问题中的数量关系．

（2）用字母表示数要注意：同一个问题中不同数或数量要用不同的字母表示；不同问题中不同数或数量可以用相同的字母表示，但相同字母表示的含义是不同的；用同一个字母表示数，往往不只是一个值，而是若干个或无数个值，也就是同一个字母可以表示不同的数值；用字母表示数具有任意性，也有局限 性，如：式子3

1

a -中的a 不能等于１；用多个字母表示某一问题中的数量关系时，字母的取值互相制约，如：式子

x

a b

-中，字母a 或b 可以任意取值，但a ，b 却不能取相同的数值． （3）要求严格按照以下书写代数式的几点要求书写.

①代数式中数与字母、字母与字母相乘时，通常应省略乘号。如，×常写成 “·”号或省略不写 ，而数与数相乘时，则不能将“×”写成“·”号或省略不写； ②数与字母相乘，数应写在字母的前面，如5a 不写成a5； ③除法运算常写成分数形式；

④带分数与字母相乘，应把带分数化为假分数；

⑤当系数或字母的指数是1时，这个“1”通常不写.

（４）尽可能熟记一些常用数的表达方式. 以下代数式中，m ，n 均为（正）整数. 如：奇数2n-1或2n+1；

偶数2n ；

三个连续整数一般写作n-1，n ，n+1； 三个连续偶数般写作2n-2，2n ，2n+2； 三个连续奇数般写作2n-1，2n+1，2n+3； 被3整除的数写作3n ；

被5除商m 余1的数5m+1； 用(1)n -表示数的正负性；

2.单项式、多项式、整式及其相关概念可通过适当例题加深理解与强化. （1）单项式：数字或字母的积组成的式子

例1判断下列各式中，哪些是单项式，并说出各单项式的系数、次数？

2

3a -，52

(1)n x y -，2

x -，c a 4， 0，53

4+n ，π232y x -

通过此题，强调应注意以下几点：

①单项式只能含有乘除（乘方）运算，除法运算只限于除数是数字（因为可以看作分数系数）的情况；在确定单项式的系数时别忘了符号和分母中的数字；

②单独的一个数字和字母也是单项式；③单项式次数只与字母指数有关;④圆周率π是常数. （2）多项式：几个单项的和； 整式：单项式和多项式统称为整式。 例2.判断下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．

2323322159,,,,,31,

3232x y x x y mn ab c a a x x y ----+-+，2

1(x ＋y ＋1)，y x 2，32xy ，12π，x 2

＋x 1－1. 通过此题，可说明：在学生现有知识内容的基础上，整式实际就是分母中不含字母，但π不是字母.

例3多项式623322233

5

+-+y x xy y x －是_____次_____项式，其中系数最小的项是_______，按x 的

降幂排列____________________________________________,按y 的降幂排列_____________________ __________________. 通过此题，可说明：

①对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，如关于x ，y 的多项式，一般习惯按x 的降幂排列；

②移动单个项的时候，一定要连同前面的符号一起移动. 例4若m 与n 为正整数, n m n m

y x

+++2的次数是( )

Ａ． m Ｂ． n Ｃ． m + n Ｄ．m , n 中较大的数

例5 已知多项式421

2

331543

a x y x

y x y +--+(a 为正整数)是七次三项式，求a 的值

3. 整式的加减是本章的核心问题

(1)同类项概念中，应突出一个“同”字，即必须抓住“两同”：必须含有相同的字母，相同的字母的指数也必须相同。

例6判断下列式子是不是同类项：

3ac 与3abc 2a 2b 与3ab 2

2ab 2

与5ab 2

5xy 与135yx 125与2

通过此题，强调应注意以下几点：

①同类项必须所含字母完全．．相同，并且相同字母．．．．的指数完全相同(“两同”)； ②同类项可以系数不一样，符号不一样，也可以字母的顺序不一样； ③几个单独的数字也称作同类项. 例7指出下列多项式中的同类项：

(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2

y －2xy 2

＋3

1

xy 2

－2

3yx 2

；

*(3)31(s ＋t)－51(s －t)－43(s ＋t)＋6

1(s －t)； *(4)2(s －t)＋3(s －t)2

－5(s －t)－8(s －t)2

＋s －t.

① 将多项式看作代数和，在指名同类项时要带着前面的符号;

②一些多项式可以类比单项式看作同类项. （1）关于去括号法则的应用：强调：

① “括号”的作用就是将括号内的各项视为一个整体；

②括号前是“＋”号，把括号和它前面“＋”．．．．．．去掉，括号里各项都不变号；括号前是“－”号，把括号和它前面“－”．．．．．．去掉，括号里各项都改变符号； ③去括号法则的实质是乘法分配律； ④“+”号可根据需要随时删、加； 例8下列去括号错误的是：

①c ab c b a +=++)(； ②d c b a d c b a +--=-+-)(；

③c b a c b a -+=-+2)(2； ④b a a b a a b a a +-=+--+---222)]([ 例9去括号：

(1)(2x―3y )+(5x+4y )； (2)(8a―7b )―(4a―5b )；

(3)(8x―3y )―(4x+3y―z )+2z ； (4)―5x 2+(5x―8x 2)―(―12x 2+4x )+5

1

；

(5)2a―3b+［4a―(3a―b )］； (6)3b―2c―［―4a+(c+3b )］+c;

(7)a+2(a―2b)； (8) 5x―2(3x―5)；

(9)a―(2a+b )+2(a―2b )； (10)3 (5x+4)―2(3x―5)；

(11)2―2(1+x )+5(1+x+x 2

―x 2

)； (12)3a 2

+a 2

―4(2a 2

―2a )+2(3a―a 2

)；

（3）补充添括号法则：

例10.化简：()()()()b a b a b a b a ---+---432332.

