浦东区2019学年初三一模数学试卷含答案

（第4题图）

浦东新区2019学年第一学期初中学业质量监测

初三数学 试卷

考生注意：

1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果BC =5，AB =13，那么sin A 的值为 （A ）

5

13

； （B ）

5

12

； （C ）

1213

； （D ）

125

． 2．下列函数中，是二次函数的是 （A ）21y x =-；

（B ）2

2y x =

； （C ）12

+=x y ；

（D ）()2

21y x x =--．

3．抛物线245y x x =-+的顶点坐标是 （A ）（?2,1）；

（B ）（2,1）；

（C ）（?2, ?1）；

（D ）（2,?1）．

4．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列各比例式 不一定能推得DE ∥BC 的是

（A ）AD AE BD CE

=； （B ）AD

DE

AB BC =

； （C ）AB AC BD CE =； （D ）AD AE

AB

AC

=

． 5．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶3，它把物体从地面点A 处送到离地面3米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为 （A ）310米； （B ）210米；

（C ）10米；

（D ）9米．

6．下列说法正确的是 （A ）()0a a +-=；

（B ）如果a 和b 都是单位向量，那么a b =；

（第5题图） 传送带

（C ）如果||||a b =，那么a b =； （D ）如果12

a b =-(b 为非零向量)，那么a //b ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

7．已知x =3y ，那么 = ▲ ．

8．已知线段AB =2cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，P A >PB ，那么线段P A 的长度等于 ▲ cm ． 9．如果两个相似三角形对应边之比是2∶3，那么它们的对应中线之比是 ▲ ． 10．如果二次函数223y x x k =-+-的图像经过原点，那么k 的值是 ▲ ． 11．将抛物线23y

x 向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 ▲ ．

12．如果抛物线经过点A （?1,0）和点B （5,0），那么这条抛物线的对称轴是直线 ▲ ． 13．二次函数22(1)y x =-+的图像在对称轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”） 14．如图，在△ABC 中，AE 是BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，过点G 作GF ∥AB

交BC 于点F ，那么 = ▲ ．

15．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD =6，DF =3，BC =7，那么线段CE 的长度等于 ▲ ． 16．如图，将△ABC 沿射线BC 方向平移得到△DEF ，边DE 与AC 相交于点G ，如果

BC = 6cm ，△ABC 的面积等于9cm 2，△GEC 的面积等于4cm 2，那么CF = ▲ cm ．

172x … 0 1 2 3 4

…

2y a x b x c =++ … ?3 0 1 0 ?3

…

那么当= 5时，该二次函数y 的值为 ▲ ．

18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，

将△BDE 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D ’、E ’，当直线D ’E ’ 经过点A 时，线段CD ’的长为 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

x G

B C

（第14题图）

（第16题图）

（第15题图）

EF

EB

2x y

x y

++

（第21题图） 计算：

2tan 45cos60cot 602sin30?-?

+??

．

20．（本题满分10分，其中每小题各5分）

如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD

的延长线于点F ，设=，b

=．

（1）用、b 表示BE 、DF ；

（2）先化简，再求作：)(2)2

3

(++．

（不要求写作法，但要写明结论）

21．（本题满分10分，其中每小题各5分）

如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8． （1）如果BC =7，求线段DE 的长；

（2）设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积．（用a 的代数式表示）

22．（本题满分10分）

为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC 的长度，在地面上点A 处测得避雷针底部B 和顶部C 的仰角分别为55°58＇和57°．已知点A 与楼底中间部位D 的距离约为80米．求避雷针BC 的长度．（参考数据：sin5558'0.83?≈，cos5558'0.56?≈，tan5558' 1.48?≈，sin570.84?≈，

cos570.54?≈，tan57 1.54?≈）

（第20题图）

23．（本题满分12分，其中每小题各6分）

如图，已知△ABC 和△ADE ，点D 在BC 边上，DA =DC ，∠ADE =∠B ，边DE 与AC 相交于点F ．

（1）求证：AB AD DF BC ?=?；

（2）如果AE ∥BC ，求证：BD DF DC FE =

．

24．（本题满分12分，其中每小题各4分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为 A （?1,0）、B （3,0），与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的表达式；

（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正切值；

（3）点P 在抛物线上且∠P AB =∠ACB ，求点P 的坐标．

25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =4，AC =3，D 为AB 边上一动点（点D 与点A 、B 不重合），联结CD ．过点D 作DE ⊥DC 交边BC 于点E ． （1）如图，当ED =EB 时，求AD 的长；

（2）设AD =x ，BE =y ，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；

（3）把△BCD 沿直线CD 翻折得△CDB ’，联结AB ’．当△CAB ’是等腰三角形时，直接写出AD 的长．

（第23题图）

（第25题图）

（备用图）

（第24题图）

浦东新区2019学年第一学期初中学业质量监测

初三数学试卷参考答案及评分说明

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．C ；

3．B ；

4．B ；

5．A ；

6．D ．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．

4

5

； 8

．1)； 9．2∶3；

10．k =3； 11．2

34y x =--；

12．x =2； 13．上升； 14．13； 15．7

2

； 16．2； 17．-8； 18

．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．解： 原式=

2

3321221-1???? ??+?……………………………………………………（各2分） =31

21+ ………………………………………………………………（1分） =6

5

．……………………………………………………………………（1分）

20．解：（1）∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD = BC ．

∵ AE=2ED ，∴AD AE 3

2=．∴ 23AE BC =． …………………………（1分） ∵ b BC =，∴2

3

AE b =． ………………………………………………（1分）

∵ ，∴ AE BA BE +=3

2

+=． …………………………………（1分）

∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB // CD ．

∴ 12

DF DE AB AE ==．∴ 1

2DF AB =． ………………………………………（1分）

∵ ，∴ 2

1

=． ………………………………………………（1分）

（2）原式=222

3

-++-

………………………………………………（1分） ==

=b b a a 2223-++-

=b a -2

1

．……………………………… （1分） 作图正确．

……………………………………………………………（2分）

结论． ……………………………………………………………………（1分）

21. 证明：（1）∵AD =3，AC =6，AE =4，AD =8，∴1

2

AD AE AC AB ==．…………… （2分）

∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ．…………………………………………（1分） ∴DE AD BC AC

