非线性偏微分方程 偏微分方程数值方法
非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程偏微分方程数值方
法
非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性微分方程
(一)主要研究内容
非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。
1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;非线性方程的数值解。
2.H-半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值(S)型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。
3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用:主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的
许多最优控制问题(如:电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等)。
(二)研究方向的特色
1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。
2.该研究是现代数学与电力生产的交叉学科研究课题，它对电力生产及管理有着十分重要的理论指导意义和实际应用价值，为控制系统设计、分析和计算都可提供一些重要的理论依据。在应用数学学科的这一研究领域中本课题属于国内外前沿性研究工作。
(三)可取得的突破
1.深入研究空间、时间、时滞对解的性质的影响，诸如静态解、周期解的存在性、解的存在性、渐近性等问题;寻求它们在含间断项的非线性偏微分方程方面的突破。
2.寻求和发现新的处理非单调、非凸不可微能量泛函的方法(如建立Ishikawa 迭代序列收敛准则)，建立发展型方程G-收敛准则，寻求可行的光滑方法将算子方程光滑化，创建新的先验估计方法。
3.应用现代数学所获得的理论，研究最有控制系统的微分方程，为控制系统设计、分析和计算提供一些重要的理论依据和方法。
1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。
1760~1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。
随机微分方程数值解
在随机微分方程数值解这个领域，近几年来国内涉足它的人开始逐渐增多。它也是一门建立在随机分析与微分方程数值解之间的新兴学科。作为一个初学者，我想从它的框架简单谈一下自己的认识，以供讨论。从研究的问题本身来说它主要分为:
1随机常微分方程数值方法
2随机偏微分方程数值方法
3随机延时微分方程数值方法
4倒向随机微分方程数值方法
仅这四个方面就已经涵盖目前非常重要的一些技术领域的应用。另外从数值方法上分，它可以分为:
1强逼近问题
2弱逼近问题
还有更强的顺向逼近。国内最早涉足这个领域的是山大的彭实戈老师，已经在倒向随机微分方程理论及随机最优控制方面取得了惊人的突破。国外方面，在美国做随机常微分方程的很少(只有Hchurz，lamba几个)，做随机偏微分方如Allen,Cao等等)。在欧洲做随机常微分方程的很多(如Talay，程的较多( Higham，Milstein等)。另外澳洲也有专门研究随机常微分方程的(如Burrage)。
随机微分方程(SDE)是a微分方程在哪些一个或更多期限是a随机过程因而造成是本身一个随机过程的解答。一般，SDEs合并空白噪声哪些能被重视作为衍生物苏格兰的植物学家Robert Brown的行动(或熏肉香肠过程);然而，值得一提的是，任意波动的其他类型是可能的，例如跳跃过程(参见[1]).
内容
1背景
1.1术语
1.2随机微积分
1.3数值解
2用途在物理
2.1笔记关于"Langevin等式"
3用途在可能性和财政数学
4解答的存在和独特
5参考
6参见
背景
在SDEs的最早期的工作被完成描述苏格兰的植物学家Robert Brown的行动爱因斯坦's著名纸和同时由Smoluchowski。然而，其中一更加早期的工作与苏格兰的植物学家Robert Brown的行动有关相信Bachelier(1900)在他的论文'猜想理论'。这工作被跟随了Langevin.最新Ito和Stratonovich在更加坚实的数学立足处投入了SDEs。
术语
在物理学，SDEs通常被写当Langevin等式。这些有时缠扰不清称"Langevin 等式"即使有许多可能的形式。这些包括包含一个确定部分和一另外任意的一个常微分方程空白噪声期限。第二个形式是福克战斗机Planck等式.福克战斗机Planck等式是描述时间演变的一个偏微分方程概率分布作用.第三个形式是在数学和财务最频繁使用(如下所示)的随机微分方程。这于Langevin形式是相似的，但它在有差别的形式通常被写。这个形式频繁地使用由数学家和在定量财务。SDEs 进来二品种，对应于随机微积分的二个版本。
随机微积分
苏格兰的植物学家Robert Brown的行动或熏肉香肠过程数学上被发现是格外复杂的。熏肉香肠过程non-differentiable;因此，它要求微积分它自己的规则。使用随机微积分的二个版本，Ito随机微积分并且Stratonovich随机微积分.当你应该使用一或其他时，它是有些模棱两可的。方便地，你在解答可能再欣然转换Ito SDE成等效Stratonovich SDE和后面成援助;然而，使用的你一定小心当的微积分SDE最初写下时。
数值解
随机微分方程的特别是数值解和随机偏微分方程相对地讲是一个年轻领域。几乎为常微分方程的解答使用的所有算法为SDEs非常不足将运作，有非常恶劣的数字汇合。
用途在物理
在物理，SDEs在Langevin形式典型地被写并且被称为"Langevin等式"。例如，一般被结合的套优先处理的SDEs在形式经常被写:
那里是套未知数，fi并且gi是任意作用和ηm是，经常被称为的时间的任意作用"噪声命名"。这个形式通常是能用的，因为有变换的标准技术高次等式成数通过介绍新的未知数结合了优先处理的等式。如果gi是常数，系统被认为受叠加性噪声支配，否则它被认为受乘噪声支配。这个期限是有些引入歧途的，因为它来意味一般案件，即使看起来暗示有限的案件，:.叠加性噪声是简单的二个案件。正确解答可能使用平凡经常被发现微积分.特别是，平凡连锁法则微积分能使用。然而，在乘噪声情况下，Langevin等式不是明确定义的个体独自，并且必须指定它是否应该解释Langevin等式作为Ito SDE或Stratonovich SDE。
在物理，解答主要方法将发现概率分布作用作为时间功能使用等值福克战斗机Planck等式(FPE)。福克战斗机Planck等式是确定的偏微分方程.它告诉怎样概率分布作用及时相似地演变于怎样Schrdinger等式给量子波函数的时间演变或扩散
等式给化工集中的时间演变。二者择一地数值解可以获得蒙特卡洛模仿。其他技术包括道路综合化那在比喻画在统计物理之间和量子力学(例如，福克战斗机Planck 等式可以被变换成Schrdinger等式通过重新调节几可变物)或通过写下常微分方程为统计片刻概率分布作用。
笔记关于"Langevin等式"
""在"Langevin等式"是有些不合文法命名原则。每个单独物理模型有它自己的Langevin等式。或许，"Langevin等式"或"伴生的Langevin等式"更将好遵守共同的英国用法。
用途在可能性和财政数学
记法用于概率论例如(和在概率论的许多应用，财政数学)是轻微地不同的。这个记法做异乎寻常的自然时间的任意作用ηm在物理公式化更加明确。也是用于出版物的记法数字方法为解决随机微分方程。用严密的数学用语，ηm不能仅被选择作为一个通常作用，而是作为a广义函数.数学公式化比物理公式化对待这复杂化以较少二义性。
一个典型的等式是形式
那里B表示a熏肉香肠过程(标准苏格兰的植物学家Robert Brown的行动)。应该解释这个等式作为一个不拘形式的方式表达对应积分方程
上面等式描绘行为连续的时间随机过程xt作为平凡的总和Lebesgue积分式并且Itō积分式.A启发式(但是非常随机微分方程的有用的)解释那在小规模间隔时间长度δ随机过程xt改变它的价值由是的数量通常分布与期望μ(xt,t)δ并且变化σ(xt,t)δ并且是过程的过去行为的独立。这如此是，因为熏肉香肠过程的增加是独立和通常分布。作用μ指漂泊系数，当时σ叫扩散率。随机过程xt叫a扩散过程和通常是a Markov过程.
