线性规划建模问题

1、招聘问题

新机电器始创于1989年，是高低压电器元件、成套装置附件、高压电控电器配套件的专业生产制造商，是国家的高、低压电器开关行业协会理事单位，在业内享有很高声誉。新机电器已发展成为拥有八家子公司，在永嘉、温州、厦门、青田、陕西均有设厂。工种：普车车工、数控车工、装配工、检验员、计算机绘图员各1名。

要求：具有良好的工作心态，吃苦耐劳，虚心好学，积极进取，有团队协作精神以及良好的沟通能力。面试须知：

岗位安排方案完成后，新机为前往厂内实习的人员，提供了往返车费，总共是46元。获悉该厂又分新、旧两个厂区，要求每区至少去一名同学，且去旧厂区面试的同学比新厂区至少多一名。

已知前往新厂区每位同学的往返车费是4元，该厂区为每人提供的考虑岗位数为5个；旧厂区每位同学的往返车费是6元，而为每人可供考虑的岗位数为3个。建模分析：

分析：以两组为基本单位，共同出谋划策，怎样合理地安排分别前往新、旧两区的人数，并能使面试时可选择的空缺岗位数达到最多，这样每人实习录用的机会就增多。请问岗位最多是多少？

假设：

问题解答：

解：设前往新、旧厂区的

人数分别为y x ,，设岗位数为z ，则根据题意得， y

x z 35+=，

且

1,1

4646

x y y x x y ≥≥??

≥+??+≤?

在坐标系中将各不等式区域表示如下：

我们发现当5,4==y x 时，不等式所夹的区域最大，因此，前往新、旧厂区的人数

y=1

分别为4、5时，可供选择的岗位数最大，为35个。

2、已知高翔工业区内的新机厂区并不是真正的加工厂，实际上只完成装配工作，所需配件由青田与陕西两个厂区供应，而这两个厂生产出的零部件毛利价格不同。

拿“JN15-12-31.5型户内高压接地开关”为例，扭簧为其中的配件之一，而青田与陕西产的扭簧可获利润不同，毛利价格现列表如下：

要求：每日由青田与陕西厂区供应的货品总和需保持在500—1000件之间，而且青田厂区的产品数至少要比陕西的多100件，下面请你给出一项合理的方案，将货源如何进行调配，才能使我厂每日的毛利最多？最多为多少？方案的好坏，以及策划的速度快慢都直接影响到你在实习期间以及今后工作岗位的调动及职务与薪酬。

问题解决：

解：设每日青田与陕西厂区所提供的货品数分别为y

x,，设每日扭簧的毛利为z元，则根

据题意得：y

z20

15+

=，且

0,0

5001000

100

x y

≥≥

≤+≤

?≥+

，在坐标系中将各不等式的区域表示如

下：

最大

y=0

x=0

因此，当450

550=

x时，也就是青田供货550件，陕西供货450件时，毛利最

大，为17250元。

3、某企业生产A,B两种产品，根据市场调查预测，A产品的利润与投资成正比例关系，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比例关系，且经两年试投产，得知A产品投入1万元可获利0.5万元，B产品投入4万元可获利8万元.现该企业准备投资80万元全部用于A,B两种产品的生产。试问该怎样分配这80万元，才能使企业获得最大的利润，最大利润是多少万元？

4、现有大珍珠1200只，小珍珠540只。串一只珍珠马需60颗大珍珠，30颗小珍珠。串一只羊需50颗大珍珠，20颗小珍珠。售出一只珍珠马可获利50元，售出一只珍珠羊可获利35。求出售多少只马和多少只羊能获得最大收益？（答案：10只马12只羊获最大收益）

5、现有大珍珠1200只，小珍珠540只。串一只珍珠马需60颗大珍珠，30颗小珍珠。串一只羊需50颗大珍珠，20颗小珍珠。售出一只珍珠马可获利50元，已知出售羊与马的最大收益是980元。求出售一只珍珠羊可获利多少元？

（答案：40元）

6、某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：

问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？

设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，

目标函数z=200x＋240y，

线性约束条件：

作出可行域．

=200×4＋240×8=2720

最大

答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．

7、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：

每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12，15，17块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小．

设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2．

目标函数z=x＋2y，

线性约束条件：

作出可行域．

作一组平行直线x＋2y=t．

的整点中，点(4，8)使z取得最小值．

答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．

8、某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小．

设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x ＋2y，

线性约束条件，

作出可行域．

作一组平等直线3x＋2y=t．

A不是整点，A不是最优解．

在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．

=3×1＋2×1=5，

最小

答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．

9、某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低．并求出最低运费．设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．z=960x＋360y．

