2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高二数学试卷(B卷)(含答案)

2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试

高二数学试卷（B 卷）

第Ⅰ卷选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|23}M x x =-<<，{}

|21x

N x =>，则M N =I （ ）

A. {|03}x x <…

B. {|03}x x <<

C. {|23}x x -<<

D.

{|22}x x -<<

【答案】B 【解析】 【分析】

先计算{|0}N x x =>，再计算M N ?得到答案. 【

详

解

】

由

已

知

得

{|0}

N x x =>，所以

{|23} {|0}{|03}x x x M N x x x -<=<

故选：B .

【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题型. 2.命题“0x R ?∈，2450x x ++>”的否定是（ ） A. 0x R ?∈，2450x x ++> B. 0x R ?∈，2450x x ++≤ C. x R ?∈，2450x x ++> D. x R ?∈，2450x x ++≤

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用命题的否定定义得到答案.

【详解】命题“0x R ?∈，2450x x ++>”的否定是：x R ?∈，2450x x ++≤

故选：D

【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.

3.已知双曲线的方程为22

145

y x -=，则下列说法正确的是（ ）

A. 焦点在x 轴上

B. 渐近线方程为250x ±=

C. 虚轴长为4

D. 离心率为

35

【答案】B 【解析】 【分析】

根据双曲线方程确定双曲线焦点、渐近线方程、虚轴长以及离心率，再判断得到答案.

【详解】双曲线的方程为22

145

y x -=，

则双曲线焦点在y 轴上；渐近线方程为250x ±=； 虚轴长为253

2

，判断知B 正确. 故选：B

【点睛】本题考查了双曲线的焦点，渐近线，虚轴长和离心率，意在考查学生对于双曲线基础知识的掌握情况.

4.设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D 【解析】

【详解】本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的既不充分也不必要条件.故选D.

考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.

5.已知ln 2a =，0.2log 2b =，0.12c =，则（ ）

A. a b c <<

B. b c a <<

C. b a c <<

D. a c b <<

【答案】C 【解析】 【分析】

利用单调性分别判断,,a b c 与0,1的大小关系得到答案.

【详解】0ln 2ln 1a e <=<=，0.20.2log 2log 10b =<=，0.10221c =>=.故b a c << 故选：C .

【点睛】本题考查了数值的大小比较，通过比较与0,1的大小关系是解题的关键. 6.有下列四个命题

①“若3b =，则29b =”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若1c ≤，则220x x c ++=无实根”；④“若A B A ?=，则A B ?”的逆否命题. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2

C. 3

D. 0

【答案】D 【解析】 【分析】

分别写出①的逆命题，②的否命题，计算③的判别式，④逆否命题与原命题同真同假，分别判断得到答案.

【详解】①逆命题是“若29b =，则3b =”，应是3b =±，故①错；②的否命题是“如果两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，错；③判别式2241440c c ?=-??=-≥，有实根；④由逆否命题与原命题同真同假，若A B A ?=，则B A ?，④错 故选：D

【点睛】本题考查了逆命题，否命题，逆否命题，原命题的真假，意在考查学生的推断能力. 7.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，510a =，则（ ）

A. 2

28n S n n =-

B. 25n a n =-

C. 310n a n =-

D.

2

122

n S n n =

- 【答案】A

【分析】

根据条件得到公差与首项的方程组，计算得到答案.

【详解】设数列公差为d ，由题意得11

43402

410

a d a d ??

+

=???+=?，所以164a d =-??=? 所以410n a n =-，2

28n S n n =-

故选：A .

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和的计算，意在考查学生的计算能力. 8.已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角是120?，则|3|a b -=r

r （ ）

A. 23

B. 19

C. 2

D. 1

【答案】B 【解析】 【分析】

根据||1a =r

，||2b =r ，a r ，b r 的夹角是120?，计算2|3|19a b -=r r 得到答案.

【详解】()

2

22

2|3|3969612cos120419a b a b

a a

b b ?-=-=-?=-??++=r r r r r r r r

|3|19a b -=r r

.

故选：B .

【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.

9.若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )

A. B. C. D.

【答案】C

方程化为y ＝ax ＋b 和22

1x y a b

+=.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，

但B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除； 再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除； C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a ，b 一致．选C.

10.已知函数()2sin sin(3)f x x x ?=+是奇函数，其中0,

2π??

?

∈ ??

?

，则函数()cos(2)g x x ?=-的图象（ ）

A. 关于轴12

x π

=对称

B. 关于点5,012π??

-

???

对称 C. 可由函数()f x 的图象向右平移6

π

个单位得到 D. 可由函数()f x 的图象向左平移3

π

个单位得到 【答案】A 【解析】 【分析】

先根据奇函数得到6π=?，化简得到 ()cos 24f x x π??