例11(1)2

1y x x =+-，求2235(21)x x y x +--++ 的值；

(2) 当x =2时，代数式13+-bx ax 的值等于17-，那么当x =1-时，求代数式53123

--bx ax 的值；

（3）已知：a －b ＝2，b －c ＝－3，c －d ＝5，求（a －c ）(b －d )÷（a －d ）的值；

（4）已知：2x 2

-x-3=0,求代数式 6x 3

+x 2

-11x-5的值；

（5）若0=-+p n m ，则)1

1()11()11(n

m p p m n p n m +--+-的值.

（2）探究规律问题

例12(1) 观察下面一列有规律的数： ,48

6

,355,244,153,82,31， 根据这个规律可知第n 个数是

______ （n 是正整数）

(2)一组按规律排列的式子：()25811

234,,,,0b b b b ab a a a a

--≠ ，其中第7个式子_________，第n 个式

子是_______________（n 为正整数）．

……

(3)我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事非，在一个边长为1的正方形纸版

上，依次贴上面积为n 2

1

8

1

4121，，

，， 的矩形纸片（n 为大于1的整数）.请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算

n 2

1

814121++++ = . (4)用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；那么第(n )个图案中 有白色．．地砖 块.

六、相关练习：

一.选择题

1.代数式3(m+n),,,622t

s

b a y, 2y x -, 3252y x -，-1中单项式的个数（ ）

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 2.下列代数式中多项式的个数是（ ）

（1）a 51 （2）2222y xy x ++ （3）3

1+a （4）b a 12- （5）()y x +-41

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. 下列各题中的两个项是同类项的是( )

（A ）23323x y y x -与 （B ）2222xyz yz x 与 （C ）5x 与xy （D ）-5与b 4.若式子75242

=+-x x ，则式子122

+-x x 的值等于 （ ）

(A) 2 (B) 3 (C) -2 (D) 4

5. 某种型号的电视机，1月份每台售价x 元，6月份降价20%，则6月份每台售价（ ）

(A) %)20(-x 元 (B)

%

20x

元 (C) x %)201(-元 (D) x %20元 6.下列计算正确的是（ ）.

（A ）4x-9x+6x=-x （B ）xy xy xy 32=- （C ）x x x =-2

3

（D ）02

1

21=-a a 7.计算：3562

+-a a 与1252

-+a a 的差，结果正确的是（ ）.

（A ）432

+-a a （B ）232

+-a a （C ） 472

+-a a （D ）272

+-a a . 二. 填空题

1.9

442y x π的系数是______，次数是 .

2 .若1

25

2+-

m y x 是关于x 、y 的五次单项式，则m 为_______.； 3.4

35432

32

3

2

b a b ab b a ---是_____次_____项式，最高次项系数是 .

4. 一个长方形的周长是45，一边长为a ，则这个长方形的面积为 5．若2122b a m +与3

27

9-+-

n m b a 是同类项，则m+n=__________.

6. 有理数a,b 在数轴上的位置如图所示.化简a b b 322231-++--=

7.把（x-1）当作一个整体，合并3434)1(4)1(5)1(2)1(3x x x x -+-----的结果是__________________. 8.三个连续奇数，中间一个是n ，则这三个数的和为 . 9.观察下列算式：

;1010122=+=- 3121222=+=-； 5232322=+=-；

7343422=+=-； 9454522=+=-； ……

若字母表示正整数，请把第n 个等式用含n 的式子表示出来： .

10. 如图1、2、3，…是由花盆摆成的图案，图1中有1盆花，图2中有7盆花，图3中有19

盆花，……

……

图3

图2

图1

（1） 根据图中花盆摆放的规律，图4中，应该有 盆花，图5中，应该有

盆花；

（2） 请你根据图中花盆摆放的规律，写出第n 个图形中花盆的盆数_________；第n+1个图形中，花盆

的盆数与第n 个图形中花盆的盆数之间的关系____________.

三.计算题

1.（2x －3y ）＋（5x ＋4y ）

2.（8a －7b ）－（4a －5b ）．

3. (－x 2

+3xy －2

1y 2

)－(－2

1x 2

+4xy －2

3y 2) 4. (5y +3x －15z 2)－(12y －7x +z 2

)．

四. 解答题

1. 已知xy y B xy x A 3,222+=-=，求B A 32-的值．

2．化简求值：)3123()31(22122y x y x x +-+--的值，其中3

2,2=-=y x ．

3. 化简求值：2222131343223a b a b abc a c a c abc ????

------ ???????

, 其中a = -1, b = -3, c = 1.

4.已知()0522

=++++b a a ，求()[]

ab a b a ab b a b a -----22224223的值．

5. 已知 2x 2

+ x - 5 = 0, 求代数式 6x 3

+7x 2

-13x +11的值.

6. 有一位同学说，整式323323310363367x y x y x x y x y x x --+++-的值与x 、y 的取值无关，他的说法是否有道理，请说出你的观点.

7. 某化工厂生产某种化肥，每吨化肥的出厂价为1780元，其成本为900元，但在生产过程中，平均每吨化肥有280立方米的有害气体排出，为保护环境，工厂需要对有害气体进行处理。现有两种处理方案可供选择：

1）将有害气体通过管道送交废气处理厂统一处理，则每立方米需付费3元；

2）若自行引进处理设备处理有害气体，则每立方米需原材料费0.5元，且设备每月管理、损耗费用为28000元

若工厂每月生产化肥x 吨，分别求出用方案1、方案2处理有害气体时每月的利润（注：利润=总收入-总支出）