高二数学立体几何专题复习(版)

高中立体几何专题（精编版）

1. （天津文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为

平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，

2PO =，M 为PD 中点．

（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）求直线AM 【解析】直线与平面所成的

角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。 （Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所

以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB//平面ACM 。 （Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=?，且AD=AC=1，所以90DAC ∠=?，即AD AC ⊥，

又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥?=而，所以AD ⊥平面PAC 。

（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，

且1

1,2

MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直

线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO ?中，1

1,2

AD AO ==，

所以52DO =，从而15

2AN DO ==，

在45

,tan 5

4

MN Rt ANM MAN AN ?∠===

中即直线AM 与平面ABCD 所成角45

2. （北京文）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱

AP,AC,BC,PB 的中点.

（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；

（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.

D

C

A

B

P

M

O

【解析】（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，

所以DE//PC 。

又因为DE ?平面BCP ， 所以DE//平面BCP 。

（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点，

所以DE//PC//FG ，DG//AB//EF 。 所以四边形DEFG 为平行四边形， 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，

所以四边形DEFG 为矩形。

（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=2

1

EG.

分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ，

且QM=QN=2

1

EG ，

所以Q 为满足条件的点. 3. (全国大纲文)

如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD P ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====． （I ）证明：SD ⊥平面SAB ；

（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

【解析】20．解法一：

（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故222ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。 由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=I ，

得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。 …………6分

（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，

3

.SD SE SF DE ?=

= 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。 连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥=I ，

故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。 …………9分

作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

3

7

SF FG FH SG ?=

=

，即F 到平面SBC 的距离为21.7 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有

21

.7

设AB 与平面SBC 所成的角为α，

则2121sin ,arcsin .77

d EB αα=== …………12分 解法二：

以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系

C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。 又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则

（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-u u u r u u u r ，(1,,)DS x y z =-u u u r

，

由||||AS BS =u u u r u u u r

得

222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+ 故x=1。 由22||11,DS y z =+=u u u r

得

又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=u u u r

得

即2213

410,,.22

y z y y z +-+===

故 …………3分

于是133333

(1,,),(1,,),(1,,)222222

S AS BS =--=-u u u r u u u r ，

13(0,,),0,0.2DS DS AS DS BS =?=?=u u u r u u u

r u u u r u u u r u u u r

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=I 又 所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，

则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r

又33(1,,),(0,2,0),22

BS CB =-=u u u r u u u

r

故33

0,220.m n p n ?-+

=???=?

…………9分

取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a AB =-=-u u u r

又。

21

cos ,.7||||

AB a AB a AB a ?==?u u u r

u u u r u u u r

故AB 与平面SBC 所成的角为21

arcsin

.7

4. （全国新文）18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．

【解析】(18)解：

（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理

得3BD AD =

从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC 。由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD 。 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE 。 则DE ⊥平面PBC 。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，

根据BE·PB=PD·BD，得DE=2

3， 即棱锥D —PBC 的高为

.2

3 5. （辽宁文）18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =

1

2

PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；

（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．

【解析】18．解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形

因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.

又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.

在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=

2

2

PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分 （II ）设AB=a .

由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311

.3V a =

由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=2a ，△DCQ 的面积为2

22

a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321

.3

V a =

故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 6. （江西文）18．（本小题满分12分）

如图，在ABC ?中，,2,2

B AB B

C π

∠===P 为AB 边上的一动点，PD//BC 交

AC 于点D ，现将?PDA 沿PD 翻折至?PDA '，使平面?PDA '⊥平面PBCD 。 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；

（2）若点P 为AB 的中点，E 为'A C 的中点，求证：'A B DE ⊥。

【解析】18．（本小题满分12分）

解：（1）令(02),',2,PA x x A P PD x BP x =<<===-则 因为'A P PD ⊥，

且平面'A PD ⊥平面PBCD ， 故'A P ⊥平面PBCD 。

所以3'111

(2)(2)(4)366A PBCD V Sh x x x x x -==-+=-，

令31

()(4),6f x x x =-

由212

'()(43)0,363f x x =-=得x=，

当2

(0,3),'()0,()3x f x f x ∈>时单调递增

当2

(3,2),'()0,()3

x f x f x ∈<时单调递减，

所以，当2

33

x =时，()f x 取得最大值，

即：当'A PBCD V -最大时，23

.PA = （2）设F 为'A B 的中点，连接PF ，FE ，

则有1//,//22

EF BC PD BC ====1

所以DE//PF ，又'A P PB = 所以'PF A B ⊥， 故'.DE A B ⊥ 7. （山东文）19．（本小题满分12分）

如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60° （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面．