=- ??

?，

()cos 212g x x π?

?=- ??

?再依次判断每个选项的正误得到答案.

【详解】函数()2sin sin(3)f x x x ?=+是奇函数，2sin x Q 为奇函数，故sin(3)y x ?=+为偶函数. 则3,2k k Z π

?π=+

∈，其中0,2π???

∈ ???

，故0k =∴6π=? ()2sin sin sin 2cos 2cos 2224f x x x x x x πππ?????

?=+==-=- ? ? ??????

?，

则函数()cos(2)cos 2cos 2612g x x x x ππ????

?=-=-=- ? ?????

的图象可由函数()f x 的图象向

左平移

6

π

个单位得到的，C ，D 错； 由2,6x k k π-=π∈Z ，得,122

k x k Z ππ=+∈，0k =时12x π

=，A 正确； 由2,62

x k k Z π

π

π-

=+

∈，得5

3

212

k x π

ππ=

+

=-，k 无整数解，B 错误. 故选：A .

【点睛】本题考查了三角函数的对称性和平移，根据奇函数得到6

π

=

?是解题的关键. 11.已知12,F F 是两个定点，点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且

12PF PF ⊥，记1e 和2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有

A. 22

122e e +=

B. 22

124e e +=

C. 2212

11

4e e +=

D.

2

212

11

2e e += 【答案】D 【解析】

【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨令P 在双曲线的右支上

由双曲线的定义122PF PF m -= ① 由椭圆的定义12||2PF PF a += ②

又01290F PF ∠=， 故222

12||4?PF PF c += ③

22+①② 得2222

12||22PF PF a m +=+ ④

将④代入③得2222a m c +=， 即222211

2c c a m

+＝， 即

2

212

11

2e e += 故选D

【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程．

12.已知函数()11,22121,121,1x x f x x x x x ?+≤??

?

=-<

-≥???

，若数列{}n a 满足173a =，()()1n n a f a n N ++=∈，

则2019a =（ ） A.

73

B.

43

C.

56

D.

13

【答案】D 【解析】 【分析】

由题中条件可求出数列的前几项，结合递推关系可知数列{}n a 从第三项起构成周期数列，则

20193a a =，即可得到答案。

【详解】由题意，173a =

，27433a f ??== ???，则34133a f ??== ???，41536

a f ??== ???，55263a f ??== ???，62133a f ??== ???，715

36

a f ??== ???，

故数列{}n a 从第三项起构成周期数列，周期为3，故201931

3

a a ==. 故选D.

【点睛】本题考查了数列的递推关系，考查了周期数列，考查了分段函数，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区服务，则选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是__________． 【答案】

23

【解析】 【分析】

将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为a ，写出所有情况和满足条件的情况，相除

【详解】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为a .所有可能情况有：

{},x y ，{},x a ，{},y a ，共3种.合题意的有{},x a ，{},y a ，2种.所以23

p =

. 故答案为：

23

【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题型.

14.若圆2

2

4x y +=上恰有3个点到直线:0l x y b -+=的距离为1，则b =__________． 【答案】2± 【解析】 【分析】

根据条件得到圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】依题意圆心()0,0到直线l 的距离12

2

11(1)

d =

=+-，解得2b =故答案为：2±【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据恰有3个点判断直线和圆的位置关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力.

15.若点P 在曲线C 1：22

1169

x y -=上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x

＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR | 的最大值是 ． 【答案】10 【解析】

依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．

16.从椭圆22221(0)y x a b a b +=>>上的动点M 作圆222

4b x y +=的两条切线，切点为P 和

Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则EOF △面积的最小值是__________．

【答案】3

16b a

【分析】

设()00,M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y 计算出切线方程得到PQ 的方程为2

004

b x x y y +=，

表示出面积为400

1||||232EOF

b S OE OF x y ?==，再利用均值不等式得到答案. 【详解】设()00,M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，

直线MP 和MQ 的方程分别为2114b x x y y +=，2

224

b x x y y +=.

因

点M 在MP 和MQ 上，所以210104b x x y y +=，2

20204

b x x y y +=.

可知,P Q 两点坐标满足方程2004b x x y y +=，所以直线PQ 的方程为2

004b x x y y +=

可得直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为20,04b E x ?? ???和200,4b F y ??

??

?， 所以EOF △的面积是4

00

1||||232EOF

b S OE OF x y ?==. 因为222222

00a x b y a b +=，又22

2

2

00002a x b y ab x y +≥，所以002

ab x y ≤

. 所以43

003216EOF

b b S x y a

?=≥ 当且仅当22222

20

2a b b x a y ==时，EOF △面积取得最小值3

16b a

.

