2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期期中考试数学试题

荆州中学2020～2021学年度高一年级上学期期中考试

数 学 试 题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知{}|215A x x =->，{}3,4,5,6B =，则A B =（ ） A ．[3,)+∞ B ．φ C ．{}3,4,5,6 D ．{}4,5,6

2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．

，0

()g x x =

B ．()1f x x =-，21

()1x g x x -=+

C ．()f x x =，33()g x x =

D ．()||f x x =，2()()g x x =

3．已知a b c d ,,,为实数，则“a b c d +>+”是“a c >且b d >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.06(1)2

m f m <>=+（元）决定，其中0m >，

m <>是不小于m 的最小整数（如：33, 3.84,<>=<>= 5.1<>6=）, 则从甲地到乙地通话时间

为7.3分钟的电话费为（ ） A ．4.24 元

B ．4.77 元

C ．5.30 元

D ．4.93 元

5．已知函数3

2()=1

x f x x +，则()f x 的大致图象为（ ）

A B C D

6．已知2

54a -??

= ???，1

3

45b ??= ???，45

2log c =，则,,a b c 的大小关系是( )

A ．c a b <<

B ．c b a <<

C ．b a c <<

D ．a b c <<

7．已知函数(43)(32),1

()1log ,1a a x a x f x x x --+

是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．2(,1)3

B ．3

[,1)4

C ．23(,]34

D ．4(1,)3

8．已知)(x f 为定义在实数集R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又)2(f ＝0，则不等式

()10x f x ?-<的解集是（ ）

A ．(,2)(1,0)(2,)-∞--+∞

B ．(,2)(2,)-∞-+∞

C ．(1,0)(1,3)-

D ．(,1)(0,1)(3,)-∞-+∞

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()f x x x =-，则下列说法正确的有（ ） A. (1)0f -=

B. ()f x 在(1,0)-上是增函数

C. ()0f x >的解集为(0,1)

D. ()f x 的最大值为

1

4

10. 定义一种运算,()

min{,},()a a b a b b a b ≤?=?

>?

.设2()min{42, ||}f x x x x t =+-- （t 为常数），且[],3,3x ∈-则使函数()f x 最大值为4的t 值可以是（ ）

A. 2-

B. 6

C. 4

D. 4-

11．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ）

A ．若am bm >，则a b >

B ．若0b a >>，0m >，则

a m a

b m b +>+ C ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ D ．若a b >，则3322a b a b ab +>+ 12.下列说法正确的是( )

A. “ 02

00,2x x R x ?∈> ”的否定是“ 2,2x x R x ?∈≤ ”

B.

函数()f x =的最小值为6

C.

函数1()(2g x = 1

[, 1]2

-

D.

a b >的充要条件是||||a a b b >.

三、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知53()2f x ax bx =++且(5)16f -=，则(5)f 的值为 .

14.

函数()2x f x =+的定义域为 ，值域为 . (第一个空2分，第二个空3分) 15. 已知函数2()2f x x x a =-++，21

()7log g x x

=

+，若对任意1[0,3]x ∈

，总存在24]x ∈，

使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.

16. 已知正实数,a b 满足

223

122

a b a b +=++，则a b +的最大值为 .

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分) 计算或化简:

(1)

6

3

4

1

3

0.001

16100-??

-

++? .

（2）5

3372l 6

og 75424log log 5log log -++? .

18. (12分) 已知集合456{|22}x x A x +=≥，2

{|2150}B x x x =+-≤.

(Ⅰ)求A 和 (

)R

A B ；

(Ⅱ)集合1

{|2}2C x x k =-≤-≤，若C B ?,求实数k 的取值范围：

19. (12分) 已知2()3f x ax bx =++，且{|()0}{1,3}x f x ==. (Ⅰ)求实数a 和b 的值，并求 ()

()(0)f x g x x x

=

> 的最小值； (Ⅱ)若不等式2()(37)0f x mx m -++>对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围.

20. (12分) 已知2()log (1)f x x =-.