线性约束条件是：

作出可行域．

作直线960x＋360y=0．

即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．=960×10＋360×8=12480

最小

答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．

10、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料．生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多．

设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．

作出可行域．

即M(350，100)．

当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到经过点M(350，100)时，z=6x＋10y最大．答：圆桌和衣柜应分别生产350件、100件时，才能获得最大利润．

11、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，

由题意得

300 50020090000

00.

x y

≤，

≤，≥，≥

目标函数为30002000

z x y

=+．

二元一次不等式组等价于

300 52900

00. x y

x y

≤，

≤，≥，≥

如图：

作直线:300020000

l x y

+=，

即320

x y

+=．

平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．

联立30052900.x y x y +=??+=?

，解得100200x y ==，．

∴点M 的坐标为(100200)，

．

max 30002000700000z x y ∴=+=（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，

最大收益是70万元．

12、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对

项目乙投资的3

倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获

得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 ( B )

A.36万元

B.31.2万元

C.30.4万元

D.24万元 13、铁矿石A 和B 的含铁率a ,冶炼每万吨铁矿石的2CO 的排放量b 及每万吨铁矿石的价

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求2CO 的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为____________ (百万元).

【解析】设铁矿石A 购买了x 万吨，铁矿石B 购买了y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万

元，则由题设知，本题即求实数y x ,满足约束条件???????≥≥≤+≥+0025.09.1%70%50y x y x y x ，即??

???≥≥≤+≥+00421975y x y x y x （*）

时，y x z 63+=的最小值.作不等式组(*)对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线

y x z 63+=，即z x y 6

21+-=平移分析即知，当直线经过点P 时，z 取得最小值.又解方

程组???=+=+4219

75y x y x 得点P 坐标为()2,1.故152613min =?+?=z .

14、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设该儿童分别预订,x y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则 2.54z x y =+。可行域为

12864,6642,61064,0,,0,.x y x y x y x x N y y N +≥??+≥??+≥??≥∈?≥∈??即3216,7,3532,0,0.x y x y x y x y +≥??+≥??

+≥??≥?≥??

作出可行域如图所示：

经试验发现，当4,4x y ==时，花费最少，为2.544426?+?=元．

15、某公司投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100吨，需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元。现在该公司有可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？

解：设投资生产A 产品100x 吨，B 产品100y 吨，利润最大为z 万元。约束条件

2003001400,200100900,0,0,

x y x y x y +≤??+≤?

≥??≥? 目标函数：300200z x y =+

最优解(3.25,2.5), 300 3.25200 2.51475z =?+?=

答:投资生产A 产品325吨，B 产品250吨，利润最大为1475万元。

16、某服装班级要做A 、B 两种款式的外套在创融小午市上卖。已知做一件A 款式的外套需要黑色布料1米，灰色布料2米，做一件B 款式的外套需要灰色布料2米，黑色布料1米。一件A 款式的外套的利润是30元，一件B 款式外套的利润是40元。已知黑色布料和灰色布料各只有12米。通过合理安排计划，服装班可从创融小午市上获得的最大利润是（）

A.180元

B.240元

C.280元

D.310元答案：C

17、春运高峰期，温州动车新南站站满等待买票的旅客。为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买好票的旅客离开大厅。按照这种安排，如果开出10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票；如果开出12个窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。如果大厅入口处的旅客速度增加到原来的1.5倍，在2小时内使大厅内所有的旅客买到票，至少应开几个售票窗口？

解析：设每个窗口售票速度为v/h ，大厅内原有旅客数量为x 人，旅客排队进入大厅速度为y/h ，应开窗口数量为n 。

则y x v 5105+=?，y x v 3123+=?，y x nv 5.122?+≥?，解得18≥n

18、温州素有“笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n 件产品运往A,B,C 三地销售，要求运往C 地的件数是运往A 地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排x 件产品运往A 地，总运费为5800元。

（3）该制笔企业至少可以运出多少件产品？请写出运输方案。

30x+8n-24x+50x=5800 化简，得 n=725-7x (3)因为n>0,n-3x>0；

所以725-7x-3x>0

x<72.5

斜率k=-7<0,函数单调递减，当x取72时，n=221

19、温州三垟湿地公园是集旅游观光、养生度假、生态住宅、水上游乐等于一体的综合性旅游度假区。现休闲开发部准备购买“单人型”“双人型”“三人型”自行车共100辆供游客租用。已知三种自行车的单价分别依次为300,600,800元，要求“单人型”自行车的数量是“双人型”自行车数量的3倍。设购买“双人型”自行车数量为x辆，购买这3种自行车的总金额为y元。