SDE的正式解释被给根据什么构成解答对SDE。有解答对SDE，一种强的解答和一种微弱的解答的二个主要定义。两个要求过程的存在xt那解决SDE的积分方程版本。二句谎言之间的区别在部下的概率空间(ΩFPr)。一种微弱的解答包括a概率空间并且满足积分方程的过程，而一种强的解答是满足等式的过程和被定义在一个特定概率空间。
一个重要例子是等式为几何学苏格兰的植物学家Robert Brown的行动
哪些是等式为a的价格的动力学股票在黑Scholes定价财政数学的模型选择。
也有更加一般的随机微分方程，系数μ并且σ取决于不仅过程的现值xt，而且在过程的早先价值和可能在其他过程的当前或早先价值也是。在那个案件解答过程，x不是Markov过程，并且它称Itō过程而不是扩散过程。当系数仅依靠礼物和通过价值x定义的等式称随机延迟微分方程。
解答的存在和独特
和以确定普通和偏微分方程，知道是重要的特定SDE是否有一种解答，并且是否它是独特的。下列是一个典型的存在和独特定理为Itō采取价值的SDEs n-尺寸欧几里德的空间Rn并且由驾驶m-尺寸苏格兰的植物学家Robert Brown的行动B;证明在ksendal(2003年，?5.2)也许被发现。
让T 0，和让
是可测函数为哪些那里存在常数C并且D这样
为所有t?[0,T]和所有x并且y?Rn的地方
让Z是独立的一个随机变量σ-引起的代数Bs,s?0，和与有限二次矩:
然后随机微分方程或初值问题
xt=Z;
有Pr-几乎肯定独特t-连续的解答(t,ω)|?xt(ω)这样x是适应对滤清FtZ引起Z并且Bs,s?t和
参考
adomian，乔治(1983)。随机系统数学在科学和工程学(169)。奥兰多，FL:学术出版社公司。
adomian，乔治(1986)。非线性随机操作员等式.奥兰多，FL:学术出版社公司。
adomian，乔治(1989)。在物理的非线性随机系统理论和应用数学和它的应用(46)。Dordrecht:Kluwer学术出版者小组。
ksendal，Bernt K。(2003).随机微分方程:介绍以应用.柏林:Springer。国际标准书号3-540-04758-1.
Teugels，J。并且Sund B。(eds。)(2004)。保险统计计算科学百科全
书.Chichester:威里，523-527。
C.W.Gardiner(2004)。随机方法手册:为物理、化学和自然科学.Springer，415。
托马斯?Mikosch(1998)。基本的随机微积分:以财务视线内.新加坡:世界科学出版，212。国际标准书号981-02-3543-7.
Bachelier，L.，(1900)。Théorie de la speculation(用法语)，PhD论
文.NUMDAM:用英语在1971书'股市'Eds的任意字符。P.H.Cootner。
高性能科学计算研究
一、研究内容
一般地，构成实际应用物理过程的各个不同阶段的物理模型，可分别由不同类型的时间相关或无关的偏微分方程在给定的物理区域上描述。如何针对不同偏微分方程的问题设计合适的网格和离散格式，如何设计可扩展的并行算法及其并行实现技术，在离散网格上给出方程的近似解，是我们研究的两个主要方面。
本项目的研究以科学计算的共性问题为核心，包括具有最优复杂性的计算方法研究和能发挥计算机浮点计算峰值性能的实现技术研究，同时应用本项目科学计算的共性问题的研究成果，解决一批我国具有重大需求的科学计算问题。
1.创新计算方法的基础理论研究
计算数学是研究可在计算机上运行的数值算法的构造及其数学理论的学科。过去五十多年科学计算发展的历史表明:基础计算方法的重要突破如有限元方法、多重网格方法、快速傅里叶变换等都极大地改变了科学计算的面貌。我们将研究有限元新型算法包括多重网格与区域分解算法、均匀化多尺度算法、自适应高精度算法和各类方法的耦合，动力系统的保结构算法，守恒律高分辨率差分格式，各类快速算法包括非规则网格的快速傅里叶变换等，同时研究新的应用领域大规模高速集成电路中电磁信息计算中的计算方法。研究重点在并行
自适应算法与理论，保结构计算方法的理论与应用，大规模高速集成电路中电磁信息计算。
1.1并行自适应算法与理论
这里自适应方法主要是指网格自适应方法，是一类渗透到了偏微分方程数值解、非线性逼近论、偏微分方程约束的最优工程设计、网格产生等科目研究的方法。现在网格自适应方法主要分为三种主要的类型，分别叫做h-方法、p-方法和r-方法。其中h-方法是对网格进行自适应的局部加密和稀疏化，p-方法是在网格的不同位置使用不同的基函数，r-方法是进行网格点的重新分布，又叫做移动网格方法。将h-方法和p-方法结合可以得到h-p方法，也可以将r-方法和p-方法结合得到r-p方法。网格自适应方法最根本的目标在于使用最少的计算资源来解决问题，从而可以在现有的硬件资源条件下扩大计算的规模和提高计算的精度。
针对当前国际研究发展的趋势和本项目应用问题的需求，我们主要的研究内容集中在下面的二个方面:
网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究