(Ⅰ)若00(1)(1)0f x f x ++-=，求0x 的值； (Ⅱ)记()()(6)g x f x f x =+-，

（1）求()g x 的定义域D ，并求()g x 的最大值m ； （2）已知3

2222

4log 2log 2b a

b

a a

b b

++=++

- ，试比较b 与ma 的大小并说明理由。

21．(12分) 如图所示，河(阴影部分)的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中,AB BC ⊥

,EF DF ⊥DF AB ⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于

点O ，测得3AB FE ==千米，

74OD =千米，

94DF =千米，3

2

EC =千米，若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系

xOy ,则河岸DE 可看成是函数1b

y x a

=-

-（其中,a b 是常数）图象的一部分，河岸AC 可看成是函数y kx m =+（其中,k m 为常数）图象的一部分．

（Ⅰ）写出点A 和点C 的坐标，并求,,,k m a b 的值．

（Ⅱ）现准备建一座桥MN ，其中M 在曲线段DE 上， N 在AC 上，且MN AC ⊥.记M 的 横坐标为t ．

(1)写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并标明定义域； （注：若点M 的坐标为0(,)t y ,则桥MN 的长l 可用公式0

2

1l k

计算）．

(2)当t 为何值时，l 取到最小值？最小值是多少？

22．(12分) 已知函数()x x

f x a k a -=-?(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇．

函数，且3

(1)2

f =． (Ⅰ)求k 的值，并判断()f x 的单调性(不要求证明)；

(Ⅱ) 是否存在实数()2,3m m m >≠，使函数()()22(2)log 1x x m g x a a mf x --??=+-+??在[]1, 2

上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值；如果不存在，请说明理由.

荆州中学2020—2021学年上学期期中考试

高一年级数学试题 参考答案

一．选择题

1.D

2.C

3.B

4.C

5. B

6.A

7.C

8.D 二．多项选择题

9.AD 10.AC 11.BC 12.ACD 三．填空题

13. 12- 14. [3,)+∞ [8,)+∞ 15. 13

(,]15

-∞- 16. 3 四．解答题

17. （1）原式13

33434213[()]1(2)1001018427125105

-=-++?=-++?=. .........5分 （2）原式3372354lg 2lg 7log 62log 2log 7log 362362112lg 7lg 2

=++?==++?=++=. .........10分

18. (Ⅰ)由45622x x +≥，得456x x +≥，25x ∴≤，52x ≤

，5

{|}2

A x x ∴=≤， 5

{|}2R A x x ∴=>，25{|2150}{|(3)(25)0}{|3}2

B x x x x x x x x =+-≤=+-≤=-≤≤，

()

{|3}R A B x x ∴=≥-. .........6分

(Ⅱ) 11{|2}{|2}22C x x k x k x k =-≤-≤=-≤≤+,C B ? ,23

1522

k k -≥-??

∴?+≤?? ,12k ∴-≤≤,

k 的取值范围为[1,2]-. .........12分

19. (Ⅰ){|()0}{1,3}x f x ==，1,3∴是()0f x =的两个根，13313b a

a ?

+=-??∴???=

?? ，1,4a b ∴==-.

2

()43f x x x ∴=-+ ，0x >

时，2()433()444f x x x g x x x x x -+===+-≥=， 当且仅当3

x x

=

即x =

时上式取等号，所以min ()4g x = . .........6分

(Ⅱ)由2

()(37)0f x mx m -++>，得2

(1)4(310)0m x x m --++> （*）

当10m -=即1m = 时，不等式（*）为4130x -+> ，不满足对任意实数x 都成立，

10m ∴-≠，10164(1)(310)0m m m ->?∴??=--+

233m m

，

233m ∴-<<

，m ∴的取值范围为2

(3,)3

-. ........12分

20. (Ⅰ)由已知得，2020log log (2)0x x +-=，200log (2)0x x -=，∴ 00(2)1x x -=，2

00210x x --=，

01x ∴=02x >

，01x ∴=. .........4分

(Ⅱ)（1）22()log (1)log (5)g x x x =-+- ，由10

50

x x ->??