（1）写出y（元）关于x（辆）之间的函数关系；

（2）若购买总金额不超过50000元，问至少购进“双人型自行车”多少辆？

答案：

（1）双人x,单人3x,三人100-4x

y=300*3x+600x+800(100-4x)

=-1700x+80000

(2)x>0,100-4x>0,所以0

-1700+80000<50000

解得，x>17.6

-1700<0,函数单调递减,

X取最小值18，即至少购进“双人型自行车”18辆。

20、预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？

解设桌子、椅子分别买x张、y把，

目标函数z＝x＋y，(2分)

把所给的条件表示成不等式组，

即约束条件为50x＋20y≤2 000，y≥x，y≤1.5x，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*.(6分) 由50x＋20y＝2 000，y＝x，解得x＝2007，y＝2007，

所以A点的坐标为2007，2007.

由50x＋20y＝2 000，y＝1.5x，解得x＝25，y＝752.

所以B点的坐标为25，752.(9分)

所以满足条件的可行域是以A2007，2007、B25，752、

O(0,0)为顶点的三角形区域．(12分)

由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为

B25，752，但注意到x∈N*，y∈N*，故取x＝25，y＝37.

故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．(14分)

21、某高校二（1）班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格。甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，

彩绳且花费最少？

22、设变量y x ,满足?????≤-≤≤≤+≤1015

0200y x y y x ，则y x 32+的最大值为（ D ） A.20 B.35 C.45 D.55

23、若y x ,满足约束条件?????≥+-≥-+≤-+0

3303y x y x y x ，则y x z -=3的最小值为（ C ）

A.9

B.1

C.1-

D.2-

24、某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶，需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶，需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ C ）

A.1800元

B.2400元

C.2800元

D.3100元

25、某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元.假设

（单位：亩）分别为（ B ）

A.40,10

B.30,20

C.20,30

D.10,40

26、有一批服装要装箱，一名熟练工单独装箱需要10天，每天报酬200元；一名普通工单独装箱要15天，每天报酬120元.由于场地限制，最多可同时安排12人装箱，若要求在一天内完成任务，则支付的最少报酬为（ C ）

A.1800元

B.1840元

C.1920元

D.1960元

27、某公司计划运送180台电视机和110台洗衣机下乡，现有两种货车，甲种货车每辆最多可载40台电视机和10台洗衣机；乙种货车最多可载20台电视机和20台洗衣机.已

知甲、乙两种货车的租金分别为每辆400元和360元，则最少的费用为（ B ） A.2560元 B.2600元 C.2640元 D.2680元

28、某居民小区决定投资15万元修建停车位，据测算，修建一个室内车位的费用为5000元，修建一个室外车位的费用为1000元，考虑到实际因素，计划室外车位的数量不小于室内车位的2倍，也不多于室内车位的3倍，这笔投资最多可修建车位的数量为（ B ） A.78 B.74 C.72 D.70

29、某地区平均每天产生生活垃圾700吨，由甲、乙两个处理厂处理.甲厂每小时可处理垃圾55吨，所需费用为550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，所需费用为495元.如果该地区每天的垃圾处理费不超过7370元，那么甲厂每天处理垃圾的时间至少需要（ A ）小时

A.6

B.7

C.8

D.9

30、某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目进行投资时，最大的盈利为（ C ）

A.5万元

B.6万元

C.7万元

D.8万元

31、配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料.已知配制一剂A 种药需甲料mg 3，乙料

mg 5；配制一剂B 种药需甲料mg 5，乙料mg 4.今有甲料mg 20，乙料mg 25，若

A 、

B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法（ D ） A.5 B.6 C.7 D.8

32、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1吨，需矿石4吨，煤3吨；生产乙种产品1吨，需矿石5吨，煤10吨.每1吨甲种产品利润是7万元，乙种是12万元.工厂在生产两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200吨，煤不超过300吨.求甲、乙两种产品各生产多少时，才能使利润达到最大？解：设甲生产x 吨，乙生产y 吨.则约束条件为

?????>>≤+≤+0

,0300

10320054y x y x y x ，目标函数y x z 127+=

令20054=+y x ，得y x 4

50-=，代入300103≤+y x 得

30010)4

50(3≤+-?y y

24≤y

，从而20=x

把24,20==y x

代入得4282412207max =?+?=Z 万元

33、某工厂家具车间生产A 、B 型两种桌子，每张桌子需要木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1h 和2h ；漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3h 和1h .又知木工、漆工每天工作时间分别不得超过8h 和9h ，而工厂生产一张A 、B 型桌子可分别获得2千元和3千元.试问：工厂每天生产A 、B 型桌子各多少张？才能获得最大利润，最大利润是多少元？

解：设生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张.则约束条件为

?????>>≤+≤+0

,09

382y x y x y x ，目标函数y x z 32+=

令82=+y

x ，得y x 28-=，代入93≤+y x 得9)28(3≤+-y y ，解得

3≥y ，取3=y ，得2=x

3,2==∴y x ，133322max =?+?=Z

34、某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件；乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知甲种设备每天的租赁费为200元，乙种为300元.现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，求所需租赁费的最少值.

