82知识讲解 外力作用下的振动 基础

外力作用下的振动

【学习目标】

1．知道什么是阻尼振动和阻尼振动中能量转化的情况。

2．知道做受迫振动物体的振动频率跟固有频率无关，而等于驱动力的频率。

3．知道共振以及发生共振的条件，知道共振的应用和防止的实例。

4．会用单摆测定重力加速度．

5．学会用公式法和图像法处理实验数据．

【要点梳理】

要点一、振动的分类

1．振动的分类

按振子受力的不同可将振动分为：

（1）自由振动（又称固有振动）．

回复力是系统内部的相互作用力．弹簧振子的弹力是系统内部的力，单摆的重力的切向分量也是系统内部的力．

（2）阻尼振动．

系统受到摩擦力或其他阻力．系统克服阻力的作用要消耗机械能．因而振幅减少，最后停下来，阻尼振动的图像如图所示．

要点诠释：物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定。并不会随振幅的减小而变化．例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变．

（3）受迫振动．

如系统受到周期性外力的作用，就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统持续地振动下去．

这种周期性的外力叫驱动力．

系统在驱动力作用下的振动叫受迫振动．

2．受迫振动的频率

系统做受追振动的频率总是等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关．

3．共振

系统做受迫振动时，如果驱动力的频率可以调节，把不同频率的驱动力先后作用于同—个振动系统，其受迫振动的振幅将不同，如图是共振曲线图．

驱动力频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振．

要点诠释：驱动力频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振．

要点二、共振的应用与防止

1．共振的应用与防止

（1）共振的应用：由共振的条件知，要利用共振就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致．如：共振筛、共振转速计、共鸣箱、核磁共振仪等．

①共振筛：共振筛是利用共振现象制成的．把筛子用四根弹簧支起来，在筛架上安装一个偏心轮，就成了共振筛．偏心轮在发动机的带动下转动时，适当调节偏心轮的转速，可以使筛子受到的驱动力的频率接近筛子的固有频率，筛子发生共振，提高了筛选工作的效率．

②共鸣箱：乐器发出的声音也作为驱动力使乐器箱内的空气做受迫振动．当满足共振条件时，箱内空气处于共振状态而有较大的振幅，这种声音的共振现象通常叫做共鸣．各种各样的乐器如小提琴、大提琴、二胡、琵琶……它们都有形状不同、构造各异的共鸣箱，靠箱内空气的共鸣，才发出洪亮、美妙、动听的声音．

③在无线电接收技术中用到的电谐振，它是共振的另一种表现形式．

（2）共振的防止：由共振曲线可知，在需要防止共振时，要尽量使驱动力的频率和物体振动的固有频率不相等，而且相差越多越好．

要点诠释：如：部队过桥时，为避免周期性的驱动力使桥发生共振，应便步走．

2．微波炉原理

微波炉的微波频率与水分子振动的固有频率2500 MHz非常接近，因此，当微波照射到食物时，微波施加的驱动力使食物中的水分子做受迫振动，并且处于共振状态而剧烈振动，使食物的温度迅速升高．由于这种“加热”方式是从里到外同时发生的，所以比其他煮熟食物的方式更快捷．3．减振原理

思路一是给被保护的物体加一层减振的阻尼材料（如泡沫塑料等），使冲击过程的机械能尽可能多地转化为阻尼材料的内能，减轻被保护物体受到的冲击作用．思路二是在物体与外界冲击作用之间安装一个“质量一弹簧”系统，如果该系统的固有周期比外界冲击力的周期大很多，它不会及时地把该冲击力传递给物体，这种延缓的过程实际上对冲击力起到了平均的作用．

4．声音的共振现象（共鸣）

如：取两个频率相同的音叉A和B，相距不远并排放在桌面上，敲击音叉A的叉股，使它发声，过一会儿用手抓住音叉A的叉股，可听到没有被敲的音叉B在发声．说明B受A的驱动作用而发生了共振．