->? ，得15x << ，(1,5)D ∴=.

由于2

22()log (1)(5)log [(3)4]g x x x x =--=--+，∴ 当3x =时，max 2()log 42m g x ===，

.........8分

（2）由22

3224log 2log 2a b

b a a a b ++=++

-，得222221

4log 2log log 322

a b a b a b +-=+--+， 即22222212

log (2)2log log 3122a

b a b a b +-

=+--++2223

2log log 32

b b b =+-+-，

因为3

2222223

log 3log 2log 3log log 02

-=-=<，

所以2222222322

log (2)2log log 32log 22a

b b a b b a b b

+-

==+-+-<+-，

考虑函数22

()2log x h x x x

=+-

，所以(2)()h a h b <， 因2x ，2log x ，2

x

-都是增函数，所以()h x 为增函数，2a b ∴<，2m =，

故始终有b ma >成立. .........8分

21. (Ⅰ)由题意得：4OF BC ==，OA EC =，∴3,02A ??

???，9,42C ?? ???

， 把3,02A ?? ???，9,42C ??

???代入y kx m =+得3

0294

2

k m k m ?+=????+=??，解得4,23k m ==-.

70,4D ?? ???，()3,4E ，把70,4D ??

???，()3,4E 代入1b y x a =--得4333

b a b a ?=????=?-?

，解得：4,3a b ==.

.........5分

(Ⅱ)（1）由(Ⅰ)得：M 点在314y x =-

-上，∴,1,[0,3]43M t t t ?

?-∈ ?-??

，

∴ 桥MN 的长l

为34

12

19()(94),[0,3]54l f t t t t t -

-+==

=--∈-；.........7分

（2）由（1）得：1919()(94)[4(4)7]5454

f t t t t t =

--=------ 19

[4(4)7]54

t t =-----， 而940,

04t t -<<-

，∴94(4)124t t ---≥=-， 当且仅当94(4)4t t --=--时即52t =“=”成立，∴min 1

()|127|15

f t =-+=. .........12分

22. (Ⅰ)

函数()x

x

f x a k a

-=-?(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，0R ∈，(0)0f ∴=，

10k -=，1k ∴=.

因为3(1)2f =，132a a ∴-=，2

2320a a --=，2a = 或12

a =- ， 0a >，2a ∴=，

()22x x f x -=- ，因为2x 为增函数，2x - 为减函数，所以()f x 为R 上的增函数. .........3分

(Ⅱ) ()()22(2)log 1x x

m g x a a mf x --??=+-+??()22(2)log 2

2221x x

x x m m ---=+--+???

?

()()2(2)log 22223x x x x m m ---??=---+????

， .........4分 设22x x t -=-，则()

()2

2222233x x

x x m t mt -----+=-+，

[]1,2x ∈，∴315,24t ??

∈????

，记()23h t t mt =-+，

(1)当021m <-<，即23m << 时，要使()g x 最大值为0，则要min ()1h t =，

22()()(3)24m m h t t =-+- ，312m << ，315,24t ??∈????

，()h t ∴在315,24??

????上单调递增，

min 3213()()242h t h m ∴==- ，由min ()1h t = ，得176m = ，因17(2,3)6∈ ，所以17

6

m =满足题意.

.........7分

(2)当21m ->，即3m > 时，要使()g x 最大值为0，则要max ()1h t =，且min ()0h t >.

3

22

m > ， ①若

321228m <≤ ，则max 1522515()()314164h t h m ==-+= ，257

60

m =

，

又2min

()()3024m m h t h ==->，∴3m <<25760>∴257

60

m =不合题意.

.........10分 ②若2128m > ，即214m > ，则max 32132132121

()()02424248

h t h m ==-<-?=-< ，max ()1h t ≠，

综上所述，只存在17

6

m =

满足题意. .........12分