故答案为：3

16b a

【点睛】本题考查了圆锥曲线中面积的最值问题，表示出400

1||||232EOF b S OE OF x y ?==是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知命题p ：“方程22191

x y

k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“方程

22

12x y k k

+=-表示双曲线”. （1）若p 是真命题，求实数k 的取值范围；

（2）若命题p 和q 都是真命题，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）15k <<（2）25k << 【解析】 【分析】

（1）根据方程表示焦点在x 轴上的椭圆得到91

10k k k ->-??->?

，计算得到答案.

（2）命题q 为真命题时满足2k >或k 0<，求交集得到答案.

【详解】（1）命题p ：“方程22

191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”，则9110k k k ->-??->?

，解得15k <<.

（2）命题q ：“方程22

12x y

k k

+=-表示双曲线”，则()20k k -<，解得2k >或k 0<.

若“p 和q ”都是真命题，15

20k k k <

>

或，所以25k <<.

【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，意在考查学生的计算能力.

18.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设2

2

(sin sin )sin sin sin B C A B C +=+. （1）求A ；

（2332b c a =，求sin C . 【答案】（1）23A π

=（2）1sin 2

C = 【解析】 【分析】

（1）根据正弦定理得到222b c a bc +-=-，再利用余弦定理得到23

A π

=

得到答案.

（2）332sin

3

B C π

=，3

B C π

=

-，代入化简计算得到答案.

【详解】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=-， 由正弦定理得222b c a bc +-=-，

由余弦定理得2221

cos 22b c a A bc +-==-因为0A π<<，所以23

A π=.

（2）由（1）知3

B C π

+=

，3

B C π

=

-，由题意及正弦定理得， 332sin

3

B C π

+=3333C C π??

-=

???

sin sin 13C C π??

-+= ???

，sin cos cos sin sin 133C C C ππ-+=

31sin sin 122

C C C -+=，31cos sin sin()1223C C C π

+=+= 又

23

3

3C π

π

π<+

<

，32

C ππ+=，6C π=，1

sin 2C =.

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.

19.某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

年薪（万

元） 4

4.5

6

5

6.5

7.5

8

8.5

9

51

（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

（2）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元、5.5万元、6万元、8.5万元，预测该员工第六年的年薪为多少？

附：线性回归方程???y

bx a =+中系数计算公式分别为：()()

()

1

2

1

?n

i

i

i n

i i x x y y b x x ==--=-∑∑，??a

y bx =-，

其中x 、y 为样本均值.

【答案】（1）平均值为11万元，中位数为7万元（2）预测该员工年后的年薪收入为10.9万元 【解析】 【分析】

（1）直接利用平均数和中位数的定义计算得到答案.

（2）设,(1,2,3,4)i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，利用公式直接计算得到回归方程

$1.4 2.5y x =+，代入数据计算得到答案.

【详解】（1）平均值

4+4.5+6+5+6.5+7.5+8+8.5+9+51

1110

= 万元，中位数为7万元.

（2）设,(1,2,3,4)i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5x =，6y =，

()

4

2

1 2.250.250.25 2.255i x x -=+++=∑

()()4

1

1.5(2)(0.5)(0.5)0.50 1.5

2.57i

i

i x x y y =--=-?-+-?-+?+?=∑

()()

()

1

2

7? 1.45

n

i

i

i i x x y y b

x x =--==

=-∑，??6 1.4 2.5 2.5a

y bx =-=-?= 由线性回归方程：$1.4 2.5y x =+，6x =时，10.9y = 可预测该员工年后的年薪收入为10.9万元.

【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20.已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足

()

11212,n n n S S S n n ++--+=∈N ….

（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设4n

n n b a =?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（1）证明见解析，1n a n =+（2）4

88T 43

99n n n ??=+?- ???

【解析】

【分析】

（1）变换得到()()111n n n n S S S S +----=即11n n a a +-=，得到证明，计算得到答案.

（2）计算得到(1)4n n

b n =+?，利用错位相减法计算得到答案.

【详解】（1）由已知()()()*

1112,n n n n S S S S n n +----=≥∈N ，

即()

*11

2,

n n a a n n +-=≥∈N ，且211a a -=.

∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列. ∴1n a n =+

（2）由（1）知(1)4n n

b n =+?，它的前n 项和为n T

12312434444(1)4n n n T n n -=?+?+?++?++?L （1） 234142434444(1)4n n n T n n +=?+?+?++?++?L （2）

（1）-（2）：1

2

3

4

1

3244444(1)4

n

n n T n +-=?+++++-+?L

(

)1

414884(1)4

4414

33n n n n n +-?

?=+

-+?=--?+ ?-?

?

∴4

88T 43

99n n n ??=+?-

???.