摘要:该文的主要目的是研究无网格方法,并将其应用于偏微分方程的数值解过程中.与传统的网格方法不同,无网格方法的核心是用"点云"离散求解区域,并基于当地点云离散结构,引入二次极小曲面逼近空间导数.该文先以代表定常不可压位势绕流的Laplace方程为例,研究了Laplace方程的无网格离散形式,并运用GMRES高效算法对其快速求解,数值模拟了典型的圆柱绕流;并通过不同点云尺度的数值模拟,显示出点云尺度对计算精度的影响.在此基础上,将该方法推广应用到解算Euler方程组.针对守恒型Euler方程组的无网格离散形式,借鉴非结构网格方法附加耗散模型,采用五步Runge-Kutta显式时间推进格式求解.并且基于点云离散结构,引入了当地时间步长、残值光顺等加速收敛技术,数值模拟了对称和非对称翼型绕流,获得较好的计算结果.该文还对基于点云结构的无网格计算软件的面向对象设计模式进行了研究,着重于提高软件的复用性和
Matlab偏微分方程工具箱简介
1.概述
本文只给出该工具箱的函数列表，读者应先具备偏微分方程的基本知识，
然后根据本文列出的函数查阅Matlab的help，便可掌握该工具箱的使用。
2.偏微分方程算法函数列表
adaptmesh生成自适应网络及偏微分方程的解 assemb生成边界质量和刚度矩
阵
assema生成积分区域上质量和刚度矩阵 assempde组成偏微分方程的刚度矩阵及右边 hyperbolic求解双曲线型偏微分方程 parabolic求解抛物线型偏微分方程pdeeig求解特征型偏微分方程
pdenonlin求解非线性型微分方程
poisolv利用矩阵格式快速求解泊松方程 3.图形界面函数
pdecirc画圆
pdeellip画椭圆
pdemdlcv转化为版本1.0式的*.m文件 pdepoly画多边形
pderect画矩形
pdetool偏微分方程工具箱的图形用户界面
4.几何处理函数
csgchk检查几何矩阵的有效性 csgdel删除接近边界的小区
decsg将固定的几何区域分解为最小区域 initmesh产生最初的三角形网络jigglemesh微调区域内的三角形网络 poimesh在矩形区域上产生规则的网络refinemesh细化三角形网络
wbound写一个边界描述文件
wgeom写一个几何描述文件
pdecont画轮廓图
pdemesh画偏微分方程的三角形网络 pdeplot画偏微分方程的三角形网络pdesurf画表面图命令
5.通用函数
pdetriq三角形单元的品性度量 poiasma边界点对快速求解泊松方程的"贡献"矩阵
poicalc规范化的矩阵格式的点索引 poiindex规范化的矩阵格式的点索引sptarn求解一般的稀疏矩阵的特征值问题
tri2grid由三角形格式转化为矩形格式
《偏微分方程中多尺度问题的数值解法》偏微分方程数值方法理论及其应用、有限元方法、多重网格法与区域分解法
"偏微分方程数值求解中的自适应网格方法研究"人工边界方法:无界区域上的偏微分方程数值解
"有限元高精度理论及算法"、"具有奇异解的偏微分方程的数值解法"、"无界域上偏微分方程的数值解法"、"多尺度有限元方法及其快速算法"、"快速数值计算算法及软件"
偏微分方程数值解法2
所谓的偏微分方程(PDE)是指含两个以上自变量的微分方程。偏微分方程的求解一般说来太过复杂，所以现在还没有一个对所有偏微分进行求解的理论，所谓的求解偏微分方程也只是对某些人们比较熟悉的类型进行求解。
对于一个形如A(x,y)Uxx+B(x,y)Uxy+C(x,y)Uyy=f(x,y,U,Ux,Uy)inΩ的偏微分方程
其中Ω是给定的平面有界区域。
如果B^2-4AC 0椭圆型
B^2-4AC=0抛物线型
B^2-4AC 0双曲线型
如果ABC是常数，方程被称为拟线性方程。
以上三类方程，人们有较成熟的解法。
这三类方程也有物理意义，比如椭圆型方程常见于电磁场的分布，抛物线型方程常见于扩散，双曲线型常见于波动，后两者还常会带有对时间的求导项。
这些方程，往往在一定的条件下才能有定解: Dirichlet条件，又称第一类边界条件，设定初值 Neumann条件，又称第二类边界条件，设定边值条件很多情况下，两者都有，称为混合边界条件。我的课题中涉及到一个物质随着流动相在色谱柱里运动的方程，能够描述
物质浓度波在柱内的运动和变形，因此会包括一阶时间项和二阶空间项，有个
专有名词--对流扩散方程，是种抛物线型和双曲线型的混合型方程。
偏微分方程数值解法
差分方法
有限元方法
拟谱方法
自适应格点方法
小波分析方法解偏微分方程
解决的方向:
微分算子的计算或表达
时间的差分离散
边界的处理
收敛性分析
误差的估计
稳定性分析
微分算子的自适应计算
时间和空间的自适应计算
差分法从定解问题的微分或积分形式出发,用数值微商或数值积分公式导出相应的线性代数方程组.
构造逼近微分方程定解问题的差分格式:直接差分化法,积分插值法以及有限体积法或广义差分法.
差分解的存在唯一性,收敛性以及稳定性的研究.这些理论问题为对差分解作出先验估计.基于极值定理以及能量不等式作估计.
有限元法从定解问题的变分形式出发,用Ritz-Galerkin方法导出相应的线性代数方程组.