解：设甲设备生产x 天，乙设备生产y 天.则约束条件为

?????>>≥+≥+0

,0140

20105065y x y x y x ，目标函数y x z 300200+= 令5065=+y x ，得y x 5

10-=，代入1402010≥+y x 得

5≥y . 求租赁费得最少值，∴5=y ，4=x

230053004200min

=?+?=∴Z

35、某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100克含蛋白质6个单位，淀粉4个单位，售价0.5元；米食每100克含蛋白质3个单位，淀粉7个单位，售价0.4元.学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭才能既科学又费用最少？

解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），则

约束条件为?????≥≥≥+≥+0

,01074836y x y x y x ，目标函数y x z 4.05.0+=

令 836=+y x ，得x y 23

-=，代入1074≥+y x ，得

13≤

，

14≥

y .

∴

当

14,1513==

y x 时，

8.015

4.01513

5.0min ≈?+?=Z

36、咖啡馆配制甲、乙两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克，咖啡4克，糖3克；乙种饮料每杯含奶粉4克，咖啡5克，糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克，咖啡3000克，糖3000克.如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大，最大获利为几元？

解: 设每天配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯.则约束条件为

?????≤+≤+≤+3600

493000

103200054y x y x y x ，目标函数y x z 2.17.0+=

令 200054=+y

x ，得x y 5

400-=，代入3000103≤+y x 得

3000)5

400(103≤-+x x ，得200≥x ，∴当240,200==y x 时

取到最大值，4282402.12007.0max =?+?=Z 元

37、已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）

x -的最大值和最小值；——看作斜率（2）y x -的最小值；——截距（线性规划）

（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方

解（1）y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时,32

02=+-b

，解得

b=-2±

. 所以y-x 的最大值为-2+

，最小值为-2-6

（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为2

2）00（）02（-+-=2

所以x 2+y 2的最大值是（2+3

）2=7+4

x 2+y 2的最小值是（2-3

）2=7-43

38、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆公交车。假设每辆公交车行驶速度相同，而且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？

分析：本例是一个既含有相遇又含有追及的综合性行程问题，有下列隐含的等量关系：

（1）迎面驶来两车距离=3（车速+人速）（2）背后开来两车距离=6（车速-人速）（3）迎面驶来两车距离=背后开来两车距离（4）同向两车距离=车速×发车间隔时间

解法一：设公交车的速度为x 米/分钟，小王行走的速度为y 米/分钟，发车间隔时间是t 分钟.

则???=--=+

)(6)(6)(3xt y x y x y x 解得t =4 解法二：设同向行驶的相邻两车的间距为s 米，发车间隔的时间为t 分钟，小王行走相邻两车间距s 米所用的时间为m 分钟，

即?????=-=+ )(6)(3s m

t s s m s

t s 解得t =4

即公交车总站发车间隔的时间为4分钟. 39、自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3000km 就要报废，安装在前轮上，则行驶5000km 才报废，为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多行驶多少千米？

解法一：列方程求解

设自行车行驶了x km 后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废，因此，前轮胎还可行驶（5000-x ）km ，后轮胎还可以行驶（3000-x ）km. 当前后轮胎互换后，还可行驶，并有

)3000(53)5000(?-=?-x x , 解得x =1875km

这就是说，当自行车行驶了1875km 后，互换前后轮胎，这样还可以行驶

18755

)18755000(=?-km ，所以最多可行驶3750km.

解法二：类似工程问题解法

设安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶x km ，根据题意，自行车每行驶1km ，前

轮胎将磨损50001，后轮胎将磨损3000

，当两个轮胎磨损之和为单位“1”时，前后轮互

换，当两个轮胎磨损之和为单位“2”时，两个轮胎同时报废，即行驶路程最多.由此得方程：

230005000=+x x ，解得x =3750.即自行车最多可行驶3750km

40、甜饮料里有糖的质量分数，那么，给糖水添上一点糖，糖水就更甜了。请你把这一生活常识用数学式子表达出来.