【解析】19．（I ）证法一：

因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，

所以1D D BD ⊥，

又因为AB=2AD ，60BAD ∠=?， 在ABD ?中，由余弦定理得

22222cos603BD AD AB AD AB AD =+-??=， 所以222AD BD AB +=， 因此AD BD ⊥， 又1,AD D D D =I

所以11.BD ADD A ⊥平面 又1AA ?平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥

证法二：

因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ， 所以1.BD D D ⊥

取AB 的中点G ，连接DG ，

在ABD ?中，由AB=2AD 得AG=AD ，

又60BAD ∠=?，所以ADG ?为等边三角形。 因此GD=GB ，

故DBG GDB ∠=∠， 又60AGD ∠=? 1,

D D ∠?∠∠∠???⊥=I 所以GDB=30,

故ADB=ADG+GDB=60+30=90,

所以BD AD.

又AD D

所以BD ⊥平面ADD 1A 1， 又1AA ?平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥

（II ）连接AC ，A 1C 1，

设AC BD E =I ，连接EA 1

因为四边形ABCD 为平行四边形，

所以1

.2

EC AC =

由棱台定义及AB=2AD=2A 1B 1知 A 1C 1//EC 且A 1C 1=EC ，

所以边四形A 1ECC 1为平行四边形， 因此CC 1//EA 1，

又因为EA 1?平面A 1BD ，1CC ?平面A 1BD ，

所以CC 1//平面A 1BD 。 8. （陕西文）16．（本小题满分12分）

如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°。

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ； （Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D —ＡＢＣ的表面积。

【解析】16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，

∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ?ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面平面ABD ． BDC.ABD ∴⊥平面平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥, Q DB=DA=DC=1， ∴2,

从而11

11,22

DAM DBC DCA S S S ===??=V V V

13

22sin 602ABC S =?=V 表面积：133332S +=?+= 9. （上海文）20．（14分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为

1的正四棱柱，高12AA =。求：

（1）异面直线BD 与1AB 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）四面体11AB D C 的体积。

【解析】20．解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵ 1111//,BD B D AB AD =，

∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，

222111111110

cos 2AB B D AD AB B D θ+-==

? D

C

B

A

D 1

C B A

1

D

B

∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为10arccos

10

。 ⑵ 连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积

111111112

42433

ABCD A B C D C B C D V V V --=-?=-?=。

10. （四川文）19．（本小题共l2分）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．

（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1；

（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；

本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一：

（Ⅰ）连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ，

∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1∥AP ，∴AD =PD ，又AO =B 1O ， ∴OD ∥PB 1，又OD ?面BDA 1，PB 1?面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1．

（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC =A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1． ∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．

在Rt △A 1C 1D 中，22115

()12A D =+=， 又1

1151122AA D S AE ?=??=?

?，∴25

AE =

． 在Rt △BAE

中，222535

()15BE =+=，∴

2

cos 3

AH AHB BH ∠=

=． 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23

．

解法二：

如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．

（Ⅰ）在△PAA 1中有1112C D AA =，即1

(0,1,)2

D ． ∴1(1,0,1)A B =u u u r ，1(0,1,)A D x =u u u u r

，1(1,2,0)B P =-u u u r ．

设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，

则1111

0,

10.2A B a c A D b c ??=+=?

??=+=??u u u r

u u u u r n n 令1c =-，则1

1(1,,1)2=-n ． ∵111

1(1)2(1)002

B P ?=?-+?+-?=u u u r n ，

∴PB 1∥平面BA 1D ，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2

=-n ． 又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴12121212

cos ,3||||3

12

?<>===??n n n n n n ．

故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23

．

11. （浙江文）（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，

D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．

（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；

（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =．求二面角B AP C --的大小． 【解析】（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，

二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

（Ⅰ）证明：由AB=AC ，D 是BC 中点，得AD BC ⊥， 又PO ⊥平面ABC ，，得PO BC ⊥

因为PO AD O ?=，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥ （Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM 。 因为,BC PA PA ⊥⊥得平面BMC ，所以AP ⊥CM 。 故BMC ∠为二面角B —AP —C 的平面角。

在222,41,41Rt ADB AB AD BD AB ?=+==中得 在222Rt POD PO OD ?=+中,PD ， 在Rt PDB ?中，222PB PD BD =+，

所以222236, 6.PB PO OD BD PB =++==得

在222,25, 5.Rt POA PA AO OP PA ?=+==中得

又222122

cos ,sin 233

PA PB AB BPA BPA PA PB +-∠==∠=?从而

故sin 42BM PB BPA =∠= 同理4 2.GM =

因为222BM MC BC += 所以90BMC ∠=?