【点睛】本题考查了等差数列的证明，数列的通项公式及错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

21.已知圆C 过点()1,1P ，且与圆()()()2

2

2:220M x y r r +++=>关于直线20

x y ++=对称．

（1）求圆C 的方程；

（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，

O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．

【答案】（1）2

2

2x y +=；（2）直线AB 和OP 一定平行； 【解析】

【详解】解：（1）依题意，可设圆C

方程为()()2

2

2

x a y b r -+-=，且a 、b 满足方程组

()33

30,22{3

1 1.3

a b b a --++=+?-=-+ 由此解得0a b ==．又因为点P ()1,1在圆C 上，所以

22222(1)(1)(10)(10)2r a b =-+-=+++=．故圆C 的方程为222x y +=．

（2）设(,)Q x y 则2

2

2x y +=，且

·PQ MQ u u u r u u u u r =22(1,1)(2,2)42x y x y x y x y x y --?++=+++-=+-

设x y u +=，则由x y u +=与圆2

2

2x y +=相交，求得u 的取值范围为[-2，2]

则·PQ MQ u u u r u u u u r 的最小值为了4-

或者令2cos x θ

=

,2sin y θ=

,则·PQ MQ u u u r u u u u r =2cos 2sin 22sin()24

π

θθθ+-=+- 因为1sin()14

θπ

-+≤≤，则·PQ MQ u u u r u u u u r 的最小值为了4- （3）由题意可知，直线PA 和直线PB 的斜率存在且互为相反数， 故可设PA 所在的直线方程为，PB 所在的直线方程为()11y k x -=--．

由()2

2

11,{

2

y k x x y -=-+=消去y ，并整理得 ：

()()()2

2

2121120k

x k k x k ++-+--=． ①

设()11,A x y ，又已知P ()1,1的横坐标1一定是该议程的根，则1x 、1为方程①的两相异实数

根，由根与系数的关系得212211k k x k --=+．同理，若设点B ()22,x y ，则可得222

21

1

k k x k +-=+． 于是()()1212121211AB k x k x y y k x x x x -+--=

=--＝()1212

2k x x k

x x +--=1．

而直线OP 的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP 与AB 平行． 22.已知动圆C 过定点()22,0F ，并且内切于定圆2

2

1:(2)36F x y ++=.

（1）求动圆圆心C 的轨迹方程；

（2）若28y x =上存在两个点M ，N ，（1）中曲线上有两个点P ，Q ，并且M ，N ，2

F

三点共线，P ，Q ，2F 三点共线，PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.

【答案】（1）22

195

x y +=（2）24

【解析】 【分析】

（1）根据几何关系得到12126CF CF F F +=>，得到轨迹为椭圆，代入数据计算得到答案. （2）直线MN 斜率不存在时，直接计算面积为24S =；当斜率存在时，设

(2)(0)y k x k =-≠，联立方程，根据韦达定理得到(

)

(

)

2

22

2

1

120

59

k S k k +=+，再利用均值不等

式得到答案.

【详解】（1）设动圆的半径为r ，则2||CF r =，1||6CF r =-，所以12126CF CF F F +=>， 由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆

3a =，2c =，所以5b =C 的轨迹方程是22

195

x y +=.

（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得||8MN =，||6PQ =，四边形

PMQN 的面积24S =.

当直线MN 斜率存在时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠

联立方程得2

(2)8y k x y x

=-??

=?，消元得()

2222

4240k x k x k -++= 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221284

4

x x k

x x ?

+=+???=? 2

2

22

88||14168MN k k k ??

=++-=+ ???

. ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为1

(2)y x k

=-

-

22

1(2)19

5y x k x y ?=--????+=??，得()

222

593636450k x x k +-+-= 设()33,P x y ，()4,4Q x y ，则3422

1223659

364559x x k k x x k ?

+=??+?-?=?+?

()

22

22222

301

1363645||14595959

k k PQ k k k k +-??=+-= ?+++?? 四边形PMQN 的面积()()

()

2

222222

3011111||||81120225959k k S MN PQ k k k k ??++?? ?==+= ? ?++????

， 令21k t +=，1t >，上式2

1(4)15120120(1)(54)5(1)(54)t t

s t t t t ??+??==+??-+-+??

??

令4,(5)t z z +=>，

11111151201201201641165(5)(516)552525(5)55z z S z z z z z z ??????

????????=+=+=+?????--????

????+--- ??????????

? 1641(5)5z z z +>>，∴164105z z +->，∴11200245S ??

>+= ???

综上所述：最小值为24.

【点睛】本题考查了轨迹方程，面积的最值，意在考查学生的计算能力，忽略斜率不存在的情况是容易犯的错误.