中文译名?偏微分方程的多尺度小波方法本书系《小波分析及其应用》第6
卷，是一本论文集。
小波分析是目前国际上公认的最新时-频分析工具，由于其具有自适应性和数学显微镜性质，而成为众多学科共同关注的焦点。从数学角度讲，小波分析对函数逼近、调和分析、统计学、微分和积分方程的数值解等均产生直接的影响。本书作为小波分析与一般偏微分方程(PDE-partial Differential
Equation)技
术的桥梁，将多尺度分解的概念引入到了PDE的数值求解，可有效的分析较复杂问题。
书中内容分为6部分:(1)回顾了基于多层预调节及多网格技术的有限元法，多尺度空间分解框架，域内椭圆形问题的多尺度解法。(2)快速小波算法(压缩与自适应方面):D维二阶椭圆形PDE的自适应解的小波配置方法，求解非线性PDE的自适应小波分析，基于小波包最佳基的动态自适应概念在对流扩散PDE中的应用，求解椭圆算子方程中的非线性近似与自适应技术。(3)积分方程的小波求解，包括强椭圆边界积分方程的多尺度Galerkin法。(4)小波多尺度求解
PDE的软件工具与数值实例。(5)多尺度分析在湍流中的应用。(6)偏微分算子的小波分析。
本书收集的14篇论文代表了当前小波在偏微分方程应用中的最新进展，可供小波理论及应用、PDE等应用数学领域的科研人员学习参考。
(力学系马坚伟)
小波分析方法小波分析方法解偏微分方程
思路:Galerkin方法为基础;
半群方法为基础.
基于偏微分方程或积分方程的信号处理,流体动力学的问题就能用此方程描述.这些问题解的特征为光滑的(smooth),非振荡的(non-oscillatory),shock.
方法为:算子和解投影到小波基上.基函数的消失矩特性使得解和算子能够稀疏表达,因此就能给出快速,自适应算法.这些算法基于在光滑区域用较少的小波系数,在奇异区域得用较多的小波系数.
解这类方程重要的一步为时间的离散.因为进化方程的扩散项,标准的显格式容许小的时间步长.另外,隐格式容许大的时间步长,但在每一步得解线性方程组,这就给应用带来了困难.
B.Alpert,G.Beylkin,Tchamitchian(1990-2005)
用的方法:Wavelet-Galerkin method,Taylor-Galerkin method,配点方法,非标准小波表示.
John Weiss用小波Galerkin方法(Daubechies,1992,1993).用的是时间差分,空间离散.计算比较复杂,但精度好.
小波Galerkin方法
Galerkin配点方法:通过投影将连续算子离散化为矩阵形式,此方法的困难在于二重积分的数值计算;
为解决这困难,研究者提出了函数基用小波基,此方法被称为小波Galerkin方法.
在作数值逼近计算时,因为用了小波基,因此很多算子可用稀疏矩阵表示,那么小波Galerkin方法就为作快速数值计算提供了算法.总的来说,小波Galerkin方法在作逼近分析时比Adomian分解方法更可靠,在作数值逼近计算时比Galerkin方法速度更快.
算法复杂性为
另外,得分析稳定性;
不同小波基础的误差估计;
时间空间的自适应.
Legendre多小波的非标准表示的优点:
算子矩阵稀疏;
子区间元素相同;
维数低;
可线性化非线性项.
Legendre多小波不连续,微分算子的处理方法:
通过尺度方程导出系数方程组,解此方程组可得到算子矩阵;用传统的弱导数通过积分计算算子矩阵.
此小波处理边界有优势.
边界的处理?
构造多分辨分析,使得小波基满足边界条件.
用插值小波,配点方法.
变系数的处理?
时间空间的自适应?
应用小波分析求解微分方程研究
作者:来源:信息与计算科学系责任编辑:xinxi
课题主持人:孙涛
项目组成员:孙涛、李震、武斌、赵燕
项目研究时间:2010.5-2012.5
项目研究内容:主要研究应用小波分析进行微分方程的求解特别是偏微分方程的数值求解。预期目标是研究应用小波理论进行微分方程求解的已有成果，分析比较各种方法在理论与应用上的优缺点，同时对其在适用范围、计算精度、计算复杂
性、收敛性以及稳定性等方面进行对比，从而有针对性的对各种方法进行改进或完善;对将小波方法应用于偏微分方程数值求解的数学思想进行研究，形成基本的小波方法;对小波方法求解偏微分方程的小波基的特点进行分析，明确用于偏微分方程数值解法的小波基的数学特性，设计用小波方法求解偏微分方程的一般数学方法。
研究成果形式:论文和研究报告。
偏微分方程是需要常微分方程和随机微分(随机过程)两门课做基础的
需同时具备边界条件和初始条件。只给边界条件，一般无法解。如题目无初始条件，可自定(设)一些初始条件。
只有范围的结果,但不能求出精确的解.给了边界就能.
稳定性分析是针对某一特定的差分算法来说的。而并不是对偏微分方程来说的。一般是用Fouier分析的办法来做。
你可以看一下
余德浩,汤华中编的科学出版社出版的"微分方程数值解法"里面216页有一些相关的东西。
比较常用的差分算法有Lax_Wendroff格式以及MacCormack格式。
另外，你如果想要解析解的话，估计可能要用特征线法。或者分离变量法看一下。
微分方程数值解?