=． ……………………………………………………………（1分） ∵BC =7，∴27

=DE ． ……………………………………………………（1分）

（2）∵AE =4，AC =6，∴EC =2．

∵△ADE 与△CDE 同高，∴21ADE DEC S AE S EC ==

△△． ………………………（1分）

∵S △DEC =a ，∴S △ADE =2a ．

…………………………………………………（1分）

∵△ADE ∽△ACB ，∴4

12

=

??? ??=AC AD S S ACB ADE △△．………………………………（1分） ∴S △ACB =8a ． …………………………………………………………………（1分）

∴S △BDC =8a ―2a ―a =5a ． …………………………………………………（1分）

22．解：根据题意，得∠ADC=90°，∠BAD=55°58＇，∠CAD=57°，AD =80．（各1分）

在Rt △CAD 中，

∵∠ADC=90°，，∴

1.54CD

AD

≈，即 1.5480CD ≈． …（1分） ∴CD =123.2． ……………………………………………………………（1分） 在Rt △BAD 中，

∵∠ADC=90°，，∴

1.48BD

AD

≈，即 1.4880BD ≈．… （1分） ∴BD =118.4． ……………………………………………………………（1分） ∴BC=DC ―BD =123.2―118.4=4.8． ……………………………………（1分） 答：避雷针BC 的长度为4.8米． ………………………………………（1分）

23. 证明：（1）∵DA =DC ，∴∠DCA=∠DAC ．……………………………………（1分）

∵∠B=∠ADE ，∴△ABC ∽△FDA ． ……………………………………（3分）

∴AB BC FD DA

=． ……………………………………………………………（1分） tan57 1.54?≈tan5558' 1.48?≈

∴AB DA FD BC ?=?．………………………………………………………（1分）

（2）∵AE // BC ，∴DF DC

EF EA =

，∠BDA=∠DAE ． ……………………（2分） ∵∠B=∠ADE ，∴△ABD ∽△EDA ．………………………………………（1分） ∴AD

BD AE AD =． ……………………………………………………………（1分） ∵DA =DC ，∴AE

DC

DC BD =

．…………………………………………………（1分） ∴FE

DF DC BD =． ……………………………………………………………（1分） 24．解：（1）把A （?1,0）、B （3,0）分别代入得

{

10,

930b c b c --+=-++=．…………………………………………………………（2分）

解得b =2，c =3． …………………………………………………………（1分） ∴抛物线的表达式是2

23y x x =-++． ………………………………（1分） （2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．

∵抛物线2

23y x x =-++与y 轴相交于点C ,∴C （0, 3）．……………（1分） ∵B （3,0）、A （?1,0）、C （0, 3），∴OC =OB =3， AB =4． 在Rt △BOC 中，BC

=ABC =45°．

在Rt △HAB 中，

∵sin AH

ABH AB ∠=，AB =4

，∴AH BH == ……………………（1分）

∵BC =

CH = ． ……………………………………………（1分）

∴tan 2AH

ACB CH ∠==． ……………………………………………（1分）

（3）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ．

设P （x ，-x 2+2x +3），则PM =2

23x x -++，AM ＝x ＋１．

∵∠PAB=∠ACB ，tan 2ACB ∠=，∴tan 2PAB ∠=． ……………（1分） （i ）P 在x 轴上方时，-x 2+2x +3=2(x +1) .

解得：x 1=1，x 2= -1（舍）. …………………………………………（1分） （ii ）P 在x 轴下方时，-（-x 2+2x +3）=2(x +1) .

解得：x 1=5，x 2= -1（舍）. …………………………………………（1分） ∴P 的坐标为（1，４）或（5，-12）. ………………………………（1分）

25．解：（1）∵ED =EB ，∴∠B =∠BDE ．……………………………………………（1分）

2

y x bx c =-++

∵DE ⊥CD ，∴∠BDE +∠ADC =90°． ∵∠A =90°，∴∠ACD +∠ADC =90°．

∴∠BDE =∠ACD ．…………………………………………………………（1分） ∴∠ACD =∠B ． …………………………………………………………（1分）

在Rt △ABC 中，AB =4，AC =3，∴3

tan 4

AC B AB ==．

∴3

tan 4

ACD ∠=．…………………………………………………………（1分）

在Rt △ADC 中， 3

tan 4

AD ACD AC ∠==，AC =3，

∴9

4AD =． ……………………………………………………………（1分）

（2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点H ． ∴∠EDH =∠A =90°．

∵∠BDE =∠ACD ，∴△ACD ∽△DEH ． ………………………………（1分） ∴HD HE AC AD

=． 在Rt △BEH 中，可得35EH y =，4

5BH y =．…………………………（1分）

∴4

45

DH x y =--

． ……………………………………………………（1分） ∴434553x y y x --

=． ∴2

20549

x x y x -=+． ……………………………………………………（1分）

（0 < x < 4） ． ……………………………………………………（1分） （3）AD

=

7243+或AD

=7243

-． ………………………（各2分）