声音的共振在乐器上应用很广泛，如小提琴、二胡等，通过共振现象，可以增加声强，改善音色． 二胡、小提琴等弦乐器主要是由弦的振动带动周围空气振动而发声的．

二胡、小提琴等弦乐器都带有一个“箱子”，这是因为这些“箱子”中都有空气，当弦乐器中的弦振动发声时，对“箱子”中的空气柱有一个周期性的驱动力，使“箱子”中的空气柱也振动起来，改变“箱子”的大小和形状，就会改变空气柱的固有频率，当它的固有频率与驱动力的频率相同时，就会出现声音的共振现象——共鸣，使乐器中原来的声音变得洪亮动听，因此把这个“箱子”叫做共鸣箱．

弦乐器的弦一般很细，与周围空气的接触面积很小，即使再强烈的弦振动，也搅动不了多少空气，所以它发出的声音也不会很强，但是，把弦的振动传给共鸣箱后，就能搅动许多空气，这样就把声音放大了．

要点诠释：乐器的共鸣箱不仅有放大声音的作用，而且兼有改善音色的作用．如：音箱的固有频率在低音范围，演奏到某些音调时，由于共鸣的作用，发音可以很强，使音色浑厚动听．

要点三、利用单摆测定重力加速度

1．实验内容

（1）实验目的：

利用单摆测定当地的重力加速度，巩固和加深对单摆周期公式的理解．

（2）实验原理：

单摆在偏角很小时，可看成简谐运动，其固有周期2l T g

=，可得224l g T π=．据此，通过实验方法测出摆长l 和周期T ，即可计算得到当地的重力加速度值．

（3）实验器材：

铁架台及铁夹，金属小球（最好上面有一个通过球心的小孔），秒表，细线（1 m 左右），刻度尺（最小刻度为mm ）．

（4）实验步骤：

①让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．

②将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．

③用刻度尺测量单摆的摆长（摆线静止悬挂时从悬点到球心间的距离）．

④把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不太大，再释放小球．当摆球摆动稳定以后，过最低位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次（或50次）的时间，求出1次全振动的时间，即单摆的振动周期．

⑤改变摆长，反复测量三次，将算出的周期T 及测得的摆长l 代入公式22

4l g T π=，求出重力加速度的值，然后求g 的平均值．

2．实验数据的处理

（1）平均值法：每改变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式22

4l g T π=中，求出g 值，并最后求出g 的平均值．

（2）图像法：由2T =，得224T l g π=，作出2T l -　图像，即以2T 为纵轴，以l 为横轴．其斜率2

4k g

π=，由图像的斜率即可求出重力加速度g ． 3．实验注意事项

（1）选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1m ，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm ．

（2）单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．

（3）注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不太大，可通过估算振幅的办法掌握．

（4）摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．

（5）计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时为好，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次（如30次或50次）全振动的时间，用取平均值的办法求周期．

4．误差的分析

（1）本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，是单摆还是复摆．球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差，达到忽略不计的程度．

（2）本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上．因此，要注意测准时间（周期），要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值．

（3）本实验中长度（摆线长、摆球的直径）的测量时，读数读到毫米位即可（即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米位），时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可，秒表读数不需要估读．

【典型例题】

类型一、阻尼振动的理解

例1．（2015 惠州期末）上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摆动，摆动的幅度越来越小，对此现象下列说法正确的是（ ）．

A ．能量正在消失

B ．摆球机械能守恒

C ．只有动能和重力势能的相互转化

D ．总能量守恒，摆球的机械能正在减少，减少的机械能转化为内能

【思路点拨】分析小球在摆动中各力的做功情况，则可得出能量的转化情况．

【答案】D

【解析】根据能量守恒定律可知，能量不会消失，故A 错误；由题意可知，摆球的机械能由于阻力做功越来越小，故机械能不再守恒，减小的机械能转化为周围的内能；故D 正确，BC 错误。