Numerical Solutions of Differential Equations
课程编号:S 080800XJ001课程属性:学科基础课学时/学分:40/2
预修课程:高等数学(包括数学分析与线性代数)、数学物理方程、计算方法、程序设计。
教学目的和要求:
本课程为数学、物理、力学、化学及工程科学等专业硕士研究生的选修课。主要讲授常微分方程和偏微分方程差分方法的算法、稳定性和收敛性理论，内容包括常微分方程初值与边值问题的数值解法，抛物型、双曲型及椭圆型偏微分方程的差分方法等。
通过本课程学习，希望学生掌握数值求解微分方程的一些基本方法，为进一步学习计算数学的专业课或在各自的专业工作中应用科学计算这一重要研究手段打下基础。
内容提要:
第一章常微分方程初、边值问题数值解法
Euler方法;Runge-Kutta方法;线性多步方法;稳定性、收敛性和误差估计;常微分方程边值问题的数值方法。
第二章抛物型方程的差分方法
差分格式建立的基础;显式、隐式差分格式;差分格式的稳定性和收敛性;高维抛物型方程的差分方法;交替方向隐式差分方法。
第三章双曲型方程的差分方法
一维双曲型方程的特征线方法;一阶线性双曲型方程(组)的差分方法;双曲型守恒律方程及守恒型差分格式;二阶波动方程的差分方法。
第四章椭圆型方程的差分方法
Poisson方程第一边值问题的差分方法;Poisson方程的有限体积方法;差分方法的收敛性和误差估计;椭圆型差分方程的迭代解法;多重网格方法。
教材
余德浩、汤华中，《微分方程数值解法》，科学出版社，北京，2002。
张文生，《科学计算中的偏微分方程有限差分法》，科学出版社，北京，2006。
主要参考书:
[1]J.W.Thomas.Numerical Partial Differential Equations:Finite Difference Methods.Springer-Verlag New York Inc.1995.
[2]胡健伟、汤怀民，《微分方程数值方法》，科学出版社，北京，1999。
偏微分方程数值解的两类主要方法:差分方法和有限元方法
二课程性质、目的与任务
《偏微分方程数值解》是信息与计算科学专业的一门专业课，学生通过学
习一些典型、通用的偏微数值方法，掌握用差分法，有限元法求解偏微分方法的基本理论，理解这些方法构造的基本思想，学会编制差分法和有限元法的计算程序，同时通过学习一些基本概念和基本理论(如稳定性、收敛性、误差估计培养一定的理论分析能力。等)
三教学基本内容与基本要求
教学基本内容包括:
1.抛物型方程的有限差分方法
2.双曲型方程的有限差分方法
3.椭圆型方程的有限差分方法
4.变分原理
5.有限单元法
6.有限元方法理论基础
教学基本要求
1.掌握差分法和有限元法的基本理论
2.了解用差分法和有限元法计算偏微分方程的误差估计方法
3.能独立编制差分法和有限元法的计算程序
多尺度问题中的偏微分方程数值方法
《微分方程数值解》
第一章绪论
一、学习目的
通过本章的学习，了解偏微分方程中的三大类方程，以及偏微分的一些基本概念。计划8学时。
二、课程内容
第一节数学物理方程中的三大类方程
(一)抛物型方程
典型方程:热传导方程，由空间物体的热传导问题导出。利用物理中传热学的傅里叶实验定律。
(二)双曲型方程
典型方程:波动方程，由两端固定的细弦振动导出。利用胡克定律、牛顿第二定律等。
(三)椭圆型方程
典型方程:调和方程(Laplace方程)，由静电场的电位势或没有热源的热传导等导出。
第二节数学物理方程中的基本概念
何为线性的或非线性的，给出一个方程怎么判断它是哪类方程，定解问题的三种提法等。
三、重点、难点提示和教学手段
本章重点是三类方程的导出和偏微分方程中的基本概念。
难点是导出过程的理论推导。
四、思考与练习
掌握、吸收所学知识。
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用 摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。 本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。我将从二分法、Steffensen 加速收敛法、Newton 迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。 关键字：非线性方程;二分法；Steffensen 加速收敛法；代数Newton 法；弦截法 一、前言 随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此经常需要求非线性方程 f(x) = O 的根。方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b) FINITE DIMENSIONAL REDUCTION OF NONAUTONOMOUS DISSIPATIVE SYSTEMS Alain Miranville Universit′e de Poitiers Collaborators: Long time behavior of equations of the form y′=F(t,y) For autonomous systems: y′=F(y) In many situations,the evolution of the sys-tem is described by a system of ODEs: y=(y1,...,y N)∈R N,F=(F1,...,F N) Assuming that the Cauchy problem y′=F(y), y(0)=y0, is well-posed,we can de?ne the family of solv-ing operators S(t),t≥0,acting on a subset φ?R N: S(t):φ→φ y0→y(t) This family of operators satis?es S(0)=Id, S(t+s)=S(t)?S(s),t,s≥0 We say that it forms a semigroup onφ Qualitative study of such systems:goes back to Poincar′e Much is known nowadays,at least in low di-mensions Even relatively simple systems can generate very complicated chaotic behaviors These systems are sensitive to perturbations: trajectories with close initial data may diverge exponentially →Temporal evolution unpredictable on ti-me scales larger than some critical value →Show typical stochastic behaviors 第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =??+??=? 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又 称 为调和方程 22 22=??+??=?y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ?? ???Ω ?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),() ,(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ? 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 ),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22? 初边值问题 2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<< 第九章 非线性偏微分方程 前面几章索研究的偏微分方程都是线性的，但在实际工程级数及自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的，在有些情况下，人们为了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。 §9.1 极小曲面问题 在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应的一个泛函的最小值（当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题的弱解）。其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下一个变分问题的解必满足一个微分方程。在这一节内，我们以极小曲面问题为例说明这个事实。 设Ω是平面上有界区域，它的边界?Ω是充分光滑的，其方程为： (),(), x x s y y s ==00s s ≤≤ 其中00(0)(),(0)()x x s y y s ==即?Ω是一条闭曲线。现在在?Ω上给定一条空间曲线l （即作一条空间曲线l ，使它到Ω所在平面的投影为?Ω）： 0(),:(),0,(),x x s l y y s s s u s ?=??=≤≤??