解：设b 千克糖水中含糖a 千克，则糖水的含糖质量百分比为b

，现往这种糖水中

加入m 千克糖，则加糖后的糖水的含糖质量百分比为m

b m

a ++，其中a

b m b a >>>>且,0,0,0

因为m b m a ++-b a =)()(m b b m a b ++)()(m b b m b a ++-=)

()

(m b b a b m +->0

所以m b m a ++>b

,所以加了糖的糖水比原来的糖水会更甜.

41、某三岔路口交通环岛的简化模型如图所示，在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段弧AB 、BC 、CA 的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相等），则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）

A 、321x x x >>

B 、231x x x >>

C 、132x x x >>

D 、123x x x >>

解：由图可知135055x x =+-，213020x x =+-，323035x x =+-，

化简得135x x =-，2110x x =+，325x x =-

所以513=-x x >0，即13x x >；1012=-x x >0, 即12x x >；

532=-x x >0，即32x x >，综上所述，32x x >1x >.故选择C

42、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式。（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式。（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）y=90-3（x-50）化简，得y=-3x+240 （2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600 （3）w=-3x2+360x-9600= -3（x-60）2+1125 ∵a=-3

∴当x=55时，w 的最大值为1125元。

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润。

43、某商店进了一批MP3，刚开始按期望获得150%的利润来定价，结果只销售掉40%，为了尽早销售掉剩下的MP3，商店决定打折出售，为了获得的全部利润是原来期望利润的60%，则商店应打的折扣是（）。

A. 九折

B. 八折

C. 七折

D. 六折

44、某商店开张为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种旅游鞋每双进价为60元,八折出售后,商家所获利润率为40%.问这种鞋的标价是多少元?

设标价为x,优惠价为80%x

80%x=60*(1+40%)

x=105

105*80%=84(元)

答:标价为105元,优惠价为84元

45、某商品的进价是1000元,售价为1500元.由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多降价多少元?（利润=销售价-进货价,利润率=利润÷进货价×100%）

设降价为X元.利润=1500-X-1000 利润率=（1500-X-1000）/1000

即：5%=（500-X）/100

得：X=450

最多降价450

数学建模线性规划的求解

实验二线性规划的求解学号：４1０1１姓名:何科班级：201５级10班一、实验目的 1.熟悉并掌握MATLAB的线性规划求解函数ｌinprｏg()及其用法； 2.熟悉并掌握LINGＯ软件求解线性规划的方法； 3.能运用LＩNGO软件对线性规划问题进行灵敏度分析。二、实验任务 1.对例1和例2,在MAＴLAB进行求解。 2.对例３、４、5，在LIＮGO软件进行求解，并作灵敏度分析. 3.对“3．3 投资的收益与风险"的模型I，在MAＴLＡB中进行求解。 4.对“习题5,６，7,8”进行建模与求解。三、实验过程与结果(对重要实验结果,截取全屏图，保存为JＰＧ／PＮＧ图片） 1.例1: 代码： f=[13 9 10 11 12 8］; A=［0。４ 11 1 0 ００； 0 0 0 0.5 1。2 １。3]; b＝［800；９00］； Aeｑ＝［1 ００１０ 0; ０ 1 0 0 1 0; 0 ０１ 0 0 1]; bｅq=[４00；600;500］； vlb=ｚeｒos(６，1)； vub＝[］； [ｘ,fval］=ｌｉｎprog（f，Ａ,ｂ，Aｅq,ｂeq,vlｂ,vｕｂ）结果：ｘ = ０.000０ 600.00０0 0。0000 400．０0０0 0．0000 5０0.0000 ｆｖal =1.３800e+０4 例2: 代码： c=［4０ 3６］；Ａ=[-5 —3］；

b=［-45]; Ａｅq＝[]; beｑ=［］; ｖlb=zeros(２，１）； vub＝［9;15]; ［ｘ，ｆｖａl]=ｌiｎprog（ｃ,A，b,Aeq，beq,ｖlb，vub) ?结果: ?x ＝ 9．00０0 0.0０００ fval = ３6０例３: ?代码： maｘ＝72*x1＋64＊ｘ2； x1+ｘ2＜＝５０; 1２＊x1+8＊ｘ2〈=48０; 3*ｘ１<＝100； ?结果： ?? Globａl oｐtimal solutｉｏn founｄ. Objective value：336０。000 Iｎｆｅaｓｉｂilｉties：０．0000０0 Ｔotal solver itｅｒａtions: 2 Ｖariａｂle Ｖaｌuｅ Rｅduｃeｄ Cost X1 2０。０00０0 0．00０0０0 Ｘ2 30.00０00 ０.0０00０0 ＲｏｗＳlack or Surplus DuaｌＰr ｉｃe 1 3360.00０ 1．00000０ 2 0.00０00０４8。00000 3 0。000０0０ 2。000０00 ４ 40.0０000 0.０0０000 ?灵敏度分析: ?