【总结升华】机械能是否守恒有两种判断方法，一种是根据条件，判断是否只有重力做功，二是

根据能量的变化，特别要注意内能的变化．

举一反三:

【高清课堂：外力作用下的振动 例1】

【变式】如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，而用手往下拉振子，放手使之上下振动，测得振子在10s 内完成20次全振动，然后匀速转动摇把，转速为240r/min ．当振子振动稳定时，其振动周期为（ ）

A ．0.5s

B ．0.25s

C ． 2s

D ．4s

【答案】B

类型二、阻尼振动中的能量

例2．如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是（ ）．

A ．摆球在A 时刻的动能等于

B 时刻的动能

B ．摆球在A 时刻的势能等于B 时刻的势能

C ．摆球在A 时刻的机械能等于B 时刻的机械能

D ．摆球在A 时刻的机械能大于B 时刻的机械能

【答案】B 、D

【解析】该题考查阻尼振动的图像以及能量的转化关系．在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使机械能逐渐转化为内能，C 项错误，D 项正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．由于A 、B 两时刻，单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等，A 项错误，B 项正确．

【总结升华】机械能E 等于动能k E 和势能p E 之和．即k p E E E =+，阻尼振动中，E 减小，但动能和势能相互转化．当p E 相等时，k E 不相等．而从振动图像上，可以确定p E 的关系．

举一反三:

【高清课堂：外力作用下的振动例2】

【变式】在一根张紧的绳下端挂几只摆球，如图所示．其中，摆球A的质量较其他三只摆球的质量大得多，当A摆球摆动起来后，通过张紧的绳的作用使其余三只摆球也摆动起来，达到稳定后，有（）

A．单摆C的摆长最长，振动的周期最大

、、的振动周期一样大

B．单摆B C D

C．单摆B距离摆A最远，它的振幅最小

D．单摆B的摆长与单摆A的相同，它的振幅最大

【答案】D

类型三、受迫振动的理解

例3．（2014 南乐县校级期中）受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动，关于它的驱动力与振动的关系，下面说法正确的是()

A．做受迫振动的物体达到稳定后，其振动的频率一定等于驱动力的频率

B．做受迫振动的物体达到稳定后，周期一定等于驱动力的周期

C．做受迫振动的物体达到稳定后，振幅与驱动力的周期无关

D．做受迫振动的物体达到稳定后，振幅与驱动力的大小无关

【答案】AB

【解析】做受迫振动的物体达到稳定后，其振动频率(周期)等于驱动力的频率(周期)，而和固有频率(周期)无关，A、B正确；当驱动力的周期和固有周期接近时，振动的振幅大，C错误；驱动力大，做功多，转化的能量多，受迫振动的振幅大，D错误．

举一反三:

【高清课堂：外力作用下的振动例6】

【变式】如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力的频率之间的关系，由此可知（）

A ．振子受迫振动的频率为2f 时，它处于共振状态

B ．驱动力的频率为3f 时，振子振动频率为3f

C ．假如让弹簧振子自由振动，它的振动频率为2f

D ．弹簧振子做自由振动时，频率可以为12f f 、或3f

【答案】ABC

类型四、受迫振动的应用

例4．铁道上每根钢轨长12.5 m ，若支持车厢的弹簧和车厢组成的系统周期为0.6 s ，那么当列车以________速度行驶时，车厢振动最厉害．

【解析】本题应用共振产生的条件来求解．火车行驶时，每当通过铁轨的接缝处就受到一次冲击力，该力即为驱动力．当驱动力周期和车厢的弹簧的固有周期相等时，即发生共振，车厢振动得最厉害．车厢振动最厉害时发生共振，由共振条件得

0.6 s T T ==固驱， ①

又

l T v

=驱， ② 将①式代入②，解得

12.5m/s 21 m/s 0.60.6

l v ===．

【答案】21 m/s

【总结升华】火车经过钢轨的接缝处，车厢要受到驱动力，而驱动力的频率由车速决定．这样就把车速和频率联系起来了．

举一反三:

【高清课堂：外力作用下的振动 例7】

【变式1】火车车轮对铁轨接头处的周期性撞击，使火车厢做受迫振动，若发生共振，会造成危害．已知每根铁轨的长度为12.6m ，若车厢的固有周期为0.58s ，则当车厢上、下振动得最厉害时，列车行驶的速度为多大？

【答案】21.7m/s

【高清课堂：外力作用下的振动 例3】

【变式2】一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后发现先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是（ ）

A ．正常工作时，洗衣机波轮的运转频率大于洗衣机的固有频率

B ．正常工作时，洗衣机波轮的运转频率小于洗衣机的固有频率

C ．当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的

固有频率

D ．当洗衣机振动最剧烈时，固有频率最大

【答案】AC

【高清课堂：外力作用下的振动 例4】

【变式3】如图所示，一偏心轮的圆心在O 点，重心在C 点（C 点不在圆心，所以称之为偏心轮），它与板M 相连，板的下端与弹簧相连，整个系统能在一个竖直槽中间上下振动，振动的固有频率为f ，当偏心轮以角速ω绕O 点转动时，系统便会开始振动．下列说法中正确的是（ ）

A ．稳定后系统振动的频率仍为f

B ．稳定后系统振动频率仍为/2ωπ

C ．当2f ωπ=时系统振幅最大

D ．当2f ωπ=时系统振幅最小

【答案】BC

类型五、单摆模型的理解

例5．在做用单摆测定重力加速度的实验中，有人提出以下几点建议：

A ．适当加长摆线

B ．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的

C ．单摆偏离平衡位置的角度不能太大

D ．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期

其中对提高测量结果精确度有利的是________．

【思路点拨】精确度的高低表面上看要从公式中理解，本质上要从单摆模型上认识．

【答案】A 、C

【解析】根据单摆的周期公式

2T = 可得， 224l g T

π=， 从该公式可看出，增大摆长l ，有利于减小误差，提高测量结果的精确度；T 对测量结果影响较大，采用累计法测量可以减小误差，故D 无法提高测量结果的精确度；对B 来说，由于球体积较大，空气阻力也大，单摆振动次数少，不利于采用累计法测量周期，故B 不利于提高测量结果的精确度；只有在小角度的情形下，单摆的周期才满足

2T =． 综合上述，应选择A 、C ．

【总结升华】精确度的高低表面上看要从公式中理解，本质上要从单摆模型上认识．

类型六、单摆的器材的选取

例6．在用单摆测定重力加速度的实验中，

（1）测摆长时，若正确测出悬线长l 和摆球直径d ，则摆长为________；

（2）测周期时，当摆球经过________位置时开始计时并计数1次，测出经过该位置N 次（约60100～次）的时间为t ，则周期为________

此外，请你从下列器材中选用所需器材，再设计一个实验，粗略测出重力加速度g ，并参照示例填写下表（示例的方法不能再用）．

A ．天平

B ．刻度尺

C ．弹簧测力计

D ．电磁打点计时器

E ．带夹子的重锤

F ．纸带

G ．导线若干

H ．铁架台

I ．低压交流 电源

J ．低压直流电源

K ．小车

L ．螺旋测微器

M ．斜面（高度可调，粗糙程度均匀）

【答案】（1）d l +

（2）平衡 2t

（实验设计任选一个）

【解析】单摆的摆长是指悬线长加上小球的半径，即为

2

d l +； 测定周期时，摆球在最低处平衡位置速度最大，因此应从最低位置开始计时，以减小实验误差，若从小球经平衡位置开始计时并计数N 次，则小球完成了

12N -次全振动，故其周期 211

2

t t T N N ==--． 测重力加速度的方法有多种，其中一种可用斜面和打点计时器由牛顿第二定律来测，方法见答案．

【总结升华】摆长应为悬点到球心的距离，小球在最低点时，易记录时间．