=? （9.1） 这里0(0)()s ??=。所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在Ω上的曲 面S ，使得 （1）S 以l 为周界； （2）S 的表面积在所有以l 为周界的曲面中是最小的。 假定空间曲面的方程为 (,)v v x y = 则由微积分学可知，这个曲面的表面积为 ()J v =?? （9.2） 于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u ，使得 （1）由(,)u u x y =所表示的曲面以l 为周界，即 1(),u C u ??Ω∈Ω=，或者说，u M ?∈， 其中M ?由（8.7）给出； （2）()min ()v M J u J v ? ∈= （9.3） 这是一个变分问题。 如何求出变分问题（9.3）的解？我们先来看看假若u M ?∈是（9.3） 的解，那么u 必需满足什么样的条件。为此，在0M 任取一个元素v ， 即任取0v M ∈，即1(),0v C v ?Ω∈Ω=。对任意(,),u v M ?εε∈-∞+∞+∈，记 ()()j J u v εε=+ （9.4） 其中()J u 由（9.2）确定，从（9.2）可知()j ε是定义在R 上的一个可微函数，由于u 是（9.3）的解，所以对任意R ε∈处取得最小值，故 (0)0j '= （9.5） 不难看出 偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题 自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。 方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。 初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。 偏微分方程的定解问题 各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程 特别地，当f (x, y) ≡0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程 带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。 Poisson 方程的第一边值问题为 其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΩU Γ称为定解区域， f (x, y),?(x, y) 分别为Ω,Γ上的已知连续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示成 其中n 为边界Γ的外法线方向。当α= 0 时为第二类边界条件，α≠0时为第三类边界条件。 在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。其最简单的形式为一维热传导方程。 方程（5）可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题（也称为Cauchy 问题） 其中?(x), g1 (t), g2 (t)为已知函数，且满足连接条件 一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即： 浅谈微分方程的起源与发展史 摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。 引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以 试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。 关键字：微分方程起源发展史 一、微分方程的思想萌芽 微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布 尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。 1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根 据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。 例1 传染病模型 传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总 x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为 人数为)(t x。 因为总人数为常数n 非线性偏微分方程在金融衍生品定价中的应用Black－Scholes期权定价公式对金融衍生品的发展起了不可估量的作用，是 金融衍生品的定价的基础。然而BS方程是建立在六大假设的基础上得到的，现实中不可能全部满足这些假设，后来许多研究者对于方程的假设做了一些修改，其中一些结果是应用了非线性偏微分方程对金融衍生品定价。本文主要介绍这方面的成果。 关键词：非线性偏微分方程金融衍生品定价 一般认为Black－Scholes期权定价公式是现代金融的基础，是现代金融产品定价的核心，以后的金融定价理论都是在此基础上发展起来的，从数学角度来讲，这个方程是一个比较简单的二阶线性抛物方程，通过简单的变形容易得到解析解。Willmott(2000)的著作中就用相似解的方法得到解的表达式。但BS方程是建立在六个假设的基础上的，金融市场上变化因素很多，往往很难同时满足BS 模型的这些假设条件，比如现实交易中应该考虑交易成本的问题，波动率不可能是一个常数，股价并不一定服从对数正态分布等等，为了解决这些问题，一些研究者提出了完全非线性方程。大概有两种，本文就此进行了论述。 两阶模型 第一种是两阶模型，这种方法主要是对于BS公式的假设进行改进，主要有： （一）加入证券的交易成本 现实市场中，证券的交易是要有成本的，然而BS模型的假设中没有考虑到交易成本，对于此，Leland（1985）考虑交易成本的期权的定价模型时，他认为不管每一个时间间隔是否是最优，都要进行Delta 对冲，来求算考虑交易成本的期权定价的模型，这样所得出的模型只要将BS模型中的设为常数的波动率进行修改就可以了，比较简单。而后，Hoggard,Whalley&Willmott(1992)中利用Taylor 展开得到了完全非线性方程： ，k为交易费率。 从上式可以看出，对于单个看涨或者看跌期权，因为其Gamma值都为正，通过变形可以得到其BS模型对应的波动率，这和Leland所得到的结果类似。不过这个模型还可以用来处理Gamma值不是单符号的期权组合的定价问题，还讨 数学物理方程论文 ——基于偏微分方程在PKMK型几何积分方法中的应用研究 基于偏微分方程在PKMK型几何积分方法中的应用研究 摘要： 人类的发展历史表明科学的理论总是从简单到复杂，从特殊到一般，从粗糙到 精确，逐渐深化的。因此，以数学为工具，以物理学开路的严密自然科学在初期阶 段总是力图把描述简单化、近似化，在数学方面采取的一个重要办法就是线性化。 但是随着科学的发展和人类向更完美的目标的持续追求，复杂的自然界不断促使我 们把一个个线性理论发展为非线性理论。非线性化是科学发展的必由之路。一些学 者已将非线性科学誉为上世纪继相对论和量子力学之后自然科学的“第三次革命”。 正如一位物理学家所说：“相对论的建立排除了对绝对空间和时间的牛顿幻觉；量 子力学的建立则排除了对可控空间和时间的牛顿幻觉；非线性科学的建立排除了拉 普拉斯决定论的可预见性狂想。”非线性科学的建立是研究非线性现象共性的一门 学问。 关键词：偏微分方程 PKMK型几何积分函数商的零点 正文： 在数学、物理、化学以及生物等领域中，人们遇到大量的非线性现象，这些现 象的表现形式虽然千差万别，但其运动规律却具有相似的数学模型。一般地，它们 可以用常微分方程和偏微分方程的数学模型来描述。许多偏微分方程通过空间离散 化可以化为常微分方程的初值问题。 传统上，人们从两个极端不同的出发点来理解和掌握常微分方程问题。纯数学 家对问题认识深刻，推导严密，并采用大范围整体化的定性知识；而数值分析家通 过构造富有技巧的算法，以获得只有很小的误差的离散解，他们一般不考虑整体的 定性性质。孰优孰劣?这要视具体问题具体分析。如果要问到：“局部误差多大?” 这个问题大可以由传统的数值分析方法来解决。事实上，真实的物理过程都不是极 端的。在数学物理问题的研究中，问题所属的物理学、力学和工程技术本身的特殊 规律，常常会在问题进行严格数学处理之前，提示求解问题定性的思想和方法，并 促使具体问题的解决。本文强调应将微分方程的几何性质等定性信息与数值计算有 机地结合起来，进而处理实际问题。 大部分在物理学中显示巨大威力的新的数学思想均来自于几何与分析的交叉。 我们可以简单地回顾微分方程与几何学不可分割的历史渊源。18世纪以前的物理学 家和自然哲学家，如Copemies，Galileo，Kepler,Newton等都对几何学非常熟悉，他们常用几何概念来表达其物理思想。在19世纪，Descartes对Euclid几何引入坐标后，将几何学的研究看成是代数和分析的应用，这引起了几何学的革命，促进了在 几何学中各种分析工具的应用。与此同时，在物理学中利用坐标概念将自然定律表 示成微分方程，促进了物理学的发展。在此阶段，多数物理学家主要注意对物理体 系局域运动性质的探讨，对运动实体的内部对称性及大范围整体性质往往注意不 足。拓扑学与微分几何在物理学的重要性常被忽视。