即二面角B —AP —C 的大小为90.? 12. （重庆文）20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，

,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；

（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。

【解析】20．（本题12分）

解法一：（I ）如答（20）图1，过D 作DF ⊥AC 垂足为F ，

故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF

是四面体ABCD 的面ABC 上的高，设G 为边CD 的中点， 则由AC=AD ，知AG ⊥CD ，从而

2222115

2().

22

1115

.22AG AC CG AG CD AC DF CD AG DF AC =-=-=??=?==由得

由

2213

,3,.22

ABC Rt ABC AB AC BC S AB BC ??=

-==

?=中

故四面体ABCD 的体积15

.38

ABC V S DF ?=

??= （II ）如答（20）图1，过F 作FE ⊥AB ，垂足为E ，连接DE 。由（I ）知DF

⊥平面ABC 。由三垂线定理知DE ⊥AB ，故∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角。

在2222157,2(

),44

Rt AFD AF AD DF ?=-=-=中 在Rt ABC ?中，EF//BC ，从而EF ：BC=AF ：AC ，所以7

.8

AF BC EF AC ?== 在Rt △DEF 中，215

tan .DF DEF EF =

= 解法二：（I ）如答（20）图2，设O 是AC 的中点，过O 作OH ⊥AC ，交AB

于H ，过O 作OM ⊥AC ，交AD 于M ，由平面ABC ⊥平面ACD ，知OH ⊥OM 。因此以O 为原点，以射线OH ，OC ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系O —xyz.已知AC=2，故点A ，C 的坐标分别为A （0，—1，0），C （0，1，0）。

设点B 的坐标为11(,,0),,||1B x y AB BC BC ⊥=u u u r u u u r u u u r

由，有

2211221111111,(1)1,

33,,22().11,22x y x y x x y y ?+=??+-=????==-??????

??==????解得舍去 即点B 的坐标为31

(

,,0).22

B 又设点D 的坐标为22(0,,),||1,||2,D y z CD AD ==u u u r u u u r

由有

22

2222222222(1)1,(1)4,

33,,44().1515,y z y z y y z z ?-+=??++=????==????

??

??==-????解得舍去 即点D 的坐标为315(0,,).44D 从而△ACD 边AC 上的高为215

||.4

h z == 又22

31||()(1)3,|| 1.22

AB BC =++==u u u r u u u r

故四面体ABCD 的体积115

||||.32V AB BC h =???=

u u u r u u u r （II ）由（I ）知

33715(,,0),(0,,).24AB AD ==u u u r u u u r 设非零向量(,,)n l m n =是平面ABD 的法向量，则由n AB ⊥u u u r

有

33

0.2

l m += （1） 由n AD ⊥u u u r

，有

715

0.44

m n +

= （2） 取1m =-，由（1），（2），可得715715

3,,(3,1,).l n n ==

=-即 显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量，从而

715

7109

15cos ,,109

493115

49

1215109tan ,,109

n k n k <>==

++-

<>=

=故

即二面角C —AB —D 的平面角的正切值为

215

. 13. （安徽文）（19）（本小题满分13分）

如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC EF ∥；

（Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积. 【解析】（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间

直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.

（I ）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以

OB ∥DE 2

1

，OG=OD=2，

同理，设G '是线段DA 与FC 延长线的交点，有.2=='OD G O

又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.

在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 2

1

，可知B 和C 分别是GE 和

GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF.

（II ）解：由OB=1，OE=2，2

3

,60=?=∠EOB S EOB 知，而△OED 是边长为2

的正三角形，故.3=OED S

所以.2

3

3=

+=OED EOB OEFD S S S 过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱

锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2

3

31=?=-OBED OBED F S FQ V

14. （福建文）20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。

（I ）求证：CE ⊥平面PAD ；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD 的体积 【解析】20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体

积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分

（I ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ?平面ABCD ，

所以.PA CE ⊥

因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以 又,PA AD A =I

所以CE ⊥平面PAD 。

（II ）由（I ）可知CE AD ⊥，

在Rt ECD ?中，DE=CD cos 451,sin 451,CE CD ??==??= 又因为1,//AB CE AB CE ==， 所以四边形ABCE 为矩形，

所以115

1211.222

ECD ADCE ABCD S S S AB AE CE DE ?=+=?+?=?+??=矩形四边形

又PA ⊥平面ABCD ，PA=1，

= = = =

所以1155

1.3326

P ABCD ABCD V S PA -=?=??=四边形四边形

15. （湖北文）18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在

侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且22A E =,2BF =． （I ） 求证：1C F C E ⊥；