线性规划案例

附录2 线性规划案例 Appendix 2 Projects of Linear Programming 案例1 食油生产问题(1) 食油厂精炼两种类型的原料油——硬质油和软质油，并将精制油混合得到一种食油产品。硬质原料油来自两个产地:产地1和产地2，而软质原料油来自另外三个产地：产地3，产地4和产地5。据预测，这5种原料油的价格从一至六月分别为：产品油售价为200元/吨。硬质油和软质油需要由不同的生产线来精炼。硬质油生产线的每月最大处理能力为200吨，软质油生产线最大处理能力为250吨/月。五种原料油都备有贮罐，每个贮罐的容量均为1000吨，每吨原料油每月的存贮费用为5元。而各种精制油以及产品无油罐可存贮。精炼的加工费用可略去不计。产品的销售没有任何问题。产品食油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种原料油的硬度以及混合比例。产品食油的硬度与各种成份的硬度以及所占比例成线性关系。根据技术要求，产品食油的硬度必须不小于3.0而不大于6.0。各种原料油的硬度如下表（精制过程不会影响硬度）：

假设在一月初，每种原料油都有500吨存贮而要求在六月底仍保持这样的贮备。问题1：根据表1预测的原料油价格，编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。问题2：考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预测分析，如果二月份硬质原料油价格比表1中的数字上涨Ｘ％，则软质油在二月份的价格将比表1中的数字上涨2Ｘ％，相应地，三月份，硬质原料油将上涨2Ｘ％，软质原料油将上涨4Ｘ％，依此类推至六月份。试分析Ｘ从1到20的各情况下，利润将如何变化？案例2 食油生产问题（2）在案例1中，附加以下条件，求解新的问题： 1.每一个月所用的原料油不多于三种。 2.如果在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于20吨。 3.如果在一个月中用了硬质油1或硬质油2，则在这个月中就必须用软质油5。案例3 机械产品生产计划问题机械加工厂生产7种产品（产品1到产品7）。该厂有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如下表。表中的短划表示这种产品不需要相应的设备加工。

线性规划模型及其举例

线性规划模型及其举例摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。一.背景介绍如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都

线性规划应用案例

市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。表4-1 REL发展公司可选的广告媒体

REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ●至少访问400个有儿童的家庭； ●至少访问400个无儿童的家庭； ●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示：以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的

运筹学作业习题

线性规划建模及单纯形法思考题主要概念及内容：线性规划模型结构（决策变量，约束不等式、等式，目标函数）；线性规划标准形式；可行解、可行集（可行域、约束集），最优解；基、基变量、非基变量、基向量、非基向量；基本解、基本可行解、可行基、最优基。复习思考题： 1、线性规划问题的一般形式有何特征？ 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果反映建模时有错误？ 5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 6、试述线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解、最优解、最优基本解的概念及它们之间的相互关系。 7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？作业习题 1、将下列线性规划问题化为标准型（1）???????≥=--+-≥-+-≤+-++-+=0,,953413223183622453max 4214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）???????≤≥=+-+-≥-+--≤--++++=0 ,0,15 2342722351232243min 4214321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 2、（1）求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）： ?????≥≤++-≤++0,,1243263323 21321321x x x x x x x x x （2）对下述线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基本可行解,并确定最优解. ??? ????≥=-=+-+=+++++=)6,,1(00 31024893631223max 61532143213 21K K j x x x x x x x x x x x x x x z j 3、用图解法求解下列线性规划问题

线性规划模型在生活中的实际应用

线性规划模型在生活中的实际应用一、线性规划的基本概念线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 二、线性规划模型在实际问题中的应用（1）线性规划在企业管理中的应用范围线性规划在企业管理中的应用广泛，主要有以下八种形式： 1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大. 2.劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要. 3.运输问题：如何制定运输方案，使总运费最少. 4.合理利用线材问题：如何下料，使用料最少. 5.配料问题：在原料供应的限制下如何获得最大利润. 6.投资问题：从投资项目中选取方案，是投资回报最大. 7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益. 8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中如何是风险最小 . （2）如何实现线性规划在企业管理中的应用在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资

源.首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策.