19世纪中叶，Maxwell从实验 观察总结出电磁现象的运动方程，注意到Maxwell方程组的共性不变性。Lorentz。Minkowski之后，直到20世纪初，Einstein提出了狭义相对论，人们才进一步深入 认识到了时空的基本几何特性的重要性。这时主要应用的数学工具是微分方程及群 论分析等。长期以来，微分方程在自然现象的数学研究中起到了决定性的作用，人 们充分认识到，通过研究微分方程的几何性质，可以获知它的真解的关键性的定性 非线性方程组数值解法 n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为 (1) 式中?i(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非 线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记?＝ 则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D，使?(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2) 式中 是?(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及 ;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求 。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P 为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定 义，牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即 1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可 表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑， 从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑， 利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任 意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构 造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x - 论文题目：偏微分方程的来源与发展课程：数学物理方程 姓名：卢江 学号：162210012 专业：轮机工程 偏微分方程的来源与发展 摘要：“数学物理方程”是以物理、工程技术和其它科学中出现的偏微分方程为主要研究对象，并且主要介绍求偏微分方程精确解方法的一门数学基础课程。本文简单介绍了偏微分方程发展的来源、发展历程及特点、解决问题的方法，给出了偏微分方程的发展趋势。 关键词：偏微分方程；模型；发展阶段；历程。 一、偏微分方程问题的来源以及模型的建立 偏微分方程由起初研究直接来源于物理与几何的问题发展到一个独立的数学分支，它内容庞杂，方法多样。偏微分方程讨论的问题不仅来源于物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题，而且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。近几十年来，该领域的研究工作，特别是对非线性方程的理论、应用以及计算方法的研究起到了极大的推动作用，十分活跃。 用数学方法处理应用问题时，首先是要建立合理的数学模型。在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题需要用多个变量的函数来描述。这样建立的数学模型在很多情况下是偏微分方程。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量; 速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量; 物体在一点上的张力状态的量叫做张量。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。 物质总是在时间和空间中运动着的。虽然物质的运动形式千差万别，然而却具有共同的量的变化规律。客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映就是变量的概念。事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的，反映在数学上，就是变量之间的关系，从而又形成了函数的概念。由于大量的实际问题中，稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数，却容易建立变量及其导数( 或微分) 间的关系式，即微分方程。如果一个微分方程中出现的未知函数只含 偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-= ?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形 为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈? ==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈? ==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=???? ? =∈?? =??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式； 第42卷第2期2018年3月 江西师范大学学报（自然科学版） Journal of Jiangxi Normal University(Natural Science) Yol.42 No.2 Mar.2018 文章编号=1000-5862(2018)02-0111-19 变分方法及其在非线性偏微分方程 应用方面的进展和未决问题 邹文明 (清华大学数学科学系，北京100084) 摘要:先介绍变分法发展的简单历史以及将来的发展趋势.然后综述变分法应用于非线性偏微分方程的 基本思想和最新成果.通俗介绍环绕理论、变号临界点理论及应用，其中包括对称扰动方程和Rabinowitz 公开问题、Brezis-Nirenberg 临界指数方程、Li-Lin 公开问题、Bose-Einstein 凝聚、Berestycki-Caffarelli-Niren- berg猜测和Lane-Emden方程及猜想. 关键词:变分法;非线性偏微分方程;环绕理论;临界指数;变号临界点理论;薛定谔方程 中图分类号：〇176;0 175.29 文献标志码：A D O I：10.16357/j. cnki. issnlOOO-5862.2018.02.01 〇变分法简史和将来的发展趋势 变分的思想可以追溯到法国科学家费马（Pierre de Fermat,1601 _1665)时代.他在 1662 年提出了现 在被称为的极小作用原理:光传播的路径是光程取 极值的路径.这个极值可能是最大值（或最小值），甚至可以是函数的拐点.在最初提出时，又被人们称 为“最短时间原理”，即光线传播的路径是需时最少 的路径.此时，微积分还没有产生！ 17世纪后半叶，更多的非线性问题需要更加严 密的理论工具，这就促使了微积分的产生.当时，许 多科学家，如法国的费马、笛卡尔，英国的巴罗、瓦里 士，德国的开普勒等，都为微积分的产生做了大量的 前期研究工作，为微积分的创立做出了启蒙的贡献. 英国的数学家牛顿（1643—1727)在1684—1685年 写《自然哲学的数学原理》，于1687年正式出版.德 国数学家莱布尼茨（1646—1716)于1684年在《博 学学报》（Acta Eruditorum)发表了《一种求极大极小 和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这 种新方法的奇妙类型的计算》.这2个工作标志着 微积分的诞生.牛顿-莱布尼茨发明微积分后，有了 系统且严谨的办法来研究变分问题.但围绕着微积 分的发明权之争，引发了欧洲大陆学派如德国（莱布尼茨学派）和英国（牛顿学派）的数学家们之间的 互相挑战[1]. 约翰?贝努利（Johann Beinoulli，瑞士数学家，I667—1748)在1696年6月提出一个作为向欧洲数 学家(甚至包括他哥哥Jakob Bernoulli，瑞士数学家，1654—1705)挑战的数学问题，即现在被称为的“最 速下降线问题问题提出半年后，仍然未解决.于 是Johann Beinoulli在1697年元旦发表著名的“公 告”（Programma)，再次向“全世界最聪明的数学家”(意指牛顿)挑战，1月29日牛顿从英国造币局下班 回到住处，看到了转达Johann Beinoulli挑战的信 件，随后他利用一个晚上的时间解决了这个问题，并 将结果匿名（这是他常用的办法）发表.Johann Bei-nm illi读到这篇文章后惊叹“终于看见了雄狮的利 爪”，意指是牛顿所为.“最速下降线问题”现在被认 为是变分法的起源.瑞士数学家Leonhard Euler (1707—1783)作为 Johann Beinoulli 的学生，也对变 分法做出了极大贡献.