（II ） 求二面角1E C F C --的大小。

【解析】18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分） 解法1：（Ⅰ）由已知可得

221132,2(22)23CC CE C F ===+= 222221(),2(2)6EF AB AE BF EF C E =+-==+= 于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+=

所以11,C E EF C E CE ⊥⊥

又1,.EF CE E C E CEF ?=⊥所以平面

由1,.CF CEF CF C E ?⊥平面故

（Ⅱ）在CEF ?中，由（Ⅰ）可得6,23EF CF CE === 于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥

又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EF C E E ?=，所以CF ⊥平面C 1EF ， 又1C F ?平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F 。

于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角。

由（Ⅰ）知1C EF ?是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=?，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45?。

解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得

1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),(3,1,2)A B C C E F

（Ⅰ）1(0,2,2),(3,1,2)C E CF =--=-u u u u r u u u r

10220C E CF ?=+-=u u u u r u u u r

1.CF C E ∴⊥

（Ⅱ）(0,2,22)CE =-u u u r

，设平面CEF 的一个法向量为

(,,)m x y z =

由0,

,,0,

m CE m CE m CF m CF ??=?⊥⊥??=??u u u r

u u u r u u u r u u u r

得 即2220,

(0,2,1)320y z m x y z ?-+=?=?

-+=??可取 设侧面BC 1的一个法向量为

1,,,(3,1,0)n n BC n CC CB ⊥⊥=-u u u r u u u u r u u u r

由及

)0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取

设二面角E —CF —C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得

||62

cos ||||232

m n m n θ?=

==

??，所以45θ=? 即所求二面角E —CF —C 1的大小为45?。 16. （湖南文）19．（本小题满分12分）如图3，在圆锥PO 中，已知2,PO O

=e 的直径?2,,AB C AB D AC =∠o 点在上,且CAB=30为 的中点．

（Ⅰ）证明：AC ⊥平面POD ;

（Ⅱ）求直线 OC 和平面PAC 所成角的正弦值. 【解析】19．（本题满分12分）

解法1：（I ）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD.

又PO ⊥底面⊙O ，AC ?底面⊙O ，所以AC ⊥PO ，而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以;AC POD ⊥平面

（II ）由（I ）知，,AC POD ⊥平面又,AC PAC ?平面

所以平面,POD PAC ⊥平面在平面POD 中，

过O 作OH PD ⊥于H,则,OH PAC ⊥平面连结CH ， 则CH 是OC PAC 在平面上的射影，

所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角．

在1

,sin 30.2

Rt ODA OD OA ?=?=o 中

在22

1222,124

Rt POD OH PO OD ?

?==

=++

中 在2

,sin OH Rt OHC OCH OC ∠==V 中 17. （广东文）18．（本小题满分13分） 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，

将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A ，A′，B ，B′分别为

?CD ,?''C D ,?DE ,?''D E 的中点，''112,2

,,O O O O 分别为,'',,''CD C D DE D E 的中点．

（1）证明：''12,,,O A O B 四点共面； （2）设G 为A A′中点，延长\''1A O 到H′，使得''''11O H A O =．证明：

''''2BO H B G ⊥平面

【解析】18．（本小题满分13分）

证明：（1）??,,A A CD C D '''Q 分别为中点，

11//O A O A ''∴

连接BO 2

// Q 直线BO 2是由直线AO 1平移得到 12//AO BO ∴

12//O A BO ''∴

12,,,O A O B ''∴共面。

（2）将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H '' ∴由平移性质得12O O ''=HB 21//BO HO ''∴

11,,2

A G H O H H A H O H H GA H π

''''''''''==∠=∠=Q

1GA H O H H ''''∴??? 12

H O H GH A π

'''∴∠+=

1O H H G ''∴⊥

2BO H G ''∴⊥

12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥?=Q

1222O O B BO O ''''∴⊥平面 122O O BO '''∴⊥

2BO H B '''∴⊥ H B H G H ''''?=Q

2.BO H B G '''∴⊥平面

18. （江苏）16．如图，在四棱锥ABCD P -中，

平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点

求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；

（2）平面BEF ⊥平面PAD

【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分14分。 证明：（1）在△PAD 中，因为E 、F 分别为 AP ，AD 的中点，所以EF//PD.

又因为EF ?平面PCD ，PD ?平面PCD ， 所以直线EF//平面PCD.

（2）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°， 所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的 中点，所以BF ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面

ABCD ，BF ?平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD 。又因

F E A C

D

为BF 平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. https://www.360docs.net/doc/af18847399.html,