运用Matlab进行线性规划求解(实例)

线性规划线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linprog(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到lambda 参数中。

数学建模-线性规划

-1- 第一章线性规划 §1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947 年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2 小时和1 小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1 x 台甲机床和2 x 乙机床时总利润最大，则1 2 x , x 应满足（目标函数）1 2 max z = 4x + 3x (1) s.t.（约束条件） ?? ? ?? ? ? ≥ ≤ + ≤ + ≤ , 0 7 8 2 10 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x （2）这里变量1 2 x , x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性

数学建模(教案)第一章--线性规划

数学建模第一章线性规划 §1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （约束条件） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。

实例matlab-非线性规划-作业

现代设计方法-工程优化理论、方法与设计姓名学号班级研问题：某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为（元），其中x 是该季生产的台数。若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c 元。已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低。讨论a 、b 、c 变化对计划的影响，并作出合理的解释。问题的分析和假设：问题分析：本题是一个有约束条件的二次规划问题。决策变量是工厂每季度生产的台数，目标函数是总费用（包括生产费用和存储费）。约束条件是生产合同，生产能力的限制。在这些条件下需要如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低。问题假设： 1、工厂最大生产能力不会发生变化； 2、合同不会发生变更； 3、第一季度开始时工厂无存货； 4、生产总量达到180台时，不在进行生产； 5、工厂生产处的发动机质量有保证，不考虑退货等因素； 6、不考虑产品运输费用是否有厂家承担等和生产无关的因素。符号规定： x1——第一季度生产的台数； x2——第二季度生产的台数； 180-x1-x2——第三季度生产的台数； y1——第一季度总费用； y2——第二季度总费用； y3——第三季度总费用； y ——总费用（包括生产费用和存储费）。 ()2bx ax x f +=

建模： 1、第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台； 2、每季度的生产费用为（元）； 3、每季度生产数量满足40 ≤x1≤100，0≤x2≤100，100≤x1+x2 ≤180； 4、要求总费用最低，这是一个目标规划模型。目标函数: y1 2111x b x a Z ?+?= y2()4012222-?+?+?=x c x b x a Z y3()()()10018018021221213 -+?+--?+--?=x x c x x b x x a Z y x x x x x x Z Z Z Z 68644.04.04.0149201 212221321--+++=++= 40≤x1≤100 0≤x2≤100 100≤x1+x2≤180 ()2 bx ax x f +=

运筹学-线性规划模型在实际生活中的应用

线性规划模型在实际生活中的应用【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。 1、简单线性问题步骤简单介绍建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知

线性规划问题建模与求解

线性规划问题建模与求解一．实验目的 1．掌握线性规划问题建模基本方法。 2．熟练应用Excel “规划求解”功能对线性规划问题进行建模与求解。 3．掌握线性规划问题的对偶理论和灵敏度分析。二．实验设备硬件：PC 机。软件：Microsoft Excel 。三．实验内容 1．建立线性规划问题的数学模型。 2．利用Excel “规划求解”功能对线性规划问题进行建模与求解。 3．根据实验优化结果，进行灵敏度及经济分析。四．实验步骤一．某厂准备生产A,B,C 三种产品，它们都消耗劳动力和材料，有关数据见表3。表3 某厂生产利润与消耗资源表 A B C 拥有量（单位）劳动力 6 3 5 47 材料 3 4 5 30 单位产品利润（元） 3 1 4 问： ①如何确定产品的生产计划使该厂获利最大？ ②产品A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变？ ③如劳动力数量不变，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，购多少为宜？ ④生产产品B 的方案之一是降低成本，问产品B 的成本降低多少时，生产该产品才有利？要求：（1）建立该问题的数学模型（2）利用EXCEL “规划求解”软件进行模型的求解，并产生分析报告。（3）进行灵敏度与经济分析。二：建立生产计划优化问题模型解：设三种产品的生产量分别是X 1，X 2，X 3 产品资源

MaxZ=3X1+X2+4X3 6X1+X2+4X3≤47 3X1+4X2+5X3≤30 X1，X2，X3≥0 3．利用Excel “规划求解”功能建模与求解（1）Excel “规划求解”的安装 1）启动Excel，打开“工具”菜单。如果没有“规划求解”，单击“加载宏”。 2）复选框中选中“规划求解”，单击“确定”后返回Excel。则在“工具”菜单中出现“规划求解”。（2）线性规划模型的求解 1）启动Excel，输入线性规划模型的约束条件系数，右边常数项系数和目标变量系数。并定义线性规划的变量单元格、约束条件左边单元格和目标函数单元格 2)输入公式 E3 =SUMPRODUCT(B3:D3,B6:D6) E4=SUMPRODUCT(B4:D4,B6:D6) B7=SUMPRODUCT(B5:D5,B6:D6) 3）将光标停留在“总利润”单元格B7上，打开“工具”菜单中的“规划求解”，弹出下面

线性规划的应用(简介和案例)