例如，Leonhard Euler在1734 年推广了最速降线问题，寻找这类问题的更一般方 法.1744年，Leonhard E uler的《寻求具有某种极大 或极小性质的曲线的方法》一书出版[1].这是变分 学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数 学分支的诞生.在这个数学分支中，函数本身就是自 变量，因此比微积分的极值问题更加抽象和复杂. 收稿日期:2018<01-20 基金项目：国家自然科学基金（11771234)资助项目. 作者简介:部文明（1966-)，男，江西宁都人，教授，博士生导师，国家杰出青年基金获得者,主要从事变分法和非线性微 分方程的研究.E-mails :zou-wm@ mail, tsinghua. edu. cn 一．填空（1553=?分） 1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方 程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{} )(,,),()(21 Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x 关于内积=1),( g f _____________________是Hilbert 空间； 3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3 x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________； 5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。 二．（13分）设有椭圆型方程边值问题 ??? ? ? ????=??????+??-=-==<<<<-=??+??====x u n u u y u u y x y x y u x u y y x x 2,11 22.00,3.002.003.002222 用1.0=h 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2 h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 ?????? ? ?? =??????? ????????? ? ?D C B A U U U U 三．（12）给定初值问题 x u t u ??=?? ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 数值模拟偏微分方程的三种方法介绍 （有限差分方法、有限元方法、有限体积方法） I．三者简介 有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。 差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。 有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。 有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。 非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程偏微分方程数值方 法 非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性微分方程 (一)主要研究内容 非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。 1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;非线性方程的数值解。 2.H-半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值(S)型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。 3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用:主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的 许多最优控制问题(如:电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等)。 (二)研究方向的特色 1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。 2.该研究是现代数学与电力生产的交叉学科研究课题，它对电力生产及管理有着十分重要的理论指导意义和实际应用价值，为控制系统设计、分析和计算都可提供一些重要的理论依据。在应用数学学科的这一研究领域中本课题属于国内外前沿性研究工作。 (三)可取得的突破 1.深入研究空间、时间、时滞对解的性质的影响，诸如静态解、周期解的存在性、解的存在性、渐近性等问题;寻求它们在含间断项的非线性偏微分方程方面的突破。 2.寻求和发现新的处理非单调、非凸不可微能量泛函的方法(如建立Ishikawa 迭代序列收敛准则)，建立发展型方程G-收敛准则，寻求可行的光滑方法将算子方程光滑化，创建新的先验估计方法。 3.应用现代数学所获得的理论，研究最有控制系统的微分方程，为控制系统设计、分析和计算提供一些重要的理论依据和方法。 1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。 1760~1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。 随机微分方程数值解 x 1 ?若步长趋于零时，差分方程的截断误差 R m 0,则差分方程的解 U i m 趋近于微分方 程的解U m ?此结论 ________ (错或对)； 1 2.一 阶 Sobolev 空间 H ( ) f (x,y) f , f x , f y L ?() 关于内积(f,g )1 _____________________________________ 是Hilbert 空间； 3 ?对非线性(变系数)差分格式，常用 ____________ 系数法讨论差分格式的 ________ 稳定性； 4?写出y x 3在区间［1,2］上的两个一阶广义导数： ______________________________________ _____ ____ ______________ _ ____ ________ ; 5 ?隐式差分格式关于初值是无条件稳定的 ?此结论 ________ (错或对)。 (13分)设有椭圆型方程边值问题 0.1作正方形网格剖分 。 (1) 用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； (2) 用截断误差为 O (h 2)的差分法将第三边界条件离散化; (3) 整理后的差分方程组为 U C 三.(12)给定初值问题 u x,0 x 1 取时间步长 0.1，空间步长h 0.2。试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式) 2 u ~2 x 2 u ~2 y 0 x 0.3 0.2 x 0.3 2y 1, — u n 2x y 0.2 并以此格式求出解函数u(x,t)在x 0.2,t 0.2处的近似值。 x 1.所选用的差分格式是： 2 .计算所求近似值： 1 a k 1 四.（12分）试讨论差分方程 u l 1 k k k 1 u | r u | 1 u | , r h a 1 h 逼近微分方程 u a u 0 t x 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（ l+1/2,k+1/2 ）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。 2 —2 ,考虑 Du Fort-Frankel 格式 X 试论证该格式是否总满足稳定性的 Von-Neumann 条件？ 六. （12分）（1 ）由Green 第一公式推导 Green 第二公式: （2） 对双调和方程边值问题 n 2 选择函数集合（空间）为： 推导相应的双线性泛函和线性泛函: A （u,v ） F （v ） 相应的虚功问题为： 极小位能问题为 七. （ 12分）设有常微分方程边值问题 y y f （x ） , a x b y a 1, y b 1 五.（12分） 对抛物型方程 U |k1 U |k 2 |k 1 (U |k1 U |k1) U |k 1 ) 2 (u)vdxdy G (u) u vdxdy :[v v u ]ds n f (x,y) (x,y) g 1(x , y), g 2(x, y) (x,y),非线性偏微分方程
第十章-偏微分方程数值解法
第九章 非线性偏微分方程
偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题
偏微分方程数值解法
浅谈微分方程的起源与发展史
非线性偏微分方程在金融衍生品定价中的应用
基于偏微分方程
非线性方程组数值解法
偏微分方程数值解法答案
偏微分方程
偏微分方程数值解(试题)
变分方法及其在非线性偏微分方程应用方面的进展和未决问题
偏微分方程数值解法试题与答案
求解偏微分方程三种数值方法
非线性偏微分方程 偏微分方程数值方法
偏微分方程数值解法试题与答案