线性规划的应用线性规划是运筹学中一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。如：经济管理、交通运输、工农业生为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。线性规划作为运筹学的一个研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的重要分支，它在日常生活中的典型应用主要有：1合理利用线材问题：如何下料使用材最少 2配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 3投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 4产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 5劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6运输问题：如何制定调动方案，使总运费最小其实，也就是说，线性规划在运筹学中的研究对象主要是在有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高和在某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。例如：某公司现有三条生产线来生产两种新产品，其主要数据如表1.1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？

表1 产品组合问题的数据表此问题是在生产线可利用时间受到限制的情形下寻求每周利润最大化的产品组合问题。在建立产品组合模型的过程中，以下问题需要得到回答：（1）要做出什么决策？（2）做出的决策会有哪些条件限制？（3）这些决策的全部评价标准是什么？（1）变量的确定要做出的决策是两种新产品的生产水平，记x1为每周生产产品甲的产量，x2为每周生产产品乙的产量。一般情况下，在实际问题中常常称为变量（决策变量）。（2）约束条件求目标函数极值时的某些限制称为约束条件。如两种产品在相应生产线上每周生产时间不能超过每条生产线的可得时间，对于生产线一，有x1≤4，类似地，其它生产线也有不等式约束。（3）目标函数对这些决策的评价标准是这两种产品的总利润，即目标函数是要求每周的生产利润（可记为z，以百元为计量单位）为最大这样，可以把产品组合问题抽象地归结为一个数学模型： max z = 3x1+5x2 s.t. x1 ≤4 2x2 ≤12 3x1+ 2x2 ≤18 x1≥0，x2 ≥0

非线性规划模型

非线性规划模型在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集，只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到，因此，对于非线性规划模型，迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。一、非线性规划的分类1无约束的非线性规划当问题没有约束条件时，即求多元函数的极值问题，一般模型为 I r m i n f(X) X 一0 此类问题即为无约束的非线性规划问题 1.1无约束非线性规划的解法 1.1.1 一般迭代法即为可行方向法。对于问题J mnf(X) [X X O 给出f (X)的极小点的初始值X(O),按某种规律计算出一系列的X(k)(k =1,2,…)，希望点阵｛X (k)｝的极限X "就是f (X)的一个极小点。由一个解向量X(k)求出另一个新的解向量X(kI) 向量是由方向和长度确定的，所以XZ I)=X k「k P k(k =12…) 即求解A和P k,选择'k和P k的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即 f (X0) 一f (X1) 一- f (X k) 一. 检验｛X(k)｝是否收敛与最优解，及对于给定的精度；7,是否IIlf(X k JlF ； 1.1.2 一维搜索法当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有： (1)试探法(“成功一失败”，斐波那契法，0.618法等)； (2)插值法(抛物线插值法，三次插值法等)； (3)微积分中的求根法(切线法，二分法等)。考虑一维极小化问题 a?f(t) 若f (t)是[a,b]区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短[a,b]的长度，来

线性规划应用案例

数学建模之线性规划

第一章线性规划 §1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足（目标函数）2134m ax x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min beq x Aeq =? ub x lb ≤≤ 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max

(一)线性规划建模与求解

(一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。解：1、(1)设定决策变量：设甲、乙两种产品分别生产x 1、x 2单位。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线，结论：本题解的情形是：无穷多最优解，理由：目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。（二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。

线性规划建模求解

线性规划建模求解第一题某食品厂在第一车间用1单位原料N可加工3单位产品A及2单位产品B，产品A可以按单位售价8元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加6元，加工后单位售价增加9元。产品B可以按单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工，单位生产费用要增加4元，加工后单位费用可增加6元。原料N的单位购入价为2元，上述生产费用不包括工资在内。3个车间每月最多有20万工时，每工时工资0.5元，每加工1单位N需1.5个工时，如A 继续加工,每单位需3工时，如B继续加工，每单位需2个工时。原料N每月最多能得到10万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大。第二题某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？第三题某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需依次经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需依次经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需依次经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需依次经过A、B机器加工。有关数据如表所示，请为该厂制定一个最优生产计划。第四题某石油公司有两个冶炼厂。甲厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为200，300和200桶，乙厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为100，200和100桶。公司需要这三种油的数量分别为14000，24000和14000桶。甲厂每天的运行费是5000元，乙厂是4000元。问：1）公司应安排这两个厂各生产多少天最经济？2）如甲厂的运行费是2000元，乙厂是5000元。公司应如何安排两个厂的生产。第五题某旅馆每日至少需要下列数量的服务员，有关数据如表所示。每班服务员从开始上班到下班连续工作八小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员。